Cálculo I

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�
Cálculo Diferencial e Integral I
Para cursos tecnológicos
Agradecemos ao Murilo Amaru Gomes pela dedicação e carinho na elaboração desse trabalho
Professores: Antonio Alvares da Costa
Rodrigo Aécio Felix
�
Sumário
	Tópico 1
	Conjuntos numéricos e funções
	
	3
	
	Exercícios
	
	8
	
	Módulo de um número real
	
	12
	
	Equações modulares
	
	12
	
	Exercícios
	
	13
	
	Inequações modulares
	
	17
	
	Exercícios
	
	18
	
	Função Linear
	
	19
	
	Exercícios
	
	21
	
	Funções Quadráticas
	
	21
	
	Exercícios
	
	24
	
	Função Exponencial
	
	25
	
	Função Logarítmica
	
	26
	
	Domínio de Funções Reais
	
	27
	
	Exercícios
	
	30
	
	Funções Inversas
	
	31
	
	Composição de funções
	
	32
	
	Exercícios
	
	33
	
	
	
	
�
Vamos iniciar este tópico discutindo sobre os conjuntos dos números: Naturais, Inteiros, Racionais, Irracionais e Complexos 
Conjunto dos Naturais�: ℕ
ℕ* = {1, 2, 3, ...}
ℕ = {0, 1, 2, 3, ...}
Conjunto dos Inteiros�: ℤ
ℤ = {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}
Conjuntos dos Racionais�: ℚ
ℚ = 
Relacionando os conjuntos ℕ, ℤ e ℚ
 �
�
São racionais os números inteiros, fracionários, decimais exatos e periódicos.
Nos decimais periódicos temos:
Periódicas Simples: formada apenas por períodos de repetição.
Exemplo: 0,353535..., que pode ser representada por 
 (um traço sobre o período de repetição 35)
Periódicas Compostas: formadas por uma parte que não se repete (chamada não periódica) e a parte periódica (chamada período de repetição)..
Exemplo: 0,146353535..., que pode ser representada por 
 (onde 146 é a parte não periódica e 35 é o período de repetição)
 
Representação Fracionária de uma Dízima Periódica Simples
Fluxograma:
1º. Igualamos a dízima a uma incógnita (x, por exemplo)
2º. Identificamos o número de algarismos do período de repetição da dízima.
3º. Multiplicamos a equação montada no passo 1 por uma potência de 10 com expoente igual ao número de algarismos do período de repetição determinado no 2º passo.
4º. Subtraímos a equação montada no 1º passo da equação montada no 3º passo.
5º. Explicitamos a incógnita x.
Exemplo: 
, pois
Representação Fracionária de uma Dízima Periódica Composta
Fluxograma:
1º. Igualamos a dízima a uma incógnita (x, por exemplo)
2º. Identificamos o número de algarismos da parte que não se repete e o número de algarismos do período de repetição.
3º. Multiplicamos a equação montada no 1º passo por uma potência de 10 com expoente igual ao número de algarismos da parte que não se repete.
4º. Multiplicamos a equação montada no 3º passo (anterior) por uma potência de 10 com expoente igual ao número de algarismos do período de repetição.
5º. Subtraímos a equação montada no 3º passo da equação montada no 4º passo.
5º. Explicitamos a incógnita x.
Exemplo: 
, pois
 
Conjunto dos Irracionais�: ℚ’
 ℚ’ = {x/x 
, 
a, b 
 Z}
 Exemplos:
onde , aproximadamente 
 De modo geral� não são irracionais raízes de índices pares de números negativos.
�� EMBED Equation.3 ℚ’
 ℚ’
 
Conjuntos dos Reais�: 
 = ℚ 
 ℚ’
 Obs: “Só não são reais, raízes de índices pares de números negativos.”
 Exemplos:
 
Conjuntos dos complexos�: ℂ
ℂ = {x/x = a + bi, 
a,b 
i=
}
Exemplos:
 Relação de inclusão dos conjuntos numéricos:
 
	� ℕ
ℤ
ℚ
 
C.
 ℚ’
	
Exercícios
 Mostre que são racionais� os números:
 
