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A criação da moeda foi uma consequência de uma necessidade humana de estabelecer uma interseção de valor entre produtos, serviços e concessões, tendo ocorrido desde o início do desenvolvimento humano. Dessa forma, buscar um elemento, seja ele um mineral, produto agrícola, uma escritura em papel ou, como atualmente, um registro eletrônico, mostrou-se necessário para que as trocas, acumulação e crédito pudessem evoluir até os dias atuais. Em seguida a esse fenômeno, observamos o estudo do valor do então dinheiro no tempo, sua equivalência entre diferentes territórios e a diversidade de moedas e taxas a que a ele se aplica. Objetivos Ao final desta unidade, você deverá ser capaz de: · Reconhecer os conceitos fundamentais de finanças, moeda e taxas de juros. Conteúdo Programático Esta unidade está dividida em: · Aula 1 - A história do dinheiro. · Aula 2 - Regimes de capitalização. · Aula 3 - Taxas de juros. Rota de Aprendizagem A Rota de Aprendizagem apresenta as ações que devem ser realizadas nesta unidade. Utilize a Rota de Aprendizagem para planejar e gerir, com eficiência, as suas ações e o seu tempo de estudo. Isso facilitará a construção do seu conhecimento e aumentará a possibilidade de que você tenha um bom desempenho nas avaliações. Clique aqui para acessar a Rota de Aprendizagem. Fonte: jlguillon.wordpress.com Aula 1 A história do dinheiro O modelo pré-histórico Antes do surgimento da moeda em si, a história nos relata que as relações eram baseadas em trocas, no dado momento em que o indivíduo ou seus grupos passaram a partilhar necessidades e as conjugar, não tendo mais como objetivo a completa subsistência por meios próprios. Quando falamos de valor do objeto de troca, entendemos que não necessariamente um produto ou atividade deveria ter o mesmo valor da outra, e, dessa forma, a relação de troca deveria ser diferente e obedecer a uma escala, ou algo parecido. Porém, imagine uma tribo oferecendo caça, outra, o extrativismo vegetal, uma terceira, o acesso à água potável de rios e lagos, e, ainda, outras se relacionando pelo local e habilidade da pesca. Para qualificar e quantificar as trocas mencionadas, pensamos que a mente do homem que nos antecedeu deveria criar infinitas escalas, cruzando produtos, habilidades e concessões que a todos interessavam, o que seria difícil e mesmo impossível. Tal procedimento pode ter ocorrido e não se mostraria perfeito nunca se não fossem introduzidos padrões de valor ou troca. A utilização de uma unidade única possibilita que as trocas sejam feitas de forma cruzada e quantificadas uma a uma; assim, a pesca e a caça passaram a ser comparadas não entre elas, mas a partir de uma base única, assim como hoje um ingresso de cinema tem um valor em moeda, a mesma utilizada para precificar um automóvel ou o trabalho mensal de um executivo. Outro fator importante nas trocas em seu período inicial seria a quantidade demandada por cada envolvido; assim, voltando aos caçadores, pescadores e extrativistas, seria difícil imaginar que todos teriam as mesmas necessidades de consumo em linha com a capacidade produtiva dos demais. Dessa forma, e até os dias atuais, cabe à moeda o acúmulo de recursos para diferentes aquisições, em que, por exemplo, um trabalhador não precisa gastar todo seu salário em um único dia com alimento, diversão e vestuário, podendo o fazer ao longo do tempo que melhor lhe convier. A evolução do sistema e o surgimento das operações de crédito A moeda evoluiria até os dias atuais, gerando relações de câmbio e mesmo processos de unificação, como foi o caso da criação do euro, moeda adotada por diversos países europeus, na chamada Zona do Euro. Além dessa evolução, outra necessidade se mostrava latente: a antecipação de recursos, mais conhecida como operações de crédito. Em linha, observamos o surgimento da atividade bancária, datada de aproximadamente três milênios e observada junto a banqueiros que viveram na Babilônia, enquanto na civilização grega (aproximadamente 500 a.C.) banqueiros trocavam dinheiro de visitantes estrangeiros e aceitavam depósitos. Por sua vez, as viagens marítimas, que marcaram profundas modificações em nossa civilização e deram origem ao arranjo atual de países e culturas, foram alvo de financiamentos por meio de empréstimos, os quais já consideravam em sua precificação os riscos oriundos de saques a navios e desastres que ocasionassem perdas materiais com impacto financeiro no resultado das missões. O crédito vem a ser um importante fator de desenvolvimento de uma nação e mesmo em escala mundial, pois, por meio dele, equilibram-se entes superavitários e deficitários para que a troca de recursos possibilite o financiamento da atividade produtiva e de infraestrutura e, por outro lado, preserve o valor dos recursos acumulados pelos que desejam postergar seu consumo ou projetos. A circulação da moeda por meio de instituições financeiras e as mais diversas operações de poupança e investimento, além de empreendimentos de naturezas diversas, possibilitam que a civilização evolua de forma permanente. Casos como o da economia japonesa nos mostram que a excessiva aversão ao risco, os grandes volumes poupados e não investidos e a retração da busca pelo crédito fazem um movimento contrário ao desenvolvimento, retraindo diversos setores da economia. As operações financeiras internacionais e as relações cambiais Um importante marco no sistema financeiro internacional foi a introdução do “padrão-ouro”, ocorrida em 1815, dando origem a esse primeiro sistema internacional, no qual as economias começavam a se interligar por meio de uma única medida, o ouro. A introdução desse padrão determinava que cada nação deveria manter fixa uma paridade da sua moeda com o metal em