Morais N Guia do calculista iniciante v 1, 2 ed

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AJUDA
CIVIL!
J . A U R I M A R M O R A I S N .
2 ª E D I Ç Ã O
V O L U M E 1
2 0 2 3
N A T A L
V E R S Ã O D I G I T A L
Direitos autorais © 2023, João Aurimar Correia de Morais Neto
Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta publicação pode ser reproduzida, 
transmitida por qualquer forma eletrônica, mecânica, fotocopiada ou gravada, sem a 
permissão expressa do autor. A violação dos direitos autorais de acordo com a lei nº 
9.610/98 é crime.
(Art. 184 do código penal)
Prefácio 1
1 – Introdução 3
1.1 – Etapas do projeto estrutural 5
2 – Conhecendo os materiais 15
2.1 – Valores característicos 17
2.2 – Aço 19
2.3 – Concreto 23
3 – Estados Limites 31
3.1 – Modelo de cálculo 33
3.2 – Ações 34
3.3 – Combinação de ações 38
S U M Á R I O
3.4 – Coeficientes de ponderação 39
3.5 – Calculando as combinações 44
4 – Flexão de vigas 55
4.1 – Tipos de flexão 57
4.2 – Estádios 60
4.3 – Domínios de deformação 61
4.4 – Dimensionamento da armadura 68
4.5 – Momento resistente 75
4.6 – Armadura dupla 77
4.7 – Seção T 83
5 – Flexão de lajes 87
5.1 – Lajes maciças 89
5.2 – Lajes treliçadas 100
6 – Cisalhamento 109
6.1 – Armadura transversal de vigas 111
6.2 – Cisalhamento em lajes 120
7 – Verificações ELS 123
7.1 – Principais verificações 125
7.2 – Formação de fissuras 126
7.3 – Abertura de fissuras 129
7.4 – Deformação excessiva 137
7.5 – Vibrações excessivas 146
8 – Detalhamento 149
8.1 – Disposição das barras 151
8.2 – Armadura de pele 152
8.3 – Furos e aberturas 153
8.4 – Ancoragem 156
8.5 – Emendas de barras 160
8.6 – Decalagem 165
Anexo – A 167
Referências 173
A J U D A C I V I L
@ A J U D A C I V I L
Como e por que este livro foi escrito?
 A engenharia é uma das áreas mais fascinantes e desa-
fiadoras da ciência. É a arte de aplicar a matemática, a física e 
outras ciências para projetar, construir e manter as estruturas e 
sistemas que sustentam a vida moderna. A beleza da engenharia 
está em como ela transforma a teoria em realidade, tornando 
possíveis as invenções mais incríveis e complexas. Desde 
arranha-céus imponentes até sistemas de comunicação sem fio, 
se tornando uma ciência com um impacto inegável no mundo 
em que vivemos.
 No entanto, a engenharia também é uma área desafiadora 
e que exige muito esforço. O processo de projetar e construir 
uma estrutura envolve muitos aspectos, desde a análise e o 
dimensionamento, até a execução e o gerenciamento de pro-
jetos. Cada etapa requer um grande nível de habilidades especí-
ficas e conhecimentos técnicos aprofundados, além de uma 
grande dose de criatividade e resolução de problemas. E aqui 
mora o problema que este livro se propõe a resolver: a difi-
culdade em adquirir tais conhecimentos técnicos.
 Aprender com materiais didáticos que exigem alto conhe-
cimento específico e apresentam poucas ilustrações pode ser 
uma tarefa bastante desafiadora. Esses materiais muitas vezes 
apresentam conceitos complexos e abstratos que exigem um alto 
grau de abstração e compreensão por parte do estudante. Além 
disso, muitas vezes esses materiais apresentam temas que são 
pouco utilizados na prática, o que pode tornar a motivação para 
o estudo ainda mais difícil.
PREFÁCIO
1
AJUD
ACIVIL!
A falta de ilustrações também pode dificultar o apren-
dizado, uma vez que elas ajudam a visualizar e entender melhor 
os conceitos apresentados. Quando os materiais didáticos são 
compostos principalmente por textos e fórmulas, o estudante 
pode ter dificuldade em entender a aplicação prática dos 
conceitos e se sentir desmotivado.
 Nesse contexto, esse livro foi escrito como uma alternativa 
a esses materiais didáticos, visando uma linguagem mais 
acessível, sintética e bastante ilustrada para proporcionar ao 
estudante uma aprendizagem mais fácil e dinâmica. É importante 
ressaltar que o intuito desse material não é atravessar você por 
toda a sua jornada de calculista, mas sim lhe guiar pelo início 
dessa aventura te fornecendo um arsenal para lidar com os 
principais desafios da área.
 Espero que este livro atenda às suas expectativas, ajude a 
consolidar seu conhecimento sobre o assunto abordado e con-
tribua para você alcançar seus objetivos educacionais e profis-
sionais. Tenha certeza de que todo o conteúdo foi elaborado com 
o intuito de simplificar os conceitos mais complexos e tornar o 
aprendizado mais fluido e prazeroso.
 Como escritor, sinto uma enorme satisfação ao saber que 
meu trabalho está sendo útil para você. Sua confiança em meu 
trabalho é a motivação que me impulsiona a continuar produ-
zindo e melhorando a qualidade dos meus materiais didáticos.
 Muito obrigado pela compra deste livro. Espero que ele 
seja um recurso valioso em sua busca pelo conhecimento.
2
INTRODUÇÃO
1.
LEONARDO DA VINCI
1.1 – ETAPAS DO PROJETO ESTRUTURAL
O primeiro passo para se tornar um calculista é conhecer e 
dominar as todas etapas de um projeto estrutural, desde a ela-
boração da proposta até a entrega do projeto. Entender esse 
processo, além de te preparar para o mercado, também te aju-
dará a compreender a utilidade prática dos conhecimentos 
adquiridos. Vejamos então algumas das principais etapas do 
projeto de estruturas:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
CHEGADA!
INÍCIO
1º – ESTUDO DA ARQUITETURA
A primeira etapa, o estudo da arquitetura, é a etapa que 
se deve tomar mais cuidado. Após receber o projeto arqui-
tetônico, antes mesmo de elaborar a proposta, é preciso iden-
tificar quais serão os desafios do projeto estrutural.
 Estruturas em balanço, paredes desalinhadas, vãos muito 
grandes, tipo de escada, exigências arquitetônicas, pé-direito 
duplo (triplo?!), pilar de 14 cm, estrutura inclinada... todos esses 
são fatores que irão dificultar o seu trabalho 
de projetista e, portanto, deverão refletir
no preço final do seu projeto. Uma 
avaliação errada nesta etapa pode
te custar mais horas de trabalho
sem que você receba
devidamente por isso.
Dessa forma, nunca
subestime essa
primeira
etapa.
 
5
2º – CONTRATO
A etapa do contrato pode ser a mais difícil para alguns, já 
que dificilmente aprendemos esta etapa nas faculdades tradi-
cionais de engenharia. Aqui é onde entra toda a sua habilidade 
de negociação e persuasão.
 É preciso mostrar para o cliente todos os benefícios que o 
seu projeto pode oferecer para convencê-lo do seu valor. Vale a 
pena caprichar na aparência da sua proposta, colocar um link 
com seu portfólio e, se possuir, destacar seus títulos.
6
Lembre-se, o cliente está procurando segurança. 
Mostrar que você é uma autoridade no assunto e que já 
possui exemplos de sucesso é uma boa maneira de passar 
essa segurança. 
Durante a reunião ten-
te abordar os problemas que 
seu projeto é capaz de resol-
ver. Os riscos de um projeto 
mal elaborado vão muito 
além da segurança. Descon-
fortos com vibrações, fissuras 
e deformações, impactam no 
valor do imóvel e podem ge-
rar prejuízos no longo prazo.
3º – MODELAGEM
Agora é onde a diversão começa. Depois de já ter estu-
dado a arquitetura, é hora de fazer a concepção estrutural, ou 
seja, definir os tipos e locais dos elementos estruturais.
7
Aqui é onde entra toda a experiência e criatividade do 
engenheiro. Uma concepção estrutural mal feita vai gerar pro-
blemas na análise e/ou detalhamento da estrutura. Por isso, 
sempre que necessário, devemos voltar para esta etapa.
O mais difícil desta etapa é que não existe uma concepção 
estrutural errada. Existem concepções melhores e piores. E 
devemos sempre tentar satisfazer os seguintes critérios:
o Atender às exigências arquitetônicas;
o Definir vínculos e apoios próximos da realidade;
o Reduzir o custo de execução das estruturas;
o Aproveitar de forma eficiente a capacidade dos materiais.
4º – ANÁLISE ESTRUTURAL
A análise estrutural é a etapa em que são calculados os 
esforços e deformações nas estruturas. O cálculo em si quase 
sempre é feito por softwares computacionais, não tem muito 
para onde fugir. O seu uso, além de ser mais preciso,+ 𝐹𝐹𝑔𝑔𝑐𝑐2 + 𝛾𝛾𝑞𝑞 ⋅ 𝐹𝐹𝑞𝑞𝑞𝑞𝑐𝑐
𝐹𝐹𝑐𝑐 = 1,4 ⋅ 25 ⋅ 0,10 + 1,5 + 1,4 ⋅ 3,0
(Peso do concreto)⋅(h) Revestimento Acidental
𝐹𝐹𝑐𝑐 = 9,8 𝑘𝑘𝑘𝑘/𝑚𝑚2
93
4º – ESCOLHER TABELA
Para prosseguir com o cálculo dos momentos solicitantes 
na laje, é preciso identificar qual tabela está relacionada com o 
caso da laje analisada. Para isso é preciso calcular o 𝜆𝜆 e iden-
tificar seus vínculos.
𝜆𝜆 =
𝑏𝑏𝑦𝑦
𝑏𝑏𝑚𝑚
𝜆𝜆 =
5
4
𝜆𝜆 = 1,25
𝑏𝑏𝑚𝑚 = 4𝑚𝑚
L2
Entrando com a configuração de engaste único em 𝑏𝑏𝑦𝑦 , 
apoios simples nas demais bordas e o valor de 𝜆𝜆, é possível 
extrair os coeficientes da tabela. Como não é objetivo deste livro 
se aprofundar na análise estrutural, será destacado apenas um 
trecho da tabela para exemplificar o processo de cálculo.
𝜇𝜇𝑚𝑚
4,38
λ
1,20
4,551,25
4,711,30
4,861,35
𝜇𝜇𝑚𝑚′
9,80
10,06
10,32
10,54
𝜇𝜇𝑦𝑦
2,59
2,51
2,42
2,34
𝑦𝑦
𝑒𝑒
Valores extraídos de BARES e adaptados por 
PINHEIRO (1994).
94
5º – CALCULAR OS MOMENTOS
Podemos agora extrair os coeficientes da tabela anterior e 
calcular os momentos solicitantes a partir da seguinte equação:
𝑦𝑦𝑒𝑒
𝑀𝑀𝑐𝑐𝑦𝑦
𝑀𝑀𝑐𝑐𝑚𝑚
𝑀𝑀𝑐𝑐𝑚𝑚
′
𝑀𝑀 = 𝜇𝜇 ⋅
𝐹𝐹𝑐𝑐 ⋅ 𝑏𝑏𝑚𝑚2
100
𝑀𝑀𝑐𝑐𝑚𝑚 = 𝜇𝜇𝑚𝑚 ⋅
𝐹𝐹𝑐𝑐 ⋅ 𝑏𝑏𝑚𝑚2
100 𝑀𝑀𝑐𝑐𝑚𝑚
′ = 𝜇𝜇𝑚𝑚′ ⋅
𝐹𝐹𝑐𝑐 ⋅ 𝑏𝑏𝑚𝑚2
100
𝑀𝑀𝑐𝑐𝑚𝑚 = 4,55 ⋅
9,8 ⋅ 42
100
𝑀𝑀𝑐𝑐𝑚𝑚 = 7,13 
𝑘𝑘𝑘𝑘 ⋅ 𝑚𝑚
𝑚𝑚
𝑀𝑀𝑐𝑐𝑚𝑚
′ = 10,06 ⋅
9,8 ⋅ 42
100
𝑀𝑀𝑐𝑐𝑚𝑚
′ = 15,77 
𝑘𝑘𝑘𝑘 ⋅ 𝑚𝑚
𝑚𝑚
𝑀𝑀𝑐𝑐𝑦𝑦 = 𝜇𝜇𝑚𝑚 ⋅
𝐹𝐹𝑐𝑐 ⋅ 𝑏𝑏𝑚𝑚2
100
𝑀𝑀𝑐𝑐𝑦𝑦 = 2,51 ⋅
9,8 ⋅ 42
100
𝑀𝑀𝑐𝑐𝑦𝑦 = 3,94 
𝑘𝑘𝑘𝑘 ⋅ 𝑚𝑚
𝑚𝑚
95
5.1.5 – DIMENSIONAMENTO
O dimensionamento de lajes maciças é semelhante ao de 
vigas retangulares, porém é dimensionado a faixa de 1 metro de 
largura no centro da laje (𝑏𝑏𝑤𝑤 = 100 𝑐𝑐𝑚𝑚) e a armadura é informa-
da em [𝑐𝑐𝑚𝑚2/𝑚𝑚].
1º – ALTURA ÚTIL
Devido a presença de armadura nos dois sentidos, por 
questão de segurança, é preciso sempre considerar que a altura 
útil de lajes (𝑑𝑑) é a distância da borda comprimida até a armadu-
ra longitudinal mais próxima, conforme ilustrado abaixo.
𝑑𝑑 = ℎ − 𝑐𝑐 − 1,5 ⋅ ∅𝑞𝑞 → 𝑑𝑑 = 10 − 2,5 − 1,5 ⋅ 1,0 → 𝑑𝑑 = 6 𝑐𝑐𝑚𝑚
𝑑𝑑
𝑐𝑐
ℎ∅𝑞𝑞
Adotando uma Classe de Agressividade Ambiental (CAA) II 
(𝑐𝑐 = 25 𝑚𝑚𝑚𝑚) e ∅𝑞𝑞 = 10 𝑚𝑚𝑚𝑚, temos:
𝑓𝑓𝑦𝑦𝑐𝑐 = 434,8 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑎𝑎
2º - RESISTÊNCIAS DE PROJETO
𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐 =
𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐
𝛾𝛾𝑐𝑐
 → 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐 =
25
1,4
𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐 = 17,9 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑎𝑎
Resistência do concreto
𝑓𝑓𝑦𝑦𝑐𝑐 =
𝑓𝑓𝑦𝑦𝑐𝑐
𝛾𝛾𝑠𝑠
 → 𝑓𝑓𝑦𝑦𝑐𝑐 =
500
1,15
Resistência do aço
Considerando barras de CA-50 e um 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐 = 25 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑎𝑎, o pró-
ximo passo é calcular as resistências de projeto:
96
3º – LINHA NEUTRA
A equação utilizada para calcular a linha neutra é a mesma 
da já apresentada para o dimensionamento de vigas:
𝑒𝑒 = 1,25 ⋅ 𝑑𝑑 ⋅ 1 − 1 −
𝑀𝑀𝐸𝐸𝑐𝑐
0,425 ⋅ 𝑏𝑏𝑤𝑤 ⋅ 𝑑𝑑2 ⋅ 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐
𝑒𝑒𝑚𝑚 = 1,25 ⋅ 6 ⋅ 1 − 1 −
713
0,425 ⋅ 100 ⋅ 62 ⋅ 1,79
𝑒𝑒𝑚𝑚 = 1,0 𝑐𝑐𝑚𝑚
Para o momento 𝑀𝑀𝑐𝑐𝑚𝑚
𝑒𝑒𝑚𝑚′ = 1,25 ⋅ 6 ⋅ 1 − 1 −
1577
0,425 ⋅ 100 ⋅ 62 ⋅ 1,79
𝑒𝑒𝑚𝑚′ = 2,6 𝑐𝑐𝑚𝑚
Para o momento 𝑀𝑀𝑐𝑐𝑚𝑚
′
𝑒𝑒𝑦𝑦 = 1,25 ⋅ 6 ⋅ 1 − 1 −
394
0,425 ⋅ 100 ⋅ 62 ⋅ 1,79
𝑒𝑒𝑦𝑦 = 0,6 𝑐𝑐𝑚𝑚
Para o momento 𝑀𝑀𝑦𝑦
97
4º – ÁREA DE AÇO
Com os valores da profundidade da linha neutra podemos 
prosseguir calculando a área de aço necessária.
𝐴𝐴𝑠𝑠 =
𝑀𝑀𝑐𝑐
𝑑𝑑 − 0,4 ⋅ 𝑒𝑒 ⋅ 𝑓𝑓𝑦𝑦𝑐𝑐
Para o momento 𝑀𝑀𝑐𝑐𝑚𝑚
𝐴𝐴𝑠𝑠𝑚𝑚 =
713
6 − 0,4 ⋅ 1 ⋅ 43,48
𝐴𝐴𝑠𝑠𝑚𝑚 = 2,93 𝑐𝑐𝑚𝑚2/𝑚𝑚
Para o momento 𝑀𝑀𝑐𝑐𝑚𝑚
′
𝐴𝐴𝑠𝑠𝑚𝑚′ =
1577
6 − 0,4 ⋅ 1 ⋅ 43,48
𝐴𝐴𝑠𝑠𝑚𝑚′ = 6,48 𝑐𝑐𝑚𝑚2/𝑚𝑚
Para o momento 𝑀𝑀𝑐𝑐𝑦𝑦
𝐴𝐴𝑠𝑠𝑦𝑦 =
394
6 − 0,4 ⋅ 1 ⋅ 43,48
𝐴𝐴𝑠𝑠𝑦𝑦 = 1,57 𝑐𝑐𝑚𝑚2/𝑚𝑚
𝐴𝐴𝑠𝑠,𝑐𝑐𝑖𝑖𝑖𝑖 = 𝜌𝜌𝑐𝑐𝑖𝑖𝑖𝑖 ⋅ ℎ ⋅ 𝑏𝑏𝑤𝑤
Armadura mínima
𝐴𝐴𝑠𝑠,𝑐𝑐𝑎𝑎𝑚𝑚 = 0,04 ⋅ ℎ ⋅ 𝑏𝑏𝑤𝑤
Armadura máxima
𝐴𝐴𝑠𝑠,𝑐𝑐𝑖𝑖𝑖𝑖 = 0,0015 ⋅ 10 ⋅ 100
𝐴𝐴𝑠𝑠,𝑐𝑐𝑎𝑎𝑚𝑚 = 0,04 ⋅ 10 ⋅ 100
𝐴𝐴𝑠𝑠,𝑐𝑐𝑖𝑖𝑖𝑖 = 1,5 𝑐𝑐𝑚𝑚2
𝐴𝐴𝑠𝑠,𝑐𝑐𝑎𝑎𝑚𝑚 = 40 𝑐𝑐𝑚𝑚2
98
5º – ADOÇÃO DA ARMADURA
O último passo é a adoção da armadura, que considera 
tanto os diâmetros das barras como também o seu espaçamento. 
Os valores para a área de aço de armaduras distribuídas pode ser 
encontrado na tabela abaixo.
5,0
2,677,5
6,3
4,20
8,0
6,67
10,0
10,7
12,5
16,7
16,0
26,7
2,0010,0 3,15 5,00 8,00 12,5 20,0
1,6012,5 2,52 4,00 6,40 10,0 16,0
1,3315,0 2,10 3,33 5,33 8,33 13,3
1,1417,5 1,80 2,86 4,57 7,14 11,4
1,0020,0 1,58 2,50 4,00 6,25 10,0
0,8025,0 1,26 2,00 3,20 5,00 8,00
0,6730,0 1,05 1,67 2,67 4,17 6,67
∅ (mm)
OBS: 𝑆𝑆 → espaçamento; ∅ → diâmetro; ∅𝑐𝑐𝑎𝑎𝑚𝑚 = ℎ/8.
Área de aço (cm2/m).
𝑆𝑆 (cm)
99
Podemos então adotar as seguintes armaduras:
𝐴𝐴𝑠𝑠𝑚𝑚 → ∅ 10 𝑐𝑐/ 25 = 3,2𝑐𝑐𝑚𝑚2
𝐴𝐴𝑠𝑠𝑚𝑚′ → ∅ 10 𝑐𝑐/ 10 = 8,00𝑐𝑐𝑚𝑚2
𝐴𝐴𝑠𝑠𝑦𝑦 → ∅ 6,3 𝑐𝑐/ 20 = 1,58 𝑐𝑐𝑚𝑚2 
5.2 – LAJES TRELIÇADAS
Lajes treliçadas são estruturas geralmente utilizadas em 
obras de pequeno porte. São compostas por vigotas treliçadas de 
concreto armado que são preenchidas com blocos de EPS 
(poliestireno expandido) ou cerâmicos, formando uma laje com 
grande capacidade de resistência e menor peso próprio.
Vigota
Enchimento
Concreto
5.2.1 - NOMENCLATURA
As vigotas treliçadas seguem 
um padrão de especificação que 
descreve as suas características 
geométricas. Essa especificação a-
juda os fabricantes a identificarem 
rapidamente que tipo de treliça 
eles devem fabricar.
100
O primeiro elemento da especi-
ficação da vigota é o prefixo TR que 
ajuda a indicar que os números a seguir 
seguem o padrão especificado pela 
ABNT. Isso ajuda a evitar confusões com 
a especificações próprias de alguns fa-
bricantes.
O próximo termo é referente a 
sua altura. As alturas padrões são de: 8, 
12, 16, 20, 25 e 30 cm. Outras alturas 
podem ser adotadas desde que respei-
tado o mínimo de 8 cm.
ℎ
1º - PREFIXO “TR”
2º - ALTURA DA VIGOTA
Em seguida é informa-
do o diâmetro das barras em 
milímetros do banzo superi-
or, diagonal e banzo inferior, 
respectivamente.
3º - DIÂMETROS ∅superior
∅diagonal
∅inferior
4º - TIPOS DE AÇO
A última informação da especificação da treliça é o tipo de 
aço. Caso alguma das barras seja de CA-50 é necessário adicio-
nar um “A” ao lado do diâmetro, caso seja de CA-60 não é neces-
sário informar nada.
101
EXEMPLO
8 mm (CA-50)
20 cm
TR-2010A58A:
5.2.2 – ANÁLISE ESTRUTURAL
Na análise estrutural de lajes treliçadas é comum consi-
derarmos que cada vigota trabalha de forma independente, com 
uma determinada área de influência de cargas. Isso quer dizer 
que o peso aplicado em uma dessas áreas vai ser resistido 
exclusivamente pela vigota responsável por essa região.
 É preciso prestar atenção para cargas que se concentram 
em uma única área de influência, como é o caso de alvenarias. 
Nessas situações, uma das vigotas recebe muito mais carga que 
as demais, sendo necessário dimensionar separadamente esta 
vigota específica.
102
5.2.3 – EXEMPLO: ANÁLISE ESTRUTURAL
Acompanhe a seguir um exemplo de análise estrutural:
1º – DADOS
Cargas
- Peso do concreto:
𝛾𝛾𝑐𝑐𝑜𝑜𝑖𝑖𝑐𝑐 = 25 𝑘𝑘𝑘𝑘/𝑚𝑚3
- Peso enchimento (EPS)
𝛾𝛾𝑟𝑟𝑖𝑖𝑐𝑐𝑒 = 0,2 𝑘𝑘𝑘𝑘/𝑚𝑚3
- Revestimento
𝑘𝑘𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 = 1,5 𝑘𝑘𝑘𝑘/𝑚𝑚2
- Acidental
𝑞𝑞𝑎𝑎𝑐𝑐𝑖𝑖𝑐𝑐 = 3,0 𝑘𝑘𝑘𝑘/𝑚𝑚2
2º – PRÉ-DIMENSIONAMENTO
Para prosseguir com a análise estrutural é necessário co-
nhecer os valores geométricos da vigota. Para lajes treliçadas é 
comum a adoção de uma altura total (ℎ) na ordem de 5% do vão 
e espessuras da mesa (ℎ𝑖𝑖) entre 4 cm a 7 cm.
 Contudo, antes de definir os valores é sempre importante 
verificar a disponibilidade dos materiais a serem utilizados. Os 
materiais de enchimento costumam ser negociados com alturas 
(ℎ𝑟𝑟) de 8, 10, 12, 16, 20, 25, 30 e 35 cm. Para o nosso exemplo 
adotaremos a geometria a seguir:
103
Admitindo umvão de 4 metros, podemos adotar a se-
guinte geometria:
104
Dados da vigota:
𝑏𝑏 = 10 𝑐𝑐𝑚𝑚
Dados do enchimento:
𝑏𝑏 = 40 𝑐𝑐𝑚𝑚 ℎ𝑟𝑟 = 16 𝑐𝑐𝑚𝑚
Dados da laje:
ℎ = 0,05 ⋅ 𝐿𝐿 → ℎ = 0,05 ⋅ 400 → ℎ = 20 𝑐𝑐𝑚𝑚
ℎ𝑖𝑖 = ℎ − ℎ𝑟𝑟 → ℎ𝑖𝑖 = 20 − 16 → ℎ𝑖𝑖 = 4 𝑐𝑐𝑚𝑚
𝑑𝑑 = 𝑏𝑏 + 𝑏𝑏 → 𝑑𝑑 = 10 + 40 → 𝑑𝑑 = 50 𝑐𝑐𝑚𝑚
105
3º – CALCULAR AS AÇÕES
As cargas que estão atuando na laje treliçada são dis-
tribuídas dentro da sua faixa de influência, com a largura da 
distância de intereixos (𝑑𝑑).
