Notas de Aula - Primitivas - Cálculo II - UNIFEMM (1)

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Professor Wálmisson Régis de Almeida 
Exercícios extraídos de CÁLCULO A – Diva 
Maria Flemming e Miriam Buss Gonçalves e 
Cálculo I – George B. Thomas 
UNIFEMM 
 
NOTAS DE AULA - CÁLCULO II 
Primitivas 
PRIMITIVAS 
 
Em muitos problemas aplicados em Matemática, Física, Engenharia, Estatística, Economia, entre 
outras ciências, a derivada de uma função é conhecida e o objetivo é encontrar a própria função. Por 
exemplo, se a taxa de crescimento de uma determinada população é conhecida, pode-se desejar 
saber qual o tamanho da população em algum instante futuro; conhecendo a velocidade de um corpo 
em movimento, pode-se querer calcular a sua posição em um momento qualquer; da mesma maneira 
que com a aceleração de uma partícula pode determinar sua velocidade em um dado instante, um 
engenheiro pode usar informações quanto a taxa de variação segundo a qual a água está escoando de 
um tanque para determinar a quantidade escoada durante um certo período. Conhecendo o índice de 
inflação, deseja-se estimar os preços, e assim por diante. O processo de obter uma função a partir de 
sua derivada é chamado de antiderivação, primitivação ou integração indefinida. 
 
Definição: Uma função F será chamada de primitiva (anderivada ou integral indefinida) de uma 
função num intervalo se para todo . 
 
Sendo assim, uma primitiva de uma dada função f é uma função cuja derivada é igual a , e o 
problema central da primitivação é dada uma função , determinar uma função que seja primitiva 
de . 
 
É fácil perceber pelo exposto acima que a primitiva de uma função não é única. De fato, sendo 
 uma primitiva de , e uma constante real qualquer, temos, para qualquer função 
 : 
 
 [ ] 
 
ou seja, também é primitiva de . De forma análoga, podemos provar que se e são 
primitivas de , então existe tal que , o que nos motiva a seguinte 
definição: 
 
Integral Indefinida: Se f é uma função contínua, então a sua integral indefinida é dada por: 
 
∫ 
 
onde é uma primitiva de , é uma constante, chamada constante de integração, o símbolo ∫ é 
chamado sinal de integração, é o integrando e é a diferencial de , neste contexto, um 
símbolo indicando que a primitiva deve ser calculada em relação à variável . Para verificar se uma 
primitiva foi calculada corretamente, determine a derivada da solução . Se essa derivada 
for igual a , então a primitiva está correta; se for diferente, existe algum erro nos cálculos. 
 
Um comentário pertinente ao momento é que a “determinação” de uma primitiva de uma função 
dada pode ser algo com resposta essencialmente trivial, ou algo que requer uma elevada dose de 
engenho (ou que é mesmo impossível); O que faremos nessas próximas aulas é definir alguns 
métodos de primitivação elementares, diretamente da nossa lista de derivadas, e alguns processos 
mais comuns utilizados em integrais indefinidas “não tão elementares”. 
 
Antes disso, algumas propriedades das integrais indefinidas: 
 
Sejam , e uma constante real. Temos: 
 
- ∫ ∫ 
- ∫[ ] ∫ ∫ 
 
ou seja, a integral indefinida preserva as características de linearidade de espaços vetoriais. 
 
Agora estamos prontos para construir nossa tabela de integrais indefinidas imediatas: 
 
∫ 
∫
 
 
 | | 
∫ 
 
 
 
∫ 
 
 
 
∫ 
∫ 
∫ 
∫ 
∫ 
∫ 
∫ 
∫
 
√ 
 
∫
 
 
 
 
Tabelas de integrais mais completas estão disponíveis em qualquer bom livro de Cálculo. Como o 
objetivo do curso não passa por resolver integrais muito complexas, nos ateremos a problemas que 
envolvem apenas as integrais imediatas acima. 
 
Exercícios Selecionados – Cálculo A – Seção 6.2 
 
1 – Nos exercícios abaixo, calcular a integral e, em seguida, derivar as respostas para conferir os 
resultados. 
 
a) ∫
 
 
 
b) ∫ 
c) ∫ 
d) ∫ (√ 
 
√ 
) 
e) ∫ √ 
f) ∫( 
 
√ 
) 
g) ∫ (
 
√ 
 
 √ 
 
) 
h) ∫
 
 
 
i) ∫
√ 
 
 
j) ∫
 
 
 
 
2 – Nos exercícios abaixo, calcular as integrais indefinidas. 
 
a) ∫ (
 
 
) 
b) ∫
 
 
 
c) ∫√
 
 
 
d) ∫
 
 
 
e) ∫
 
 
 √ 
 
 
 
f) ∫ 
g) ∫ √ √ 
 √ 
 √ 
 
h) ∫
 
 
 
i) ∫ 
j) ∫
 
 
 
l) ∫ √ ( 
 
 
)
 
 
m) ∫ ( √ 
 
 
 
 
) 
n) ∫
 
 
 
o) ∫ 
p) ∫ 
 
3 – Encontre uma primitiva da função que satisfaça . 
 