questão. Dessa forma, poderíamos simplificar esse fenômeno pela equação abaixo: MA x (IA + 1) = MB x (IB + 1) Na qual: MA = moeda do país A. IA = taxa de inflação do país A. MB = moeda do país B. IB = taxa de inflação do país B. Por essa ótica, evitaríamos que o poder de compra de um determinado produto ou serviço variasse de forma diferente em dois ou mais locais, o que, na prática, pode ocorrer por fatores como tributação interna e taxação a produtos importados, protecionismo alfandegário e mesmo hábitos de consumo diferenciados. A moeda nos dias atuais Passada toda a evolução de modelos e padrões de valor da moeda, assistimos hoje quase a uma extinção da sua circulação física. Antes os títulos em papel, tais como promissórias e cheques, passavam de mão em mão; hoje eles cedem lugar ao dinheiro de plástico, na forma de cartões de saque, débito e crédito. Seguindo a evolução dos cartões e transações eletrônicas, hoje a moeda e demais ativos financeiros circulam por meios eletrônicos cada vez mais seguros e sofisticados, como é o caso do Sistema de Pagamentos Brasileiro – SPB, que permite uma transferência de recursos em uma fração de segundo, desde que haja fundos (recursos) suficientes na conta corrente de quem será debitado. Outra vertente de evolução são os pagamentos efetuados por meio de telefones celulares e a possibilidade de se criar cartões de crédito virtuais, mais seguros, pois são criados e cancelados pelo titular, de forma a mitigar riscos de fraudes. Os mercados financeiros As relações de troca de moedas e ativos financeiros em geral regem nos dias de hoje diferentes mercados ou segmentos do mercado financeiro, os quais classificamos, em geral, pela natureza das suas operações, perfis de prazo e risco e mesmo finalidades e participantes. Dessa forma, podemos dividir o mercado financeiro em quatro ou, ainda, cinco subsistemas. Observamos operações de curto prazo no mercado monetário, as de médio e longo prazo no mercado de crédito e, por sua vez, transações de longo prazo ou de caráter definitivo ou societário se desenvolvendo no mercado de capitais. As relações de troca física e precificação de moedas são observadas no mercado de câmbio, quarto componente de uma segmentação tradicional do mercado financeiro. O quarto segmentoou mercado seria o ambiente de negociação de derivativos, tomando para si essa denominação, ou seja, mercado de derivativos, no qual não se negociam ativos, mas direitos sobre eles ou variações de suas cotações. Para se aprofundar sobre o assunto, leia o texto Subsistemas do mercado financeiro. Aula 2 Regimes de capitalização Fluxos de caixa Conceitua-se fluxo de caixa como uma linha do tempo usada para retratar entradas e saídas de recursos associados a investimentos ou qualquer movimentação à vista ou em espécie, na qual, na forma de uma linha horizontal, o tempo zero aparece na extremidade esquerda, e os períodos futuros são marcados da esquerda para direita. Os fluxos de caixa ocorrem como fenômenos da movimentação de valores, portanto, neles, não cabe o registro de fatos que não a movimentação de numerário ou troca de posições à vista, como transferências bancárias. Devemos ter claro em nossas mentes que o caixa não se confunde com fatos contábeis, os quais, sim, envolvem a movimentação de direitos, como, por exemplo, duplicatas a pagar e a receber e antecipação de despesas ou do recebimento de receitas. São componentes essenciais de um fluxo de caixa: · · É usual uma uniformidade desses três parâmetros em todo o fluxo, uma vez que, ao se considerar mais de uma moeda ou periodicidade, cria-se um novo fluxo agrupado ao original. Dentre as principais finalidades da montagem de fluxos de caixa, destacamos as destinadas à análise de investimentos e controle de liquidez de instituição financeira ou não financeira, e as operacionais, destinadas aos profissionais de tesouraria em suas atividades de pagamentos e controle de recebimentos. Dependendo da finalidade do fluxo, este assume intervalos de tempo maiores ou menores, nos quais ocorrem o “corte” ou condensação dos eventos de caixa. Tais intervalos não devem ser inferiores a um dia, período mínimo utilizado para atividades bancárias e aplicação de taxas de juros, assim como o chamado “saque” ou “over”, quando relacionado a dia útil. Uma forma de simplificar um fluxo de caixa, muito utilizada em uma fase final de análise de investimento e também no exercício acadêmico do tópico, é a demonstração por setas. Na qual: · O eixo horizontal representa o tempo, podendo ser expresso em dias, meses etc. · O zero representa a data inicial do fluxo. · As entradas de caixa serão representadas por setas apontadas para cima. · As saídas de caixa serão representadas por setas apontadas para baixo. As transformações nos fluxos de caixa baseiam-se em três aspectos básicos: tempo, valores e taxas. Vejamos cada um deles a seguir. Tempo Utilizaremos a nomenclatura “n” para definir o tempo, uma vez que essa se mostra presente como forma de generalizar um termo de uma sequência, tal como “n1, n2, n3” ou “P1, P2, ... Pn”. Valores Os valores podem ser subdivididos em capital – C, montante – M e parcelas – P de um fluxo uniforme ou não. O capital também pode ser denominado como valor presente – VP, principal – P ou, ainda, a nomenclatura em inglês present value – PV. Aqui optaremos por adotar essa última nomenclatura como nosso padrão de estudo, visto que tal iniciativa facilitará o acesso a teclas e funções da HP 12C e Ms Excel. O chamado PV consiste, então, no recurso financeiro transacionado na data focal zero de determinada operação financeira, não sendo, porém, necessariamente o primeiro elemento conhecido da operação ou sobre o qual serão as taxas aplicadas. Taxas Por fim, trataremos das taxas. Estas consistem