𝑑𝑑
𝐹𝐹𝑔𝑔𝑐𝑐2 = 𝑏𝑏 ⋅ ℎ𝑟𝑟 + 𝑑𝑑 ⋅ ℎ𝑖𝑖 ⋅ 𝛾𝛾𝑐𝑐𝑜𝑜𝑖𝑖𝑐𝑐 + 𝑏𝑏 ⋅ ℎ𝑟𝑟 ⋅ 𝛾𝛾𝑟𝑟𝑖𝑖𝑐𝑐𝑒
Peso próprio da laje
𝐹𝐹𝑔𝑔𝑐𝑐2 = 0,10 ⋅ 0,16 + 0,50 ⋅ 0,04 ⋅ 25 + 0,40 ⋅ 0,16 ⋅ 0,2
𝐹𝐹𝑔𝑔𝑐𝑐2 = 0,91 𝑘𝑘𝑘𝑘/𝑚𝑚
𝐹𝐹𝑔𝑔𝑐𝑐1 = 𝑘𝑘𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 ⋅ 𝑑𝑑
Peso do revestimento
𝐹𝐹𝑔𝑔𝑐𝑐1 = 1,5 ⋅ 0,5
𝐹𝐹𝑔𝑔𝑐𝑐1 = 0,75 𝑘𝑘𝑘𝑘/𝑚𝑚
𝐹𝐹𝑞𝑞𝑞𝑞𝑐𝑐 = 𝑞𝑞𝑎𝑎𝑐𝑐𝑖𝑖𝑐𝑐 ⋅ 𝑑𝑑
Carga acidental
𝐹𝐹𝑞𝑞𝑞𝑞𝑐𝑐 = 3,0 ⋅ 0,5
𝐹𝐹𝑞𝑞𝑞𝑞𝑐𝑐 = 1,50 𝑘𝑘𝑘𝑘/𝑚𝑚
106
4º – COMBINAÇÃO DE AÇÕES
Realizando a combinação de ações normal do estado 
limite último, temos que:
𝐹𝐹𝑐𝑐 = 𝛾𝛾𝑔𝑔 ⋅ 𝐹𝐹𝑔𝑔𝑐𝑐1 + 𝐹𝐹𝑔𝑔𝑐𝑐2 + 𝛾𝛾𝑞𝑞 ⋅ 𝐹𝐹𝑞𝑞𝑞𝑞𝑐𝑐
𝐹𝐹𝑐𝑐 = 1,4 ⋅ 0,75 + 0,91 + 1,4 ⋅ 1,50
Revestimento Peso próprio Acidental
𝐹𝐹𝑐𝑐 = 4,42 𝑘𝑘𝑘𝑘/𝑚𝑚
5º – MOMENTO SOLICITANTE
Admitindo que a vigota esteja com a configuração bi-
apoiada, podemos calcular o momento solicitante de projeto 
pela seguinte expressão:
𝑀𝑀𝐸𝐸𝑐𝑐 =
𝐹𝐹𝑐𝑐 ⋅ 𝐿𝐿2
8
𝑀𝑀𝐸𝐸𝑐𝑐 =
4,42 ⋅ 42
8
𝑀𝑀𝐸𝐸𝑐𝑐 = 8,84 𝑘𝑘𝑘𝑘 ⋅ 𝑚𝑚
107
5.2.4 – EXEMPLO: DIMENSIONAMENTO
O dimensionamento de lajes treliçadas é análogo ao de 
vigas com seção T e também é utilizado para lajes nervuradas. 
Contudo, devido às baixas solicitações da vigota treliçada em 
comparação com a viga, raramente a linha neutra (𝑒𝑒) ultrapassa 
a espessura da mesa (ℎ𝑖𝑖), fazendo com que o dimensionamento 
seja, na verdade, semelhante ao de vigas retangulares.
 Utilizando os dados obtidos no exemplo de análise estru-
tural, vamos agora realizar o dimensionamento da laje treliçada.
1º – ALTURA ÚTIL
Admitindo uma Classe de Agressividade Ambiental (CAA) 
II e barras com diâmetro (∅𝑞𝑞) de 10 mm, temos:
𝑓𝑓𝑦𝑦𝑐𝑐 = 434,8 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑎𝑎
2º - RESISTÊNCIAS DE PROJETO
𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐 =
𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐
𝛾𝛾𝑐𝑐
 → 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐 =
25
1,4
𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐 = 17,9 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑎𝑎
Resistência do concreto
𝑓𝑓𝑦𝑦𝑐𝑐 =
𝑓𝑓𝑦𝑦𝑐𝑐
𝛾𝛾𝑠𝑠
 → 𝑓𝑓𝑦𝑦𝑐𝑐 =
500
1,15
Resistência do aço
Considerando barras de CA-50 e um 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐 = 25 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑎𝑎:
𝑑𝑑 = ℎ − 𝑐𝑐 −
∅𝑞𝑞
2
 → 𝑑𝑑 = 20 − 2,5 −
1,0
2
𝑑𝑑 = 16 𝑐𝑐𝑚𝑚
𝑑𝑑
108
3º – LINHA NEUTRA
𝑒𝑒 = 1,25 ⋅ 𝑑𝑑 ⋅ 1 − 1 −
𝑀𝑀𝐸𝐸𝑐𝑐
0,425 ⋅ 𝑑𝑑 ⋅ 𝑑𝑑2 ⋅ 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐
𝑒𝑒 = 1,25 ⋅ 16 ⋅ 1 − 1 −
884
0,425 ⋅ 50 ⋅ 162 ⋅ 1,79
𝑒𝑒 = 0,9 𝑐𝑐𝑚𝑚
4º – CÁLCULO DA ARMADURA
𝐴𝐴𝑠𝑠 =
𝑀𝑀𝐸𝐸𝑐𝑐
𝑑𝑑 − 0,4 ⋅ 𝑒𝑒 ⋅ 𝑓𝑓𝑦𝑦𝑐𝑐
 → 𝐴𝐴𝑠𝑠 =
884
16 − 0,4 ⋅ 0,9 ⋅ 43,48
𝐴𝐴𝑠𝑠 = 1,30 𝑐𝑐𝑚𝑚2 → 3 ∅ 8 𝑚𝑚𝑚𝑚 = 1,50 𝑐𝑐𝑚𝑚2
Apesar da vigota treliçada geralmente ser composta por 
apenas duas barras longitudinais na parte inferior, também é 
possível a fabricação de barras adicionais junto a treliça, per-
mitindo a confecção de vigotas com 3 e 4 barras.
CISALHAMENTO
6.
YUVAL HARARI
6.1 – ARMADURA TRANSVERSAL DE VIGAS
Para o calculo da armadura transversal de vigas utilizamos 
a analogia de treliça proposta por Mörsch. Nela, as barras com-
primidas representam os esforços nas bielas de concreto; o ban-
zo inferior (tracionado) representa as barras longitudinais princi-
pais; e os esforços das barras verticais são as solicitações que 
utilizaremos para dimensionar nossos estribos.
Compressão
Tração
6.1.1 – MODELO DE CÁLCULO I
O dimensionamento da armadura transversal de vigas é 
composto por duas parcelas que resistem ao cisalhamento, a do 
estribo (𝑉𝑉𝑠𝑠𝑤𝑤) e a de mecanismos complementares ao modelo de 
treliça, o qual também pode ser atribuído ao concreto (𝑉𝑉𝑐𝑐). No 
modelo de cálculo I é admitido que a contribuição da resistência 
do concreto ao esforço cortante é constante e a inclinação das 
diagonais comprimidas é de 45°.
As considerações do modelo 
de cálculo I facilitam o cálculo ma-
nual e, no geral, produzem resul-
tados conservadores, a favor da se-
gurança. Acompanhe a seguir o 
exemplo de dimensionamento.
45° 45°
111
1º – DADOS
Para iniciarmos o dimensionamento da armadura trans-
versal da viga, definimos os dados de resistência dos materiais, 
geometria da viga e solicitações:
Dados
• 𝑏𝑏𝑤𝑤 = 20 𝑐𝑐𝑚𝑚
• ℎ = 40 𝑐𝑐𝑚𝑚
• 𝑑𝑑 = 35 𝑐𝑐𝑚𝑚
• 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐 = 25 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑎𝑎
• 𝑓𝑓𝑦𝑦𝑤𝑤𝑐𝑐 = 600 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑎𝑎
• 𝑉𝑉𝐸𝐸𝑐𝑐 = 85 kN
• 𝛼𝛼 = 90° (inclinação estribos)
𝑏𝑏𝑤𝑤
ℎ
𝑑𝑑
2º – RESISTÊNCIAS DE PROJETO
𝑓𝑓𝑦𝑦𝑤𝑤𝑐𝑐 = 521,7 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑎𝑎
𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐 =
𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐
𝛾𝛾𝑐𝑐
 → 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐 =
25
1,4
𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐 = 17,9 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑎𝑎
Resistência do concreto
𝑓𝑓𝑦𝑦𝑤𝑤𝑐𝑐 =
𝑓𝑓𝑦𝑦𝑤𝑤𝑐𝑐
𝛾𝛾𝑠𝑠
 → 𝑓𝑓𝑦𝑦𝑤𝑤𝑐𝑐 =
600
1,15
Resistência do aço (CA-60)
3º – VERIFICAÇÃO DIAGONAL COMPRIMIDA
Antes de prosseguirmos para o cálculo das parcelas resis-
tentes dos estribos e do concreto, é preciso garantir que o con-
creto das diagonais comprimidas não vai romper. Para isso, cal-
culamos a sua resistência pelas seguintes equações:
112
𝛼𝛼𝑟𝑟2 = 1 −
𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐
250
 ; 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑎𝑎
Coeficiente 𝛼𝛼𝑟𝑟2:
𝛼𝛼𝑟𝑟2 = 1 −
25
250
 
𝛼𝛼𝑟𝑟2 = 0,9
𝑉𝑉𝑅𝑅𝑐𝑐2,𝐼𝐼 = 0,27 ⋅ 𝛼𝛼𝑟𝑟2 ⋅ 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐 ⋅ 𝑏𝑏𝑤𝑤 ⋅ 𝑑𝑑
Resistência da diagonal comp.:
𝑉𝑉𝑅𝑅𝑐𝑐2,𝐼𝐼 = 0,27 ⋅ 0,9 ⋅ 1,79 ⋅ 20 ⋅ 35
𝑉𝑉𝑅𝑅𝑐𝑐2,𝐼𝐼 = 304 𝑘𝑘𝑘𝑘
𝑉𝑉𝑅𝑅𝑐𝑐2,𝐼𝐼: Resistência da diagonal comprimida pelo modelo I.
4º – PARCELA RESISTENTE DO CONCRETO
Para calcularmos a parcela resistente do concreto ao cisa-
lhamento em estruturas submetidas à flexão simples é preciso 
conhecer a sua resistência de projeto à tração (𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐), para isso, 
temos:
𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 = 0,21 ⋅
𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐
2/3
1,4
𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 = 0,21 ⋅
252/3
1,4 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 = 1,28 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑎𝑎→ →
Prosseguindo, agora podemos calcular a parcela de esfor-
ço cortante resistida pelo concreto (𝑉𝑉𝑐𝑐):
Como 𝑉𝑉𝑅𝑅𝑐𝑐2,𝐼𝐼 ≥ 𝑉𝑉𝐸𝐸𝑐𝑐 a diagonal 
comprimida não irá romper.
≥ 𝑉𝑉𝐸𝐸𝑐𝑐 = 85 𝑘𝑘𝑘𝑘
𝑉𝑉𝑐𝑐 = 0,6 ⋅ 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 ⋅ 𝑏𝑏𝑤𝑤 ⋅ 𝑑𝑑
𝑉𝑉𝑐𝑐 = 0,6 ⋅ 0,128 ⋅ 20 ⋅ 35
𝑉𝑉𝑐𝑐 = 53,8 𝑘𝑘𝑘𝑘
113
5º – PARCELA RESISTENTE DO ESTRIBO
Como já sabemos o quanto a viga consegue resistir ao 
cisalhamento sem o auxílio do estribo (𝑉𝑉𝑐𝑐), devemos dimensio-
nar a armadura transversal para suportar a diferença entre o que 
esta sendo solicitado na estrutura (𝑉𝑉𝐸𝐸𝑐𝑐) e o que ela já consegue 
suportar (𝑉𝑉𝑐𝑐). Logo, a parcela resistente do estribo (𝑉𝑉𝑠𝑠𝑤𝑤) vale:
𝑉𝑉𝑠𝑠𝑤𝑤 ≥ 𝑉𝑉𝐸𝐸𝑐𝑐 − 𝑉𝑉𝑐𝑐 → 𝑉𝑉𝑠𝑠𝑤𝑤 ≥ 85,0− 53,8 → 𝑉𝑉𝑠𝑠𝑤𝑤 ≥ 31,2 𝑘𝑘𝑘𝑘
6º – ADOTAR O ESTRIBO
No dimensionamento dos estribos temos duas variáveis 
principais que influenciam na sua resistência: a área de aço; e o 
espaçamento. Dessa forma, o cálculo prossegue com a adoção 
de uma dessas variáveis para a determinação da outra. 
Para o nosso exemplo 
vamos partir da adoção da 
área de aço. Vale ressaltar 
que a área da seção transver-
sal da barra nesses casos é 
multiplicada pelo número de 
ramos (𝑔𝑔) do estribo. 𝑔𝑔 = 2 𝑔𝑔 = 4 
Adotando um diâmetro de 5 mm (∅𝑠𝑠𝑤𝑤) com 2 ramos (𝑔𝑔):
𝐴𝐴𝑠𝑠𝑤𝑤 = 𝑔𝑔 ⋅
𝜋𝜋 ⋅ ∅𝑠𝑠𝑤𝑤2
4 → 𝐴𝐴𝑠𝑠𝑤𝑤 = 2 ⋅
𝜋𝜋 ⋅ 0,52
4
𝐴𝐴𝑠𝑠𝑤𝑤 = 0,39 𝑐𝑐𝑚𝑚2
114
7º – CALCULAR O ESPAÇAMENTO
Para calcular o espaçamento necessário (𝑆𝑆) entre os estri-
bos utilizamos a expressão dada abaixo. Contudo, é importante 
atentar que a tensão de projeto do escoamento dos estribos 
(𝑓𝑓𝑦𝑦𝑤𝑤𝑐𝑐) deve ser limitada ao máximo de 435 MPa.
𝑆𝑆 =
𝐴𝐴𝑠𝑠𝑤𝑤
𝑉𝑉𝑠𝑠𝑤𝑤
⋅ 0,9 ⋅ 𝑑𝑑 ⋅ 𝑓𝑓𝑦𝑦𝑤𝑤𝑐𝑐 ⋅ 𝑏𝑏𝑒𝑒𝑔𝑔 𝛼𝛼 + cos 𝛼𝛼
𝑆𝑆 =
0,39
31,2
⋅ 0,9 ⋅ 35 ⋅ 43,5 ⋅ 𝑏𝑏𝑒𝑒𝑔𝑔 90°+ cos 90°
𝑆𝑆 = 17 𝑐𝑐𝑚𝑚
Para facilitar a execução é 
comum adotarmos valores 
múltiplos de 5 cm. Logo, a 
armadura final fica:
∅ 5 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑐𝑐/ 15 𝑐𝑐𝑚𝑚 15 𝑐𝑐𝑚𝑚
8º – ARMADURA MÍNIMA
Por último, é necessário verificar se a armadura adotada 
atende à mínima exigida por norma. Para isso, calculamos então 
o espaçamento máximo permitido, o qual pode ser encontrado 
pela equação abaixo com os valores de tensão em [MPa].
𝑆𝑆𝑐𝑐𝑎𝑎𝑚𝑚 =
𝐴𝐴𝑠𝑠𝑤𝑤 ⋅ 𝑓𝑓𝑦𝑦𝑤𝑤𝑐𝑐
0,06 ⋅ 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐
2/3 ⋅ 𝑏𝑏𝑤𝑤
 → 𝑆𝑆𝑐𝑐𝑎𝑎𝑚𝑚 =
0,39 ⋅ 600
0,06 ⋅ 252/3 ⋅ 20
𝑆𝑆𝑐𝑐𝑎𝑎𝑚𝑚 = 22 𝑐𝑐𝑚𝑚
𝛼𝛼
115
6.1.2 – MODELO DE CÁLCULO II
No modelo de cálculo II a contribuição da resistência do 
concreto ao esforço cortante reduz com o aumento do nível de 
solicitação (𝑉𝑉𝐸𝐸𝑐𝑐) da viga. Além disso, a inclinação das diagonais 
comprimidas variam de 30° a 45°.
𝜃𝜃 𝜃𝜃
30° ≤ 𝜃𝜃 ≤ 45°
Para demonstrar as dife-
renças entre os dois métodos de 
cálculo, é apresentado a seguir a 
resolução do exemplo anterior 
pelo modelo de cálculo II.
1º – DADOS
Dados
• 𝑏𝑏𝑤𝑤 = 20 𝑐𝑐𝑚𝑚
• ℎ = 40 𝑐𝑐𝑚𝑚
• 𝑑𝑑 = 35 𝑐𝑐𝑚𝑚
• 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐 = 25 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑎𝑎
• 𝑓𝑓𝑦𝑦𝑤𝑤𝑐𝑐 = 600 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑎𝑎
• 𝑉𝑉𝐸𝐸𝑐𝑐 = 85 kN
• 𝛼𝛼 = 90° (estribo reto) 𝑏𝑏𝑤𝑤
ℎ 𝑑𝑑
2º – RESISTÊNCIAS DE PROJETO
𝑓𝑓𝑦𝑦𝑤𝑤𝑐𝑐 = 521,7 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑎𝑎𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐 = 17,9 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑎𝑎
116
3º – VERIFICAÇÃO DIAGONAL COMPRIMIDA
Para verificar a diagonal comprimida da viga é arbitrado 
livremente um valor para a inclinação 𝜃𝜃 da biela entre os ângulos 
de 30° a 45°. Assumindo que 𝜃𝜃 = 30°, temos:
𝑉𝑉𝑅𝑅𝑐𝑐2,𝐼𝐼𝐼𝐼 = 0,54 ⋅ 𝛼𝛼𝑟𝑟2 ⋅ 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐 ⋅ 𝑏𝑏𝑤𝑤 ⋅ 𝑑𝑑 ⋅ 𝑏𝑏𝑒𝑒𝑔𝑔2 𝜃𝜃 ⋅ cot 𝛼𝛼 + cot 𝜃𝜃
𝛼𝛼𝑟𝑟2 = 1 −
𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐
250
 → 𝛼𝛼𝑟𝑟2 = 1 −
25
250
 → 𝛼𝛼𝑟𝑟2 = 0,9
𝑉𝑉𝑅𝑅𝑐𝑐2,𝐼𝐼𝐼𝐼 = 0,54 ⋅ 0,9 ⋅ 1,79 ⋅ 20 ⋅ 35 ⋅ 𝑏𝑏𝑒𝑒𝑔𝑔2 30 ⋅
𝑐𝑐𝑏𝑏𝑏𝑏 90
𝑏𝑏𝑒𝑒𝑔𝑔 90
+ cot 30
𝑉𝑉𝑅𝑅𝑐𝑐2,𝐼𝐼𝐼𝐼 = 264 𝑘𝑘𝑘𝑘 ≥ 𝑉𝑉𝐸𝐸𝑐𝑐 = 85 𝑘𝑘𝑘𝑘 → 𝑂𝑂𝑂𝑂!
4º – PARCELA RESISTENTE DO CONCRETO
No cálculo da parcela resistente do concreto ao cisalha-
mento pelo modelo de cálculo II (𝑉𝑉𝑐𝑐,𝐼𝐼𝐼𝐼), primeiro calculamos o 
valor pelo modelo I (𝑉𝑉𝑐𝑐,𝐼𝐼):
𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 = 0,21 ⋅
𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐
2/3
1,4
𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 = 0,21 ⋅
252/3
1,4
𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 = 1,28 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑎𝑎→
𝑉𝑉𝑐𝑐,𝐼𝐼 = 0,6 ⋅ 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 ⋅ 𝑏𝑏𝑤𝑤 ⋅ 𝑑𝑑 𝑉𝑉𝑐𝑐,𝐼𝐼 = 0,6 ⋅ 0,128 ⋅ 20 ⋅ 35
𝑉𝑉𝑐𝑐,𝐼𝐼 = 53,8 𝑘𝑘𝑘𝑘
→
117
→
Em seguida, realizamos uma interpolação com base no 
valor de 𝑉𝑉𝐸𝐸𝑐𝑐, conforme mostrado no gráfico abaixo:
𝑉𝑉𝑅𝑅𝑐𝑐2,𝐼𝐼𝐼𝐼
𝑉𝑉𝑐𝑐,𝐼𝐼𝐼𝐼
𝑉𝑉𝐸𝐸𝑐𝑐
𝑉𝑉𝑐𝑐,𝐼𝐼
0 ≤ 𝑉𝑉𝑐𝑐,𝐼𝐼𝐼𝐼 ≤ 𝑉𝑉𝑐𝑐,𝐼𝐼
Realizando a interpolação no nosso exemplo, temos que:
𝑉𝑉𝑐𝑐,𝐼𝐼𝐼𝐼 = 𝑉𝑉𝑐𝑐,𝐼𝐼 ⋅ 1 −
𝑉𝑉𝐸𝐸𝑐𝑐 − 𝑉𝑉𝑐𝑐,𝐼𝐼
𝑉𝑉𝑅𝑅𝑐𝑐2,𝐼𝐼𝐼𝐼 − 𝑉𝑉𝑐𝑐,𝐼𝐼
→ 𝑉𝑉𝑐𝑐,𝐼𝐼𝐼𝐼 = 53,8 ⋅ 1 −
85 − 53,8
264 − 53,8
𝑉𝑉𝑐𝑐,𝐼𝐼𝐼𝐼 = 45,8 𝑘𝑘𝑘𝑘
5º – PARCELA RESISTENTE DO ESTRIBO
𝑉𝑉𝑠𝑠𝑤𝑤 ≥ 𝑉𝑉𝐸𝐸𝑐𝑐 − 𝑉𝑉𝑐𝑐 → 𝑉𝑉𝑠𝑠𝑤𝑤 ≥ 85,0− 45,8 → 𝑉𝑉𝑠𝑠𝑤𝑤 ≥ 39,2 𝑘𝑘𝑘𝑘
Observe que a parcela do esforço que o estribo deve resis-
tir aumentou se comparada à do exemplo anterior (31,2 kN).
118
6º – ADOTAR O ESTRIBO
Para melhor comparar o atual exemplo 
com o anterior, será adotada a mesma área de 
aço já exemplificada.
𝐴𝐴𝑠𝑠𝑤𝑤 = 𝑔𝑔 ⋅
𝜋𝜋 ⋅ ∅𝑠𝑠𝑤𝑤2
4
 → 𝐴𝐴𝑠𝑠𝑤𝑤 = 0,39 𝑐𝑐𝑚𝑚2
7º – CALCULAR O ESPAÇAMENTO
A equação para o cálculo do espaçamento pelo modelo 
de cálculo II é levemente diferente da anterior, sendo dada por:
𝑆𝑆 =
𝐴𝐴𝑠𝑠𝑤𝑤
𝑉𝑉𝑠𝑠𝑤𝑤
⋅ 0,9 ⋅ 𝑑𝑑 ⋅ 𝑓𝑓𝑦𝑦𝑤𝑤𝑐𝑐 ⋅ 𝑐𝑐𝑏𝑏𝑏𝑏 𝛼𝛼 + 𝑐𝑐𝑏𝑏𝑏𝑏 𝜃𝜃 ⋅ 𝑏𝑏𝑒𝑒𝑔𝑔 𝛼𝛼
𝑆𝑆 =
0,39
39,2 ⋅ 0,9 ⋅ 35 ⋅ 43,5 ⋅ 𝑐𝑐𝑏𝑏𝑏𝑏 90 + 𝑐𝑐𝑏𝑏𝑏𝑏 30 ⋅ 𝑏𝑏𝑒𝑒𝑔𝑔 90
𝑆𝑆 = 23 𝑐𝑐𝑚𝑚
Repare que mesmo apre- 
sentando uma parcela de carga 
maior para o estribo (𝑉𝑉𝑠𝑠𝑤𝑤 ), o 
modelo de cálculo II oferece um 
espaçamento maior do que o 
modelo de cálculo I. Como es-
paçamentos menores produzem 
uma maior quantidade de arma-
dura, é possível concluir que o 
modelo de cálculo I é mais con-
servador.
≤ 23 𝑐𝑐𝑚𝑚
119
6.2 – CISALHAMENTO EM LAJES
Lajes são elementos que, de forma geral, não 
apresentam armadura transversal. Dessa forma, no 
dimensionamento de lajes apenas verificamos a sua 
capacidade resistiva aos esforços cortantes. Caso essa 
capacidade não seja atendida, o mais comum é au-
mentar a espessura da laje.
Mas existem estribos para lajes? Sim, os mais 
comuns são os utilizados para resistir aos esforços de 
punção, os quais se assemelham a ilustração ao lado. 
Contudo, sua utilização se limita aos casos em que a 
laje é apoiada no pilar e não são comuns em obras de 
pequeno e médio porte.
Para exemplificar a verificação da resistência ao esforço 
cortante de lajes, vamos realizar a esse cálculo no exemplo de 
laje maciça resolvido no item 5.1.5.
1º – DADOS
𝑑𝑑 ℎ𝐴𝐴𝑠𝑠
Dados
• 𝑏𝑏𝑤𝑤 = 100 𝑐𝑐𝑚𝑚
• ℎ = 10 𝑐𝑐𝑚𝑚
• 𝑑𝑑 = 6 𝑐𝑐𝑚𝑚
• 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐 = 25 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑎𝑎
• 𝐴𝐴𝑠𝑠 = 3,2 𝑐𝑐𝑚𝑚2
• 𝑉𝑉𝐸𝐸𝑐𝑐 = 18 kN
A determinação do esforço cortante solicitante da laje 
(𝑉𝑉𝐸𝐸𝑐𝑐) foi feita por tabelas de forma análoga à já exemplificada 
durante a análise estrutural dos momentos fletores.
