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Para se resolver uma equação diferencial linear, há um método lógico que leva em consideração alguns passos: deve-se primeiramente escrever a equação linear na forma dy + [P(x) – f(x)]dx = 0, sendo o fator de integração igual a e^(integral de P(x)).
Considerando o texto apresentado e o conteúdo estudado sobre equações diferenciais lineares, calcule o fator de integração da seguinte equação: Dy/dx – 4y = x5ex Avalie as afirmativas e assinale a correta:
A O fator de integração é igual a x-e
B O fator de integração é igual a xe-4
C O fator de integração é igual a e-4
D O fator de integração é igual a e-4X

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Para encontrar o fator de integração de uma equação diferencial linear da forma \( \frac{dy}{dx} + P(x)y = f(x) \), precisamos identificar \( P(x) \) e calcular \( e^{\int P(x) \, dx} \). A equação dada é \( \frac{dy}{dx} - 4y = x^5 e^x \). Podemos reescrevê-la na forma padrão: \[ \frac{dy}{dx} + (-4)y = x^5 e^x \] Aqui, \( P(x) = -4 \). Agora, calculamos o fator de integração: \[ \int P(x) \, dx = \int -4 \, dx = -4x \] Portanto, o fator de integração é: \[ e^{\int P(x) \, dx} = e^{-4x} \] Agora, analisando as alternativas: A) O fator de integração é igual a \( x^{-e} \) - Incorreto. B) O fator de integração é igual a \( xe^{-4} \) - Incorreto. C) O fator de integração é igual a \( e^{-4} \) - Incorreto. D) O fator de integração é igual a \( e^{-4x} \) - Correto. A alternativa correta é: D) O fator de integração é igual a \( e^{-4x} \).

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Dentre as principais equações diferenciais ordinárias de primeira ordem, encontramos as equações diferenciais homogêneas, o termo homogênea procede do fato que um dos lados da equação diferencial é, nesse caso, uma função homogênea de grau qualquer. Por definição, uma função f=f(x,y) é dita homogênea de grau k se, para todo t real, tem-se que: f(tx,ty) = tk.f(x,y). Para tais equações, uma substituição de variável conveniente permite reescrever a equação diferencial como sendo uma equação de variáveis separáveis.
Considerando o texto apresentado e o conteúdo estudado sobre equações homogêneas, dada a equação abaixo, determine se a mesma é homogênea e caso seja, determine o grau da equação. f(x, y) = x3 + y3 + 1 Assinale a alternativa correta a seguir.
A Equação homogênea grau 1.
B Equação homogênea grau 0.
C Equação homogênea, grau 3.
D A equação não é homogênea.
E Equação homogênea grau 2.

Uma equação diferencial ordinária do tipo M(x,y)dx + N(x,y)dy=0 é equivalente a M(x, y) + N(x, y)y’ = 0, pois y’ = dy/dx, ou seja, uma equação diferencial ordinária é exata se pode ser escrita como M(x, y) + N(x, y)y’ = 0, e teremos que M/dy = N/dx.
Considere a situação problema a seguir: Um grupo de cientistas que estavam estudando o efeito de um certo gene em pessoas com câncer chegou na seguinte equação, que descreve o comportamento do gene aliado ao fato de as pessoas fumarem: 2xydx + (x2 -1)dy = 0 Considerando o texto apresentado e o conteúdo estudado sobre equações diferenciais exatas, calcule, com base na equação acima, a relação entre as variáveis x e y: Avalie as afirmativas a seguir e selecione a alternativa com a relação correta.
A A relação entre x e y é x2y2 – y = c
B A relação entre x e y é 2xy – y = c
C A relação entre x e y é x2y – y = c
D A relação entre x e y é y2 + 2x = c
E A relação entre x e y é 2xy2 + x = c

O fator de integração é uma função na qual o produto da equação diferencial por tal função transforma o lado esquerdo da equação em uma derivada do produto de duas funções, a saber, y e o fator integrante. Essa função é utilizada na resolução de equações lineares. Considerando o texto apresentado e o conteúdo estudado sobre equações diferenciais lineares, para a equação diferencial dada abaixo, ache o fator de integração necessário para sua resolução: Dy/dx – 3y = 0 Avalie as afirmativas abaixo e assinale a correta: A O fator de integração é e3x B O fator de integração é ex C O fator de integração é e-3x D O fator de integração é 3x.e E O fator de integração é 3x