no coeficiente obtido da relação dos juros com o capital, ou PV, enquanto os juros podem ser definidos como a remuneração obtida a partir do capital de terceiros, podendo ser, de forma simplificada, a remuneração do capital empregado. Também a terminologia usual para definir as taxas, “i”, que se origina no termo em inglês interest, que significa “juro”, será aqui adotada, mesmo que ela não tenha uma conotação estritamente correta quando aplicada a operações de desconto, por exemplo. Ressalta-se que o estudo de taxas se aplica a diversas categorias profissionais, com conceitos aplicados ao marketing, para crescimento na venda de um produto, em geografia, para determinar a evolução populacional, ou na biologia, com a taxa de crescimento de uma população de determinado vírus. Em nosso estudo, inúmeras taxas podem ser elencadas, tais como taxas de inflação, real de juros, interna de retorno, over e nominal. Capitalização simples e composta Sejam taxas de juros ou de correção monetária, em suas diversas aplicações e formas, um aspecto fundamental a ser observado é o regime de capitalização que está sendo aplicado. Generalizando taxas como juros, podemos dizer que estes podem ser simples ou compostos, cuja diferença se dá na base sobre a qual são aplicadas as taxas. De forma simplificada, na capitalização simples, a taxa recai sobre o principal no momento zero (n0), sendo que, na composta, as taxas se aplicam ao montante obtido no período imediatamente anterior (n – 1) ao cálculo, e assim sucessivamente. Trataremos primeiro do conceito de capitalização e, nas aulas seguintes, aplicaremos a ela as fórmulas e modalidades de taxas pertinentes, tais como taxas efetivas e nominais, de desconto e over. Vejamos. Capitalização simples No regime de capitalização simples, os juros de cada período são calculados em função do capital inicial empregado; assim, o valor dos juros é o mesmo em todos os períodos, tendo sido a taxa aplicada sobre o principal. Para melhor justificar a escolha da capitalização simples, tomemos como exemplo a aquisição de uma loja cujo propósito será obter renda por meio do seu aluguel. Assim: Valor de aquisição do imóvel = capital = principal = R$ 400.000,00 Valor mensal do aluguel = R$ 4.000,00 Dessa forma, constatamos que o aluguel corresponde a 1% do valor do imóvel, e será uma receita líquida mensal para o proprietário. Portanto, podemos concluir que, ao alugar o imóvel, o proprietário faz jus a uma taxa de 1% sobre seu capital. Mas por que seria uma capitalização simples? Isso ocorre necessariamente? Pense que, ao receber R$ 4.000,00, o detentor do imóvel não teria, na maioria dos casos, como aplicar esse valor mensalmente em melhorias ou algo parecido de forma a elevar o aluguel inicialmente em R$ 40,00 para o mês seguinte, e assim sucessivamente. Ou seja, o recurso recebido pelo investimento não pode ser necessariamente aplicado nesse mesmo investimento e obter taxas de retorno idênticas às que remuneraram o principal aplicado. Assim, quando não podemos ou não faz sentido a reaplicação do recurso obtido com juros e rendimentos diversos no mesmo negócio ou estrutura de investimento que recebeu o principal, dizemos que a capitalização simples deve ser considerada. Capitalização composta No regime de capitalização composta, os juros de cada período são incorporados ao principal para o cálculo dos juros do período seguinte. Dessa forma, há a chamada capitalização. Tal sistema é conhecido popularmente como “juros sobre juros” e, matematicamente, consiste no cálculo exponencial de juros. Assim, define-se capitalização como sendo a forma de crescimento do dinheiro ao longo do tempo no regime de juros compostos. O principal pode, então, ser capitalizado de forma descontínua, ou discreta, como é comum no mercado brasileiro, ou contínua, produzindo efeitos diferentes ao longo dos períodos. Entendemos como aplicável essa metodologia de utilização de juros ou qualquer tipo de remuneração de um capital quando a estrutura de investimento é capaz de absorver novos valores ao longo de sua vida, ou seja, valores adicionais serão recebidos e remunerados a taxas idênticas às que remuneram o principal e suas elevações passadas. Tomemos como exemplo um banco comercial. Tais instituições financeiras captam recursos de depósitos a prazo, como o Certificado de Depósito Bancário – CDB, e os emprestam a terceiros, recebendo remuneração para tal e também remunerando seus depositantes. Sabemos que, ao elevar sua basede depósitos, os bancos tendem a emprestar mais dinheiro, ou seja, não recusam dinheiro novo em seu caixa, e a retenção dos valores que remuneraram investimentos é também bem-vinda em sua permanência. Tomemos o exemplo abaixo: Valor aplicado em CDB = R$ 400.000,00 Percentual de juros mensais líquidos = 1,00% a.m. Podemos constatar que, no primeiro mês de aplicação, o poupador receberá R$ 4.000,00 a título de juros. Temos, então, dois cenários: I. Ele resgata o valor de R$ 4.000,00 e no mês seguinte volta a receber outros R$ 4.000,00. II. Ele deixa os R$ 4.000,00 no banco e sobre eles também recebe uma remuneração de 1,00% a.m. Vejam, então, que, ao final do primeiro mês, o poupador tinha um saldo de R$ 404.000,00. E, ao final do segundo mês, esse saldo passaria a R$ 408.040,00 caso a opção (ii) fosse eleita, e, nesse caso, ele estaria recebendo juros no segundo mês sobre o principal aplicado, mas também sobre os juros recebidos no primeiro mês. Tal modelo é possível, pois a estrutura de aplicação de recursos escolhida pelo poupador assim o permite, sendo chamada de capitalização composta, o que não foi possível ao se escolher como aplicação financeira ou investimento a aquisição de um imóvel para aluguel, um serviço de táxi ou Uber e todo mais investimento cuja reaplicação