120
2º – RESISTÊNCIA À TRAÇÃO DO CONCRETO
𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐,𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 = 0,21 ⋅ 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐
2/3
𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐,𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 = 1,80 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑎𝑎
Resistência característica Resistência de projeto
𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐,𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 = 0,21 ⋅ 252/3
𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 = 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐,𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖/𝛾𝛾𝑐𝑐
𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 = 1,29 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑎𝑎
𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 = 1,80/1,4
3º – TAXA DE ARMADURA
A taxa de armadura da laje é dada pela seguinte equação:
𝜌𝜌1 =
𝐴𝐴𝑠𝑠
𝑏𝑏𝑤𝑤 ⋅ 𝑑𝑑
≤ 2%
𝜌𝜌1 =
3,2
100 ⋅ 6
𝜌𝜌1 = 0,53%
4º – FATOR K
Para o cálculo do fator K utilizamos a equação abaixo com 
o valor da altura útil (𝑑𝑑) em metros. Apenas nos casos em que 
50% ou mais da armadura inferior não chegam nos apoios temos 
𝑂𝑂 = 1. Admitindo que este não seja o caso:
𝑂𝑂 = 1,6 − 𝑑𝑑 → 𝑂𝑂 = 1,6 − 0,06 → 𝑂𝑂 = 1,54
Antes de prosseguirmos com o cálculo da capacidade re-
sistiva de lajes ao cisalhamento é preciso conhecer a resistência 
à tração de projeto do concreto, a qual é dada por:
121
5º – RESISTÊNCIA DA LAJE AO CISALHAMENTO
Agora podemos substituir os valores encontrados na fór-
mula do cálculo da capacidade resistiva ao cisalhamento de lajes:
𝑉𝑉𝑅𝑅𝑐𝑐1 = 0,25 ⋅ 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 ⋅ 𝑂𝑂 ⋅ 1,2 + 40 ⋅ 𝜌𝜌1 ⋅ 𝑏𝑏𝑤𝑤 ⋅ 𝑑𝑑
𝑉𝑉𝑅𝑅𝑐𝑐1 = 0,25 ⋅ 0,129 ⋅ 1,54 ⋅ 1,2 + 40 ⋅ 0,0053 ⋅ 100 ⋅ 6
𝑉𝑉𝑅𝑅𝑐𝑐1 = 42 𝑘𝑘𝑘𝑘 ≥ 𝑉𝑉𝐸𝐸𝑐𝑐 = 18 𝑘𝑘𝑘𝑘 → 𝑂𝑂𝑂𝑂!
6º – DIAGONAL COMPRIMIDA
Por fim, ainda é necessário verificar a ruptura da diagonal 
comprimida da laje. Para isso, comparamos o esforço cortante 
solicitante (𝑉𝑉𝐸𝐸𝑐𝑐) com a resistência 𝑉𝑉𝑅𝑅𝑐𝑐2, que é dada por:
𝛼𝛼𝑟𝑟1 = 0,7 −
𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐
200
 ; 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐𝑒𝑒𝑚𝑚 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑎𝑎
𝑉𝑉𝑅𝑅𝑐𝑐2 = 0,5 ⋅ 𝛼𝛼𝑟𝑟1 ⋅ 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐 ⋅ 𝑏𝑏𝑤𝑤 ⋅ 0,9 ⋅ 𝑑𝑑 ; 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐 =
𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐
𝛾𝛾𝑐𝑐
𝛼𝛼𝑟𝑟1 = 0,7 −
25
200 → 𝛼𝛼𝑟𝑟1 = 0,575
𝑉𝑉𝑅𝑅𝑐𝑐2 = 0,5 ⋅ 0,575 ⋅
2,5
1,4 ⋅ 100 ⋅ 0,9 ⋅ 6
𝑉𝑉𝑅𝑅𝑐𝑐2 = 277 𝑘𝑘𝑘𝑘 ≥ 𝑉𝑉𝐸𝐸𝑐𝑐 = 18 𝑘𝑘𝑘𝑘 → 𝑂𝑂𝑂𝑂!
122
VERIFICAÇÕES
7.
ELS
MARIE CURIE
7.1 – PRINCPAIS VERIFICAÇÕES
No Estado Limite de Serviço (ELS) são definidos critérios 
que visam a durabilidade, aparência e conforto da estrutura. 
Para garantir tais critérios é necessário que a viga consiga tra-
balhar sem apresentar elevados níveis de fissuração, deformação 
e vibração. Dessa forma, são definidos os seguintes estados limi-
tes a serem atendidos:
FORMAÇÃO DE FISSURAS
Define o estado em que se iniciam as fissuras. 
Utilizado para definir se uma estrutura está 
ou não no estádio 1.
Define estados para diferentes níveis de 
abertura de fissuras. É essencial para garantir 
uma boa durabilidade e aparência das estruturas.
ABERTURA DE FISSURAS
DEFORMAÇÃO EXCESSIVA
Define o estado emque as deformações na 
estrutura podem causar patologias na obra e 
desconfortos visuais nos usuários.
125
Define o estado em que as vibrações na 
estrutura causam riscos à sua estabilidade 
ou desconfortos aos usuários.
VIBRAÇÕES EXCESSIVAS
𝐿𝐿
126
7.2 – FORMAÇÃO DE FISSURAS
O estado limite de formação de fissuras (ELS-F) é calculado 
a partir da combinação de ações frequente e define um valor de 
momento a partir do qual espera-se que ocorra a fissuração em 
uma estrutura de concreto armado.
 Essa verificação é especialmente importante para marcar 
o regime em que a estrutura está trabalhando. Caso o momento 
solicitante (𝑀𝑀𝐸𝐸𝑐𝑐) seja menor que o momento de fissuração (𝑀𝑀𝑟𝑟), 
é possível afirmar que a estrutura se encontra no Estádio 1, caso 
contrário, se encontra no estádio 2 ou 3. Para demonstrar a 
análise deste estado limite vamos resolver o seguinte exemplo:
1º – DADOS
Geometria e materiais
• 𝑏𝑏𝑤𝑤 = 20 𝑐𝑐𝑚𝑚
• ℎ = 40 𝑐𝑐𝑚𝑚
• 𝑑𝑑 = 35 𝑐𝑐𝑚𝑚
• 𝐿𝐿 = 5 𝑚𝑚
• 𝐴𝐴𝑠𝑠 = 6,0 𝑐𝑐𝑚𝑚2 → 3 ∅ 16
• 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐 = 25 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑎𝑎
• 𝑓𝑓𝑦𝑦𝑐𝑐 = 500 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑎𝑎 (CA-50)
Cargas
• Peso próprio:
𝐹𝐹𝑔𝑔𝑐𝑐1 = 7,0 𝑘𝑘𝑘𝑘/𝑚𝑚
• Revestimento
𝐹𝐹𝑔𝑔𝑐𝑐2 = 3,0 𝑘𝑘𝑘𝑘/𝑚𝑚
• Acidental
𝐹𝐹𝑞𝑞𝑞𝑞𝑐𝑐 = 6,0 𝑘𝑘𝑘𝑘/𝑚𝑚
𝑏𝑏𝑤𝑤
ℎ𝑑𝑑
127
2º – COMBINAÇÃO DE AÇÕES
Considerando as cargas definidas para o exemplo e admi-
tindo que a edificação se trata de uma obra residencial sem 
elevadas concentrações de pessoas, a combinação frequente de 
ações é dada por:
𝐹𝐹𝑐𝑐,𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸,𝐹𝐹 = 𝐹𝐹𝑔𝑔𝑐𝑐1 + 𝐹𝐹𝑔𝑔𝑐𝑐2 + 𝜓𝜓1 ⋅ 𝐹𝐹𝑞𝑞𝑞𝑞𝑐𝑐
𝐹𝐹𝑐𝑐,𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸,𝐹𝐹 = 7,0 + 3,0 + 0,4 ⋅ 6,0
Peso próprio Revestimento Acidental
𝐹𝐹𝑐𝑐,𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸,𝐹𝐹 = 12,4 𝑘𝑘𝑘𝑘/𝑚𝑚
3º – MOMENTO SOLICITANTE
Admitindo que a viga se encontre biapoiada, podemos en-
contrar o momento solicitante máximo pela expressão:
𝑀𝑀𝐸𝐸𝑐𝑐,𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸,𝐹𝐹 =
𝐹𝐹𝑐𝑐,𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸,𝐹𝐹 ⋅ 𝐿𝐿2
8 → 𝑀𝑀𝐸𝐸𝑐𝑐,𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸,𝐹𝐹 =
12,4 ⋅ 52
8
𝑀𝑀𝐸𝐸𝑐𝑐,𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸,𝐹𝐹 = 38,8 𝑘𝑘𝑘𝑘 ⋅ 𝑚𝑚
4º – RESISTÊNCIA À TRAÇÃO DO CONCRETO
Devemos agora encontrar a resistência média à tração do 
concreto (𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐), definida por:
𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 = 0,3 ⋅ 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐
2/3 → 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 = 0,3 ⋅ 252/3 → 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 = 2,56 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑎𝑎
128
5º – INÉRCIA BRUTA DA SEÇÃO
O próximo passo é calcular a inércia bruta da seção de 
concreto (𝐼𝐼𝑐𝑐). Para isso, utilizamos a seguinte equação:
𝐼𝐼𝑐𝑐 =
𝑏𝑏𝑤𝑤 ⋅ ℎ3
12 → 𝐼𝐼𝑐𝑐 =
20 ⋅ 403
12 
𝐼𝐼𝑐𝑐 = 106.666 𝑐𝑐𝑚𝑚4
6º – DISTÂNCIA DO CG
Prosseguindo, devemos calcular 
agora a distância do centro geométrico 
da seção até a fibra mais tracionada (𝑌𝑌𝑐𝑐).
20
40
𝐶𝐶𝐺𝐺
𝑌𝑌𝑐𝑐𝑌𝑌𝑐𝑐 =
ℎ
2 → 𝑌𝑌𝑐𝑐 =
40
2 → 𝑌𝑌𝑐𝑐 = 20 𝑐𝑐𝑚𝑚
ℎ
7º – PARÂMETRO α
O parâmetro 𝛼𝛼 é um coeficiente que correlaciona as ten-
sões de tração obtidas nos ensaios de tração direta e a tensão de 
tração observada durante a flexão, seu valor é definido de acordo 
com a seção da estrutura:
𝛼𝛼 = �
1,2: 𝑏𝑏𝑒𝑒𝑠𝑠𝑏𝑏 𝑇𝑇 𝑏𝑏𝑜𝑜 𝑑𝑑𝑜𝑜𝑑𝑑𝑏𝑏𝑏𝑏 𝑇𝑇 
1,3: 𝑏𝑏𝑒𝑒𝑠𝑠𝑏𝑏 𝐼𝐼 𝑏𝑏𝑜𝑜 𝑇𝑇 𝑑𝑑𝑔𝑔𝑖𝑖𝑒𝑒𝑔𝑔𝑏𝑏𝑑𝑑𝑑𝑑𝑏𝑏
1,5: 𝑏𝑏𝑒𝑒𝑠𝑠𝑏𝑏 𝑔𝑔𝑒𝑒𝑏𝑏𝑎𝑎𝑔𝑔𝑘𝑘𝑜𝑜𝑏𝑏𝑎𝑎𝑔𝑔 
→ 𝛼𝛼 = 1,5
129
8º – MOMENTO DE FISSURAÇÃO
Por fim, com todos os valores em mãos, podemos pros-
seguir calculando o momento de fissuração, dado por:
𝑀𝑀𝑟𝑟 =
𝛼𝛼 ⋅ 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 ⋅ 𝐼𝐼𝑐𝑐
𝑌𝑌𝑐𝑐
𝑀𝑀𝑟𝑟 =
1,5 ⋅ 0,256 ⋅ 106666
20
𝑀𝑀𝑟𝑟 = 2048 𝑘𝑘𝑘𝑘 ⋅ 𝑐𝑐𝑚𝑚
𝑀𝑀𝑟𝑟 = 20,5 𝑘𝑘𝑘𝑘 ⋅ 𝑚𝑚
Como o momento solicitante 𝑀𝑀𝐸𝐸𝑐𝑐,𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸,𝐹𝐹 é maior do que o 
momento de fissuração 𝑀𝑀𝑟𝑟, espera-se que a estrutura fissure e, 
portanto, trabalhe no domínio 2 ou 3.
7.3 – ABERTURA DE FISSURAS
O estado limite de abertura de fissuras (ELS-W) também é 
calculado a partir da combinação de ações frequente e define 
um valor para o qual é esperado a magnitude das aberturas de 
fissuras. É importante ressaltar que este cálculo é uma esti-
mativa, visto que a abertura real de fissuras está relacionada com 
inúmeros fatores, especialmente com a qualidade de execução 
da obra.
130
7.3.1 – LIMITES
A ABNT NBR 6118:2023, no seu item 13.4.2, estabelece 
limites para a abertura máxima de fissuras em estruturas de 
concreto armado conforme a Classe a Agressividade Ambiental 
(CAA). Tais limites visam garantir uma maior durabilidade às es-
truturas frente aos ataques de agentes corrosivos nas armaduras.
CAA Limite Exemplo
I ≤ 0,4 mm Áreas rurais ou submersas.
II ≤ 0,3 mm Áreas urbanas.
III ≤ 0,3 mm Áreas industriais ou marinhas.
IV ≤ 0,2 mm Áreas com respingo de maré.
Limite máximo para a abertura de fissuras.
7.3.2 – EXEMPLO
Para exemplificar a verificação da estimativa de abertura 
de fissuras, vamos basear este cálculo no exemplo do item 7.2. 
Logo, temos os seguintes dados:
Dados
• 𝑏𝑏𝑤𝑤 = 20 𝑐𝑐𝑚𝑚
• ℎ = 40 𝑐𝑐𝑚𝑚
• 𝑑𝑑 = 35 𝑐𝑐𝑚𝑚
• 𝐿𝐿 = 5 𝑚𝑚
• 𝐴𝐴𝑠𝑠 = 6,0 𝑐𝑐𝑚𝑚2 → 3 ∅ 16
• 𝐵𝐵𝑎𝑎𝑔𝑔𝑔𝑔𝑎𝑎𝑏𝑏 𝑔𝑔𝑒𝑒𝑔𝑔𝑖𝑖𝑜𝑜𝑔𝑔𝑎𝑎𝑑𝑑𝑎𝑎𝑏𝑏
• 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐 = 25 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑎𝑎
• 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 = 2,56 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑎𝑎
• 𝑓𝑓𝑦𝑦𝑐𝑐 = 500 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑎𝑎
• 𝐸𝐸𝑠𝑠 = 210 𝐺𝐺𝑀𝑀𝑎𝑎
• 𝑀𝑀𝐸𝐸𝑐𝑐,𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸,𝐹𝐹 = 38,8 𝑘𝑘𝑘𝑘 ⋅ 𝑚𝑚
• 𝐶𝐶𝐴𝐴𝐴𝐴 − 𝐼𝐼𝑉𝑉
131
1º – MÓDULO DE ELASTICIDADE – Eci
O primeiro passo do nosso exemplo será calcular o módu-
lo de elasticidade tangente inicial do concreto. Admitindo que o 
material do agregado graúdo seja composto por granito, temos:
𝛼𝛼𝐸𝐸 =
1,2: 𝑏𝑏𝑎𝑎𝑏𝑏𝑎𝑎𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏 𝑒𝑒 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑎𝑎𝑏𝑏𝑑𝑏𝑏𝑑𝑑𝑏𝑏
1,0:𝑘𝑘𝑔𝑔𝑎𝑎𝑔𝑔𝑑𝑑𝑏𝑏𝑏𝑏 𝑒𝑒 𝑘𝑘𝑔𝑔𝑎𝑎𝑑𝑑𝑏𝑏𝑏𝑏𝑒𝑒 
0,9: 𝑐𝑐𝑎𝑎𝑏𝑏𝑐𝑐𝑑𝑔𝑔𝑑𝑑𝑏𝑏 
0,7:𝑎𝑎𝑔𝑔𝑒𝑒𝑔𝑔𝑑𝑑𝑏𝑏𝑏𝑏 
→ 𝛼𝛼𝐸𝐸 = 1,0
2º – MÓDULO DE ELASTICIDADE – Ecs
Por se tratar de uma verificação local, devemos utilizar o 
módulo de elasticidade secante do concreto, o qual é dado por:
𝐸𝐸𝑐𝑐𝑖𝑖 = 𝛼𝛼𝐸𝐸 ⋅ 5600 ⋅ 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐 → 𝐸𝐸𝑐𝑐𝑖𝑖 = 1 ⋅ 5600 ⋅ 25
𝐸𝐸𝑐𝑐𝑖𝑖 = 28.000 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑎𝑎
𝐸𝐸𝑐𝑐𝑠𝑠 = 0,8 + 0,2 ⋅
𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐
80
⋅ 𝐸𝐸𝑐𝑐𝑖𝑖 → 𝐸𝐸𝑐𝑐𝑠𝑠 = 0,8 + 0,2 ⋅
25
80
⋅ 28000
𝐸𝐸𝑐𝑐𝑠𝑠 = 24.150 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑎𝑎
3º – FATOR αe
Para relacionar o nível de tensão na armadura com o nível 
de tensão no concreto, devemos calcular a relação entre os dois 
módulos de elasticidade (𝛼𝛼𝑟𝑟).Vale ressaltar que tal relação tam-
bém pode ser simplesmente adotada como 15.
𝛼𝛼𝑟𝑟 =
𝐸𝐸𝑠𝑠
𝐸𝐸𝑐𝑐𝑠𝑠
 → 𝛼𝛼𝑟𝑟 =
210000
24150 → 𝛼𝛼𝑟𝑟 = 8,7
4º – LINHA NEUTRA NO ESTÁDIO II
O próximo passo do nosso exemplo será calcular a linha 
neutra da seção no estádio II, ou seja, considerando a distri-
buição linear de tensões no concreto comprimido e fissuras no 
concreto tracionado. Para isso, utilizamos as seguintes equações:
𝑒𝑒𝐼𝐼𝐼𝐼 =
−(𝐴𝐴 + 𝐵𝐵) + (𝐴𝐴 + 𝐵𝐵)2−2 ⋅ 𝑏𝑏𝑤𝑤 ⋅ −𝑑𝑑′ ⋅ 𝐴𝐴 − 𝑑𝑑 ⋅ 𝐵𝐵
𝑏𝑏𝑤𝑤
𝐴𝐴 = (𝛼𝛼𝑟𝑟 − 1) ⋅ 𝐴𝐴𝑠𝑠′ → 𝐴𝐴 = 8,7 ⋅ 0 → 𝐴𝐴 = 0
𝐵𝐵 = 𝛼𝛼𝑟𝑟 ⋅ 𝐴𝐴𝑠𝑠 → 𝐵𝐵 = 8,7 ⋅ 6,0 → 𝐵𝐵 = 52,2
𝑒𝑒𝐼𝐼𝐼𝐼 =
−(0 + 52,2) + (0 + 52,2)2−2 ⋅ 20 ⋅ −0 ⋅ 0 − 35 ⋅ 52,2
20
𝑒𝑒𝐼𝐼𝐼𝐼 = 11,2 𝑐𝑐𝑚𝑚
5º – MOMENTO DE INÉRCIA NO ESTÁDIO II
Como a seção da viga se encontra fissurada, a sua inércia 
está reduzida. Devemos então calcular o momento de inércia no 
estádio II (𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼), que é dado por:
𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼 =
𝑏𝑏𝑤𝑤 ⋅ 𝑒𝑒𝐼𝐼𝐼𝐼3
3 + 𝐵𝐵 ⋅ 𝑑𝑑 − 𝑒𝑒𝐼𝐼𝐼𝐼 2 + 𝐴𝐴 ⋅ 𝑒𝑒𝐼𝐼𝐼𝐼 − 𝑑𝑑′ 2
𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼 =
20 ⋅ 11,23
3 + 52,2 ⋅ 35− 11,2 2 + 0 ⋅ 11,2− 0 2
𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼 = 38.934 𝑐𝑐𝑚𝑚4
132
133
6º – TAXA DE ARMADURA
A taxa de armadura (𝜌𝜌𝑟𝑟) é calculada pela relação da área 
de aço (𝐴𝐴𝑠𝑠) considerada e a área de concreto envolvente (𝐴𝐴𝑐𝑐𝑟𝑟), 
formada por um retângulo com lados a uma distância máxima de 
7,5 ∅𝑖𝑖 do centro geométrico da armadura, sendo ∅𝑖𝑖 o diâmetro 
da barra analisada.
𝐴𝐴𝑐𝑐𝑟𝑟 = ℎ − 𝑑𝑑 + 7,5 ⋅ ∅𝑞𝑞 ⋅ 𝑏𝑏𝑤𝑤 → 𝐴𝐴𝑐𝑐𝑟𝑟 = 40 − 35 + 7,5 ⋅ 1,6 ⋅ 20
7,5 Ø
𝐴𝐴𝑐𝑐𝑟𝑟
7,5 Ø
Como normalmente as ex-
tremidades laterais e inferiores de 
vigas e lajes apresentam uma dis-
tância menor do que 7,5 ∅𝑖𝑖 da 
armadura e a distância entre duas 
barras consecutivas costuma ser 
menor do que 15 ∅𝑖𝑖, é comum a 
simplificação do cálculo da área 
de envolvimento de concreto 
tomando como base todas as bar-
ras da armadura e a área forma-
da pelo retângulo de lados 𝑏𝑏𝑤𝑤 e 
(ℎ − 𝑑𝑑 + 7,5 ∅𝑖𝑖 ), conforme ilus-
trado na figura ao lado.
Dessa forma, a taxa de armadura do exemplo é dada por:
𝐴𝐴𝑐𝑐𝑟𝑟 = 340 𝑐𝑐𝑚𝑚2
𝜌𝜌𝑟𝑟 =
𝐴𝐴𝑠𝑠
𝐴𝐴𝑐𝑐𝑟𝑟
≤ 2% → 𝜌𝜌𝑟𝑟 =
6
340
 → 𝜌𝜌𝑟𝑟 = 1,8 %
134
7º – TENSÃO NA ARMADURA
A abertura de fissuras é proporcional ao nível de tensão 
na armadura, o qual é definido pela seguinte equação:
𝜎𝜎𝑠𝑠 =
𝛼𝛼𝑟𝑟 ⋅ 𝑀𝑀𝐸𝐸𝑐𝑐,𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸,𝐹𝐹 ⋅ (𝑑𝑑 − 𝑒𝑒𝐼𝐼𝐼𝐼)
𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼
 O coeficiente de conformação superficial (𝜂𝜂1) é definido 
pela ABNT NBR 6118:2023 de acordo com o tipo de aço das 
barras longitudinais e está relacionado com a eficiência na 
transmissão dos esforços da armadura para o concreto. Como no 
exemplo são admitidas barras de CA-50, temos:
𝜎𝜎𝑠𝑠 = 20,6 𝑘𝑘𝑘𝑘/𝑐𝑐𝑚𝑚2
8º – COEFICIENTE η1
CA-25 CA-60CA-50
𝜂𝜂1 = 1,00 𝜂𝜂1 = 1,00𝜂𝜂1 = 2,25
𝜂𝜂1 = 2,25
𝜎𝜎𝑠𝑠 =
8,7 ⋅ 3880 ⋅ (35− 11,2)
38934
135
A abertura de fissuras pode ser calculada por dois méto-
dos. O primeiro a ser analisado é o método sistemático, o qual é 
caracterizado pela uniformidade de espaçamentos e de aberturas 
das fissuras.
 Além disso, esse processo é ocasionado quando a resul-
tante de tração na barra de aço se torna maior ou igual à 
resultante de tração no concreto (𝐹𝐹𝑠𝑠 ≥ 𝐹𝐹𝑐𝑐𝑐𝑐).
 Seu cálculo é dado pela seguinte expressão:
8º – ABERTURA DE FISSURAS – MS
𝑤𝑤𝑀𝑀𝐸𝐸 =
∅𝑞𝑞
(12,5 ⋅ 𝜂𝜂1) ⋅
𝜎𝜎𝑠𝑠
𝐸𝐸𝑠𝑠
⋅
4
𝜌𝜌𝑟𝑟
+ 45
Método sistemático:
𝑤𝑤𝑀𝑀𝐸𝐸 =
1,6
(12,5 ⋅ 2,25) ⋅
20,6
21000 ⋅
4
0,018 + 45
𝑤𝑤𝑀𝑀𝐸𝐸 = 0,015 𝑐𝑐𝑚𝑚 → 𝑤𝑤𝑀𝑀𝐸𝐸 = 0,15 𝑚𝑚𝑚𝑚
Processo de fissuração sistemática.
Espaçamentos uniformes Níveis de aberturas 
semelhantes
136
A abertura de fissuras também pode ser calculada a partir 
do método não sistemático, o qual é caracterizado pela desuni-
formidade de espaçamentos e de aberturas das fissuras. Esse 
processo ocorre quando a taxa geométrica de armadura (𝜌𝜌𝑟𝑟) é 
menor que a razão entre a resistência à tração do concreto e a 
tensão na armadura na seção fissurada (𝜌𝜌𝑟𝑟=
2 − 0,677
1 + 50 ⋅ 0 → 𝛼𝛼𝑖𝑖 = 1,323
8º – FLECHA FINAL
A deformação final (𝑎𝑎𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑎𝑎𝑞𝑞) é dada pela soma da flecha 
imediata com a flecha provocada pelo efeito de fluência, logo:
𝑎𝑎𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑎𝑎𝑞𝑞 = 𝑎𝑎𝑖𝑖 ⋅ 1 + 𝛼𝛼𝑖𝑖 → 𝑎𝑎𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑎𝑎𝑞𝑞 = 0,79 ⋅ 1 + 1,323
𝑎𝑎𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑎𝑎𝑞𝑞 = 1,84 cm
𝑎𝑎𝑖𝑖𝑎𝑎𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑎𝑎𝑞𝑞
142
9º – VERIFICAÇÃO DO LIMITE
O último passo é verificar se a flecha final encontrada está 
dentro do limite recomendado pela norma para aceitação visual.
𝑎𝑎𝑞𝑞𝑖𝑖𝑐𝑐 =
𝑏𝑏
250 → 𝑎𝑎𝑞𝑞𝑖𝑖𝑐𝑐 =
500
250 → 𝑎𝑎𝑞𝑞𝑖𝑖𝑐𝑐 = 2,0 𝑐𝑐𝑚𝑚
Limite para aceitação visual:
Como o valor da flecha final de 1,84 cm é inferior ao limite 
necessário, a condição de deformação excessiva para aceitação 
visual está atendida.
7.4.2 – EX. 2: VIBRAÇÕES NO PISO
Para verificar se as deformações na estrutura estão provo-
cando vibrações excessivas no piso, calcula-se a diferença entre a 
deformação provocada pela combinação rara de ações e a provo-
cada apenas pelas ações permanentes. O que seria o equivalente 
à deformação provocada pelas cargas acidentais.
 Vamos resolver agora o mesmo exemplo do item 7.4.1, 
mas calculando a verificação para vibrações no piso.