 
Eixo Real� 
 Obs: 
 1º) Conjunto� dos reais e o eixo real estão em correspondência biunívoca, isto é�, cada ponto do eixo real corresponde a um único número real e vice-versa.
 2º) Cada ponto a� direita de um outro no eixo real corresponde a um número maior que o primeiro e vice e versa.
 3º) O eixo do Real é denso, isto é�, entre dois pontos� por mais próximos que estejam, existe sempre um terceiro. 
 Exemplo
 1)Localize no eixo real os pontos correspondentes aos números:
 A(-3), B(0,
), C(-0,5), D(
), E(-
), F(
), G(
), H(-
)
 Por pitágoras��:
 
Intervalos
 São� subconjuntos densos de reais, assim sejam, assim 
a, b 
a< b
Intervalos Finitos
	
	Conjuntos Numéricos
	Representação Gráfica
	Tipos de Intervalo
	Notações
	1
	A={x∊
	
	Intervalo fechado
	A = [a,b] = a 
 b
	2
	B={x
	
	Intervalo aberto
	B = ]a,b[ = (a,b) = a
b
	3
	C={x
	
	Intervalo fechado à esquerda ou aberto à direita
	C = [a,b[ = [a,b) = a 
b
	4
	D=
	
	Intervalo aberto à esquerda ou fechado à direita
	D = ]a,b] = (a,b] = a
b
 Intervalos Infinitos
	
	Conjuntos Numéricos
	Representação Gráfica
	Tipos de Intervalo
	Notações
	5
	E=
	
	Intervalo infinito fechado à esquerda
	E = [a,+∞[ =[a,+∞) = a 
+∞
	6
	F =
	
	Intervalo infinito fechado à direita
	F = ]-∞,a] = (-∞,a] = -∞
b
	7
	G =
	
	Intervalo infinito aberto à esquerda
	G = ]a,+∞[= (a,+∞) = a
+∞
	8
	H =
	
	Intervalo infinito aberto à direita
	H = ]-∞,a[ = (-∞,a) = -∞
b
Exemplos:
Reescreva as desigualdades abaixo� isolando-se� x entre os sinais de desigualdade ou no primeiro membro�, conforme o caso. Analise, represente e denote os respectivos intervalos.
3 ≤ 2x +5 ≤ 7
	
,Intervalo fechado,
	
	[-1,1] = -1
1
�
2) 
 mmc(2,3,5) = 30
	
,Intervalo fechado à direita
	
	
3) 
 mmc(2,3,4) = 12
quando se multiplica uma inequação por número negativo, as desigualdades se invertem. Na definição de intervalos, escrevemos da esquerda para a direita em ordem crescente, assim:
	
,Intervalo fechado à esquerda
	
	
 mmm(4,5) = 20
Isolamos x no primeiro membro.
Multiplicamos ambos os membros por (-1)
(lembre que o sinal de desigualdade deve ser invertido neste caso)
 QUOTE � QUOTE � 
	
,Intervalo infinito fechado à esquerda
	
	[-1,+∞[ = [-1,+∞) = -1
+∞
5) 
Multiplicamos ambos os membros por (-1)
	�
,Intervalo infinito fechado à direita
	
	
 
 mmc = 20
Multiplicamos ambos os membros por (-1)
	 
,Intervalo infinito aberto à direita
	
	
 
Módulo de um número real
Definição: ∊𝕽, então definimos módulo de x, ou valor absoluto, indicado por x|, assim:
Exemplos:
|5| = 5
|-7| = -(-7) = +7 = 7
Equações modulares
 São� equações envolvendo módulos.
Exemplos:
 
|2x -5| = 7, pela definição, temos:
 2x – 5, se 2x -5 ≥ 0 → 2x ≥ 5 → x ≥ |2x -5| =
 -2x +5, se 2x -5 > 0 → 2x < 5 → x < �
 
1ª hip: se x < 2ª hip: se x ≥ 
 
					 
 (V)				 (V)	
	 C.V�. = {-1, 6} onde C.V. é o conjunto verdade ou conjunto solução
 2) |3 -5x| = 4
 3 -5x, se 3 -5x ≥ 0 → -5x ≥ -3 (-1) → x ≤ 
|3 -5x| = 
 -3 +5x, se 3 -5x < 0 → -5x < -3 (-1) → x > 
1ª hip: se x ≤ 				2ª hip: sex > 
 			 
 					 
 (V)					
 C.V. = 
 
 3) |2x -3| = -5 C.V. = , pois < 0
 2x -3, se 2x -3 ≥ 0 → x ≥ 
|2x -3| =
 -2x +3, se 2x -3 < 0 → x < 
 1ª hip: se x < 				 2ª hip: se 
					