de recursos não se faz possível período a período de forma simplificada, como é o caso de se deixar o rendimento de um CDB ou caderneta de poupança na própria instituição em que a aplicação foi feita inicialmente. Vídeo da Unidade Para se aprofundar na comparação entre capitalização simples e composta, assista ao vídeo da unidade. Aula 3 Taxas de juros Valor do dinheiro no tempo Cabe à matemática financeira o estudo do valor do dinheiro em função do tempo, “trajetória” essa definida pelas taxas aplicadas ao longo do que chamamos de fluxo de caixa, do qual estudamos as transformações e efetuamos comparações. Com o domínio dos seus fundamentos e a eventual utilização de calculadora financeira ou planilha eletrônica, é possível desenvolver análises financeiras que ocorrem no cotidiano de um profissional, de finanças ou não, tais como financiamentos, empréstimos, aplicações etc. Como mencionamos anteriormente, as transformações nos fluxos de caixa baseiam-se em três aspectos básicos: tempo, valores e taxas. Mas é ao tempo que cabe definir o período do fluxo a ser estudado e a periodicidade da taxa de juros ou correção monetária, os quais não necessariamente e mesmo usualmente não coincidem. Assim, ao analisarmos, por exemplo, o rendimento de um título privado cuja taxa foi de 12% ao ano (12% a.a.) pelo período de 24 meses, em comparação com o rendimento da caderneta de poupança, que é de 6% ao ano capitalizado mensalmente (6% a.a. com capitalização mensal ou 0,5% a.m.), e com a taxa Selic acumulada no período, temos o tempo ditando o intervalo em que o analista deve trabalhar as taxas e o modo como estas deverão ser equalizadas de modo a serem proporcionais ou equivalentes. A figura a seguir busca demonstrar de forma sintética o valor do dinheiro no tempo e introduz algumas fórmulas matemáticas presentes nesse processo de transformação de valores. Taxas de juros e correção monetária Podemos definir os juros como a remuneração obtida a partir do capital de terceiros ou, de forma simplificada, como a remuneração do capital empregado, e devemos, então, diferenciá-los da chamada correção monetária, a qual está usualmente atrelada à perda do poder aquisitivo de uma determinada moeda, dado um aumento consistente e generalizado de preços em um ambiente econômico. Esse fenômeno é definido como taxa de inflação, cuja relação inversa, que a acompanha inexoravelmente, é a taxa de desvalorização da moeda. Os juros usualmente são cobrados em operações como cheque especial e conta garantida ou pagos pelas instituições financeiras em operações contratadas por poupadores, sendo uma forma de remunerar a chamada postergação do consumo, tais como caderneta de poupança e aquisição de títulos públicos e privados. Com relação à correção monetária, esta é balizada ou ditada diretamente por índices de inflação e taxas de correção de preços de uma forma geral — dentre os quais podemos destacar, no cenário nacional, o Índice Nacional de Preços ao Consumidor – IPCA, o Índice Geral de Preços do Mercado – IGP-M e o Índice Nacional de Preços ao Consumidor – INPC — e por taxas como a Selic, obtida mediante o cálculo da taxa média ponderada e ajustada das operações de financiamento por um dia e lastreadas em títulos públicos federais, a taxa DI, que reflete as operações do mercado interbancário, por meio do Certificado de Depósito Interbancário – CDI, e, por fim, a chamada Taxa Referencial – TR, calculada a partir do rendimento mensal médio de CDBs e Recibos de Depósitos Bancários – RDBs emitidos pelas 30 maiores instituições financeiras do país. Taxas prefixadas e pós-fixadas Investimentos e financiamentos são regidos por contratos que estabelecem, respectivamente, as remunerações e os custos envolvidos nas operações, estes expressos em taxas de contratação e, principalmente, nas taxas de juros a serem pagas ou cobradas. Tais taxas são ditas prefixadas, quando se conhece previamente o seu valor absoluto, como, por exemplo, a tomada de recursos por uma empresa por meio de conta garantida a uma taxa de 18% a.a. Chamamos de taxa pós-fixada o custo ou remuneração baseado em um determinado índice, como a TR, o DI ou o IGP-M, pois, apesar de haver um pacto prévio, este não determina o valor absoluto da taxa, que será conhecido quando decorrido o período de sua medição. Existem casos em que se utiliza a chamada taxa pré-pós, que, na verdade, é a conjugação de uma taxa pré, previamente pactuada, e a aplicação de uma taxa pós. A caderneta de poupança é um caso de remuneração pré-pós, pois oferece ao investidor a taxa de TR + 0,5% a.m. Assim, temos como exemplos: i = 12% a.a. => Corrigirá o capital pelos juros equivalentes a 12% pelo período de um ano, ou inferior, ou superior. Juros simples e compostos O regime de capitalização define a forma de cálculo dos juros, porém temos também diferentes taxas, as quais diferem em sua forma de expressão, aplicação sobre principal ou montante e utilização de dias corridos ou dias úteis. Cabe destaque para as operações de desconto, que podem adotar taxas de juros simples e compostas, em que não ocorre necessariamente a capitalização de valores, mas o sentido inverso da operação, no que podemos chamar de descapitalização. Juros simples Como mencionamos anteriormente, o regime de juros simples faz com que a cada período calculemos a remuneração do capital baseado em seu valor inicial. Portanto, o valor dos juros será sempre o mesmo em todos os períodos. Assim, temos que o valor dos juros, ao final do primeiro período, será calculado usando a seguinte fórmula: PV . i . 1 Ao final do segundo período: PV . i . 