4 – Determinar a função tal que ∫ 
 
 
 
 
5 – Encontrar uma primitiva da função 
 
 
 que se anule no ponto . 
 
6 – Sabendo que a função satisfaz a igualdade ∫ 
 
 
 , 
determinar (
 
 
). 
 
7 – Encontrar uma função tal que e . 
 
Regra da Substituição: Nas próximas seções apresentaremos os métodos mais utilizados 
que nos permitirão determinar uma grande quantidade de integrais não imediatas. O primeiro a ser 
estudado se baseia na regra da cadeia. 
 
Sejam uma primitiva de num intervalo e uma função derivável tal que esteja definida. 
Usando a regra da cadeia, temos . Logo, é 
uma primitiva de , e então: 
 
∫ ( ) ( ) 
 
Fazendo , tem-se . Substituindo na expressão anterior, temos: 
 
∫ ( ) ∫ 
 
Exercícios Selecionados – Cálculo A – Seção 6.4 
 
1 – Calcular as integrais seguintes, usando o método da substituição: 
 
a) ∫ 
b) ∫ 
c) ∫
 
√ 
 
d) ∫ √ 
e) ∫
 
 
 
f) ∫ 
g) ∫ 
h) ∫
 
 
 
i) ∫ 
j) ∫ 
l) ∫
 
 √ 
 
m) ∫
 
 
 
n) ∫ √ 
 
 
o) ∫
 
 
 
p) ∫ 
q) ∫ 
 
 
r) ∫
 
 
 
s) ∫
 
 
 
t) ∫ √ 
u) ∫ 
v) ∫
 
 
 
x) ∫ 
 
 
z) ∫ 
 
Integração por Partes: A integração por partes é um método que permite expressar a 
integral de um produto de funções em outra integral. Essa técnica pode ser vista como uma versão 
integrada da regra do produto. Sejam f e g funções deriváveis em um intervalo . Derivando o 
produto das duas funções , teremos: 
 
[ ] 
 
e de forma equivalente, podemos escrever: 
 
 [ ] 
 
Integrando ambos os lados da equação, teremos: 
 
∫ ∫[ ] ∫ 
 
Como ∫[ ] , por definição, é justamente : 
 
∫ ∫ 
 
Para que tenhamos uma linguagem mais facilmente memorizável, tome e 
consequentemente e . Substituindo, teremos: 
 
∫ ∫ 
 
Esse algoritmo nos permite transformar a integração de na integração de , que a princípio 
deveremos saber realizar. Desse modo, é importante a escolha de e na integral de partida, de 
modo que seja possível facilmente determinar por integração e por derivação. 
 
Um estratégia para integrarpor partes: Uma sugestão que funciona bem na grande maioria das 
vezes é escolher as funções e segundo o critério descrito no artigo “A Technique for Integration 
by Parts”, de Herbert Kasube, publicado na American Mathematical Monthly. Considere o seguinte 
esquema de funções elementares: 
 
L I A T E 
Logarítmicas 
Inversas 
Trigonométricas 
Algébricas Trigonométricas Exponenciais 
 
 
Uma estratégia que funciona bem é: ao realizar uma integração por partes, escolher, dentre as duas 
funções que aparecem sob o sinal de integral: 
 
- como função u: a função cuja letra inicial de caracterização posiciona-se mais à esquerda no 
anagrama; 
- como formando a diferencial dv: a função cuja letra inicial de caracterização posiciona-se mais à 
direita no anagrama. 
 
Exercícios Selecionados – Cálculo A – Seção 6.4 
 
Resolver as seguintes integrais usando a técnica de integração por partes. 
 
a) ∫ 
b) ∫ 
c) ∫ 
d) ∫ 
e) ∫√ 
f) ∫ 
g) ∫ √ 
h) ∫ 
i)∫ 
j) ∫ 
l) ∫ 
m) ∫ √ 
 
Integração por Frações Parciais: Uma função é dita racional quando 
 
, 
onde P(x) e Q(x) são polinômios. Iremos construir algoritmos que simplificam a integração desse 
tipo de funções. 
De modo geral, uma função racional pode ser decomposta numa soma de frações mais simples e, 
por isso, dizemos que fazemos a decomposição em frações parciais. As técnicas aqui desenvolvidas 
são válidas se o grau do polinômio do numerador é menor que o grau do polinômio do 
denominador. Caso contrário, em primeiro lugar, efetuamos a divisão dos polinômios, para separar a 
“parte inteira”. Depois decompormos a fração resultante em frações parciais. 
Para iniciar, lembremos que, em , ou seja, no corpo dos complexos, todo polinômio de grau 
possui raízes, ou seja, um polinômio pode ser escrito como: 
 