1º – COMBINAÇÃO DE AÇÕES
𝐹𝐹𝑐𝑐,𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸,𝑅𝑅 = 𝐹𝐹𝑔𝑔𝑐𝑐1 + 𝐹𝐹𝑔𝑔𝑐𝑐2 + 𝐹𝐹𝑞𝑞𝑞𝑞𝑐𝑐
𝐹𝐹𝑐𝑐,𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸,𝑅𝑅 = 16 𝑘𝑘𝑘𝑘/𝑚𝑚
𝐹𝐹𝑐𝑐,𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸,𝑅𝑅 = 7 + 3 + 6
Combinação rara:
𝐹𝐹𝑐𝑐,𝑠𝑠𝑟𝑟𝑟𝑟 = 𝐹𝐹𝑔𝑔𝑐𝑐1 + 𝐹𝐹𝑔𝑔𝑐𝑐2
Cargas permanentes
𝐹𝐹𝑐𝑐,𝑠𝑠𝑟𝑟𝑟𝑟 = 7 + 3
𝐹𝐹𝑐𝑐,𝑠𝑠𝑟𝑟𝑟𝑟 = 10 𝑘𝑘𝑘𝑘/𝑚𝑚
143
2º – MOMENTO SOLICITANTE
𝑀𝑀𝐸𝐸𝑐𝑐,𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸,𝑅𝑅 =
𝐹𝐹𝑐𝑐,𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸,𝑅𝑅 ⋅ 𝐿𝐿2
8
Combinação rara: Cargas permanentes
𝑀𝑀𝐸𝐸𝑐𝑐,𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸,𝑅𝑅 =
16 ⋅ 52
8
𝑀𝑀𝐸𝐸𝑐𝑐,𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸,𝑅𝑅 = 50 𝑘𝑘𝑘𝑘 ⋅ 𝑚𝑚
𝑀𝑀𝐸𝐸𝑐𝑐,𝑠𝑠𝑟𝑟𝑟𝑟 =
𝐹𝐹𝑐𝑐,𝑠𝑠𝑟𝑟𝑟𝑟 ⋅ 𝐿𝐿2
8
𝑀𝑀𝐸𝐸𝑐𝑐,𝑠𝑠𝑟𝑟𝑟𝑟 =
10 ⋅ 52
8
𝑀𝑀𝐸𝐸𝑐𝑐,𝑠𝑠𝑟𝑟𝑟𝑟 = 31,3 𝑘𝑘𝑘𝑘 ⋅ 𝑚𝑚
3º – RIGIDEZ EQUIVALENTE
Combinação rara:
𝐴𝐴𝑅𝑅 =
𝑀𝑀𝑟𝑟
𝑀𝑀𝐸𝐸𝑐𝑐,𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸,𝑅𝑅
 → 𝐴𝐴𝑅𝑅 =
20,5
50 → 𝐴𝐴𝑅𝑅 = 0,410
𝐸𝐸𝐼𝐼 𝑟𝑟𝑞𝑞,𝑅𝑅 = 𝐸𝐸𝑐𝑐𝑠𝑠 ⋅ 𝐴𝐴𝑅𝑅3 ⋅ 𝐼𝐼𝑐𝑐 + 1 − 𝐴𝐴𝑅𝑅3 ⋅ 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼
𝐸𝐸𝐼𝐼 𝑟𝑟𝑞𝑞,𝑅𝑅 = 2415 ⋅ 0,4103 ⋅ 106666 + 1− 0,4103 ⋅ 38934
𝐸𝐸𝐼𝐼 𝑟𝑟𝑞𝑞,𝑅𝑅 = 1,05 ⋅ 108 𝑘𝑘𝑘𝑘 ⋅ 𝑐𝑐𝑚𝑚2
Cargas permanentes:
𝐴𝐴𝑠𝑠𝑟𝑟𝑟𝑟 =
𝑀𝑀𝑟𝑟
𝑀𝑀𝐸𝐸𝑐𝑐,𝑠𝑠𝑟𝑟𝑟𝑟
 → 𝐴𝐴𝑠𝑠𝑟𝑟𝑟𝑟 =
20,5
31,3 → 𝐴𝐴𝑠𝑠𝑟𝑟𝑟𝑟 = 0,655
𝐸𝐸𝐼𝐼 𝑟𝑟𝑞𝑞,𝑠𝑠𝑟𝑟𝑟𝑟 = 𝐸𝐸𝑐𝑐𝑠𝑠 ⋅ 𝐴𝐴𝑠𝑠𝑟𝑟𝑟𝑟3 ⋅ 𝐼𝐼𝑐𝑐 + 1 − 𝐴𝐴𝑠𝑠𝑟𝑟𝑟𝑟3 ⋅ 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼
𝐸𝐸𝐼𝐼 𝑟𝑟𝑞𝑞,𝑠𝑠𝑟𝑟𝑟𝑟 = 2415 ⋅ 0,6553 ⋅ 106666 + 1 − 0,6553 ⋅ 38934
𝐸𝐸𝐼𝐼 𝑟𝑟𝑞𝑞,𝑠𝑠𝑟𝑟𝑟𝑟 = 1,40 ⋅ 108 𝑘𝑘𝑘𝑘 ⋅ 𝑐𝑐𝑚𝑚2
𝑎𝑎𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑎𝑎𝑞𝑞,𝑠𝑠𝑟𝑟𝑟𝑟 = 1,35 𝑐𝑐𝑚𝑚
𝑎𝑎𝑖𝑖,𝑠𝑠𝑟𝑟𝑟𝑟 = 0,58 𝑐𝑐𝑚𝑚
144
4º – FLECHA IMEDIATA
Combinação rara:
𝑎𝑎𝑖𝑖,𝑅𝑅 =
5 ⋅ 𝐹𝐹𝑐𝑐,𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸,𝑅𝑅 ⋅ 𝐿𝐿4
384 ⋅ 𝐸𝐸𝐼𝐼 𝑟𝑟𝑞𝑞,𝑅𝑅
 
𝑎𝑎𝑖𝑖,𝑅𝑅 =
5 ⋅ 0,16 ⋅ 5004
384 ⋅ 1,05 ⋅ 108
 
𝑎𝑎𝑖𝑖,𝑅𝑅 = 1,24 𝑐𝑐𝑚𝑚
Cargas permanentes:
𝑎𝑎𝑖𝑖,𝑠𝑠𝑟𝑟𝑟𝑟 =
5 ⋅ 𝐹𝐹𝑐𝑐,𝑠𝑠𝑟𝑟𝑟𝑟 ⋅ 𝐿𝐿4
384 ⋅ 𝐸𝐸𝐼𝐼 𝑟𝑟𝑞𝑞,𝑠𝑠𝑟𝑟𝑟𝑟
 
𝑎𝑎𝑖𝑖,𝑠𝑠𝑟𝑟𝑟𝑟 =
5 ⋅ 0,10 ⋅ 5004
384 ⋅ 1,40 ⋅ 108
 
5º – FLECHA FINAL
Partindo do coeficiente 𝛼𝛼𝑖𝑖 = 1,323 já obtido do exemplo 
do item 7.4.2, temos:
Combinação rara: Cargas permanentes:
𝑎𝑎𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑎𝑎𝑞𝑞,𝑅𝑅 = 𝑎𝑎𝑖𝑖,𝑅𝑅 ⋅ 1 + 𝛼𝛼𝑖𝑖
𝑎𝑎𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑎𝑎𝑞𝑞,𝑅𝑅 = 1,24 ⋅ 1 + 1,323
𝑎𝑎𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑎𝑎𝑞𝑞,𝑅𝑅 = 2,88 𝑐𝑐𝑚𝑚
𝑎𝑎𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑎𝑎𝑞𝑞,𝑠𝑠𝑟𝑟𝑟𝑟 = 𝑎𝑎𝑖𝑖,𝑠𝑠𝑟𝑟𝑟𝑟 ⋅ 1 + 𝛼𝛼𝑖𝑖
𝑎𝑎𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑎𝑎𝑞𝑞,𝑠𝑠𝑟𝑟𝑟𝑟 = 0,58 ⋅ 1 + 1,323
𝑎𝑎𝑖𝑖𝑎𝑎𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑎𝑎𝑞𝑞
145
6º – FLECHA DEVIDO A CARGAS ACIDENTAIS
A flecha devido as cargas acidentais é dado pela diferença 
entre a flecha obtida pela combinação rara de ações e a flecha 
devido às cargas permanentes, dessa forma:
𝑎𝑎𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑎𝑎𝑞𝑞,𝑞𝑞 = 𝑎𝑎𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑎𝑎𝑞𝑞,𝑅𝑅 − 𝑎𝑎𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑎𝑎𝑞𝑞,𝑠𝑠𝑟𝑟𝑟𝑟
𝑎𝑎𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑎𝑎𝑞𝑞,𝑞𝑞 = 2,88− 1,35
𝑎𝑎𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑎𝑎𝑞𝑞,𝑞𝑞 = 1,53 𝑐𝑐𝑚𝑚
7º – VERIFICAÇÃO DO LIMITE
O limite de deformação para evitar vibrações no piso vale:
𝑎𝑎𝑞𝑞𝑖𝑖𝑐𝑐,𝑞𝑞 =
𝐿𝐿
350 → 𝑎𝑎𝑞𝑞𝑖𝑖𝑐𝑐,𝑞𝑞 =
500
350 → 𝑎𝑎𝑞𝑞𝑖𝑖𝑐𝑐,𝑞𝑞 = 1,43 𝑐𝑐𝑚𝑚
Neste caso a flecha provocada pela ação de cargas aciden-
tais excede o limite recomendado pela ABNT NBR 6118:2023. A 
estrutura deve, portanto, ser redimensionada.
 Atender a apenas um dos critérios não é suficiente. 
Um bom projeto estrutural está atrelado ao pleno conforto 
dos usuários.
7.5 – VIBRAÇÕES EXCESSIVAS
O estado limite de vibrações excessivas (ELS-VE) é calcula-
do a partir da combinação frequente de ações e tem como obje-
tivo limitar a frequência natural (𝑓𝑓𝑖𝑖) da estrutura. Tal limitação 
visa evitar desconfortos aos usuários e, em casos extremos, da-
nos à própria edificação.
 A frequência natural é uma propriedade específica de 
toda estrutura, ou seja, cada uma tem a sua. Ela define a 
frequência que uma edificação vibraria livremente se fosse per-
turbada após o repouso.
146
1- Repouso 2- Perturbação 3- Vibração natural
O cálculo da frequência natural (𝑓𝑓𝑖𝑖) envolve a rigidez (𝑘𝑘) 
da estrutura e a sua massa (𝑚𝑚), sendo dado pela expressão:
𝑓𝑓𝑖𝑖 =
1
2 ⋅ 𝜋𝜋 ⋅
𝑘𝑘
𝑚𝑚 ;
𝑓𝑓𝑖𝑖 → 𝐻𝐻𝑧𝑧
𝑘𝑘 → 𝑘𝑘/𝑚𝑚
𝑚𝑚 → 𝑘𝑘𝑘𝑘
O papel do calculista é fazer com que a frequência natural 
da sua estrutura não se aproxime da frequência de solicitações 
de cargas dinâmicas ou sons encontrados no ambiente. Quando 
duas frequências próximas interagem entre si, pode ocorrer o 
fenômeno da ressonância. Essa situação leva a um aumento 
significativo na amplitude das vibrações, podendo sobrecarregar 
a estrutura e levar a falhas, fadiga e até mesmo colapso. 
147
7.5.1 – LIMITES
A ABNT NBR 6118:2023 recomenda, de forma simplifi-
cada, que a frequência natural da estrutura seja 20% superior à 
frequência da ação solicitante (𝑓𝑓𝑐𝑐𝑟𝑟𝑖𝑖𝑐𝑐 ). A norma ainda define 
valores de 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑟𝑟𝑖𝑖𝑐𝑐 para alguns tipos de edificações:
𝒇𝒇𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄 𝑯𝑯𝑯𝑯
8,0
Edificação
Ginásios de esportes e academias
7,0Salas de dança
4,5Passarelas de pedestres ou ciclistas
4,0Escritórios
A norma não recomenda valores de frequência natural 
para estruturas residenciais, mas é uma boa prática em projetos 
estruturais limitar a frequência de pisos a no mínimo 5 Hz.
7.5.2 – EXEMPLO
O cálculo da frequência natural de vibração de uma estru-
tura como um todo é uma tarefa complexa que requer ajuda 
computacional. Felizmente muitos dos softwares comerciais de 
cálculo estrutural já disponibilizam esta ferramenta. Contudo, 
para exemplificar o processo de cálculo e permitir a compreen-
são desta análise, vamos verificar a frequência natural da viga 
biapoiada descrita nos itens 7.2, 7.3 e 7.4. Logo, temos os dados:
Dados
• 𝑏𝑏𝑤𝑤 = 20 𝑐𝑐𝑚𝑚
• ℎ = 40 𝑐𝑐𝑚𝑚
• 𝐿𝐿 = 5 𝑚𝑚
• 𝐸𝐸𝑐𝑐𝑠𝑠 = 24.150 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑎𝑎
• 𝐼𝐼𝑐𝑐 = 106.666 𝑐𝑐𝑚𝑚4
• 𝛾𝛾𝑐𝑐𝑜𝑜𝑖𝑖𝑐𝑐 = 2500 𝑘𝑘𝑘𝑘/𝑚𝑚3
148
1º – MASSA
O primeiro passo é determinar a massa da estrutura:
2º – RIGIDEZ
A ABNT NBR 6118:2023 permite que a análise de vibra-
ções de estruturas usuais seja feita em regime linear, logo:
3º – FREQUÊNCIA NATURAL
Com os valores da massa e rigidez podemos calcular a fre-
quência natural da viga:
𝑚𝑚 = 𝛾𝛾𝑐𝑐𝑜𝑜𝑖𝑖𝑐𝑐 ⋅ 𝑉𝑉 → 𝑚𝑚 = 2500 ⋅ 0,2 ⋅ 0,4 ⋅ 5 → 𝑚𝑚 = 1000 𝑘𝑘𝑘𝑘
𝑘𝑘 =
𝐸𝐸𝑐𝑐𝑠𝑠 ⋅ 𝐼𝐼𝑐𝑐
𝐿𝐿3
 → 𝑘𝑘 =
2415 ⋅ 106666
5003
 → 𝑘𝑘 = 2,06 𝑘𝑘𝑘𝑘/𝑐𝑐𝑚𝑚
𝑓𝑓𝑖𝑖 =
1
2 ⋅ 𝜋𝜋
⋅
𝑘𝑘
𝑚𝑚
 → 𝑓𝑓𝑖𝑖 =
1
2 ⋅ 𝜋𝜋
⋅
2,06 ⋅ 105
1000
 → 𝑓𝑓𝑖𝑖 = 2,3 𝐻𝐻𝐻𝐻
Como é de se esperar para uma estrutura biapoiada de 
baixa rigidez, a frequência natural encontrada foi relativamente 
baixa, não atendendo às recomendações da norma. 
 Contudo, em estruturas usuais, a ligação monolítica entre 
os elementos confere um maior grau de rigidez ao sistema, 
favorecendo frequênciasnaturais mais elevadas. Por esse motivo 
a norma brasileira afirma que as frequências naturais da 
estrutura devam ser determinadas por análises computacionais 
ou experimentais.
DETALHAMENTO
8.
LEONARDO DA VINCI
𝑎𝑎𝑒
𝑎𝑎𝑟𝑟
8.1 – DISPOSIÇÃO DAS BARRAS
O espaçamento das barras de 
aço dentro de uma viga de concreto 
armado é um fator crítico para a exe-
cução da estrutura. A armadura prin-
cipal deve ser espaçada de forma que 
o concreto possa envolver as barras 
completamente e aderir adequada-
mente ao aço, garantindo assim a 
transferência adequada de tensões 
entre o aço e o concreto. Caso o limite 
mínimo de espaçamento não seja res-
peitado, o agregado pode ficar preso 
entre as barras e comprometer o lan-
çamento da concretagem.
151
As distâncias verticais (𝑎𝑎𝑟𝑟) e horizontais (𝑎𝑎𝑒) entre duas 
faces de barras deve ser o maior dentre os seguintes valores:
𝑎𝑎𝑟𝑟 ≥ �
2 𝑐𝑐𝑚𝑚 
∅𝑞𝑞 
0,5 ⋅ 𝑑𝑑𝑐𝑐𝑎𝑎𝑚𝑚
Onde, ∅𝑞𝑞 representa 
o diâmetro da barra, do 
feixe ou da luva; e 𝑑𝑑𝑐𝑐𝑎𝑎𝑚𝑚 é o 
diâmetro máximo do agre-
gado graúdo, com valores 
usuais apresentados na ta-
bela ao lado.
𝑎𝑎𝑒 ≥ �
2 𝑐𝑐𝑚𝑚 
∅𝑞𝑞 
1,2 ⋅ 𝑑𝑑𝑐𝑐𝑎𝑎𝑚𝑚
𝒅𝒅𝒎𝒎𝒂𝒂𝒎𝒎 𝒎𝒎𝒎𝒎
4,8 a 9,5
Tipo de brita
Brita 0
9,5 a 19Brita 1
19 a 25Brita 2
25 a 38Brita 3
8.2 – ARMADURA DE PELE
A armadura de pele é um tipo de armadura longitudinal 
complementar disposta sobre as faces laterais da viga e não 
possui função estrutural. O objetivo dessa armadura é minimizar 
a ocorrência de fissuras que podem surgir devido ao processo de 
retração, variação de temperatura e flexão da viga. Tal armadura 
deve ser utilizada sempre que a altura da viga seja maior ou igual 
a 60 cm (ℎ ≥ 60 𝑐𝑐𝑚𝑚).
152
A quantidade de armadura 
de pele mínima prevista para cada 
face da viga deve ser 0,1% da área 
de concreto da alma da viga, não 
sendo necessário uma armadura 
superior a 5 𝑐𝑐𝑚𝑚2/𝑚𝑚 por face.
𝐴𝐴𝑠𝑠,𝑠𝑠𝑟𝑟𝑞𝑞𝑟𝑟 = 0,001 ⋅ 𝑏𝑏𝑤𝑤 ⋅ ℎ
A disposição vertical das 
barras da armadura de pele 
devem obedecer aos seguintes 
critérios: 𝑏𝑏
𝑏𝑏
𝑏𝑏𝑏𝑏 ≤ �
20 𝑐𝑐𝑚𝑚 
𝑑𝑑/3 
15 ⋅ ∅𝑠𝑠𝑟𝑟𝑞𝑞𝑟𝑟
É importante ressaltar que caso seja prevista uma armadu-
ra longitudinal na lateral da viga com função estrutural (comu-
mente utilizada no combate à torção), a área de aço da armadura 
em questão não deve ser contabilizada para a armadura de pele.
8.3 – FUROS E ABERTURAS
Durante o processo de compatibilização de projetos, é 
comum surgirem conflitos entre a estrutura e as instalações 
elétricas ou hidráulicas. Uma das soluções possíveis para esse 
conflito é a adoção de furos ou aberturas nos elementos 
estruturais para a passagem de tubulações. Dessa forma, neste 
tópico discutiremos os critérios a se considerar para essa solução. 
153
8.3.1 – FUROS E ABERTURAS EM VIGAS
Como no dimensionamento de estruturas de concreto 
armado a resistência à tração do concreto costuma ser despre-
zada, o melhor local para a localização da abertura é na região 
tracionada do concreto ou próximo da linha neutra, onde os 
esforços são mais baixos.
 Para os furos horizontais a ABNT NBR 6118:2023 estabele-
ce dimensões mínimas que, se forem cumpridas, dispensam de-
mais verificações, são elas:
∅ ≤ � ℎ/3
12 𝑐𝑐𝑚𝑚
𝑒𝑒1 ≥ 2 ⋅ ℎ
𝑒𝑒2 ≥ �2 ⋅ 𝑐𝑐
5 𝑐𝑐𝑚𝑚
𝑒𝑒3 ≥ 𝑒𝑒 (linha neutra)∅𝑒𝑒1 𝑒𝑒1
𝑒𝑒3
𝑒𝑒2
ℎ
𝑐𝑐
154
Já para os furos verticais, como inevitavelmente será 
reduzida a área de concreto comprimido, é necessário tanto 
atender aos limites da norma representados abaixo como verifi-
car os esforços na seção. Portanto, sempre é preciso redimensio-
nar a viga para flexão e cisalhamento considerando uma largura 
de (𝑏𝑏𝑤𝑤 − ∅).
∅ 𝑒𝑒1
𝑏𝑏𝑤𝑤 𝑒𝑒2 ∅ ≤ 𝑏𝑏𝑤𝑤/3
𝑒𝑒1 ≥ � ∅
5 𝑐𝑐𝑚𝑚
𝑒𝑒2 ≥ �2 ⋅ 𝑐𝑐
5 𝑐𝑐𝑚𝑚
Com pelo menos 1 estribo
Para canalizações embutidas ao longo do eixo longitudinal 
de vigas e pilares, a ABNT NBR 6118:2023 proíbe tal execução 
nos seguintes casos:
o Canalizações sem isolamento adequado;
o Canalização sem verificações especiais para fluidos que apre-
sentem variação maior que 15° da temperatura ambiente;
o Canalizações com pressão interna superior a 0,3 MPa;
o Canalizações em pilares sem aberturas para drenagem.
155
8.3.2 – FUROS E ABERTURAS EM LAJES
Para os furos e aberturas em lajes, a ABNT NBR 6118:2023 
estabelece que para todas as situações é necessário que:
o A seção de concreto remanescente deve ser capaz de resistir 
aos esforços de ELU equivalentes ao da seção sem abertura;
o As seções de armaduras interrompidas devem ser substituí-
das por seções equivalentes de reforço.
 A norma brasileira ainda estabelece critérios para furos 
em lajes armadas em duas direções (exceto lajes lisas e cogu-
melo) que, se forem atendidos, dispensam verificações adicio-
nais de resistência e deformação. São eles:
𝑏𝑏𝑎𝑎
𝑏𝑏𝑏𝑏
𝑏𝑏𝑐𝑐
𝑏𝑏𝑐𝑐𝑋𝑋1
𝑌𝑌1
𝑋𝑋2 𝑌𝑌2
𝑌𝑌3
𝑋𝑋3
𝑌𝑌4 𝑋𝑋4
𝑋𝑋1 ≥ 𝑏𝑏𝑐𝑐/4 𝑋𝑋2 ≤ 𝑏𝑏𝑐𝑐/10 𝑋𝑋3 ≥ 𝑏𝑏𝑐𝑐/2 𝑋𝑋4 ≥
𝑏𝑏𝑐𝑐 + 𝑏𝑏𝑐𝑐
4
𝑌𝑌1 ≥ 𝑏𝑏𝑏𝑏/4 𝑌𝑌2 ≤ 𝑏𝑏𝑏𝑏/10 𝑌𝑌3 ≥ 𝑏𝑏𝑏𝑏/2 𝑌𝑌4 ≥
𝑏𝑏𝑏𝑏 + 𝑏𝑏𝑎𝑎
4
8.4 – ANCORAGEM
Em estruturas de concreto armado é essencial que exista 
um mecanismo eficiente para a transferência de esforços entre 
as barras de aço e a massa de concreto. Tal mecanismo evita que 
ocorra o deslizamento entre os materiais. Para que essa trans-
ferência ocorra de forma adequada, é necessário que as extre-
midades das barras estejam devidamente fixadas. E essa fixação 
recebe o nome de ancoragem.
 A ancoragem pode ser feita de dois modos: por meio da 
aderência entre o aço e o concreto; e por meio de dispositivos 
mecânicos acoplados à barra, sendo o primeiro, o mais comum.
 Para exemplificar o cálculo da ancoragem por meio da 
aderência entre o concreto e o aço, vamos resolver um exercício 
prático sobre o assunto.
156
8.4.1 – EXEMPLO
O cálculo da ancoragem por meio da aderência entre o 
concreto e o aço é feita a partir da determinação de um compri-
mento mínimo adicional sobre o qual a barra deve estar envol-
vida no concreto. Para esse exemplo, utilizaremos os dados:
Dados
• ℎ = 40 𝑐𝑐𝑚𝑚
• 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐 = 30 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑎𝑎
• 𝑓𝑓𝑦𝑦𝑐𝑐 = 500 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑎𝑎
• 𝐴𝐴𝑠𝑠,𝑖𝑖𝑟𝑟𝑐𝑐𝑟𝑟𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑟𝑟𝑖𝑖𝑜𝑜 = 2,0 𝑐𝑐𝑚𝑚2
• ∅𝑞𝑞 = 12,5 𝑚𝑚𝑚𝑚
• Armadura inferior
ℎ
∅𝑞𝑞
157
1º – RESISTÊNCIAS DE CÁLCULO
 O coeficiente 𝜂𝜂1, conforme definido do item 7.3.2, varia 
de acordo com o tipo de aço utilizado nas armaduras. Admitindo 
a utilização de barras de CA-50, temos:
𝑓𝑓𝑦𝑦𝑐𝑐 = 434,8 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑎𝑎
𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 = 0,15 ⋅ 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐
2/3 
𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 = 1,45 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑎𝑎
Resistência à tração do concreto
𝑓𝑓𝑦𝑦𝑐𝑐 =
𝑓𝑓𝑦𝑦𝑐𝑐
𝛾𝛾𝑠𝑠
 → 𝑓𝑓𝑦𝑦𝑐𝑐 =
500
1,15
Resistência do aço
2º – COEFICIENTE η1 
Lisa EntalhadaNervurada
𝜂𝜂1 = 1,00 𝜂𝜂1 = 1,40𝜂𝜂1 = 2,25
O primeiro passo para calcular o comprimento de 
ancoragem é determinar as resistências de cálculo dos materiais:
O coeficiente 𝜂𝜂2 define a condição de boa ou má aderên-
cia das barras ao concreto. Esse fator está relacionado com a 
adesão de bolhas de ar presentes na massa de concreto ao redor 
das barras aço. Tais bolhas se fixam à superfície das barras 
criando vazios e reduzindo a interação entre os materiais.