2 E, assim, seguiremos observando a proporcionalidade entre os rendimentos e o principal. O total de juros acumulados no final do enésimo período é dado por: JUROS = PV . i . n Assim, o montante FV, no final do período n, resultante da aplicação do principal PV, à taxa i, em regime de juros simples, é dada por: MONTANTE = PRINCIPAL + JUROS FV = PV + (PV . i . n) => FV = PV (1 + i . n) Exemplo 1: Um investidor aplicou R$ 200.000,00 à taxa de 2,5% a.m., no regime de juros simples. Calcule o montante no final do primeiro, segundo e quinto meses. PV = R$ 200.000,00; i = 0,025 a.m.; n = 1, 2, e 5 meses; FV = ? FV1 = 200.000,00 (1 + 0,025 . 1) = R$ 205.000,00 FV2 = 200.000,00 (1 + 0,025 . 2) = R$ 210.000,00 FV5 = 200.000,00 (1 + 0,025 . 5) = R$ 225.000,00 Exemplo 2: Calcule o principal para obter um montante de R$ 190.000,00, dentro de oito trimestres, à taxa de 9% a.t., no regime de juros simples. FV = R$ 190.000,00; n = 8 trimestres; i = 0,09 a.t.; P = ? PV = FV / (1 + i . n) = 190.000 / 1 + (0,09 . 8) = R$ 110.465,12 Exemplo 3: Uma corretora oferece um título com taxa de 1,2% a.m., a juros simples.Qual é o juro que remunera uma aplicação de R$ 50.000,00 por 42 dias? i = 0,012 a.m.; PV = R$ 50.000,00; n = 42 dias Juros = PV . (i / 30) . n = 50.000,00 . (0,012 / 30) . 42 = R$ 840,00 Exemplo 4: Quantos períodos são necessários para triplicar um capital a juros simples de 10% ao período? FV = 3PV 3PV = PV + (PV . 0,10 . n) 3PV = PV . (1 + 0,10n) 3 = 1 + 0,10n 2 = 0,10n N = 20 períodos Juros compostos Como já explicitado anteriormente, para o regime de juros compostos, os rendimentos de cada período são incorporados ao principal para o cálculo dos juros do período seguinte. Portanto, há a chamada capitalização, o que chamamos também de “juros sobre juros”, consistindo, matematicamente, no cálculo exponencial de juros. O principal pode, então, ser capitalizado de forma descontínua (também chamada de discreta) ou contínua, produzindo efeitos diferentes ao longo dos períodos. A leitura de uma taxa de juro composto deve considerar os seguintes aspectos: Valor Periodicidade da taxa Período de capitalização Exemplificando: · 12,00% a.a. capitalizados mensalmente: essa taxa, como veremos a seguir, é uma taxa nominal, e a taxa efetiva nela implícita é de 1% a.m. · 12,00% a.a.: essa é uma taxa efetiva, na qual o período de capitalização coincide com a periodicidade da taxa, não sendo necessário indicá-lo, o que seria, de certa forma, redundante. Taxa nominal e taxa efetiva Taxa nominal é aquela em que a unidade de tempo de referência não coincide com a unidade de tempo dos períodos de capitalização. Apesar de bastante utilizada, a taxa nominal não pode ser aplicada diretamente em fórmulas, as quais trabalham apenas com taxas efetivas. Assim, o que buscamos, na verdade, é a taxa efetiva contida na taxa nominal. Aqui veremos alguns exemplos: 120% a.a. capitalizados mensalmente: representa uma taxa efetiva de 120% a.a. / 12 meses = 10% a.m. 90% a.a. capitalizados semestralmente: representa uma taxa efetiva de 90% a.a. / 2 semestres = 45% a.s. No caso da taxa efetiva, a unidade de tempo de referência coincide com a unidade de tempo dos períodos de capitalização. Assim: 0,50% ao dia, capitalizado diariamente. 12,00% a.m., capitalizados mensalmente. Por regra, omite-se o período de capitalização da taxa efetiva; dessa forma, em vez de 140% a.a. capitalizados anualmente, se diz apenas 140% a.a. Para a transformação de uma taxa nominal em taxa efetiva, podemos utilizar o parâmetro k como o fator de capitalização na fórmula: iefetiva = inominal . k / n Assim: Exemplo 1: Qual a taxa efetiva contida em 12,00% a.a. capitalizados mensalmente? inominal = 12,00% = 0,12; n = 12 meses; k = 1 mês iefetiva = 0,12 . 1 / 12 = 0,01 iefetiva = 1,00% a.m. Exemplo 2: Qual o montante que você terá dentro de cinco anos se aplicar R$ 100,00 à taxa de 16% a.a. capitalizados trimestralmente? 16% a.a. / 4 trimestres = 4% a.t. 5 anos = 20 trimestres F = P (1 + it)20 = 100,00 (1 + 0,04)20 = R$ 219,11 Capitalização discreta A capitalização discreta ou descontínua consiste em considerar períodos de tempo pontuais e definidos, como ano, semestre, mês e, por fim, dia. A taxa diária vem a ter a menor periodicidade possível no regime discreto, uma vez que não há taxa determinada para período menor que um dia, seja em regime corrido ou de dias úteis, também chamados de saques ou overs. Portanto, seja o principal PV, aplicado a juros compostos de taxa i, o valor dos juros e do montante no final do período será: Juros = PV . i FV = PV + (PV . i) ou FV = PV (1 + i) Ao final do segundo período, os juros acumulados serão representados por: Juros = PV (1 + i) Logo, o montante no final do segundo período é a adição do principal no início desse período com os juros auferidos no próprio período, algebricamente: FV = PV (1 + i) + PV (1 + i) . i FV = PV (1 + i) . (1 + i) ou FV = PV (1 + i)2 Por indução, podemos concluir que a expressão genérica para obtenção do montante FV à taxa de juros compostos i por n períodos de capitalização é dada por: FV = PV (1 + i)n Exemplo 1: Um investidor aplicou R$ 200.000,00 à taxa de 2,5% ao mês, no regime de juros compostos. Calcule o montante no final do primeiro, segundo e quinto mês. PV = R$ 200.000,00; i = 2,5% a.m.; n = 1, 2 e 5 meses; FV = ? FV1 = 200.000,00 (1 + 0,025)1 = R$ 205.000,00 FV2 = 200.000,00 (1 + 0,025)2 = R$ 210.125,00 FV5 = 200.000,00 (1 + 0,025)5 = R$ 226.281,64 Exemplo 2: Você recebe uma proposta para investir hoje R$ 300.000,00 para receber R$ 364.995,87 dentro de 5 meses, qual a taxa de rentabilidade mensal implícita na operação? PV = R$ 300.000,00; FV = R$ 528.600,00; n = 5 meses; i = ? Usando a expressão FV = PV (1 + i)n, temos: 364.995,87 = 300.000,00 . (1 + i)5 (1 + i)5 = (364.995,87 / 300.000,00) (1 + i)5 = 1,22 1 + i = (1,22)1/5 => i = 1,040 – 1 => i = 0,04 => i = 4,00% a.m. Exemplo 3: Uma instituição financeira vende por R$ 914,54 um título cujo