					
 (F)				 (F)
	
Exercícios
Reescreva as desigualdades fazendo com que somente x permaneça entre os sinais de desigualdades:
	
	
	
	
	
	
	Resp:
	
	
	
	
	
	
	
Prove que: 
Prove que: 
 
Calcule:
	
	
	
	
Resp: a) -2; b) -10; c) 21; d) -5
Resolva as equações:
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	Respostas
	
	não tem solução
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
Determine os intervalos tais que:
	
	
	
	
	
	
	Respotas
	
	
	
	
	
	
	
	
Determine o intervalo solução das inequações:
	Respostas:
	
	
Exercícios extras.
Reescreva as desigualdades� isolando x entre os sinais de desigualdade, ou no primeiro membro� conforme o caso. Analise, represente e denote os respectivos intervalos.
	 1) 
	 4) 
	 2) 
	 5)
	 3) 
	 6) 
 
Equações com dois módulos
�
Exemplos:
 , se 
 
 
 
 =
 
 
	1ª hip: se 
 (F)
	2ª hip: se 
 (V)
	3ª hip: se 
 (V)
C.V.= {0, 24�}
 2) 
 
 
 
 
 
 
	1ª hip: se 
 (V)
	2 ª hip: se 
 (V)
	3 ª hip: se 
 (F)
C.V.={
 3) 
 
 
 
 
 
 
	1ª hip: se 
 (V)
	2ª hip: se 
 (V)
	3 ª hip: se 
 (F)
C.V. �
Inequações Modulares
Preliminares
Mostre que se , e 
	1ª Hipótese: 
Multiplicando ambos os membros por (-1)
(I)
	2ª Hipótese: 
(II)
de (I) e (II), vem: 
 
Mostre que se e .
	1ª Hipótese: 
Multiplicando ambos os membros por (-1)
	2ª Hipótese: 
 (II)
de (I) e (II), vem: 
Sintetizando.
Utilizaremos os conceitos obtidos� nos exercícios anteriores, ou seja:
 QUOTE � 
Exemplos:
Resolva as seguintes inequações:
 
 
 
 
 
	
	
 
 Exercícios
Resolva as equações:
Resp.: 
Ache 
e 
, onde:
Resp.: 
Resolva a equação 
Resp.: 
Determine o intervalo solução da inequação 
Resp.: 
Resolver as inequações:
Resp.: 
�
 
 
Função linear: é toda a função que pode ser representada na forma 
�, onde:
Seu gráfico é uma reta
	
	
	
	
	
	
Exemplos:
 
Estude cada função linear abaixo, traçando seu gráfico
	
	
	
	
	
Definida pelos pontos A (-1, 1) e B (1, 5)
 
De →
 
 
 
 
						 
 
 
	
	
	
	
	
Exercício
Estude as funções lineares definidas pelos pontos.
A(1,3) e B(3,-1)
A(5,2) e B(1,-1)
A(-2,-4) e B(3,7)
A(0,0) e B(3,4)
Função quadrática: é toda função do tipo�
, seu gráfico é uma parábola.
Pontos Críticos: discriminante: ��
 Raízes ou zeros: ()→ 
 Inter x =
Inter y = (0,c)
 Vértices: V = , é máximo da função se a < 0 e é mínimo da função se a >0
 Eixo de simetria: E.S. = xV = 
 Crescência e Positividade: 
 
se a > 0
	Crescência
Positividade
	Crescência
Positividade
	Crescência
Positividade
se a < 0
	Crescência
Positividade
	Crescência
Positividade
	Crescência
Positividade
Determinação de uma Função Quadrática à partir de Três Pontos não colineares.
Dados A(xA,yA), B(xB,yB) e C(xC,yC), montamos o sistema:
	
	
E a partir dele, determinamos 
, como segue.
	