3º – COEFICIENTE η2 
𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 = 0,15 ⋅ 302/3
158
Então, para definir as condições de boa aderência das bar-
ras, a ABNT NBR 6118:2023 define os seguintes critérios:
Como estamos calculando a ancoragem das barras inferio-
res da viga, localizadas menos de 30 cm da face inferior, é possí-
vel considerar uma condição de boa aderência, logo:
≥ 45°
 32 𝑚𝑚𝑚𝑚 : 𝜂𝜂3 =
132− ∅𝑞𝑞
100
 ; com ∅𝑞𝑞𝑒𝑒𝑚𝑚 𝑚𝑚𝑚𝑚
Barras verticaisou com 
inclinação maior que 45° 
com a horizontal;
Barras localizadas em até 
30 cm da face inferior;
Barras abaixo de 30 cm da 
face superior em elementos 
com altura superior a 60 cm.
159
5º – RESISTÊNCIA DE ADERÊNCIA
A tensão resistente de aderência (𝑓𝑓𝑏𝑏𝑐𝑐) é dada por:
𝑓𝑓𝑏𝑏𝑐𝑐 = 𝜂𝜂1 ⋅ 𝜂𝜂2 ⋅ 𝜂𝜂3 ⋅ 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 → 𝑓𝑓𝑏𝑏𝑐𝑐 = 2,25 ⋅ 1 ⋅ 1 ⋅ 1,45
𝑓𝑓𝑏𝑏𝑐𝑐 = 3,26 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑎𝑎
6º – COMPRIMENTO DE ANCORAGEM
Podemos calcular agora o comprimento básico de ancora-
gem (𝑏𝑏𝑏𝑏) pela seguinte equação:
𝑏𝑏𝑏𝑏 =
∅𝑞𝑞 ⋅ 𝑓𝑓𝑦𝑦𝑐𝑐
4 ⋅ 𝑓𝑓𝑏𝑏𝑐𝑐
 → 𝑏𝑏𝑏𝑏 =
1,25 ⋅ 43,48
4 ⋅ 0,326 → 𝑏𝑏𝑏𝑏 = 42 𝑐𝑐𝑚𝑚
Ainda é possível reduzir o comprimento básico de ancora-
gem com a utilização de ganchos ou aumentando a quantidade 
de armadura. Supondo que sejam adotados ganchos com barras 
de 2 ∅ 12,5 𝑚𝑚𝑚𝑚, teríamos 𝐴𝐴𝑠𝑠,𝑎𝑎𝑐𝑐𝑜𝑜𝑐𝑐𝑎𝑎𝑐𝑐𝑜𝑜 = 2,5 𝑐𝑐𝑚𝑚2, logo:
𝛼𝛼 = �𝑆𝑆𝑒𝑒𝑚𝑚 𝑘𝑘𝑎𝑎𝑔𝑔𝑐𝑐ℎ𝑏𝑏: 1,0
𝐶𝐶𝑏𝑏𝑚𝑚 𝑘𝑘𝑎𝑎𝑔𝑔𝑐𝑐ℎ𝑏𝑏: 0,7 → 𝛼𝛼 = 0,7
𝑏𝑏𝑏𝑏,𝑖𝑖𝑟𝑟𝑐𝑐 = 𝛼𝛼 ⋅
𝐴𝐴𝑠𝑠,𝑖𝑖𝑟𝑟𝑐𝑐𝑟𝑟𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑟𝑟𝑖𝑖𝑜𝑜
𝐴𝐴𝑠𝑠,𝑎𝑎𝑐𝑐𝑜𝑜𝑐𝑐𝑎𝑎𝑐𝑐𝑜𝑜
⋅ 𝑏𝑏𝑏𝑏 → 𝑏𝑏𝑏𝑏,𝑖𝑖𝑟𝑟𝑐𝑐 = 0,7 ⋅
2,0
2,5 ⋅ 42
𝑏𝑏𝑏𝑏,𝑖𝑖𝑟𝑟𝑐𝑐 = 24 𝑐𝑐𝑚𝑚
7º – COMPRIMENTO NECESSÁRIO
8.5 – EMENDAS DE BARRAS
160
8º – COMPRIMENTO MÍNIMO
Por último, temos que verificar se o comprimento de 
ancoragem adotado respeita o limite mínimo, definido como o 
maior dentre os seguintes valores:
𝑏𝑏𝑏𝑏,𝑐𝑐𝑖𝑖𝑖𝑖 ≥ �
10 𝑐𝑐𝑚𝑚
10 ⋅ ∅𝑞𝑞
0,3 ⋅ 𝑏𝑏𝑏𝑏
 → 𝑏𝑏𝑏𝑏,𝑐𝑐𝑖𝑖𝑖𝑖 ≥ �
10 𝑐𝑐𝑚𝑚
10 ⋅ 1,25
0,3 ⋅ 42
 → 𝑏𝑏𝑏𝑏,𝑐𝑐𝑖𝑖𝑖𝑖 = 12,6 𝑐𝑐𝑚𝑚
As barras de aço, no geral, são comercializadas com o 
comprimento máximo de 12 m. Contudo, existem diversas situa-
ções em que são necessárias dimensões superiores ao limite 
comercial. A solução para esse tipo de problema é a emenda de 
barras, o que permite que os esforços de uma armadura sejam 
transmitidos para outra.
 As emendas podem ser realizadas por:
Traspasse das barras
Utilização de luvas
Soldas
A ABNT NBR 6118:2023 também permite a utilização de 
outros dispositivos de emenda desde que seja justificado.
161
8.5.1 – EMENDA POR TRASPASSE
A emenda por traspasse é o tipo de emenda mais usual e 
o seu funcionamento está baseado na aderência entre o aço e o 
concreto. A barra de aço transmite os esforços para a massa de 
concreto adjacente, que por sua vez solicita a barra emendada.
Entretanto, para a sua utilização é proibida nos casos de:
o Barras com diâmetros superiores à 32 mm;
o Estruturas de tirantes e pendurais.
8.5.1.1 – COMPRIMENTO DE TRASPASSE
O comprimento de traspasse (𝑏𝑏0𝑐𝑐 ) define a distância 
necessária para a superposição das barras que serão emenda-
das. Seu calculo é dado pelo produto do comprimento de anco-
ragem necessário (𝑏𝑏𝑏𝑏,𝑖𝑖𝑟𝑟𝑐𝑐) com o coeficiente 𝛼𝛼0𝑐𝑐, que é definido 
conforme a quantidade de barras tracionadas que estão sendo 
emendadas em determinada seção. Caso as barras possuam 
diâmetros diferentes, é preciso calcular o comprimento de tras-
passe para aquela que possuir o maior diâmetro.
𝑏𝑏0𝑐𝑐 = 𝛼𝛼0𝑐𝑐 ⋅ 𝑏𝑏𝑏𝑏,𝑖𝑖𝑟𝑟𝑐𝑐
𝑏𝑏0𝑐𝑐
162
Sendo o coeficiente 𝛼𝛼0𝑐𝑐 dado pela tabela abaixo:
Barras emendadas 
na mesma seção (%)
Coeficiente 𝛼𝛼0𝑐𝑐
≤ 20
1,2
25
1,4
33
1,6
50
1,8
> 50
2,0
8.5.1.2 – EXEMPLO
Para demonstrar o cálculo da emenda por traspasse, va-
mos resolver o seguinte exemplo:
Dados
• 𝐴𝐴𝑠𝑠 = 4 ∅ 12,5 (tra𝑠𝑠o)
• 𝑏𝑏𝑏𝑏 = 45 𝑐𝑐𝑚𝑚
• 𝑏𝑏𝑏𝑏,𝑖𝑖𝑟𝑟𝑐𝑐 = 25 𝑐𝑐𝑚𝑚
Pela geometria da viga é possível identificar duas regiões 
de emendas, cada uma com duas barras emendadas (𝑔𝑔𝑏𝑏,𝑟𝑟𝑐𝑐𝑟𝑟𝑖𝑖𝑐𝑐). 
Logo, a porcentagem de barras ancoradas vale:
1º – PORCENTAGEM DE BARRAS ANCORADAS
%𝑏𝑏𝑎𝑎𝑟𝑟𝑟𝑟𝑎𝑎𝑠𝑠 =
𝑔𝑔𝑛𝑏𝑏,𝑟𝑟𝑐𝑐𝑟𝑟𝑖𝑖𝑐𝑐
𝑔𝑔𝑛𝑏𝑏𝑎𝑎𝑟𝑟𝑟𝑟𝑎𝑎𝑠𝑠
 → %𝑏𝑏𝑎𝑎𝑟𝑟𝑟𝑟𝑎𝑎𝑠𝑠 =
2
4 → %𝑏𝑏𝑎𝑎𝑟𝑟𝑟𝑟𝑎𝑎𝑠𝑠 = 50%
Geometria:
163
De acordo com a tabela do coeficiente 𝛼𝛼0𝑐𝑐, temos:
2º – COEFICIENTE α0t
𝑇𝑇𝑎𝑎𝑏𝑏𝑒𝑒𝑏𝑏𝑎𝑎 𝑑𝑑𝑒𝑒 𝛼𝛼0𝑐𝑐 → %𝑏𝑏𝑎𝑎𝑟𝑟𝑟𝑟𝑎𝑎𝑠𝑠 = 50% → 𝛼𝛼0𝑐𝑐 = 1,8
Podemos agora calcular o comprimento de traspasse ne-
cessário pela expressão:
3º – COMPRIMENTO DE TRASPASSE
𝑏𝑏0𝑐𝑐 = 𝛼𝛼0𝑐𝑐 ⋅ 𝑏𝑏𝑏𝑏,𝑖𝑖𝑟𝑟𝑐𝑐 → 𝑏𝑏0𝑐𝑐 = 1,8 ⋅ 25 → 𝑏𝑏0𝑐𝑐 = 45 𝑐𝑐𝑚𝑚
Por último, é preciso verificar se o comprimento de tras-
passe calculado atende ao mínimo recomendado, que é dado 
pelo maior valor dentre os seguintes critérios:
4º – COMPRIMENTO MÍNIMO
𝑏𝑏0𝑐𝑐,𝑐𝑐𝑖𝑖𝑖𝑖 ≥ �
20 𝑐𝑐𝑚𝑚
15 ⋅ ∅𝑞𝑞
0,6 ⋅ 𝑏𝑏𝑏𝑏
 → 𝑏𝑏0𝑐𝑐,𝑐𝑐𝑖𝑖𝑖𝑖 ≥ �
20 𝑐𝑐𝑚𝑚
15 ⋅ 1,25
0,6 ⋅ 45
 → 𝑏𝑏0𝑐𝑐,𝑐𝑐𝑖𝑖𝑖𝑖 = 27 𝑐𝑐𝑚𝑚
8.5.1.3 – DISTÂNCIA ENTRE EMENDAS
Para que duas emendas sejam consideradas como em 
seções diferentes, a distância entre elas deve ser maior que 20% 
de do comprimento de traspasse (𝑏𝑏0𝑐𝑐):
> 0,2 ⋅ 𝑏𝑏0𝑐𝑐
164
8.5.1.4 – PORCENTAGEM PERMITIDA
Nem sempre é possível emendar todas as barras da viga 
em uma única seção. A alta concentração de barras em um único 
local pode comprometer a concretagem. Dessa forma, a ABNT 
NBR 6118:2023 estabelece um limite para a porcentagem de 
emendas permitidas para uma única seção, forme indicado na 
tabela abaixo:
Tipo de barra Situação
1 camada
≥2 camadas
Alta aderência
Alta aderência
Carga estática Carga dinâmica
Lisa
Lisa
∅𝑞𝑞
∅𝑞𝑞
∅𝑞𝑞de tensões conforme um diagra-
ma parábola-retângulo. 
O vértice da parábola se em-
contra na deformação de 2‰ e o 
trecho reto entre as deformações 
2‰ e 3,5 ‰. Para simplificar essa 
distribuição de tensões, é possível 
considerar uma carga equivalente 
uniformemente distribuída. Esta 
carga apresenta uma profundidade 
de 0,8 𝑒𝑒 e o mesmo valor de 
tensão máxima (0,85 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐), confor-
me ilustrado ao lado.
𝑒𝑒
0,85 ⋅ 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐
0,8 𝑒𝑒
𝑏𝑏𝑤𝑤
0,85 ⋅ 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐
170
Com a carga uniformemente distribuída podemos calcular 
a resultante de força do concreto (𝐹𝐹𝑐𝑐) por:
𝐹𝐹𝑐𝑐 = 0,8 ⋅ 𝑒𝑒 ⋅ 𝑏𝑏𝑤𝑤 ⋅ 0,85 ⋅ 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐
𝐹𝐹𝑠𝑠
0,8 𝑒𝑒
0,85 ⋅ 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐
Admitindo que a armadura 
atinja sua tensão de escoamento 
(𝑓𝑓𝑦𝑦𝑐𝑐), a força resultante nas barras 
de aço (𝐹𝐹𝑠𝑠) vale:
𝐹𝐹𝑠𝑠 = 𝐴𝐴𝑠𝑠 ⋅ 𝑓𝑓𝑦𝑦𝑐𝑐
Pelo equilíbrio das forças axiais na seção, temos que a 
força de compressão no concreto deve ser numericamente igual 
à força de tração no aço:
𝐹𝐹𝑠𝑠 = 𝐹𝐹𝑐𝑐
Já pelo equilíbrio de momentos, o somatório dos momen-
tos internos em relação a qualquer ponto, deve ser igual ao 
momento externo solicitante. Tomando o centro geométrico das 
armaduras como referência:
𝑀𝑀𝐸𝐸𝑐𝑐 = 𝐹𝐹𝑐𝑐 ⋅ 𝐻𝐻
𝐹𝐹𝑠𝑠
0,4 𝑒𝑒
𝑑𝑑
𝐹𝐹𝑐𝑐
𝐻𝐻 𝑀𝑀𝐸𝐸𝑐𝑐
𝑀𝑀𝐸𝐸𝑐𝑐 = 𝐹𝐹𝑠𝑠 ⋅ 𝐻𝐻
𝐻𝐻 = 𝑑𝑑 − 0,4 ⋅ 𝑒𝑒
171
Substituindo o valor de 𝐹𝐹𝑠𝑠 e 𝐻𝐻 na equação de equilíbrio de 
momentos, encontramos a equação para determinar a área de 
aço necessária para o equilíbrio da viga:
𝐹𝐹𝑠𝑠 = 𝐴𝐴𝑠𝑠 ⋅ 𝑓𝑓𝑦𝑦𝑐𝑐
𝑀𝑀𝐸𝐸𝑐𝑐 = 𝐹𝐹𝑠𝑠 ⋅ 𝐻𝐻
𝑀𝑀𝐸𝐸𝑐𝑐 = 𝐴𝐴𝑠𝑠 ⋅ 𝑓𝑓𝑦𝑦𝑐𝑐 ⋅ 𝑑𝑑 − 0,4 ⋅ 𝑒𝑒𝐻𝐻 = 𝑑𝑑 − 0,4 ⋅ 𝑒𝑒
𝐴𝐴𝑠𝑠 =
𝑀𝑀𝐸𝐸𝑐𝑐
𝑓𝑓𝑦𝑦𝑐𝑐 ⋅ 𝑑𝑑 − 0,4 ⋅ 𝑒𝑒
Repetindo o mesmo processo, mas agora com a força no 
concreto, podemos determinar a equação para o cálculo da 
profundidade da linha neutra (𝑒𝑒):
𝑀𝑀𝐸𝐸𝑐𝑐 = 𝐹𝐹𝑐𝑐 ⋅ 𝐻𝐻
𝑀𝑀𝐸𝐸𝑐𝑐 = 0,8 ⋅ 𝑒𝑒 ⋅ 𝑏𝑏𝑤𝑤 ⋅ 0,85 ⋅ 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐 ⋅ 𝑑𝑑 − 0,4 ⋅ 𝑒𝑒
𝐻𝐻 = 𝑑𝑑 − 0,4 ⋅ 𝑒𝑒
𝐹𝐹𝑐𝑐 = 0,8 ⋅ 𝑒𝑒 ⋅ 𝑏𝑏𝑤𝑤 ⋅ 0,85 ⋅ 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐
Desenvolvendo a equação:
𝑀𝑀𝐸𝐸𝑐𝑐 = 0,68 ⋅ 𝑒𝑒 ⋅ 𝑏𝑏𝑤𝑤 ⋅ 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐 ⋅ 𝑑𝑑 − 0,4 ⋅ 𝑒𝑒
𝑀𝑀𝐸𝐸𝑐𝑐 = 0,68 ⋅ 𝑒𝑒 ⋅ 𝑏𝑏𝑤𝑤 ⋅ 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐 ⋅ 𝑑𝑑 − 0,68 ⋅ 0,4 ⋅ 𝑒𝑒2 ⋅ 𝑏𝑏𝑤𝑤 ⋅ 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐
𝑀𝑀𝐸𝐸𝑐𝑐 = 0,68 ⋅ 𝑑𝑑 ⋅ 𝑒𝑒 − 0,272 ⋅ 𝑒𝑒2 ⋅ 𝑏𝑏𝑤𝑤 ⋅ 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐
172
Observa-se pelo desenvolvimento da expressão que se 
trata de uma equação do segundo grau, a qual pode ser resol-
vida por:
𝑒𝑒 =
0,68 ⋅ 𝑑𝑑 ± 0,68 ⋅ 𝑑𝑑 2 − 4 ⋅ 0,272 ⋅ 𝑀𝑀𝐸𝐸𝑐𝑐
𝑏𝑏𝑤𝑤 ⋅ 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐
2 ⋅ 0,272
0,272 ⋅ 𝑒𝑒2 − 0,68 ⋅ 𝑑𝑑 ⋅ 𝑒𝑒 +
𝑀𝑀𝐸𝐸𝑐𝑐
𝑏𝑏𝑤𝑤 ⋅ 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐
= 0
Desenvolvendo essa expressão:
𝑒𝑒 =
0,68 ⋅ 𝑑𝑑
2 ⋅ 0,272
±
0,68 ⋅ 𝑑𝑑 2 − 4 ⋅ 0,272 ⋅ 𝑀𝑀𝐸𝐸𝑐𝑐
𝑏𝑏𝑤𝑤 ⋅ 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐
2 ⋅ 0,272
𝑒𝑒 =
0,68 ⋅ 𝑑𝑑
0,544
±
0,682 ⋅ 𝑑𝑑2 − 1,088 ⋅ 𝑀𝑀𝐸𝐸𝑐𝑐
𝑏𝑏𝑤𝑤 ⋅ 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐
0,544
𝑒𝑒 = 1,25 ⋅ 𝑑𝑑 ±
0,682 ⋅ 𝑑𝑑2
0,5442
−
1,088 ⋅ 𝑀𝑀𝐸𝐸𝑐𝑐
0,5442 ⋅ 𝑏𝑏𝑤𝑤 ⋅ 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐
𝑒𝑒 = 1,25 ⋅ 𝑑𝑑 ± 1,252 ⋅ 𝑑𝑑2 −
1,088 ⋅ 𝑀𝑀𝐸𝐸𝑐𝑐 ⋅ 1,252 ⋅ 𝑑𝑑2
0,5442 ⋅ 𝑏𝑏𝑤𝑤 ⋅ 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐 ⋅ 1,252 ⋅ 𝑑𝑑2
𝑒𝑒 = 1,25 ⋅ 𝑑𝑑 ± 1,25 ⋅ 𝑑𝑑 ⋅ 1 −
1,088 ⋅ 𝑀𝑀𝐸𝐸𝑐𝑐
0,5442 ⋅ 𝑏𝑏𝑤𝑤 ⋅ 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐 ⋅ 1,252 ⋅ 𝑑𝑑2
𝑒𝑒 = 1,25 ⋅ 𝑑𝑑 ⋅ 1 ± 1 −
𝑀𝑀𝐸𝐸𝑐𝑐
0,425 ⋅ 𝑏𝑏𝑤𝑤 ⋅ 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐 ⋅ 𝑑𝑑2
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 6118: Projeto de 
estruturas de concreto. Rio de Janeiro, 2023;
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 6120: Ações para o 
cálculo de estruturas de edificações. Rio de Janeiro, 2019;
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 7480: Aço destinado a 
armaduras para estruturas de concreto armado. Rio de Janeiro, 2007;
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 8681: Ações e segurança 
nas estruturas – Procedimento. Rio de Janeiro, 2003;
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 9062: Projeto e 
execução de estruturas de concreto pré-moldado. Rio de Janeiro, 2017;
BASTOS, P. S. Flexão normal simples - Vigas. Universidade Estadual Paulista – 
UNESP. São Paulo, p. 77, 2020;
BASTOS, P. S. Dimensionamento de vigas de concreto armado à força cortante. 
Universidade Estadual Paulista – UNESP. São Paulo, p. 79, 2021;
BASTOS, P. S. Lajes de concreto armado. Universidade Estadual Paulista – 
UNESP. São Paulo, p. 113, 2021;
CARVALHO, R. C.; FIGUEIREDO FILHO, J. R. Cálculo e detalhamento de 
estruturas usuais de concreto armado: segundo a NBR 6118:2014. 4. ed., 2. 
reimp. Sao Carlos: edUFSCAR, 415 p, 2016;
LEONHARDT, F; MOMMIG, E. Construções de concreto. Rio de Janeiro: Inter 
ciência, 1977. 6v;
PINHEIRO, L. M. Concreto armado: tabelas e ábacos. São Carlos, Escola de 
Engenharia de São Carlos - USP, Departamento de Engenharia de Estruturas, 
1994;
SAMOA, M. S. Avaliação dos mecanismos resistentes ao cisalhamento em 
concreto armado sem armadura transversal. Dissertação (Mestrado), Programa 
de Pós-graduação em Engenharia Civil, Universidade Federal de Uberlândia, 
Minas Gerais, 2015.
REFERÊNCIAS
173
O “Guia do Calculista Iniciante” é um livro prático e acessível para 
estudantes de engenharia civil que desejam aprender sobre o 
dimensionamento de estruturas de concreto armado segundo a 
ABNT NBR 6118:2023. Este guia apresenta uma abordagem 
simples, clara e didática para explicar os conceitos fundamentais 
de engenharia estrutural, tornando-o adequado para estudantes 
com pouco conhecimento prévio sobre o assunto.
Neste primeiro volume é apresentado o processo de elaboração de 
projetos estruturais para que o leitor se situe quanto à utilidade 
prática do conhecimento adquirido. Em seguida, são abordados os 
conhecimento técnicos quanto às características físicas dos 
materiais; o princípio do cálculo pelo método dos estados limites; 
o dimensionamento à flexão e ao cisalhamento de vigas e lajes no 
estado limite último; as verificações de fissuração, deformação e 
vibração referentes ao estado limite de serviço; e, por fim, o 
detalhamento de furos, aberturas e barras em vigas e lajes.
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	Número do slide 181pode ser 
feito 1000x mais rápido. E como tempo é dinheiro, quem ainda 
tenta calcular tudo à mão ou com tabelas não consegue compe-
tir no mercado.
 Logo, o trabalho do engenheiro nessa etapa passou a ser a 
análise dos resultados. Uma boa dica para essa fase é tentar 
adivinhar como a estrutura se comportará e quais serão os prin-
cipais resultados. Devemos então julgar se os dados obtidos 
estão, ou não, coerentes. “Faz sentido esse momento?”; “A es-
trutura deveria se deformar desse jeito?”. Essa análise é impres-
cindível, pois um possível erro na modelagem será refletido aqui. 
Por isso, confie, mas verifique.
 Por fim, é preciso estudar os deslocamentos, reações e 
esforços. Procure pelos valores mais elevados e veja se é possível 
reduzi-los de alguma forma conveniente. Se houver um ele-
mento muito pouco solicitado ou que não esteja cumprindo a 
função a qual ele foi concebido, estude a sua real necessidade. 
Por exemplo: um pilar, geralmente, tem a função de trabalhar 
comprimido. Se após a análise foi identificado que ele se encon-
tra tracionado, este pilar não está nem cumprindo sua função, 
nem aproveitando de modo eficiente os materiais, visto que o 
concreto não resiste bem à tração.
8
5º – DIMENSIONAMENTO
No dimensionamento, o engenheiro deve verificar se as 
seções definidas na modelagem estão coerentes e definir a 
quantidade de armadura para cada seção. Caso contrário, é pre-
ciso adaptá-las para a realidade dos esforços e deslocamentos 
obtidos pela análise estrutural.
 Além disso, também é importante avaliar a quantidade de 
armadura do projeto. Os valores costumam estar entre 80 a 120 
kg de aço por m3 de concreto. Mas lembre-se que esse valor 
varia de acordo com a complexidade da estrutura. Quanto mais 
sofisticada for a edificação, é normal que essa taxa fique maior.
 Muitos softwares comerciais já desempenham a etapa de 
dimensionamento junto com a análise estrutural. Contudo, é 
essencial que o engenheiro domine todas as etapas do dimen-
sionamento para compreender, julgar e verificar os resultados do 
software. Somente conhecendo as etapas e os critérios que 
levaram àquele resultado, o calculista será capaz de propor a 
melhor solução. E esta é a função desse livro. Te apresentar o 
passo a passo dos principais dimensionamentos em concreto 
armado para que você conheça os critérios e as etapas por trás 
de cada resultado.
9
6º – COMPATIBILIZAÇÃO
É possível que durante essa etapa sejam solicitadas 
aberturas ou modificações no projeto. Tubulações de água e 
esgoto nem sempre possuem espaço suficiente no forro, fi-
que atento. No capítulo 8 tratamos mais desse assunto.
10
Um dos recursos bastante utilizados nesta etapa são os 
modelos BIM (Building Information Modeling). O BIM permite 
que os projetos sejam sobrepostos e visualizados em 3D, facili-
tando a identificação de conflitos e permitindo ajustes antes do 
início da construção. Isso ajuda a economizar tempo e dinheiro, 
além de garantir um projeto mais eficiente e seguro.
A etapa de compatibilização de projetos é uma fase crucial 
no processo de construção de um edifício. É nessa fase que os 
projetos de cada área são avaliados e ajustados para garantir que 
todos os elementos sejam compatíveis, se encaixem adequada-
mente e evitem conflitos e problemas que possam surgir durante 
a construção.
 A compatibilização de projetos também envolve a coor-
denação entre os diferentes profissionais envolvidos no projeto, 
como arquitetos, engenheiros estruturais, hidráulicos e elétricos. 