valor de face é R$ 1.000,00. Considerando que o vencimento desse título será daqui a seis meses, ou 180 dias, qual a taxa de juros implícita nessa operação? FV = R$ 500,00; PV= R$ 914,54; n = 6 meses; i = ? FV = PV . (1 + i)n 1.000,00 = 914,54 . (1 + i)6 1.000,00 / 914,54 = (1 + i)6 1 + i = (1.000,00 / 914,54)1/6 1 + i = 1,0150 i = 1,0150 – 1 i = 1,5% a.m. Capitalização contínua Podemos afirmar que, quanto menor o período de capitalização de uma taxa, maior o efeito dela sobre o principal, produzindo montantes maiores quanto menores forem os períodos de capitalização da taxa. Tomando como exemplo o principal de R$ 100,00 e aplicando a ele uma taxa de 24% a.a. por um ano, com diferentes frequências de capitalização da taxa nominal, teremos também diferentes montantes ao final do período: R$ 100,00 . (1 + 0,24)1 = R$ 124,00. (2/12) ] PV = R$ 100.000,00 Porém, para conhecer o período em que a taxa foi aplicada ou mesmo a própria taxa, se eles não forem informados, deveremos utilizar o artifício de introduzir em ambos os lados da sentença o chamado logaritmo neperiano, representado por “ln”. Tal procedimento deve ser feito após o cálculo da taxa de juros total incorrida no período, cujo procedimento consiste em dividir o montante pelo principal, isolados na parte esquerda da equação. Sabemos, então, que (ln e) é igual a “1” e que, por propriedades logarítmicas: Assim, dados: FV = 106.183,65; PV = 100.000,00; n = 2; i aa = ? 106.183,65 = 100.000 . e i . (2/12) ln (106.183,65 / 100.000) = ln e i . (2/12) ln 1,6183650 = i . (2/12) ln e i15dias = 0,04 . 360 / 30 => i15dias = 0,48 = 48,00% a.p. i15dias = i30dias . 15 / 30 => i15dias = 0,04 . 15 / 30 => i15dias = 0,02 = 2,00% a.p. i45dias = i30dias . 45 / 30 => i45dias = 0,04 . 45 / 30 => i45dias = 0,06 = 6,00% a.p. Ressalta-se a importância de exprimir tais taxas como “ao período” (a.p.). Exemplo 2: Dada a taxa de juros compostos de 4% a.m., calcule a taxa equivalente anual e para os períodos de 15 e 45 dias. De modo similar ao cálculo das taxas proporcionais: i360dias = (i30dias +1)360/30 – 1=> i15dias = (1 + 0,04)360/30 – 1=> i15dias = 0,6010 = 60,10% a.p. i15dias = (i30dias +1)15/30 – 1=> i15dias = (1 + 0,04)15/30 – 1=> i15dias = 0,0198 = 1,98% a.p. i45dias = (i30dias +1)45/30 – 1=> i45dias = (1 + 0,04)45/30 – 1=> i45dias = 0,0606 = 6,06% a.p. Taxa over A taxa over (iOVER) refere-se ao rendimento ou custo do dinheiro para um dia útil, (dia útil também pode ser chamado de saque ou “over”). É, portanto, uma taxa nominal, pois costuma ser expressa ao mês com capitalização diária, porém válida somente para dias úteis, ou seja, é capitalizada apenas em dias de funcionamento do mercado financeiro. A mencionada forma, expressa ao mês com capitalização diária, atualmente tem sido pouco utilizada, mas é absolutamente correta em teoria. Assim, podemos transformá-la em fator para aplicá-la ao montante, deduzindo a expressão que fornece o valor do montante (FV). FV = PV {[ 1 + (iOVER / 30)]} du Legenda: du = número de dias úteis. Exemplo 1: Uma empresa necessita de R$ 5.000,00 por um dia, e o banco X lhe oferece 35,40% de taxa over. Quanto essa empresa terá que pagar ao banco? PV = R$ 5.000,00; n = du = 1; i = 35,40% over; FV = ? FV = 5.000,00 . [1 + (0,3540 / 30)]1 = R$ 5.059,00 Por questões de nomenclatura, e mesmo em função das menores taxas observadas em uma economia estável, como a que vivemos atualmente no Brasil, utilizamos também a configuração da taxa over de modo anual com descapitalização exponencial por 252 dias úteis. Veremos um exemplo a seguir, porém é importante lembrar que, qualquer que seja a forma de expressar uma taxa over, essa parte do princípio diz que a taxa tem como base o dia útil, ou saque, ou ainda, over, sendo esta sempre a base de expressão da taxa. Também é usual em mesas de operação trabalhar com seis casas decimais para as taxas de juros. Exemplo 2: O mercado financeiro trabalha com uma Selic Meta de 16,00% a.a. over, com a taxa efetiva mensal projetada para uma aplicação que renda 100% da Selic mencionada algo em torno de 100% do CDI. Calcule a taxa efetiva mensal considerando um mês com 22 saques. i = 16,00% a.a. over; iefetiva mês = ? 1 ano = 365 dias corridos = 252 dias úteis Mês X = 30 dias corridos = 22 dias úteis iefetiva mês = [(0,16 + 1) 22/252) – 1] iefetiva mês = 0,01304161 = 1,304161% a.m. É importante ressaltar que a taxa over é uma espécie de “linguagem comum” nos mercados financeiros, ou seja, exprime os custos de tomada e doação de recursos de diversas operações e baliza todas as taxas, unificando-as. Dessa forma, um recurso tomado via CDB, cujo custo é uma taxa efetiva mensal ou anual, calculada em dias corridos, ao ser emprestado a uma empresa por meio de uma operação de desconto, deve ter seu “custo” ou seu “preço” unificado a partir da conversão de ambas as taxas envolvidas para uma taxa over. A taxa over é, então, a taxa que rege o chamado “caixa” das instituições financeiras, em que encaixes e desencaixes de recursos são feitos por meio de depósitos a prazo e à vista, float de cobranças, operações de conta garantida, cheque especial, desconto de recebíveis e, por fim, CDIs, que são operados entre as instituições financeiras e, junto com as cessões de créditos e operações de redesconto, equilibram todo o sistema monetário, como demonstrado de maneira simplificada na figura abaixo. Operações de desconto Desconto é a denominação dada a um abatimento que se faz quando um título de crédito é resgatado antes do seu vencimento, sendo uma tradicional operação no mercado financeiro e no setor comercial, em que o portador de títulos ou direitos de crédito, desde notas promissórias até cheques e vendas com cartões de crédito, pode levantar fundos junto a um banco comercial descontando o título antes