	
	
	
E assim, 
Logo, 
Exemplos:
 Estude a função quadrática e trace o gráfico:
Definida pelos pontos A (-1, -8), B (2, 1) e C (4, -3)
	
	
 
 
 
 
 
 
Raízes: 
Inter x = {(3,0); (1,0)}
Inter y = (0,-3)
Vértices: V→é máximo da
 função.
E.S. = xv = 2
	Crescência: 
	
	Positividade:
	
	Gráfico:
	
Exercícios: Estude �as seguintes funções e traçe seus gráficos�:
 1) 
 2) 
 3) 
 4) 
 5) Definida pelos pontos A (-1,2), B (1,2) e C (2,5)
 6) Definida pelos pontos A (1,1), B (2,0) e C (3,-3)
 7) Definida pelos pontos A (1,0), B (0,4) e C (4,0)
Triângulo de Pascal
� 
n
0	1
1	1	1
2	1	2	1
3	1	3	3	1
4	1	4	6	4	1
5	1	5	10	10	5	1
6	1	6	15	20	15	6	1
7	1	7	21	35	35	21	7	1
 Repare nos números, eles são a soma dos números acima da coluna anterior.	
Função exponencial: é� toda função do tipo 
				 
a = base
Preliminares: , onde n = expoente 
b = potência
Propriedades:
 1) 
 2) 
 3) 
 4) 
 5) 
 6) 
 7) 
 8) 
 9) 
 Gráfico:
 1) , a função é estritamente decrescente. Ex: 
								x y
 y 
 					
							
 						 
							 
 1 x 
 2) se , nessa hipótese� a função é estritamente crescente. Ex: 
y 					x y
								 
								 
								 
									
									
									
				 1					
 x
 Função logarítmica: �É a função inversa da exponencial, sendo do tipo
.
 						 a: base do logaritmo
 Preliminares:, onde: x: logaritmando
						 n: logaritmo de x na base a
 Propriedades:
 1)
 2) 
 3) 
 4),
 5) 
 6) 
 7) 	
Logaritmos especiais:
Logaritmo de base 10: logaritmo decimal
 
Logaritmo de base : logaritmo natural ou NEPERIANO.
Gráficos: 
Se , ex. 
 			 
 Obs: Os� gráficos da exponencial e da logarítmica de mesmas bases são simétricos em relação à bissetriz dos quadrantes ímpares (funções inversas).
 
se , estritamente crescente. Ex: 
Função definida em um ponto: consideremos a função real , f(x) é definida para , se e somente se, f(a) é:
 I) Finito: 
 II)Real: 
 III) Determinado: .
Domínio de funções reais: é� o mais amplo subconjunto dos reais onde� a função é sempre definida.
Determinação do domínio de funções reais elementares: 
Vamos considerar 
como sendo uma expressão algébrica contendo a variável x. Devemos analisar os seguintes casos:
Existe variável em denominador? Se houver�, exclui-se dos reais os valores que o anulam.
 
Existe variável dentro de radical par? Se houver�, exclui-se dos reais os valores que os tornam negativos.
Existe variável dentro do arc sen, arc cos? Se houver, exclui-se dos reais os valores o tornam inferiores a -1 e superiores a +1
 
Existe variável dentro do arc tg? Se houver, exclui-se dos reais os valores que o tornam múltiplos de 
Existe variável dentro do loagaritmando? Se houver, exclui-se dos reais dos valores que o tornam inferiores ou igual a zero
 Exemplos:
 1) Determine o domínio das seguintes funções:
 a) , dom = 𝕽.
 b) , dom = 𝕽
 c) , dom = 𝕽
 d)
 dom = 
 e) 
						
								
						5
 f) 
							
					+ + + 
 g) 
numerador: 
denominador: 
 
 h) 
num: 	 den: 
					 
 
 i) 
 				
dom = /
Exercícios:
Dê o domínio da seguintes funções:
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
Funções Inversas
 
 Consideremos a função , definida no gráfico abaixo:
 A	 B
x1			 y1
x2	 		 y2
x3			 y3
	
 
se conseguirmos uma função que desfaça o que fez, essa função é a inversa de , geralmente indicada 
Teorema: uma função é inversível se, e somente se, ela for bijetora.
Método prático para determinar a inversa de uma função. 
Trocamos as variáveis e explicitamos a variável correspondente em função da variável livre.
Exercícios Resolvidos
Determine a inversa de cada função. 
	a)
	
 b) 
 c) 
Composição de funções: consideremos as funções e , definidas no diagrama abaixo.
Dom Dom
.
Exemplos:
Dados: e , determine:
 a)
 