Cada um desses profissionais é responsável por uma área espe-
cífica, mas é necessário que trabalhem em conjunto para garantir 
que todos os elementos sejam compatíveis.
7º – DETALHAMENTO
Chegamos na etapa que 
normalmente consome mais tem-
po dos projetistas. Por essa razão, 
você não vai querer ter que deta-
lhar duas vezes a mesma estru-
tura. Logo, certifique-se que o pro-
jeto não precisará passar por mais 
nenhuma alteração. Peça uma 
confirmação por e-mail de que 
você pode prosseguir com o deta-
lhamento.
 No detalhamento é preciso 
desenhar, enumerar e quantificar 
todas os elementos e armaduras 
corretamente, como também in-
cluir os cortes e detalhes da edifi-
cação. Tente se colocar no lugar do 
construtor e imaginar todas as 
possíveis dúvidas que ele poderia 
ter. 
 Um projeto bem detalhado 
é autoexplicativo. Isso pode redu-
zir o número de ligações que você 
receberá quando a obra for exe-
cutada.
11
8º – PLANTAS
Com todos os desenhos detalhados, chegou a hora de 
organizá-los na planta. A ordem das plantas segue a ordem de 
execução. Para uma edificação de 1 pavimento, teríamos:
o Locação dos pilares;
o Formas das fundações;
o Armação das fundações;
o Armação dos pilares;
o Armação das vigas baldrame;
o Formas do pavimento;
o Armação das vigas;
o Armação das lajes;
o Cortes.
12
Também é necessário se certificar que todas as informa-
ções pertinentes do projeto estão presentes. Aqui estão algumas 
que geralmente são informadas:
o Resistência do concreto (𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐);
o Relação água/cimento (𝑎𝑎/𝑐𝑐);
o Consumo dos materiais;
o Classe de Agressividade Ambienta (CAA);
o Tabela de cobrimentos para cada elemento estrutural;
o Indicação de controle rigoroso de qualidade;
o Módulo de elasticidade adotado para os materiais;
o Cargas de alvenaria adotadas;
o Cargas de lajes adotadas;
o Tempo Requerido de Resistência ao Fogo (TRRF);
o Tempo de cura para o concreto (mínimo 7 dias);
o Tempo para desforma.
9º – GESTÃO
Após concluído o projeto estrutural, entramos então na 
etapa de gestão. A gestão de um escritório que trabalha com 
projetos estruturais envolve diversas atividades para garantir a 
eficiência e qualidade dos serviços prestados.
 O processo como um todo envolve tarefas como: planeja-
mento de metas, estratégias e cronogramas; gestão financeira; 
gerenciamento de recursos humanos através de contrações, 
treinamentos e avaliações de desempenho; marketing; dentre 
outros. Mas focando nos procedimentos que se relacionam ao 
projeto estrutural em si, podemos destacar:
o Elaboração da ART;
o Entrega do projeto;
o Arquivamento do projeto;
o Emissão de nota fiscal;
o Emissão de recibo;
o Pagamento dos funcionários;
o Contabilidade;
o Proposta para serviços adicionais.
13
Se você acha que seu trabalho acabou quando o projeto 
foi entregue, está enganado. É comum surgirem dúvidas, erros, 
mudanças e necessidades de visitas na obra. Esse trabalho extra 
pode ser cobrado a mais ou já ter sido combinado e precificado 
dentro do valor do projeto. É importante que o contrato tenha 
um detalhamento claro desta etapa para evitar aborrecimentos.
 O trabalho de acompanhamento da obra realizado por um 
engenheiro estrutural é extremamente importante para garantir 
a segurança e a qualidade da construção. Por mais que a respon-
sabilidade da execução da obra seja do engenheiro contratado 
para esse serviço, é imprescindível que o engenheiro estrutural 
se certifique que a obra está sendo executada de acordo com o 
seu projeto.
10º – ACOMPANHAMENTO DA OBRA
14
A ocorrência de chuvas ou erros 
construtivos podem comprometer a 
estrutura da edificação, sendo então 
necessário a elaboração de laudos pa-
ra atestar a qualidade da estrutura ou 
até projetos de reforços. E para isso, o 
mais indicado é o próprio calculista da 
estrutura original. Portanto, esteja 
sempre preparado para esse tipo de 
serviço.
CONHECENDO
OS MATERIAIS
2.
ARISTÓTELES
Antes de falarmos sobre as propriedades físicas dos mate-
riais é importante conhecer o conceito dos valores característicos 
e o porquê deles serem tão importantes.
 Quando falamos em valores característicos estamos na 
verdade nos referindo a um valor adotado que representa, com 
uma certa margem de segurança, a propriedade a qual ele está 
associado. Veja o seguinte exemplo:
2.1 – VALORES CARACTERÍSTICOS
Foram ensaiados 20 corpos-de-prova para determinar a 
resistência à compressão do concreto com 28 dias de idade e 
obtiveram-se os seguintesresultados:
33(MPa) 35 37 39 41 43 45 47
1
2
3
4
1
2
3
4
Reflita sobre qual dos valores você acha que deveria ser 
adotado para a resistência do concreto?
(unid.)
17
Acha que deveríamos adotar a média? Talvez não, pois 
dessa forma 50% dos resultados estariam com uma resistência 
menor do que a considerada. O que seria bastante arriscado.
 Então poderíamos considerar o menor dos resultados, 
não é? Assim estaríamos a favor da segurança, mas será que 
existe necessidade de adotar um valor tão conservador?
A resistência característica do concreto é definida 
como o valor que possui um grau de confiança de 95%, ou 
seja, a probabilidade de se encontrar uma resistência menor 
do que a característica é de apenas 5%.
Voltando então para o nosso exemplo, 5% de 20 unidades 
é 1 unidade. Logo, o valor que supera 5% dos resultados é 35 
MPa, sendo este o valor da resistência característica do concreto 
no exemplo.
Os valores característicos representam um método de se-
gurança para tratarmos da variabilidade dos resultados.
 Eles também são utilizados quando estamos tratando de 
solicitações, mas nesse caso temos interesse em escolher um va-
lor que dificilmente seja superado.
 A representação dos valores característicos é feita a partir 
da letra “k” subscrita. Por exemplo, a resistência característica 
do concreto à compressão é chamada de “𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐”.
18
O aço é um material amplamente utilizado na construção 
civil e se tratando desse elemento, é preciso sempre ter em men-
te três de suas principais características:
2.2 – AÇO
19
o Boa resistência à tração;
o Boa resistência à compressão;
o Elevada ductilidade. Ou seja, o material apresenta 
uma elevada deformação antes de atingir sua ruptura.
Com relação à sua ductilidade, é importante ressaltar que 
apesar do aço apresentar rupturas próximas à deformação de 
20‰, mais adiante veremos que ao atingir a deformação de 
10‰ já é possível considerar a ruptura da estrutura devido a 
deformação excessiva da armadura.
20
2.2.1 – TIPOS DE AÇO
Os tipos de aço utilizados em estruturas de concreto ar-
mado são divididos em categorias que referenciam a sua resis-
tência. Para diferenciá-los utilizamos a seguinte nomenclatura:
CA-50Sigla “CA” referente 
à utilização em 
concreto armado.
Resistência 
característica 
em kN/cm2.
A categoria mais comum para a 
produção de barras longitudinais é o 
aço CA-50. Contudo, também é possível 
encontrar barras de CA-25 e CA-60.
Já o aço utilizado para compor os estribos 
são da categoria CA-60 para diâmetros até 5mm 
e CA-50 para valores acima dos 5mm.
Além disso, as barras de aço também podem ser classifi-
cadas de acordo com a conformidade da sua superfície. É comum 
que cada tipo de superfície esteja associada a uma resistência 
específica, sendo:
Lisa = CA-25 Entalhada = CA-60 Nervurada = CA-50
2.2.2 – TENSÃO x DEFORMAÇÃO
A relação tensão x deformação de um material revela o 
seu comportamento quando comprimido ou tracionado. Para o 
caso do aço, observamos um comportamento semelhante ao 
ilustrado no gráfico abaixo.
Nesse gráfico temos algumas observações importantes:
1. O nível de tensão do aço sobe linearmente até atingir seu 
valor máximo, chamamos esse trecho de regime elástico.
2. Como está exemplificado o comportamento do aço CA-”50”, 
a sua tensão de escoamento vale “50” kN/cm2 ou 500 MPa. 
3. Ao calcularmos a inclinação do regime elástico achamos o 
seu “Módulo de Elasticidade” (𝐸𝐸𝑠𝑠), logo: 
𝐸𝐸𝑠𝑠 =
𝜎𝜎
𝜀𝜀
COMPRESSÃO 
OU TRAÇÃO
20‰𝜀𝜀𝑦𝑦
500 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑎𝑎
AÇO CA-50
𝜀𝜀
𝜎𝜎
21
4. Na falta de um ensaio experimental para caracterizar o mó-
dulo de elasticidade do aço (𝐸𝐸𝑠𝑠), pode ser adotado o valor de 
210.000 MPa.
5. Utilizamos o módulo de elasticidade para achar o valor da 
tensão ou deformação quando já conhecemos um deles. Por 
exemplo:
- Isolando 𝜀𝜀:
𝐸𝐸 =
𝜎𝜎
𝜀𝜀
 → 𝜀𝜀 =
𝜎𝜎
𝐸𝐸
 
- Substituindo os valores:
 𝜀𝜀 =
300
210000
 → 𝜀𝜀 = 0,00143 → 𝜀𝜀 = 1,43‰
Qual a deformação do aço para a tensão de 300 MPa?
6. Depois que o aço atinge sua tensão máxima ocorre o que 
chamamos de escoamento. Nesse patamar, o aço se deforma 
livremente até atingir a sua ruptura, sem que seja necessário 
um acréscimo de tensão para isso.
7. Para o aço CA-50, a deformação específica que determina o 
início do seu escoamento vale 2,07‰. Este valor está 
associado à tensão 434,8 MPa, a qual é resultado da divisão 
da tensão de 500 MPa pelo coeficiente de ponderação do 
aço de 1,15, o qual falaremos mais adiante.
22
2.3 – CONCRETO
O concreto é um material amplamente utilizado na cons-
trução civil devido à sua alta resistência, durabilidade e versati-
lidade. Ele é composto principalmente por cimento, água, agre-
gados (como areia e pedra) e aditivos. Além disso, ele possui a 
vantagem de poder ser moldado em diferentes formas e 
tamanhos. Sobre as suas características, é importante destacar:
o Baixa resistência à tração;
o Elevada resistência à compressão;
o Comportamento frágil. Ou seja, ruptura com baixas 
deformações.
Agora você pode perceber o motivo da utilização do con-
creto armado. O aço normalmente atua complementando o con-
creto nas área em que ele é menos eficiente, na resistência à tra-
ção e no comportamento dúctil.
23
C20
2.3.1 – CLASSE
O concreto é dividido entre classes e grupos. Cada classe é 
referente à sua resistência característica à compressão aos 28 
dias de idade. Já os grupos dividem o concreto conforme o seu 
comportamento. Veja como fica essa classificação:
C20 C30 C40 C50 C60 C70 C80 C90Classe
I IIGrupo
Concreto Resistência característica em MPa
A divisão entre os grupos ocorre no valor de resistência de 
50 MPa. A partir desse valor, a matriz rígida de argamassa do 
concreto passa a ser tão resistente quanto o agregado graúdo. 
Dessa forma, ocorre uma alteração do modo de ruptura do 
material, o que influência as suas propriedades mecânicas.
24
Nos concretos do grupo I, a superfície de ruptura tende 
a contornar os agregados graúdos, já nos concretos do grupo II 
essa superfície tende a corta os agregados também!
Essa alteração modifica o comportamento estrutural do 
concreto, fazendo com que a determinação de suas resistências, 
rigidez e deformações apresentem outros padrões.
Em obras usuais é muito raro encontrar concreto com re-
sistência acima dos 50 MPa. Por isso, neste livro só são tratados 
os concretos do grupo I.
Agregado
graúdo
Argamassa
Ruptura Ruptura
Ruptura grupo I Ruptura grupo II
2.3.2 – MASSA ESPECÍFICA
O peso próprio do concreto é uma solicitação importante 
a se considerar na análise estrutural. Por isso, reservar um lugar 
na memória para esses valores não é uma má ideia:
Concreto simples: 2400 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑓𝑓/𝑚𝑚3 → 24 𝑘𝑘𝑘𝑘/𝑚𝑚3 
Concreto armado: 2500 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑓𝑓/𝑚𝑚3 → 25 𝑘𝑘𝑘𝑘/𝑚𝑚3
25
2.3.3 – RESISTÊNCIA À TRAÇÃO
Na falta de ensaios experimentais para determinar as re-
sistências à tração, seus valores podem ser estimados com base 
na resistência característica do concreto à compressão (𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐) com 
base nas seguintes equações:
𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 = 0,3 ⋅ 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐
2/3Resistência média:
*chance de 50% de ser ultrapassada
Resistência característica inferior:
*chance de 95% de ser ultrapassada
𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐,𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 = 0,7 ⋅ 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐
Resistência característica superior:
*chance de 5% de ser ultrapassada
𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐,𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 = 1,3 ⋅ 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐
Como você pode reparar, existem três valores para a 
resistência à tração do concreto. Cada um deles é utilizado em 
situações diferentes.
 A resistência média, é a resistência mais provável de se 
encontrar no ensaio. A resistência característica inferior se trata 
de um valor que subestima a resistência à tração real do concre-
to, adotando um valor abaixo do esperado. E a resistência carac-
terística superior, superestima a resistência do concreto, adotan-
do um valor que dificilmente será superado.
 Não se preocupe com essas equaçõesagora. Veremos 
suas aplicações na medida em que elas forem necessárias.
26
2.3.4 – TENSÃO x DEFORMAÇÃO
COMPRESSÃO
TRAÇÃO
TE
N
SÃ
O
DEFORMAÇÃO ESPECÍFICA
3,5 ‰
Antes de entender o diagrama tensão-deformação norma-
tivo do concreto é preciso entender como o concreto se compor-
ta na realidade. 
 Diferentemente do aço, o concreto é uma material consi-
derado não-linear, ou seja, ele não apresenta um regime elástico 
linear como o aço. Observe um diagrama típico do concreto:
𝜎𝜎
𝜀𝜀
Um dos fatores para esse tipo de comportamento é dado a 
facilidade do concreto em fissurar. Uma vez formada a fissura, 
parte da capacidade resistente daquele local é esgotada, o que 
modifica o comportamento geral da estrutura.
27
Se não existe linearidade no diagrama tensão-deformação 
do concreto, não deveria fazer sentido definir um único valor 
para o módulo de elasticidade, não é? É por isso que na norma 
temos dois tipos de módulos de elasticidade para o concreto.
Módulo de elasticidade tangente inicial (𝐸𝐸𝑐𝑐𝑖𝑖):
Utilizado em análises globais do edifício, ou seja, para medir 
os deslocamentos da estrutura como um todo.
Módulo de elasticidade secante (𝐸𝐸𝑐𝑐𝑠𝑠):
Utilizado para as análises locais de fissuração, deformação, 
vibração, tensões, entre outras.
Vejamos agora como a ABNT NBR 6118:2023 define o 
diagrama tensão deformação do concreto:
3,5 ‰2,0 ‰
COMPRESSÃOTE
N
SÃ
O
DEFORMAÇÃO ESPECÍFICA
𝜎𝜎
𝜀𝜀
𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐
28
E para a tração:
0,15 ‰
TRAÇÃO
TE
N
SÃ
O
DEFORMAÇÃO ESPECÍFICA
𝜎𝜎
𝜀𝜀
𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐
0,9𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐
𝐸𝐸𝑐𝑐𝑖𝑖
Com relação aos valores do módulo de elasticidade, a nor-
ma brasileira define as seguintes equações:
𝐸𝐸𝑐𝑐𝑖𝑖 = 𝛼𝛼𝐸𝐸 ⋅ 5600 ⋅ 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐
𝛼𝛼𝐸𝐸 =
1,2 → 𝑏𝑏𝑎𝑎𝑏𝑏𝑎𝑎𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏 𝑒𝑒 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑎𝑎𝑏𝑏𝑑𝑏𝑏𝑑𝑑𝑏𝑏 
1,0 → 𝑘𝑘𝑔𝑔𝑎𝑎𝑔𝑔𝑑𝑑𝑏𝑏𝑏𝑏 𝑒𝑒 𝑘𝑘𝑔𝑔𝑎𝑎𝑑𝑑𝑏𝑏𝑏𝑏𝑒𝑒 
0,9 → 𝑐𝑐𝑎𝑎𝑏𝑏𝑐𝑐𝑑𝑔𝑔𝑑𝑑𝑏𝑏 
0,7 → 𝑎𝑎𝑔𝑔𝑒𝑒𝑔𝑔𝑑𝑑𝑏𝑏𝑏𝑏 
Onde:
𝐸𝐸𝑐𝑐𝑖𝑖: módulo de elasticidade tangente inicial do concreto;
𝐸𝐸𝑐𝑐𝑠𝑠: módulo de elasticidade secante do concreto;
𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐: resistência característica à compressão do concreto;
𝛼𝛼𝐸𝐸: constante do tipo de agregado graúdo, que vale:
𝐸𝐸𝑐𝑐𝑠𝑠 = 0,8 + 0,2 ⋅
𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐
80
𝐸𝐸𝑐𝑐𝑖𝑖
29
2.3.5 – TABELAS
Para agilizar o cálculo das propriedades do concreto, é 
comum a utilização de tabelas que relacionam o 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐 do concreto 
com a característica desejada. Aqui estão algumas das tabelas 
mais utilizadas:
C20 C25 C30 C35 C40 C45 C50Classe
14,3 17,9 21,4 25,0 28,6 32,1 35,7𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐 (𝑀𝑀𝑀𝑀𝑎𝑎)
1,55 1,79 2,03 2,25 2,46 2,66 2,85𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐,𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 (𝑀𝑀𝑀𝑀𝑎𝑎)
1,11 1,28 1,45 1,60 1,75 1,90 2,04𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 (𝑀𝑀𝑀𝑀𝑎𝑎)
2,21 2,56 2,90 3,21 3,51 3,80 4,07𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 (𝑀𝑀𝑀𝑀𝑎𝑎)
Resistências do concreto por classe.
C20 C25 C30 C35 C40 C45 C50Classe
25,0 28,0 30,7 33,1 35,4 37,6 39,6𝐸𝐸𝑐𝑐𝑖𝑖 (𝐺𝐺𝑀𝑀𝑎𝑎)
21,3 24,2 26,8 29,4 31,9 34,3 36,6𝐸𝐸𝑐𝑐𝑠𝑠 (𝐺𝐺𝑀𝑀𝑎𝑎)
Módulo de elasticidade do concreto por classe, com 𝜶𝜶𝑬𝑬 = 𝟏𝟏.
30
ESTADOS
LIMITES
3.
STEPHEN HALKING
3.1 – MODELO DE CÁLCULO
O método de cálculo baseado nos estados limites tem 
como objetivo garantir que as solicitações correspondentes às 
cargas majoradas sejam menores que as solicitações necessárias 
para provocar um estado pré-definido da estrutura.
Por exemplo, se queremos garantir que a estrutura resista 
ao seu “estado de ruína”, calculamos as solicitações que iriam 
produzir tal estado e então garantimos que as solicitações que 
irão atuar sobre ela não superem este valor limite. Este “estado 
de ruína” é chamado de Estado Limite Último (ELU) e também 
engloba qualquer estado que exija a paralisação da obra.
 Além do ELU, também é possível definir estados limites 
para garantir uma boa aparência, conforto e durabilidade para a 
estrutura. Para esses casos, chamamos de Estados Limites de 
Serviço (ELS). No ELS são definidos parâmetros que não devemos 
ultrapassar para que seja garantida a plena utilização da estru-
tura. Tais parâmetros vão desde níveis de deformações e fissura-
ções toleradas, até limitação da frequência de vibração da estru-
tura. Todas estas verificações são abordadas no capítulo 7.
Solicitações atuantes 
majoradas
Solicitações necessárias para 
provocar o estado limite≤
33
Na engenharia estrutural, a palavra “ação” se refere a 
qualquer influência capaz de provocar tensões ou deformações 
na estrutura. 
 Os exemplos de ações mais comuns são as solicitações de 
peso próprio dos elementos construtivos e cargas de utilização, 
mas também entram nessa classificação eventos como recalque, 
fluência do concreto, variação de temperatura, entre outros. Mas 
veja o que a ABNT NBR 6118:2023 diz a respeito das ações:
3.2 – AÇÕES
“Na análise estrutural deve ser considerada a influ-
ência de todas as ações que possam produzir efeitos signifi-
cativos para a segurança da estrutura em exame.”
Perceba que não é necessário considerar o efeito de todas 
as ações sempre, apenas quando elas oferecerem uma influência 
significativa para a segurança da estrutura. Dessa forma, ações 
como recalques, variação de temperatura, sismos, retração, im-
pactos e outras do gênero, nem sempre são consideradas. Para 
falar a verdade, a grande maioria dos projetos estruturais se limi-
tam a apenas a consideração do peso dos elementos, cargas de 
utilização e vento.
 Devido à grande variabilidade de comportamento das 
ações, elas são classificadas de acordo com a sua frequência de 
atuação, sendo divididas entre: permanentes, variáveis e excep-
cionais.
34
3.2.1 – PERMANENTES
As ações classificadas como permanentes são as que ocor-
rem com valores praticamente constantes durante toda a vida 
útil da estrutura, sem variar significativamente em relação às 
condições de operação normais da estrutura. Algumas podem 
até crescer com o tempo, mas atingem um valor limite que 
permanece constante em seguida.
Ca
rg
a
Tempo
As ações permanentes ainda são divididas entre diretas e 
indiretas, que englobam as seguintes solicitações:
Peso próprio da estrutura
Elementos construtivos fixos
Instalações permanentes
Diretas
Retração
Fluência
Deslocamentos de apoio
Imperfeições geométricas
Protensão
Indiretas
35
3.2.2 – VARIÁVEIS
As cargas variáveis são aquelas que podem variar em 
magnitude e/ou posição ao longo do tempo. Essas cargas podem 
ser causadas por ações externas, como o vento, a água, a neve, 
as pessoas, o tráfego de veículos e outros; ou por ações internas, 
como a movimentação de máquinas e equipamentos, ou as 
mudanças na distribuição de cargas em uma estrutura.
As ações variáveis também são divididas entre diretas e 
indiretas, sendo:
Vento
Água
Cargas de utilização
Diretas
Variação de temperatura
Ações dinâmicas
Indiretas
Ca
rg
a
Tempo
36
3.2.3 – EXCEPCIONAIS
As ações excepcionais são cargas que ocorrem em con-
dições fora do padrão, ou seja, situações extremas que podem 
causar danos ou colapsos na estrutura. Essas ações são raras, 
mas podem ser extremamente perigosas se não forem conside-
radas no projeto e no dimensionamento de uma estrutura sus-
ceptível à esse tipo de solicitação.
As ações excepcionais raramente são consideradas em es-
truturas usuais e cada ação é tratada individualmente com uma 
norma específica.
Terremotos
Incêndios
Explosões
Impacto de veículos
Exemplos
Ca
rg
a
Tempo
37
3.3 – COMBINAÇÃO DE AÇÕES
Quando vamos calcular as solicitações de uma estrutura e 
estudar os seus estados limites, teremos que combinar as ações 
permanentes, variáveis e excepcionais que consideramos no 
modelo. Contudo, dependendo da finalidade dessa combinação 
ela será classificada de maneira diferente. Veja:
COMBINAÇÕES DO ELU
NORMAIS
ESPECIAIS OU DE 
CONSTRUÇÃO
EXCEPCIONAIS
Utilizada nos casos usuais de ELU.
Utilizada para verificações durante a 
construção da obra.
Utilizada quando há a consideração 
de ações excepcionais.COMBINAÇÕES DO ELS
QUASE 
PERMANENTES
FREQUENTES
RARAS
Utilizada para verificar deformações 
excessivas.
Utilizada para verificações formação 
e abertura de fissuras e vibrações.
Utilizada para verificar a formação 
de fissuras.
38
Ao considerarmos uma ação precisamos estar cientes que 
o valor adotado se trata de uma aproximação. Não medimos o 
peso exato da estrutura nem temos a certeza que uma cozinha 
pesa 150 kgf/m2, por exemplo. Esses valores podem variam bas-
tante entre uma obra e outra.
 Além disso, ações variáveis como a carga de utilização e do 
vento apresentam valores conservadores que dificilmente são 
superados. Se já é relativamente raro que este valor seja ultra-
passado, qual seria a probabilidade de duas ações variáveis 
serem ultrapassadas ao mesmo tempo? Bastante improvável, 
não é?
 Para lidar com essas incertezas utilizamos os coeficientes 
de ponderação, que nada mais são do que uma maneira de 
adequar os valores característicos das ações para a realidade do 
projeto.
3.4 – COEFICIENTES DE PONDERAÇÃO
VARIAÇÃO DE VALORES
SIMULTANEIDADE DAS AÇÕES
APROXIMAÇÕES DE CÁLCULO
39
3.4.1 – PONDERAÇÃO DAS AÇÕES
Os coeficientes de ponderação das ações e das resistên-
cias são utilizados para garantir a segurança e a confiabilidade 
das estruturas. Para as ações, tais fatores multiplicam as diferen-
tes cargas atuantes, enquanto nas resistências, os coeficientes 
atuam minorando as capacidades resistivas dos materiais.
3.4.1.1 – VALORES
O coeficiente de ponderação das ações é determinado em 
função da variabilidade das ações, probabilidade de ocorrência 
simultânea das cargas e aproximações de cálculo. Para cada um 
desses fatores, é determinado um coeficiente específico, sendo o 
valor final do 𝛾𝛾𝑖𝑖 dado pelo produtos dos três coeficientes.
𝛾𝛾𝑖𝑖 = 𝛾𝛾𝑖𝑖1 ⋅ 𝛾𝛾𝑖𝑖2 ⋅ 𝛾𝛾𝑖𝑖3
Variabilidade
Simultaneidade
Aproximações
O cálculo do coeficiente 
𝛾𝛾𝑖𝑖 é obtido pela consulta de 
duas tabelas que estão ilustra-
das na página seguinte. 