da data de vencimento. Classificamos os tipos de desconto como simples, pelo método linear, e composto, pelo método exponencial. É importante salientar que, no chamado mercado de renda fixa, no qual títulos públicos e privados são negociados pelo seu valor de face, o valor presente é calculado com base em desconto sobre seu valor final, usualmente por meio de taxas compostas, balizadas pelas taxas de juros de mercado. Descontoracional simples O desconto racional, também chamado de desconto “por dentro”, no caso do racional simples, mostra-se mais interessante para o tomador do recurso, consistindo os juros, ou custo da operação, na diferença entre o valor futuro (FV), que vem a ser o valor nominal ou de resgate do título, e o valor atual, ou valor líquido liberado na data do desconto, calculado a juros simples. Assim: PV = [FV / (1 + iD . n)] DRS = FV – PV = FV – [FV / (1 + iD . n)] => DRS = FV . iD . n / (1 + iD . n) Tal modalidade é aqui apresentada com fins acadêmicos, uma vez que sua utilização é mínima no dia a dia do mercado. Desconto comercial simples Nessa modalidade, também intitulada desconto bancário ou desconto “por fora”, o valor do desconto é obtido multiplicando-se o valor nominal do título pela taxa de desconto fornecida e pelo prazo a decorrer até o vencimento do título. Assim: Dcs = FV . iD . n PV = FV – (FV . iD . n) => PV = FV . (1 – iD . n) Uma vez que se trata de uma taxa similar aos juros simples, pode-se ajustar o prazo da taxa para periodicidade diária, assim como os prazos das operações, podendo-se generalizar: PV = FV – (FV . iD / 30. nDIAS) O desconto comercial simples é muito utilizado nas operações comerciais e bancárias, sendo uma modalidade muito interessante para os bancos do ponto de vista financeiro. Cabe mencionar que, para cenários econômicos com taxas de juros muito elevadas, essa operação pode gerar valores presentes negativos se não corretamente verificados caso a caso, o que não chega a ser absurdo no caso de descontos de grande quantidade de cheques, por exemplo. Exemplo 1: Um varejista desconta diariamente cheques em seu poder oriundos de vendas a prazo. Em determinada data, ele possuía uma soma de R$ 115.000,00 em cheques para 28 dias, e foi dada a ele uma taxa de desconto comercial simples de 3,5% a.m. Qual o valor liberado para o comerciante na mencionada operação? FV = 115.000,00; n = 28 dias; iD = 3,5% a.m.; PV = ? PV = FV – Dcs Dcs = FV . iD . n PV = FV – (FV . iD / 30. nDIAS) PV = 115.000,00 – (115.000,00 . 0,035 / 30 . 28) PV = R$ 111.243,33 Desconto racional composto Também conhecido como desconto financeiro, o desconto racional composto é calculado dividindo-se o valor nominal, ou valor futuro (FV), pela taxa de juros composta antecipada; assim, o valor do desconto ou custo da operação consiste na diferença entre o valor futuro (FV) e o valor atual (PV), ou seja, o valor liberado, calculado a juros compostos. Assim: PV = FV / (1 + iD)n Exemplo 2: O mesmo varejista do exemplo anterior cotou a mesma operação em um banco comercial que opera com o desconto racional composto. Qual seria o valor liberado para o comerciante nessa modalidade de juros? FV = 115.000,00; n = 28 dias; iD = 3,5% a.m.; PV = ? FV = FV / (1 + iD)n PV = 115.000,00 / (1 + 0,035)28/30 PV = R$ 111.366,23 Desconto comercial composto No desconto comercial composto, os cálculos são realizados com base em uma taxa de juros composta postecipada. Nessa sistemática exponencial, o valor do desconto resulta da multiplicação do valor nominal ou futuro (FV) pela taxa de juros convertida para o prazo do desconto. Assim: DCC = FV . [(1 + iD)n – 1] ou DCC = FV . [(1 + iD)n/h – 1] Sendo o valor liberado ou valor presente (PV) dado por: PV = FV – FV . [(1 + iD)n – 1] ou PV = FV – FV . [(1 + iD)n/h – 1] Exemplo 3: Nosso já conhecido varejista busca mais uma cotação para sua operação, dessa vez junto a um banco comercial que opera com o desconto comercial composto. Qual seria o valor liberado para o comerciante nessa modalidade de juros? FV = 115.000,00; n = 28 dias; iD = 3,5% a.m.; PV = ? PV = FV – FV . [(1+ iD)n – 1] PV = 115.000,00 – 115.000,00 . [(1+ 0,035)28/30 – 1] PV = R$ 111.247,66 Ponderação de prazos Nas operações comerciais, tais como descontos de cheques, vendas por meio de cartões de crédito e duplicatas em geral, é usual o envio de recebíveis com diferentes prazos de vencimento, o que enseja o cálculo do prazo médio da operação para um montante total a ser descontado. O prazo médio é, então, calculado a partir da média dos prazos ponderados pelos respectivos valores dos títulos. Assim: Nmédio = (FV1 . n1 + FV2 . n2 + ... + FVn . nn) / (FV1 + FV2 + ... + FVn) Melhor exemplificando: DUPLICATA VALOR VENCIMENTO (dias) 1 V1 n1 2 V2 n2 3 V3 n3 n Vn nn Nmédio = [(V1 . n1) + (V2 . n2) + (V3 . n3) + ..... + (Vn . nn)] / [V1 + V2 + V3 + Vn] Exemplo 1: Calcule o prazo médio das duplicatas abaixo e o valor líquido liberado utilizando taxa de desconto comercial simples igual a 2,00% a.m. VALOR VENCIMENTO R$ 1.000,00 28 dias R$ 2.000,00 15 dias R$ 1.500,00 37 dias PM = [(1.000 . 28) + (2.000 . 15) + (1.500 . 