Com sendo as raízes do polinômio. Essas raízes podem se reais ou complexas (com 
multiplicidade). Como as raízes complexas aparecem em pares conjugados , teremos: 
 
 
expressão na qual . 
Então, podemos observar que o polinômio do denominador sempre pode ser decomposto num 
produto de fatores do primeiro ou do segundo graus com parcelas reais. Os fatores de primeiro grau 
aparecem quando existem raízes reais; as raízes complexas são responsáveis pelos fatores de 
segundo grau. Pode-se escrever 
 
 
 na forma de uma soma de frações parciais. 
- 1º Caso: Denominador apresenta apenas fatores lineares e/ou com fatores quadráticos irredutíveis 
e distintos não repetidos. Neste caso, para cada raiz real r diferente das demais adiciona-se um fator 
da forma 
 
 
 e para cada par de raízes complexas diferentes adiciona-se um fator da forma 
 
 
. 
 
Exemplo: Decomposição em frações parciais da função racional própria 
xxx
xx
65
1228²9
23 

: 
3265
1228²9
23 





x
B
x
B
x
A
xxx
xx
 
Exemplo: Decomposição em frações parciais da função racional própria 
)54²)(1(
1
 xxx
: 
541)54²)(1(
1
2 




 xx
CBx
x
A
xxx
 
- 2º Caso: Denominador apresenta fatores, lineares ou quadráticos irredutíveis, repetidos. Para cada 
fator da forma e/ou , a decomposição em frações parciais contém a 
seguinte soma de frações parciais 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: Decomposição em frações parciais da função racional própria 
2)3)(2(
3121²3


xx
xx
: 
22 )3(32)3)(2(
3121²3








x
C
x
B
x
A
xx
xx
 
Exemplo: Decomposição em frações parciais da função racional própria 
22 )1)(1(
1
 xx
: 
22222 )1(11)1)(1(
1








 x
EDx
x
CBx
x
A
xx
 
O “modus operandi” da determinação das constantes A e B e o processo de integração serão 
discutidos nos exemplos abaixo. 
Exercícios Selecionados – Cálculo A – Seção 6.4 
 
Calcule as integrais indefinidas abaixo pelo método das frações parciais. 
a) ∫
 
 
 
b) ∫
 
 
 
c) ∫
 
 
 
d) ∫
 
 
 
e) ∫
 
 
 
f) ∫
 
 
 
g) ∫
 
 
 
h) ∫
 
 
 
i) ∫
 
 
 
2 – Verifique a veracidade da fórmula ∫
 
 
 
 
 
 |
 
 
| , com a e c reais. 
Equações Diferenciais de 1ª Ordem Separáveis: Uma importante aplicação 
das integrais indefinidas e dos processos de diferenciação são as resoluções das equações 
diferenciais, muito recorrentes em problemas de Física e demais ciências aplicadas. 
Uma equação diferencial é uma igualdade que contém derivadas de qualquer ordem de uma função 
 . A ordem da equação diferencial é a ordem da “maior” derivada da equação. Por exemplo: 
- 
 
 
 é uma equação diferencial de 1ª ordem 
- 
 
 
 
 
 
 é uma equação diferencial de 2ª ordem 
As equações diferenciais mais simples são aquelas das formas 
 
 
 e 
 
 
 
 
 
 , ou seja, aquelas onde um lado da equação depende apenas de y e o 
outro lado da equação depende apenas de x. Por isso, são chamadas equações diferenciais de 1ª 
ordem separáveis. 
Para resolver equações do 1º tipo, 
 
 
 , devemos determinar todas as 
funções da forma para as quais a equação é satisfeita. Se é uma primitiva de , é 
fácil ver que , pois 
 
 
 
Ou seja, as soluções da equação formam uma família de funções da forma , que são 
funções transladadas verticalmente. Conhecida uma solução particular da equação, 
determinamos a constante . Já que apenas uma dessas funções pode apresentar essa solução 
particular. Por isso, alguns autores chamam as soluções de problemas de valor inicial. 
 Para resolver equações do 2º tipo, 
 
 
 
 
 
 , basta proceder de forma 
análoga, determinando primitiva de e primitiva de , e observar que a solução 
completa da equação é , pois 
 ∫ ∫ 
e, novamente, a solução remete a uma família de funções, e uma dessas funções será a solução 
conhecida alguma solução particular . 
Exercícios Selecionados – Cálculo I – Thomas 
 