A primeira fornece o produto de 
𝛾𝛾𝑖𝑖1 e 𝛾𝛾𝑖𝑖3. Já a segunda fornece 
o valor de 𝛾𝛾𝑖𝑖2.
40
Combinação de 
ações
Ações
Permanentes Variáveis
Desfav. Favor. Geral Temp.
ELU - Normais 1,4 1,0 1,4 1,2
ELU - Especiais 1,3 1,0 1,2 1,0
ELU - Excepcionais 1,2 1,0 1,0 0,0
ELS 1,0 1,0 1,0 1,0
Valores de 𝛾𝛾𝑖𝑖1 ⋅ 𝛾𝛾𝑖𝑖3
Valores de 𝛾𝛾𝑖𝑖2
Ações
𝛾𝛾𝑖𝑖2
𝜓𝜓0 𝜓𝜓1 𝜓𝜓2
Va
riá
ve
is
Acidental sem pesos fixos nem 
concentração de pessoas 0,5 0,4 0,3
Acidental com pesos fixos ou 
concentração de pessoas 0,7 0,6 0,4
Acidental de bibliotecas, oficinas, 
arquivos ou garagens 0,8 0,7 0,6
Pressão dinâmica do vento 0,6 0,3 0,0
Variação de temperatura 0,6 0,5 0,3
Permanentes 1,0 1,0 1,0
41
É importante ressaltar que também existem valores de 
coeficientes de ponderação para os casos de protensão, recal-
ques e retração, eles apenas foram omitidos por uma questão 
didática. Por se tratarem de ações mais específicas, não se 
preocupe com elas agora. Os valores com os quais você mais 
estará trabalhando estão destacados em azul claro.
 Observe que as ações permanentes devem ser majoradas 
apenas quando apresentarem um esforço desfavorável, ou seja, 
estejam contribuindo para a instabilidade da estrutura. Existem 
alguns casos em que, dependendo da direção em que a carga é 
aplicada, a ação permanente pode atuar aliviando os esforços 
totais na estrutura. Para estas situações a carga é considerada 
com seu valor característico, sem majoração ou minoração.
 Outro fator importante de se comentar é o valor de 𝛾𝛾𝑖𝑖2, o 
qual assume a forma de 𝜓𝜓𝑖𝑖. Essa variação de nomenclatura é 
importante, pois o valor de 𝛾𝛾𝑖𝑖2 varia no mesmo tipo de ação, 
conforme veremos no tópico 3.5.
42
3.4.2 – PONDERAÇÃO DAS RESISTÊNCIAS
Os coeficientes de ponderação das resistências visam esta-
belecer uma relação entre as resistências obtidas por ensaios de 
laboratório e a definitivamente encontradas na obra. Sendo:
Concreto (𝛾𝛾𝑐𝑐)
1,40
Combinação
ELU – Normal
Aço (𝛾𝛾𝑠𝑠)
1,15
1,20ELU – Especial 1,15
1,20ELU – Excepcional 1,00
1,00ELS 1,00
3.4.3 – NOMENCLATURA
Durante o cálculo de uma combinação de ações estarão 
presentes na mesma equação diferentes tipos de solicitações e 
coeficientes de ponderação. Para diferenciar cada classe de 
termos são adotados diferentes letras subscritas.
𝑘𝑘
Ações permanentes
𝑞𝑞
Ações variáveis
𝜀𝜀
Ações indiretas
𝑞𝑞𝑏𝑏
Ação variável principal
𝑒𝑒𝑒𝑒𝑐𝑐
Ações excepcionais
43
Para execuções em que estejam previstas más condições 
de concretagem, transporte ou adensamento do concreto, é ne-
cessário multiplicar o coeficiente 𝛾𝛾𝑐𝑐 por 1,1.
 Caso o ensaio de compressão do concreto seja realizado 
em um corpo-de-prova extraído da estrutura original (teste-
munho), o fator 𝛾𝛾𝑐𝑐 pode ser dividido por 1,1.
Chegou a hora de realizar o cálculo das combinações de 
ações. A princípio, as equações podem parecer um pouco mais 
complexas do que realmente são, mas a ideia principal do cálculo 
é somar todos os produtos dos valores característicos de cada 
ação com seu respectivo coeficiente ponderador.
 As equações para as combinações de ações estão 
presentes na ABNT NBR 6118:2023 e são apresentadas em sua 
forma geral. Contudo, conforme dito anteriormente, raramente é 
necessário utilizarmos todos os tipos de ação em uma edificação, 
basta considerar aquelas que oferecem um risco significativo à 
estrutura. Logo, nos casos mais usuais, tais equações podem ser 
simplificadas cortando os termos não utilizados. 
 Neste tópico vamos apresentar as equações das principais 
combinações na sua forma geral e em uma versão simplificada, 
considerando duas cargas permanentes e duas cargas variáveis.
3.5 – CALCULANDO AS COMBINAÇÕES
Permanente 1: Peso próprio
Permanente 2: Peso alvenaria
Variável 1: Carga acidental
Variável 2: Vento
44
𝐹𝐹𝑐𝑐 = 𝛾𝛾𝑔𝑔 ⋅ 𝐹𝐹𝑔𝑔𝑐𝑐 + 𝛾𝛾𝜀𝜀𝑔𝑔 ⋅ 𝐹𝐹𝜀𝜀𝑔𝑔𝑐𝑐 + 𝛾𝛾𝑞𝑞 ⋅ 𝐹𝐹𝑞𝑞𝑞𝑞𝑐𝑐 + 𝛾𝛾𝑞𝑞 ⋅�
𝑗𝑗=1
𝑖𝑖
𝜓𝜓𝑜𝑜𝑗𝑗 ⋅ 𝐹𝐹𝑞𝑞𝑗𝑗𝑐𝑐 + 𝛾𝛾𝜀𝜀𝑞𝑞 ⋅ 𝜓𝜓0𝜀𝜀 ⋅ 𝐹𝐹𝜀𝜀𝑞𝑞𝑐𝑐
3.5.1 – ELU: NORMAL
Equação geral:
Permanentes diretas
Permanentes indiretas
Variável principal
Variáveis secundárias
Variável indireta
(temperatura)
Para a combinação última normal é necessário atribuir 
uma variável principal, de forma que seja aquela que produz a 
maior solicitação final (𝐹𝐹𝑐𝑐). Essa variável não será multiplicada 
pelo fator de minoração 𝛾𝛾𝑖𝑖2 = 𝜓𝜓0, apenas as demais ações va-
riáveis da estrutura, definidas como secundárias.
 Emobras usuais não é comum a consideração de ações 
indiretas. Dessa forma, considerando apenas as duas ações per-
manentes e duas variáveis definidas para o exemplo, a equação 
geral poderia ser simplificada da seguinte forma:
𝐹𝐹𝑐𝑐 = 𝛾𝛾𝑔𝑔 ⋅ 𝐹𝐹𝑔𝑔𝑐𝑐1 + 𝐹𝐹𝑔𝑔𝑐𝑐2 + 𝛾𝛾𝑞𝑞 ⋅ 𝐹𝐹𝑞𝑞𝑞𝑞𝑐𝑐 + 𝛾𝛾𝑞𝑞 ⋅ 𝜓𝜓𝑜𝑜 ⋅ 𝐹𝐹𝑞𝑞𝑐𝑐
Permanentes Variável principal Variável secundária
45
Equação geral:
3.5.2 – ELS: QUASE PERMANENTE
𝐹𝐹𝑐𝑐 = �
𝑖𝑖=1
𝑖𝑖
𝐹𝐹𝑔𝑔𝑖𝑖𝑐𝑐 + �
𝑗𝑗=1
𝑐𝑐
𝜓𝜓2𝑗𝑗 ⋅ 𝐹𝐹𝑞𝑞𝑗𝑗𝑐𝑐
Permanentes Variáveis
Na combinação de serviço quase perma-
nente as ações permanentes entram com seu va-
lor característico, ou seja, 𝛾𝛾𝑖𝑖 = 1. Já as ações 
variáveis devem ser minoradas pelo coeficiente 
𝛾𝛾𝑖𝑖2 = 𝜓𝜓2. Veja como ficaria nosso exemplo:
𝐹𝐹𝑐𝑐 = 𝐹𝐹𝑔𝑔𝑐𝑐1 + 𝐹𝐹𝑔𝑔𝑐𝑐2 + 𝜓𝜓2 ⋅ 𝐹𝐹𝑞𝑞𝑐𝑐1 + 𝜓𝜓2 ⋅ 𝐹𝐹𝑞𝑞𝑐𝑐2
Peso próprio Acidental
Alvenaria Vento
Nesse caso não é necessário se 
preocupar com qual ação deve ser 
adotada como variável principal
46
Equação geral:
3.5.3 – ELS: FREQUENTE
𝐹𝐹𝑐𝑐 = �
𝑖𝑖=1
𝑖𝑖
𝐹𝐹𝑔𝑔𝑖𝑖𝑐𝑐 + 𝜓𝜓1 ⋅ 𝐹𝐹𝑞𝑞𝑞𝑞𝑐𝑐 + �
𝑗𝑗=1
𝑐𝑐
𝜓𝜓2𝑗𝑗 ⋅ 𝐹𝐹𝑞𝑞𝑗𝑗𝑐𝑐
Permanentes Variável principal Variáveis secundárias
Na combinação frequente de serviço devemos considerar 
uma ação variável principal, sendo multiplicada pelo coeficiente 
𝜓𝜓1, e as demais ações variáveis como secundárias, sendo mino-
radas pelo coeficiente𝜓𝜓2.
 Da mesma forma que na combinação normal do ELU, a va-
riável principal deve ser a ação que, quando combinada, irá pro-
duzir o maior valor no 𝐹𝐹𝑐𝑐.
𝐹𝐹𝑐𝑐 = 𝐹𝐹𝑔𝑔𝑐𝑐1 + 𝐹𝐹𝑔𝑔𝑐𝑐2 + 𝜓𝜓1 ⋅ 𝐹𝐹𝑞𝑞𝑞𝑞𝑐𝑐 + 𝜓𝜓2 ⋅ 𝐹𝐹𝑞𝑞𝑐𝑐
Permanentes Variável principal Variável secundária
47
Equação geral:
3.5.4 – ELS: RARA
𝐹𝐹𝑐𝑐 = �
𝑖𝑖=1
𝑖𝑖
𝐹𝐹𝑔𝑔𝑖𝑖𝑐𝑐 + 𝐹𝐹𝑞𝑞𝑞𝑞𝑐𝑐 + �
𝑗𝑗=1
𝑐𝑐
𝜓𝜓1𝑗𝑗 ⋅ 𝐹𝐹𝑞𝑞𝑗𝑗𝑐𝑐
Permanentes Variável principal Variáveis secundárias
A combinação rara de serviço é bastante similar à fre-
quente. A diferença é que agora a ação variável principal não é 
minorada e as variáveis secundárias são multiplicadas pelo 
coeficiente 𝜓𝜓1.
 Veja como fica a equação no nosso exemplo:
𝐹𝐹𝑐𝑐 = 𝐹𝐹𝑔𝑔𝑐𝑐1 + 𝐹𝐹𝑔𝑔𝑐𝑐2 + 𝐹𝐹𝑞𝑞𝑞𝑞𝑐𝑐 + 𝜓𝜓1 ⋅ 𝐹𝐹𝑞𝑞𝑐𝑐
Permanentes Variável principal Variável secundária
48
3.5.5 – EXEMPLO
Dada a estrutura e cargas ilustradas abaixo, calcule a carga 
vertical distribuída sobre a viga V1 para as combinações: normal 
(ELU), quase permanente (ELS), frequente (ELS) e rara (ELS).
L1
2 m 3 m
20 cm
40
 c
m
10 cm
49
Cargas
Peso concreto (𝜌𝜌𝑐𝑐𝑜𝑜𝑖𝑖𝑐𝑐): 25 𝑘𝑘𝑘𝑘/𝑚𝑚3
Revestimento (𝑘𝑘𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟): 1 𝑘𝑘𝑘𝑘/𝑚𝑚2
Carga acidental (𝑞𝑞𝑎𝑎𝑐𝑐𝑖𝑖𝑐𝑐): 1,5 𝑘𝑘𝑘𝑘/𝑚𝑚2
Utilização:
Sem pesos fixos nem 
concentração de pessoas.
Volume da laje sobre V1 (VL1): 
𝑉𝑉 = 3 ⋅ 1 ⋅ 0,1 → 𝑉𝑉 = 0,3 𝑚𝑚3
Peso próprio da laje (G1): 
𝐺𝐺1 = 𝑉𝑉 ⋅ 𝜌𝜌𝑐𝑐𝑜𝑜𝑖𝑖𝑐𝑐
𝐺𝐺1 = 0,3 ⋅ 25 → 𝐺𝐺1 = 7,5 𝑘𝑘𝑘𝑘
Área (A): 
𝐴𝐴 = 3 ⋅ 1 → 𝐴𝐴 = 3,0 𝑚𝑚3
SOLUÇÃO
1 m
3 m
10 cm
1 – Cargas da laje que descarregam em V1
Peso revestimento (G2): 
𝐺𝐺2 = 𝐴𝐴 ⋅ 𝑘𝑘𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟
𝐺𝐺2 = 3,0 ⋅ 1 → 𝐺𝐺2 = 3,0 𝑘𝑘𝑘𝑘
Peso acidental (Q1): 
𝑄𝑄1 = 𝐴𝐴 ⋅ 𝑞𝑞𝑎𝑎𝑐𝑐𝑖𝑖𝑐𝑐
𝑄𝑄1 = 3,0 ⋅ 1,5 → 𝑄𝑄1 = 4,5 𝑘𝑘𝑘𝑘
50
Volume da viga (VV1): 
𝑉𝑉 = 3 ⋅ 0,4 ⋅ 0,2 → 𝑉𝑉 = 0,24 𝑚𝑚3
Peso próprio da viga (G3): 
𝐺𝐺3 = 𝑉𝑉 ⋅ 𝜌𝜌𝑐𝑐𝑜𝑜𝑖𝑖𝑐𝑐
𝐺𝐺3 = 0,24 ⋅ 25 → 𝐺𝐺3 = 6,0 𝑘𝑘𝑘𝑘
2 – Cargas da viga V1
3 – Organizar ações 
Permanentes
Peso da laje: 𝐺𝐺1 = 7,5 𝑘𝑘𝑘𝑘
Peso revest.: 𝐺𝐺2 = 3,0 𝑘𝑘𝑘𝑘
Peso viga: 𝐺𝐺3 = 6,0 𝑘𝑘𝑘𝑘
Variáveis
Acidental: 𝑄𝑄1 = 4,5 𝑘𝑘𝑘𝑘
Como as ações permanentes são tratadas juntas, elas 
podem ser somada para simplificar os cálculos. Dessa forma:
Ação permanente (G): 𝐺𝐺 = 𝐺𝐺1 + 𝐺𝐺2 + 𝐺𝐺3 → 𝐺𝐺 = 7,5 + 3 + 6 
𝐺𝐺 = 16,5 𝑘𝑘𝑘𝑘
51
Carga permanente:
𝑘𝑘 =
𝐺𝐺
𝐿𝐿
 → 𝑘𝑘 =
16,5
3
𝑘𝑘 = 5,5 𝑘𝑘𝑘𝑘/𝑚𝑚
Variável acidental: 
𝑞𝑞1 =
𝑄𝑄1
𝐿𝐿
 → 𝑞𝑞1 =
4,5
3
 → 𝑞𝑞1 = 1,5 𝑘𝑘𝑘𝑘/𝑚𝑚
4 – Distribuir as cargas na viga V1
3 m
5 – Coletar os coeficientes ponderadores (pág.36)
Combinação normal (ELU):
𝛾𝛾𝑔𝑔 = 1,4 𝛾𝛾𝑞𝑞 = 1,4 𝜓𝜓0 = 0,5
Combinação quase permanente (ELS):
𝜓𝜓2 = 0,3
Combinação frequente (ELS):
𝜓𝜓1 = 0,4 𝜓𝜓2 = 0,3
Combinação rara (ELS):
𝜓𝜓1 = 0,4
52
6 – Calcular as combinações
Combinação normal (ELU):
𝐹𝐹𝑐𝑐,𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸 = 𝛾𝛾𝑔𝑔 ⋅ 𝑘𝑘 + 𝛾𝛾𝑞𝑞 ⋅ 𝑞𝑞1 → 𝐹𝐹𝑐𝑐,𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸 = 1,4 ⋅ 5,5 + 1,4 ⋅ 1,5
𝐹𝐹𝑐𝑐,𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸 = 9,8 𝑘𝑘𝑘𝑘/𝑚𝑚
Combinação quase permanente (ELS):
𝐹𝐹𝑐𝑐,𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸,𝑄𝑄𝑄𝑄 = 𝑘𝑘 + 𝜓𝜓2 ⋅ 𝑞𝑞1 → 𝐹𝐹𝑐𝑐,𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸,𝑄𝑄𝑄𝑄 = 5,5 + 0,3 ⋅ 1,5
𝐹𝐹𝑐𝑐,𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸,𝑄𝑄𝑄𝑄 = 6,0 𝑘𝑘𝑘𝑘/𝑚𝑚
Combinação frequente (ELS):
𝐹𝐹𝑐𝑐,𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸,𝐹𝐹 = 𝑘𝑘 + 𝜓𝜓1 ⋅ 𝑞𝑞1 → 𝐹𝐹𝑐𝑐,𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸,𝐹𝐹 = 5,5 + 0,4 ⋅ 1,5
𝐹𝐹𝑐𝑐,𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸,𝐹𝐹 = 6,1 𝑘𝑘𝑘𝑘/𝑚𝑚
Combinação rara (ELS):
𝐹𝐹𝑐𝑐,𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸,𝑅𝑅 = 𝑘𝑘 + 𝑞𝑞1 → 𝐹𝐹𝑐𝑐,𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸,𝑅𝑅 = 5,5 + 1,5
𝐹𝐹𝑐𝑐,𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸,𝑅𝑅 = 7,0 𝑘𝑘𝑘𝑘/𝑚𝑚
Como no exemplo só foi utilizado uma ação variável, ela 
será considerada como variável principal, sem a necessidade 
do processo iterativo, visto que não existem ações variáveis 
secundárias.
53
3.5.6 – VALORES DE CARGAS
A ABNT NBR 6120:2019 reúne valores recomendados 
para as cargas consideradas. Estão reunidos aqui alguns dos 
valores mais utilizados:
Carga por área: 1,6 kN/m2
Alvenaria de 2,5m: 4,0 kN/m
A L V E N A R I A
Alvenaria de bloco cerâmico de 8 fu-
ros, com 9 cm de espessura e reves-
timento de 2 cm em cada face.
S A L A S R E S I D E N C I A I S
Carga por área: 1,5 kN/m2
Salas de estar, cozinhas, banheiros, 
corredores e dormitórios apresentam 
a mesma carga acidental:
Telhado completo: 0,85 kN/m2
Apenas a telha: 0,60 kN/m2
T E L H A D O C O L O N I A L
Tanto os telhados com telha cerâmica 
colonial, como também germânica, 
apresentam as seguintes cargas:
54
FLEXÃO
DE
VIGAS
4.
CHARLES MINGUS
O primeiro passo para compreender o dimensionamento 
de elementos submetidos à flexão é entender que existem diver-
sos tipos de flexão e que os procedimentos de cálculo podem 
mudar conforme tais solicitações. 
4.1 – TIPOS DE FLEXÃO
É preciso sempre ter em mente o tipo de flexão que o 
elemento estrutural está trabalhado e, a partir daí, prosseguir 
para o dimensionamento.
4.1.1 – SIMPLES OU COMPOSTA
A primeira categoria de flexão que vamos analisar é quan-
to a sua solicitação axial. Chamamos de “flexão simples” a flexão 
que não possui esforços axiais relevantes, comumente observada 
em vigas e lajes. Já a “flexão composta” apresenta esforços de 
compressão ou tração relevantes, sendo normalmente observa-
da em pilares e estruturas de concreto protendido.
𝑘𝑘 = 0
𝑘𝑘 ≠ 0
Simples
Composta
57
4.1.2 – NORMAL OU OBLÍQUA
A flexão também é caracterizada conforme a orientação 
do momento solicitante. Seções simétricas apresentam eixos 
principais de inércia, e quando o momento fletor atua em 
apenas um desses eixos, dizemos que a flexão é “normal”. Esse 
tipo de flexão é o mais comum em elementos que se limitam a 
receber cargas verticais, como é o caso de vigas e lajes, mas 
também pode ocorrer em pilares que recebem o momento 
proveniente de uma viga em apenas um dos seus eixos.
 Chamamos então de flexão “oblíqua” os caso em que a 
flexão possa ser decomposta em mais de um eixo principal de 
inércia. Essa situação é frequentemente observada em pilares 
que recebem o momento de vigas em mais de um eixo.
58
𝑉𝑉 ≠ 0
4.1.3 – PURA OU NÃO PURA
Uma diferenciação bastante importante nos ambientes de 
pesquisa é a de flexão pura e não pura. A flexão “pura” ocorre 
quando um segmento do elemento estrutural está sujeito ape-
nas à ação do momento fletor, sem a presença de esforços cor-
tantes, caso contrário, dizemos que se trata de uma flexão “não 
pura”.
 A flexão pura em longos segmentos é rara de se observar 
fora dos laboratórios. Ela requer uma configuração mais precisa 
de carregamentos e vínculos para ser reproduzida. Esse tipo de 
flexão é especialmente utilizada em pesquisas para se estudar 
elementos flexionados sem a interferência dos efeitos de cisalha-
mento na peça.
𝑉𝑉 = 0
59
Os estádios de uma viga representam três etapas do com-
portamento da estrutura, desde o início da solicitação, até atingir 
a sua capacidade máxima e ruína.
4.2 – ESTÁDIOS
- Momento solicitante fraco
- Concreto e aço resistem à tração
- Distribuição de tensão linear
- Não há fissuras visíveis
- Momento solicitante forte
- Apenas o aço resiste à tração
- Distribuição de tensão linear
- Fissuras visíveis
- Momento solicitante muito forte
- Apenas o aço resiste à tração
- Tensões no concreto em parábola-
retângulo (plastificado)
- Fissuras próximas à linha neutra*
1.
*A linha neutra de uma seção é definida como a linha que 
separa a região comprimida da tracionada. A sua profundidade 
(distância até o topo da seção) é representada por “𝑒𝑒” e é 
comumente informada em sua forma relativa “𝑒𝑒/𝑑𝑑”, sendo “𝑑𝑑” a 
distância do centro de geométrico das armaduras até o lado 
mais comprimido.
𝑒𝑒
𝑑𝑑
60
2.
3.
Além de classificar o comportamento da estrutura confor-
me seu estádio, também podemos classificar a sua ruína (estádio 
3) conforme os domínios de deformação.
4.3 – DOMÍNIOS DE DEFORMAÇÃO
A classificaçãoconforme o domínio é importante para 
informar como as tensões e deformações estão distribuídas 
entre o concreto e o aço durante a ruptura do elemento.
Admite-se que a ruptura da peça possa ocorrer pelo esma-
gamento do concreto comprimido (entre -2,0‰ e -3,5‰) ou 
alongamento excessivo da armadura (10,0‰).
 Idealmente é desejável que a ruptura ocorra com o 
escoamento simultâneo dos materiais, pois assim a peça está 
aproveitando a capacidade máxima tanto do concreto como do 
aço. Vamos ver agora como são definidos cada domínio.
61
4.3.1 – DOMÍNIO 1
O domínio 1 representa a ruína de uma peça completa-
mente tracionada, seja por tração simples ou flexo tração. A rup-
tura ocorre pela deformação excessiva da armadura, sem a parti-
cipação do concreto na resistência.
 Neste domínio, o elemento apresenta deformações que 
variam de 0 a 10‰ no topo da seção (𝜀𝜀𝑐𝑐) e a deformação fixa de 
10‰ na armadura inferior (𝜀𝜀𝑠𝑠). Além disso, a linha neutra se en-
contra fora da seção (𝑒𝑒/𝑑𝑑 ≤ 0).
0
10
0 ≤ 𝜀𝜀𝑐𝑐 ≤ 10
𝜀𝜀𝑠𝑠 = 10
𝑒𝑒/𝑑𝑑 ≤ 0
‰
62
0 ≤ 𝑒𝑒/𝑑𝑑 ≤ 0,259
−3,5 ≤ 𝜀𝜀𝑐𝑐 ≤ 0
4.3.2 – DOMÍNIO 2
No domínio 2 o concreto já se encontra comprimido, com 
a peça podendo estar trabalha sob flexão simples ou composta. 
A ruptura da peça ocorre pela deformação excessiva do aço po-
dendo ou não ser acompanhada pelo esmagamento do concreto 
comprimido.
 As deformações deste domínio variam de -3,5 a 0‰ no 
topo da seção (𝜀𝜀𝑐𝑐) e a deformação na armadura inferior (𝜀𝜀𝑠𝑠) per-
manece fixa em 10‰. A linha neutra se encontra dentro da 
seção com a relação 𝑒𝑒/𝑑𝑑 entre 0 e 0,259.
0
10
𝜀𝜀𝑠𝑠 = 10
−3,5
‰
63
𝜀𝜀𝑐𝑐 = −3,5
4.3.3 – DOMÍNIO 3
O domínio 3 é o domínio mais indicado para se projetar. 
Nele, há um aproveitamento máximo da resistência de ambos os 
materiais, o que torna a estrutura mais eficiente. Sua ruptura é 
caracterizada pelo esmagamento do concreto comprimido aliada 
ao escoamento da armadura.
 As deformações que compõem este domínio englobam a 
deformação fixa de -3,5‰ na extremidade comprimida e nas 
armaduras tracionadas a variação de 10‰ até a deformação de 
escoamento das barras (𝜀𝜀𝑦𝑦𝑐𝑐). Para o aço CA-50: 𝜀𝜀𝑦𝑦𝑐𝑐 = 2,07‰.