Uma equação diferencial ordinária de primeiro grau pode ser muitas vezes simplesmente solucionada pelo método das variáveis separáveis, tal método, que é considerado a forma mais simples de se resolver uma equação diferencial, basicamente divide as variáveis independentes e dependentes com seus respectivos fatores de integração, permitindo a integração das variáveis.
Considerando o texto apresentado e o conteúdo estudado sobre variáveis separáveis, calcule a equação abaixo utilizando o método das variáveis separáveis: dy/dx = (1+e2x) Avalie as afirmativas a seguir e marque a que representa o resultado correto da integral.
A O resultado da integral é x2 + e2x + c
B O resultado da integral é x + 1/2ex + c
C O resultado da integral é x + 2e2x + c
D O resultado da integral é x + ex + c

Após a integração e resolução de equações diferenciais, obtemos uma função com uma constante de integração (geralmente denominada c), ou seja, a solução define uma família infinita de soluções, uma para cada valor da constante c, ou seja, a constante c, chamada também de constante arbitrária, designa uma solução em forma de equação.
Considerando o texto apresentado e o conteúdo estudado sobre variáveis separáveis, dada a equação diferencial xe-y sen(x) dx – y dy = 0, calcule a solução para a equação diferencial. (Dica: multiplicar todos termos por ey) Avalie as alternativas abaixo e selecione a alternativa que corresponde à solução correta para a equação.
A A solução para a equação é x cos(x) + sen(x) = – ey + c
B A solução para a equação é x cos(x) - sen(x) = yey + c
C A solução para a equação é – x cos(x) + sen(x) = yey – ey + c
D A solução para a equação é x cos(x) + sen(x) = ey + c
E A solução para a equação é y cos(x) = yey – ey + c

Considere a situação problema a seguir: Um grupo de cientistas, estudando o crescimento populacional de um certo tipo de bactéria em relação a outro tipo de bactéria que prejudica o crescimento conjunto, chegou ao seguinte equacionamento: (e2y – y cos(xy)) dx + (2xe2y – xcos(xy) + 2y)dy = 0 Considerando o texto apresentado e o conteúdo estudado sobre equações diferenciais exatas, obtenha a relação entre o crescimento da bactéria x e y utilizando o método de resolução de equações diferenciais exatas. Avalie as afirmativas a seguir e selecione a relação correta.
A A relação entre x e y é xe2y – sen(xy) + y2 + c = 0
B A relação entre x e y é xe2 + cos(xy) + c = 0
C A relação entre x e y é xe2x + sen(x)cos(x) + c = 0
D A relação entre x e y é cos(x)sen(x) + y2 = c
E A relação entre x e y é sen(x) + xe2y + c = 0

A simplificação de equações diferenciais é um processo que facilita a resolução, pois a redução da equação a uma outra equivalente e simplificada torna o processo mais simples e intuitivo, evitando cálculos excessivos; algumas simplificações exigem técnicas de produtos notáveis e fatoração.
Considerando o texto apresentado e o conteúdo estudado sobre variáveis separáveis, dada a equação: (1+x)dy – ydx = 0, calcule y(x). (dica: dividir todos membros por (1+x)). Avalie as afirmativas a seguir e selecione a que demonstra o resultado correto da integral.
A O resultado da integral é y = ± ec(1+x)
B O resultado da integral é y = ex+1 (e+x)
C O resultado da integral é y = ± e(1+x)

Considere a situação problema a seguir: Um barco está sendo rebocado a uma velocidade de 12 nós. No instante inicial em que o cabo do reboque é largado, uma pessoa dentro do bote começa a remar, no sentido do movimento, exercendo uma força de 10 kgf. Sabendo que o peso total do conjunto homem barco é de 200 kgf, e a resistência ao movimento é 2,6 v, e v é a velocidade em m/s.
Considerando o texto apresentado e o conteúdo estudado sobre variáveis separáveis, calcule a velocidade do bote após 0,5 minuto (adotar g=10 m/s2). Dica: Como temos que: Massa x aceleração = força aplicada – resistência Chegamos a dv/dt + 0,13v = 1/2 Avalie as afirmativas a seguir e selecione a velocidade correta do barco.
A A velocidade do barco após 0,5 segundos é 4,2 m/s.
B A velocidade do barco após 0,5 segundos é 2,5 m/s.
C A velocidade do barco após 0,5 segundos é 3,2 m/s.
D A velocidade do barco após 0,5 segundos é 1 m/s.
E A velocidade do barco após 0,5 segundos é 4,5 m/s.