Teorema: sejam e , função e suas respectivas inversas e e a função (identidade)→ , então:
 1) 
 2) 
 3) 
 4) 				
Exercícios: 
Sendo 
, calcule:
Resp: 
Forme uma função quadrática onde 
Resp: 
Sendo: 
, calcule:
ToToT
Resp: 
Determine 
onde 
e
usando o método prático para determinação da inversa.
Resp: 
Usando o método prático, determine a inversa das funções:
	
	
	
	
	
	
	
	
Resp:
Sendo 
, prove que 
Sendo 
 e 
, determine:
	
	
	
	
Resp:
Calcule 
onde 
Resp: 
Calcule 
onde 
Resp: 
Prove que, sendo 
, então 
Sendo 
, prove que:
Dados: 
 e 
, determine:
Verifique se: 1) 
�Por que os número s exemplares citados abaixo podem ser chamados de naturais?
�Por que estes são chamados números inteiros?
�Será que alguém que não é da área entende o exemplo abaixo, sem ter recebido uma informação acerca do que são os números racionais?
�O que você quer mostrar com os exemplos soltos abaixo? Explicite ao seu aluno. Eu nada entendi, uma vez que na conceituação, você já exemplificou as noções dos conjuntos, sem definir o que são os números inteiros, naturais e racionais. Por uma questão didática, seria interessante explicitar o que deseja do aluno e deixar isso claro em seu texto.
�Não entendi. O que são os conjuntos irracionais? Explique. Este material deve substituir sua presença em sala-de-aula. Assim sendo, deve ser didático e conter todos os passos explicitados por você quando se encontra com o aluno à sua frente.
�vírgula
�Explique.
�Explique.
�Seria interessante escrever um parágrafo introdutório ao aluno sobre conjunção.
�Será que, da maneira como o conteúdo está, o aluno tem condições de resolver os exercícios solicitados?
�“Traduza”, ou seja, explique.
�O conjunto...
�Troque isto é por ou seja quando essa expressão estiver na mesma oração. Só use isto é quando iniciar uma nova frase.
�Crase: à
�ou seja
�vírgula
�Pitágoras
�Explique isso. Para o aluno pode parecer grego, mas um simples parágrafo pode esclarecer.
�Nunca comece uma frase com “São” ou “é”. O que são? Os intervalos? Então, diga. Isto é: Os intervalos são...
�vírgula
�retire a partícula “se”, uma vez que a construção não a pede.
�Ponto e letra maiúscula no mesmo período: ...membro. Conforme...
�Por que esse quadro vazio aqui?
�Esse quadro está no lugar correto??? Parece-me que não. Onde ele deve aparecer?
�Olha aqui, de novo, o parágrafo começando com “São”. Sugiro que mude a estrutura de escrita. Ex.: As equações modulares são aquelas que envolvem módulos.
�Não sei se isso está claro. Para mim, você deveria explicar melhor isso.
�O que é C.V.? Sugiro que, para cada símbolo e/ou abreveatura, faça uma caixa de diálogo com a legenda. Assim, fica mais didático para o aluno.
�vírgula
�ponto e letra maiúscula. Ex.: membro. Conforme...
�O que são equações com dois módulos? Escreva um parágrafo introdutório elucidativo para o aluno. Só depois exemplifique.
�“Traduza” o exemplo. Parece “grego” para quem não é da área nem sabe do que se trata. Explique o desenvolvimento do exemplo.
�Exemplos abaixo de exemplos, como se fossem “coisas” diferentes – e devem ser , senão estariam juntos, certo? – sem um parágrafo sequer para mostrar qual a diferença entre eles, do que se tratam os exemplos que se seguem, enfim, explicite melhor suas idéias em seu texto.
�Olha aqui como é importante a explicitação de um conceito em seu conteúdo, pois da maneira como seu texto está, como o aluno poderá utilizar os “conceitos obtidos”, se esses conceitos não estão explícitos?
�Sugiro que reestruture a redação para não iniciar seu texto com “é”. Ex.: toda..R é denominada função linear. Nela, seu gráfico é uma reta... 
�Reestruture o texto para que não comece com “é”.
�Letra maiúscula: Estude...
�seus gráficos
�O queé o triângulo de Pascal? Sugiro que faça um parágrafo conceituando-o.
�Reestruture seu texto para não começá-lo com “é”.
�vírgula
�reescreva o enunciado para não começá-lo com “é”.
�Letra maiúscula.
�Reestruture o parágrafo para não começar seu texto com “é”.
�Só use onde quando se referir a lugar.
�vírgula
�vírgula
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