37)] / [1.000 + 2.000 + 1.500] PM = 113.500,00 / 4.500 = 25,22 PV = 4.500 – [4.500 x 25,22 / 30 x 0,05 / 100] PV= R$ 4.310,83 Correção monetária Como mencionado anteriormente, a correção monetária tem por finalidade resgatar o poder de compra da moeda ou promover ajustes, como, por exemplo, o cambial. Também é usual a remuneração ou ajuste de juros por meio da conjugação de taxas pré e pós-fixadas, sendo essas últimas índices de correção monetária, e as primeiras, a remuneração ou o custo do dinheiro. Exemplos do uso dessa conjugação de taxas é a caderneta de poupança (TR + 0,5% a.m.) e financiamentos habitacionais, que também ajustam parcelas pela TR, além de juros prefixados. Quando a correção é aplicada por meio de índices, ou seja, taxas, como a TR e o IGP-M, eles devem ser acumulados mês a mês na forma de juros compostos e, posteriormente, aplicados ao valor a ser corrigido. Assim: iacumulada = itotal = [(i1 + 1) . (i2 + 1) . ... . (in + 1)] – 1 FV = PV . (iacumulada + 1) Para corrigir valores por meio de unidades de referência, como, por exemplo, moedas, divide-se o valor inicial, que pode ser chamado de valor presente (PV), na data inicial (ni) pelo valor da unidade nessa data e multiplica-se pelo valor da unidade verificado na data final (nf), encontrando-se o que podemos chamar de valor futuro (FV). Assim: FV = PV / Uni . Unf A fórmula pode ser melhorada, calculando-se o fator de evolução entre as unidades e aplicando-o diretamente no valor a ser corrigido. Assim: FV = PV . (Unf / Uni) Exemplo 1: A caderneta de poupança apresentou os respectivos rendimentos nos meses de janeiro, fevereiro e março de 2011: 0,6413%, 0,5719% e 0,5527%. Um poupador aplicou R$ 7.200,00 no final de dezembro de 2010. Qual o montante disponível para resgate no dia 10 de abril de 2011? iacumulada = (0,006413 + 1) . (0,005719 + 1) . (0,005527 + 1) – 1 = 0,017763 = 1,7763% PV = 7.200,00 . (0,017763 + 1) = R$ 7.327,89 Taxas de juros reais e aparentes A taxa aparente, também chamada de nominal nas transações financeiras e comerciais, é aquela que é fixada nas operações correntes, sendo a taxa real calculada por meio do expurgo dos efeitos inflacionários. Assim, temos a relação entre taxa real e taxa aparente dada por: ireal = [(1 + iaparente) / (1 + iinflação)] – 1 ou ireal = [(1 + inominal) / (1 + ioportunidade)] – 1 Exemplo 1: Um investidor obteve em 2010 um rendimento líquido em sua carteira de ações de 18,70%. Considerando essa taxa como anual e aparente e que uma aplicação em títulos públicos, considerada livre de risco e podendo figurar como taxa de oportunidade, retornaria a ele ganhos líquidos de 9,60% a.a., qual a taxa de juros real obtida pelo investidor em 2010? inominal = 18,70% a.p. = 18,70% a.a.; ioportunidade = 9,60% a.a.; ireal = ? ireal = [(1 + 0,1870) / (1 + 0,0960)] – 1 = 0,0830 = 8,30% a.a. Encerramento Resumo da Unidade A necessidade humana em efetuar trocas de produtos, serviços e concessões fez com que várias modalidades de moeda surgissem ao longo da história, em que minerais, em especial os metais, assumiram a condição de unificador de valor e meio de troca e acumulação. As operações de crédito e os depósitos bancários surgiram em seguida, dando origem a toda a estrutura financeira e bancária que hoje presenciamos, na qual tambéma moeda física tomou outras formas, passando pelo papel, dinheiro de plástico e hoje se configurando cada vez mais em uma moeda ou simplesmente direito virtual, que transita por telefones celulares, tablets e meios informatizados em geral. O trânsito de moedas, depósitos bancários e operações de crédito geraram o conceito de valor do dinheiro no tempo, em que antecipar ou postecipar consumo possui um custo ou remuneração, ao qual chamamos de juros. Há, ainda, a necessidade de se criar referenciais que possam repor ou nos posicionar quanto à perda do poder aquisitivo da moeda, denominada correção monetária e expressa em taxas ou unidades. Por fim, as taxas de juros diferem em modalidade e forma de capitalização, tendo, porém, um objetivo único, que é transpor valores no tempo de acordo com as unidades pactuadas. Atividades Além do estudo dos roteiros, do livro da disciplina, das leituras complementares e dos vídeos das unidades, você deverá realizar as atividades pontuadas que se encontram no menu lateral do ambiente virtual de aprendizagem. Acompanhe os prazos de envio das avaliações no documento “Calendário e Critérios de Avaliação”, na introdução da disciplina. Lembre-se: procure o professor-tutor no fórum "Fale com o tutor". Midiateca Livros · ASSAF NETO, A.; LIMA, F. G. Investimentos no mercado financeiro usando a calculadora financeira HP 12 C. 3. ed. São Paulo: Atlas, 2013. · BRANCO, A. C. C. Matemática financeira aplicada: método algébrico, HP 12C e MS Excel. 3. ed. rev. São Paulo: Cengage Learning, 2010. · SAMANEZ, C. P. Matemática financeira. 5. ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2010. Artigos · ANNIBAL, C. A.; KOYAMA, S. M. Cooperativas de crédito: taxas de juros praticadas e fatores de viabilidade. Trabalhos para Discussão, Brasília, n. 257, p. 1-28, nov. 2011. · RODRIGUES, E. A. S. et al. O efeito da consignação em folha nas taxas de juros dos empréstimos pessoais. Trabalhos para Discussão, Brasília, n. 108, p. 1-30, jun. 2006. · SPRINGER, P. A taxa de juros é a principal causa dos desequilíbrios macroeconômicos do Brasil (e, ainda, o Copom pode ser substituído por um computador)? Brasil – Economia e Governo, São Paulo, 18 abr. 2011. Referências · CARRETE, L. S.; TAVARES, R. Cálculo no mercado financeiro: conceitos, ferramentas e exercícios. São Paulo: Atlas, 2015. · CASAROTTO FILHO, N. Análise de investimentos: matemática financeira, engenharia econômica, tomada de decisão, estratégia empresarial. 11. ed. São Paulo: Atlas, 2010. · CORREIA NETO, J. F. Excel para profissional de finanças. Rio de Janeiro: Elsevier, 2007. · GIMENEZ, C. M. Matemática financeira com HP 12C e Excel. São Paulo: Pearson, 2009. · ROSS, S. A.; WESTERFIELD, R. W.; JAFFE, J. F. Fundamentos de administração financeira. 9. ed. São Paulo: AMGH, 2013. · SAMANEZ, C. P. Matemática financeira. 5. ed. São Paulo: Pearson, 2010. · WAKAMATSU, A. Matemática financeira. São Paulo: Pearson, 2012. Midiateca Sites · Calculadora do Cidadão – Bacen image3.png image4.png image5.png image6.png image7.png image8.png image9.png image10.png image11.png image12.png image13.png image14.png image15.png image16.png image1.png image2.png