1 – Qual dos gráficos a seguir mostra a solução do problema de valor inicial: 
 
a) 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
 
 
2 – Resolva os problemas de valor inicial nos exemplos abaixo: 
a) 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
 
 
c) 
 
 
 
d) 
 
 
 
e) 
 
 
 
 
 
 
f) 
 
 
 
 
 
 
3 – Determine a curva no plano que passa pelo ponto cujo coeficiente angular 
em cada ponto é √ . 
4 – Determine a equação para a curva no plano cartesiano que passa no ponto e seu 
coeficiente angular em x é sempre . 
5 – A equação padrão para a posição s de um corpo que se desloca com aceleraçãoa constante ao 
longo de um eixo coordenado é 
 
 
 , onde e são a velocidade e a posição no 
tempo . Deduza essa equação resolvendo o problema de valor inicial 
 
 
 , onde a é a 
aceleração constante do objeto. 
6 – Você está dirigindo em uma rodovia a uma velocidade constante de 60 mi/h (88pés/s) quando vê 
um acidente à frente e aciona os freios. Que desaceleração constante é necessária para frear o carro 
em 242 pés? Para determiná-la, siga os passos: 
I – Resolva o problema de valor inicial com 
 
 
 e 
 
 
 e quando . 
II – Determine tal que 
 
 
 , em função de . 
III – Determine que faz com que para calculado no passo II. 
7 – Uma partícula se desloca ao longo de um eixo coordenado com aceleração 
 
 
 √ 
 
√ 
, 
sujeita às condições iniciais 
 
 
 e quando . Determine: 
a) a velocidade 
 
 
 em termos de . 
b) A posição em termos de . 
 
8 – Uma partícula se move ao longo do eixo x com aceleração √ 
 
√ 
. Supondo a velocidade 
 
 
 
 e a posição 
 
 
 quando , determine: 
 
a) a velocidade 
 
 
 em termos de . 
b) A posição em termos de . 
 
10 – Resolva as equações diferenciais separáveis abaixo: 
 
a) √ 
 
 
 , 
b) 
 
 
 
c) 
 
 
 
d) 
 
 
 
e) 
 
 
 √ 
f) 
 
 
 
 
 
 
 
Usaremos o problema abaixo para deduzir a equação do modelo de crescimento ou decrescimento 
exponencial clássico: 
 
9 – Em meados do século XIV, Alberto da Saxônia (1316-1390) propôs um modelo para a queda 
livre que admitia ser a velocidade de um corpo em queda proporcional à distância de queda. Parecia 
ser razoável considerar que um corpo que caísse a uma altura de 20 pés se deslocaria duas vezes 
mais rápido do que outro que caísse de 10 pés. Além disso, nenhum dos instrumentos disponíveis na 
época era preciso o suficiente para comprovar o contrário. Hoje, ao resolver o problema de valor 
inicial implícito em seu modelo, vemos que o modelo de Alberto da Saxônia estava longe de estar 
correto. Resolva o problema supondo 
 
 
 , e compare com sua solução real com a equação 
 . Você verá que ela descreve um movimento que se inicia lento demais, e depois se torna 
rápido demais para ser real. 
 
10 – Em algumas reações químicas, a taxa na qual a quantidade de uma substância varia em relação 
ao tempo é proporcional à quantidade presente. A transformação do glucona-delta-lactona em ácido 
glucônico, por exemplo, é 
 
 
 , quando t é medido em horas. Se houver 100g de glucona-
delta-lactona presente quando , quantos gramas restarão após a primeira hora? 
 
11 – Suponha que a eletricidade de um capacitor esteja escapando por seus terminais a uma taxa 
proporcional à voltagem e que se t for medido em segundos, 
 
 
 
 
 
 Determine V nessa 
equação, usando para indicar o valor de quando . Quanto tempo levará sua voltagem para 
atingir 10% de seu valor inicial? 
 
12 – Para incentivar os compradores a fazer pedidos de 100 unidades, o departamento de vendas de 
sua empresa aplica um desconto contínuo que torna o preço por unidade uma função do 
número de unidades pedidas. O desconto diminui o preço a uma taxa de $0,01 por unidade pedida. 
O preço unitário para um pedido de 100 unidades é . 
 
a) determine resolvendo o seguinte problema de valor inicial 
 
- Equação diferencial 
 
 
 
 
 
 
- Condição inicial: 
 
b) Determine os preços unitários para um pedido de 10 unidades e para um pedido de 
90 unidades. 
c) O departamento de vendas pediu para você descobrir se o desconto oferecido é tal que a receita 
 realmente será menor para um pedido de 100 unidades do que para um de 90 
unidades. Tranquilize-os, mostrando que r tem seu valor máximo em .