0
10
−3,5
0,259 ≤ 𝑒𝑒/𝑑𝑑 ≤ 0,628
𝜀𝜀𝑦𝑦𝑐𝑐
𝜀𝜀𝑦𝑦𝑐𝑐 ≤ 𝜀𝜀𝑠𝑠 ≤ 10
‰
64
0,628 ≤ 𝑒𝑒/𝑑𝑑 ≤ 1
𝜀𝜀𝑐𝑐 = −3,5
4.3.4 – DOMÍNIO 4
No domínio 4 a armadura deixa de escoar, o que implica 
em uma ruptura frágil, ou seja, com baixas deformações. De 
modo geral, esse tipo de comportamento não é interessante nas 
construções. Devido às baixas deformações, o concreto fissura 
pouco e a sua ruptura por esmagamento ocorre de forma repen-
tina, sem “aviso prévio” provocado pela intensa fissuração.
0 ‰−3,5 𝜀𝜀𝑦𝑦𝑐𝑐
É interessante que a estrutura fissure bastante antes 
de romper para que alerte os usuários sobre o risco do 
colapso. Esse tipo de alerta é minimizado no domínio 4. Por 
esse motivo, o dimensionamento de vigas e lajes são limita-
dos ao domínio 3, com a relação 𝑒𝑒/𝑑𝑑 ≤ 0,45.
0 ≤ 𝜀𝜀𝑠𝑠 ≤ 𝜀𝜀𝑦𝑦𝑐𝑐
65
4.3.5 – DOMÍNIO 4A
O domínio 4A compõe uma pequena faixa de transição 
que passa a englobar a participação do cobrimento na resistên-
cia à compressão da estrutura. Nesse domínio, a peça está traba-
lhando sob flexo-compressão e com as armaduras comprimidas. 
A posição da linha neutra 𝑒𝑒 varia entre a posição das armaduras 
e o limite da seção ℎ.
‰
𝜀𝜀𝑐𝑐 = −3,5
1 ≤ 𝑒𝑒/𝑑𝑑 ≤ ℎ/𝑑𝑑
0
−3,5
ℎ
66
𝑒𝑒/𝑑𝑑 ≥ ℎ/𝑑𝑑
−3,5 ≤ 𝜀𝜀𝑐𝑐 ≤ 2,0
4.3.6 – DOMÍNIO 5
O domínio 5 apresenta a transição da ruptura do concreto 
com deformação a -3,5‰ para -2,0‰. Nesta situação, a estrutu-
ra pode estar trabalhando à flexo-compressão ou à compressão 
simples. A linha neutra se encontra fora da seção, com a relação 
𝑒𝑒/𝑑𝑑 ≥ ℎ/𝑑𝑑.
0
‰
−3,5
−2,0
67
3ℎ
7
O dimensionamento estrutural da armadura longitudinal 
de vigas de concreto armado é uma etapa crucial no projeto de 
estruturas de concreto armado. A armadura longitudinal é a prin-
cipal responsável por absorver as tensões de tração que equili-
bram o momento atuante.
 O dimensionamento da armadura longitudinal envolve a 
determinação da quantidade de aço necessário para as barras de 
aço que serão utilizadas na viga. Seu cálculo é feito a partir do 
equilíbrio de esforços na seção. No anexo A deste livro é apre-
sentado a dedução das fórmulas utilizadas neste item.
 Acompanhe a seguir um roteiro explicado para o dimen-
sionamento da armadura de flexão de uma viga.
4.4 – DIMENSIONAMENTO DA ARMADURA
1º - PRÉ-DIMENSIONAMENTO
Na etapa de pré-dimensionamento são definidos valores 
iniciais para a geometria e propriedades da estrutura. Tais valo-
res são então utilizados para calcular a quantidade de armadura 
necessária e verificar se atendem a todos os limites do ELU e ELS. 
Com base nos resultados obtidos é feita então a validação ou 
devidas alterações das características iniciais.
 No pré-dimensionamento de vigas é usual que se adote 
uma altura (ℎ) correspondente a 10% do vão. Supondo então um 
vão de 4 metros para o nosso exemplo, a altura da viga no pré-
dimensionamento é de 40 cm.
 Já para a largura da viga (𝑏𝑏𝑤𝑤) é comum adotarmos valores 
próximos à espessura dos pilares ou alvenarias, entre 14 e 20 cm. 
Para o nosso exemplo iremos adotar uma largura de 20 cm.
68
O valor do cobrimento (𝑐𝑐) varia de acordo com a Classe de 
Agressividade Ambiental (CAA) conforme mostrado na tabela 
abaixo. Supondo que a nossa estrutura seja construída em uma 
área urbana, temos então uma CAA-II e um cobrimento mínimo 
de 30 mm.
VIGAS LAJESCAA
25 20I – Áreas rurais ou submersas
30 25II – Áreas urbanas
40 35III – Áreas indust./marinhas
50 45IV – Com respingos de maré
Cobrimento mínimo (mm).
69
É importante ressaltar que as vigotas pré-fabricadas utili-
zadas em lajes treliçadas podem apresentar uma redução de 5 
mm no seu cobrimento mínimo. Isto se deve ao fato da sua 
fabricação exercer um maior controle de qualidade do concreto, 
conferindo assim uma proteção mais eficiente para a armadura.
 A CAA também é responsável por definir a relação máxima 
do fator água/cimento (𝑎𝑎/𝑐𝑐) e a classe mínima permitida para o 
concreto.
CAA-I CAA-II
≤0,65 ≤0,60𝑎𝑎/𝑐𝑐
≥C20 ≥C25Classe
CAA-III
≤0,55
≥C30
CAA-IV
≤0,45
≥C40
Limites para o fator 𝒂𝒂/𝒄𝒄 e classe do concreto por CAA.
Dados
Adotando um concreto com resistência característica à 
compressão (𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐) de 30 MPa, aço tipo CA-50 (tensão de escoa-
mento 𝑓𝑓𝑦𝑦𝑐𝑐 de 500 MPa) e supondo que a análise estrutural nos 
revelou um momento solicitante de projeto (𝑀𝑀𝐸𝐸𝑐𝑐) de 35 kNm, 
temos então os seguintes dados:
• 𝑏𝑏𝑤𝑤 = 20 𝑐𝑐𝑚𝑚
• ℎ = 40 𝑐𝑐𝑚𝑚
• 𝑐𝑐 = 3 𝑐𝑐𝑚𝑚
• 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐 = 30 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑎𝑎
• 𝑓𝑓𝑦𝑦𝑐𝑐 = 500 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑎𝑎
• 𝑀𝑀𝐸𝐸𝑐𝑐 = 35 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑚𝑚
2º - ALTURA ÚTIL
A altura útil de uma seção é a distância entre o centro 
geométrico (CG) das armaduras longitudinais e a fibra mais 
comprimida do concreto. Como não sabemos ainda o diâmetro 
do estribo (∅𝑐𝑐) e das barras (∅𝑞𝑞) é possível adotar um valor 
próximo ao esperado. Desde que não existam diferenças 
significativas aos valores finais esta etapa não precisa ser refeita. 
Logo, adotando estribos de 5 mm e uma camada de barras de 10 
mm, a altura útil é dada por:
𝑏𝑏𝑤𝑤
ℎ
𝑐𝑐
𝑑𝑑
𝑑𝑑 = ℎ − 𝑐𝑐 − ∅𝑐𝑐 −
∅𝑞𝑞
2 → 𝑑𝑑 = 40 − 3 − 0,5 −
1,0
2
𝑑𝑑 = 36 𝑐𝑐𝑚𝑚
70
𝑓𝑓𝑦𝑦𝑐𝑐 = 434,8 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑎𝑎
3º - RESISTÊNCIAS DE PROJETO
O segundo passo é transformar os valores característicos 
das resistências em valores de projeto. Para isso, basta dividir o 
valor correspondente pelo coeficiente ponderador das resistên-
cias, que para o concreto (𝛾𝛾𝑐𝑐) vale 1,4 e para o aço (𝛾𝛾𝑠𝑠) 1,15.
𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐 =
𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐
𝛾𝛾𝑐𝑐
 → 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐 =
30
1,4
𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐 = 21,4 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑎𝑎
Resistência do concreto
𝑓𝑓𝑦𝑦𝑐𝑐 =
𝑓𝑓𝑦𝑦𝑐𝑐
𝛾𝛾𝑠𝑠
 → 𝑓𝑓𝑦𝑦𝑐𝑐 =
500
1,15
Resistência do aço
4º - PROFUNDIDADE DA LINHA NEUTRAComo já mencionado anteriormente, a linha neutra é a 
região da estrutura que não está sofrendo deformação, ou seja, é 
ela que divide a região comprimida da tracionada. A sua profun-
didade (𝑒𝑒) é medida como a distância entre a extremidade mais 
comprimida e a linha neutra.
𝑒𝑒
71
A profundidade da linha neutra pode ser calculada pela 
expressão dada abaixo. A dedução desta equação está apresen-
tada no anexo A deste livro.
𝑒𝑒 = 1,25 ⋅ 𝑑𝑑 ⋅ 1 − 1 −
𝑀𝑀𝑐𝑐
0,425 ⋅ 𝑏𝑏𝑤𝑤 ⋅ 𝑑𝑑2 ⋅ 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐
𝑒𝑒 = 1,25 ⋅ 36 ⋅ 1 − 1 −
3500
0,425 ⋅ 20 ⋅ 362 ⋅ 2,14
𝑒𝑒 = 3,5 𝑐𝑐𝑚𝑚
5º - VERIFICAR A DUCTILIDADE
Para evitar que a viga apresente uma ruptura frágil, a 
ABNT NBR 6118:2023 define que a relação 𝑒𝑒/𝑑𝑑 deve ser menor 
ou igual a 0,45.
 Dessa forma, durante a ruptura da viga, a armadura apre-
sentará uma deformação bastante elevada, gerando fissuras 
alarmantes no concreto e alertando o risco de ruína da estrutura.
𝑒𝑒
𝑑𝑑
≤ 0,45 → 
3,5
36
= 0,10 → 0,10 ≤ 0,45 → 𝑂𝑂𝑂𝑂!
72
Fique sempre atento às 
conversões de unidades!
6º - ÁREA DE AÇO
Podemos prosseguir agora com o cálculo da quantidade 
de armadura necessária para resistir ao momento solicitante. 
Para isso, utilizamos a seguinte equação:
𝐴𝐴𝑠𝑠 =
𝑀𝑀𝑐𝑐
𝑑𝑑 − 0,4 ⋅ 𝑒𝑒 ⋅ 𝑓𝑓𝑦𝑦𝑐𝑐
𝐴𝐴𝑠𝑠 =
3500
36− 0,4 ⋅ 3,5 ⋅ 43,48
𝐴𝐴𝑠𝑠 = 2,33 𝑐𝑐𝑚𝑚2
7º - ARMADURA MÍNIMA E MÁXIMA
Ainda é preciso verificar se a armadura calculada está em-
tre os valores mínimos e máximos exigidos pela norma brasileira. 
A taxa de armadura mínima (𝜌𝜌𝑐𝑐𝑖𝑖𝑖𝑖) é dada pela classe do concreto:
𝐴𝐴𝑠𝑠,𝑐𝑐𝑖𝑖𝑖𝑖 = 𝜌𝜌𝑐𝑐𝑖𝑖𝑖𝑖 ⋅ ℎ ⋅ 𝑏𝑏𝑤𝑤
Armadura mínima
𝐴𝐴𝑠𝑠,𝑐𝑐𝑎𝑎𝑚𝑚 = 0,04 ⋅ ℎ ⋅ 𝑏𝑏𝑤𝑤
Armadura máxima
C25
0,150
Classe
𝜌𝜌𝑐𝑐𝑖𝑖𝑖𝑖(%)
C30
0,150
C35
0,164
C40
0,179
C45
0,194
C50
0,208
𝐴𝐴𝑠𝑠,𝑐𝑐𝑖𝑖𝑖𝑖 = 0,0015 ⋅ 40 ⋅ 20 𝐴𝐴𝑠𝑠,𝑐𝑐𝑎𝑎𝑚𝑚 = 0,04 ⋅ 40 ⋅ 20
𝐴𝐴𝑠𝑠,𝑐𝑐𝑖𝑖𝑖𝑖 = 1,2 𝑐𝑐𝑚𝑚2 𝐴𝐴𝑠𝑠,𝑐𝑐𝑎𝑎𝑚𝑚 = 32 𝑐𝑐𝑚𝑚2
73
Taxa de armadura mínima.
8º - ADOTAR ARMADURA
Agora é só adotar um 
conjunto de barras que sa-
tisfaça a quantidade de ar-
madura necessária. Para o 
nosso exemplo, podemos 
adotar 3 barras de 10 mm, 
fornecendo uma área de aço 
efetiva de 2,40 cm2.
1
0,20
∅ (𝑚𝑚𝑚𝑚)
5,0
2
0,40
3
0,60
4
0,80
5
1,00
6
1,20
7
1,40
0,326,3 0,63 0,95 1,26 1,58 1,89 2,21
0,508,0 1,00 1,50 2,00 2,50 3,00 3,50
0,8010,0 1,60 2,40 3,20 4,00 4,80 5,60
1,2512,5 2,50 3,75 5,00 6,25 7,50 8,75
2,0016,0 4,00 6,00 8,00 10,0 12,0 14,0
3,1520,0 6,30 9,45 12,6 15,8 18,9 22,1
5,0025,0 10,0 15,0 20,0 25,0 30,0 35,0
Área de aço (cm2)
3 ∅ 10 𝑚𝑚𝑚𝑚
74
No exemplo anterior foi demonstrado como achar a quan-
tidade de armadura necessária para resistir a um momento soli-
citante específico. Contudo, existem situações onde é necessário 
saber qual o momento resistente de uma viga já conhecendo a 
armadura adotada. Vamos ver agora realizar esse cálculo.
 Neste exemplo vamos adotar os seguintes dados:
Dados
• 𝑏𝑏𝑤𝑤 = 20 𝑐𝑐𝑚𝑚
• ℎ = 40 𝑐𝑐𝑚𝑚
• 𝑑𝑑 = 35 𝑐𝑐𝑚𝑚
• 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐 = 25 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑎𝑎
• 𝑓𝑓𝑦𝑦𝑐𝑐 = 500 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑎𝑎
• 𝐴𝐴𝑠𝑠 = 3 ∅ 16 = 6,0 𝑐𝑐𝑚𝑚2 
𝑓𝑓𝑦𝑦𝑐𝑐 = 434,8 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑎𝑎
1º - RESISTÊNCIAS DE PROJETO
𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐 =
𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐
𝛾𝛾𝑐𝑐
 → 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐 =
25
1,4
𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐 = 17,9 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑎𝑎
Resistência do concreto
𝑓𝑓𝑦𝑦𝑐𝑐 =
𝑓𝑓𝑦𝑦𝑐𝑐
𝛾𝛾𝑠𝑠
 → 𝑓𝑓𝑦𝑦𝑐𝑐 =
500
1,15
Resistência do aço
Assim como no exemplo anterior, é preciso trabalhar com 
as resistências de projeto. Logo:
𝑏𝑏𝑤𝑤
ℎ
𝑑𝑑
𝐴𝐴𝑠𝑠
4.5 – MOMENTO RESISTENTE
75
2º - PROFUNDIDADE DA LINHA NEUTRA
Considerando que a viga estará trabalhando entre o domí-
nio 2 e o limite de 𝑒𝑒/𝑑𝑑 = 0,45 do domínio 3, é possível afirmar 
que a armadura longitudinal estará escoando. Logo, a tensão no 
aço vale o valor da sua tensão de escoamento. Fazendo o equilí-
brio de esforços na seção, chegamos à seguinte equação:
𝑒𝑒 =
𝐴𝐴𝑠𝑠 ⋅ 𝑓𝑓𝑦𝑦𝑐𝑐
0,68 ⋅ 𝑏𝑏𝑤𝑤 ⋅ 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐
𝑒𝑒 =
6 ⋅ 43,48
0,68 ⋅ 20 ⋅ 1,79
𝑒𝑒 = 10,7 𝑐𝑐𝑚𝑚
𝑒𝑒
3º - CÁLCULO DO MOMENTO RESISTENTE
Calculamos então o valor do momento resistente de proje-
to da viga pela seguinte expressão:
𝑀𝑀𝑅𝑅𝑐𝑐 = 𝐴𝐴𝑠𝑠 ⋅ 𝑓𝑓𝑦𝑦𝑐𝑐 ⋅ 𝑑𝑑 − 0,4 ⋅ 𝑒𝑒
𝑀𝑀𝑅𝑅𝑐𝑐 = 6 ⋅ 43,48 ⋅ 35− 0,4 ⋅ 10,7
𝑀𝑀𝑅𝑅𝑐𝑐 = 8014 𝑘𝑘𝑘𝑘 ⋅ 𝑐𝑐𝑚𝑚
𝑀𝑀𝑅𝑅𝑐𝑐 = 80,14 𝑘𝑘𝑘𝑘 ⋅ 𝑚𝑚
76
4.6 – ARMADURA DUPLA
A adoção de uma armadura dupla na viga reduz os esfor-
ços de compressão no concreto, fazendo com que seja neces-
sário uma área menor de concreto comprimido para o equilíbrio 
da seção. 
Reduzir a área de concreto comprimido se traduz 
em uma profundidade da linha neutra (𝑒𝑒) menor. Tal 
redução se torna bastante conveniente em situações on-
de se deseja limitar a altura da viga ou reduzir a relação 
𝑒𝑒/𝑑𝑑 para garantir a ductilidade da estrutura.
Para o nosso exemplo vamos supor que, devido a uma exi-
gência arquitetônica, a viga deva apresentar uma altura máxima 
de 30 cm. Após a análise estrutural foi identificado um momento 
solicitante de projeto de 53 kNm. Logo, temos:
Dados
• 𝑏𝑏𝑤𝑤 = 15 𝑐𝑐𝑚𝑚
• ℎ = 30 𝑐𝑐𝑚𝑚
• 𝑑𝑑 = 25 𝑐𝑐𝑚𝑚
• 𝑑𝑑′ = 5 𝑐𝑐𝑚𝑚
• 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐 = 20 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑎𝑎
• 𝑓𝑓𝑦𝑦𝑐𝑐 = 500 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑎𝑎
• 𝑀𝑀𝐸𝐸𝑐𝑐 = 53 kN ⋅ 𝑚𝑚
𝑑𝑑′: distância entre o centro geométrico das barras comprimidas 
até o lado mais comprimido de concreto.
𝑏𝑏𝑤𝑤
ℎ
𝑑𝑑
𝑑𝑑′
77
1º - ALTURA COM ARMADURA SIMPLES
O primeiro passo é verificar se a viga pode ser dimensio-
nada com armadura simples. A capacidade máxima permitida de 
uma viga é atingida quando a relação 𝑒𝑒/𝑑𝑑 vale 0,45. Dessa 
forma, é possível calcularmos a altura útil mínima necessária 
para uma viga com armadura simples resistir a um determinado 
esforço solicitante.
 Caso a altura útil mínima encontrada seja menor que a 
limitação arquitetônica não é necessário a utilização de armadu-
ra dupla. Caso contrário, é necessário prever a existência de uma 
armadura comprimida.
 Para realizar esta verificação, dispomos da equação:
𝑑𝑑𝑐𝑐𝑖𝑖𝑖𝑖 = 2 ⋅
𝑀𝑀𝐸𝐸𝑐𝑐
𝑏𝑏𝑤𝑤 ⋅ 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐
 
𝑑𝑑𝑐𝑐𝑖𝑖𝑖𝑖 = 2 ⋅
5300
15 ⋅ 2,0
1,4
 𝑑𝑑𝑐𝑐𝑖𝑖𝑖𝑖 = 31 𝑐𝑐𝑚𝑚
𝑑𝑑𝑐𝑐𝑖𝑖𝑖𝑖?
Como a altura útil mínima para dimensionar uma viga do 
exemplo com armadura simples é 31 cm e a altura útil disponível 
é de 25 cm, é necessário utilizar armadura dupla.
78
2º - CÁLCULO DO MOMENTO LIMITE 
Adotando a relação 𝑒𝑒/𝑑𝑑 de 0,45, vamos calcular o quanto 
a viga já consegue resistir sem a armadura dupla. Assim podere-
mos verificar o quanto ainda é necessário acrescentar na sua 
resistência para atingir o esforço solicitante.
 O cálculo do momento limite é dado pela expressão:
𝑀𝑀𝑞𝑞𝑖𝑖𝑐𝑐 = 0,251 ⋅ 𝑏𝑏𝑤𝑤 ⋅ 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐 ⋅ 𝑑𝑑2
𝑀𝑀𝑞𝑞𝑖𝑖𝑐𝑐 = 0,251 ⋅ 15 ⋅
2,0
1,4
⋅ 252
𝑀𝑀𝑞𝑞𝑖𝑖𝑐𝑐 = 3362 𝑘𝑘𝑘𝑘 ⋅ 𝑐𝑐𝑚𝑚
𝑀𝑀𝑞𝑞𝑖𝑖𝑐𝑐 = 33,6 𝑘𝑘𝑘𝑘 ⋅ 𝑚𝑚
3º - MOMENTO PARA ARMADURA DUPLA
Agora podemos calcular o quanto será necessário 
incrementar o momento resistente para atingir o momento 
solicitante:
𝑀𝑀2 = 𝑀𝑀𝐸𝐸𝑐𝑐 −𝑀𝑀𝑞𝑞𝑖𝑖𝑐𝑐 → 𝑀𝑀2 = 53,0− 33,6 → 𝑀𝑀2 = 19,4 𝑘𝑘𝑘𝑘 ⋅ 𝑚𝑚
79
4º - ARMADURA PRINCIPAL 
A quantidade de armadura principal será a soma da parce-
la de armadura necessária para resistir ao momento limite (𝑀𝑀𝑞𝑞𝑖𝑖𝑐𝑐) 
e a parcela necessária para resistir o momento “restante” (𝑀𝑀2). 
𝐴𝐴𝑠𝑠 =
𝑀𝑀𝑞𝑞𝑖𝑖𝑐𝑐
0,82 ⋅ 𝑑𝑑 ⋅ 𝑓𝑓𝑦𝑦𝑐𝑐
+
𝑀𝑀2
𝑑𝑑 − 𝑑𝑑′ ⋅ 𝑓𝑓𝑦𝑦𝑐𝑐
𝐴𝐴𝑠𝑠 =
3360
0,82 ⋅ 25 ⋅ 50
1,15
+
1940
25− 5 ⋅ 50
1,15
𝐴𝐴𝑠𝑠 = 6,00 𝑐𝑐𝑚𝑚2 → 2 ∅ 20 𝑚𝑚𝑚𝑚 = 6,30 𝑐𝑐𝑚𝑚2
É possível calcular a soma das duas parcelas através da ex-
pressão dada abaixo:
= +
Como a espessura da viga é de apenas 15 cm, adotar 3 barras 
de 16mm não ofereceria espaço suficiente entre as barras. Esse 
assunto será discutido no capítulo 8.
80
5º - DEFORMAÇÃO DA ARMADURA COMP. 
Antes de calcularmos a quantidade de armadura compri-
mida da viga é preciso verificar a sua deformação parasabermos 
o nível de tensão que o aço se encontra.
 Caso a deformação da barra comprimida (𝜀𝜀𝑠𝑠′) supere a 
deformação de escoamento (𝜀𝜀𝑦𝑦𝑐𝑐) a tensão da barra vale a tensão 
de escoamento do aço (𝑓𝑓𝑦𝑦𝑐𝑐), caso contrário, a tensão é dada pelo 
produto 𝜀𝜀𝑠𝑠′ ⋅ 𝐸𝐸𝑠𝑠.
𝜀𝜀𝑠𝑠′ =
0,0035 ⋅ 0,45 ⋅ 𝑑𝑑 − 𝑑𝑑′
0,45 ⋅ 𝑑𝑑
 → 𝜀𝜀𝑠𝑠′ =
0,0035 ⋅ 0,45 ⋅ 25 − 5
0,45 ⋅ 25
𝜀𝜀𝑠𝑠′ = 0,00194 → 𝜀𝜀𝑠𝑠′ = 1,94 ‰
6º - TENSÃO DA ARMADURA COMPRIMIDA 
Como a armadura comprimida não está escoando é preci-
so encontrar o valor da tensão nas barras, que é dada pelo 
produto da deformação específica da armadura (𝜀𝜀𝑠𝑠′) pelo módulo 
de elasticidade do aço (𝐸𝐸𝑠𝑠):
𝑓𝑓𝑠𝑠′ = 𝜀𝜀𝑠𝑠′ ⋅ 𝐸𝐸𝑠𝑠 → 𝑓𝑓𝑠𝑠′ = 0,00194 ⋅ 210000 → 𝑓𝑓𝑠𝑠′ = 407,4 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑎𝑎
81
7º - ARMADURA COMPRIMIDA 
Por fim, utilizamos a equação abaixo para calcular a área 
de aço necessária para a armadura comprimida.
𝐴𝐴𝑠𝑠′ =
𝑀𝑀2
𝑑𝑑 − 𝑑𝑑′ ⋅ 𝑓𝑓𝑠𝑠′
𝐴𝐴𝑠𝑠′ =
1940
25− 5 ⋅ 40,47
𝐴𝐴𝑠𝑠′ = 2,40 𝑐𝑐𝑚𝑚2
2 ∅ 12,5 𝑚𝑚𝑚𝑚 = 2,50 𝑐𝑐𝑚𝑚2
2 ∅ 12,5 𝑚𝑚𝑚𝑚
2 ∅ 20 𝑚𝑚𝑚𝑚
82
4.7 – SEÇÃO T
Quando vigas que estão ligadas à lajes maciças se defor-
mam, parte da laje adjacente à viga contribui para a sua resis-
tência. Dessa forma, a viga se comporta como um elemento es-
trutural de seção T, conforme ilustrado na viga V2 abaixo.
V1
V2 V3
A consideração da contribuição da laje na resistência da 
viga não é obrigatória, inclusive muitos projetistas preferem di-
mensionar a viga como seção retangular e a contribuição desse 
“reforço” ficaria como uma medida a mais de segurança.
 Para o nosso exemplo de dimensionamento utilizaremos 
os dados apresentados abaixo. A parte vertical da seção T é cha-
mada de “alma” e a parte horizontal de “mesa”.
ℎ𝑖𝑖
𝑏𝑏𝑖𝑖
𝑑𝑑
𝑏𝑏𝑤𝑤
ℎ
Dados
• 𝑏𝑏𝑤𝑤 = 20 𝑐𝑐𝑚𝑚
• 𝑏𝑏𝑖𝑖 = 40 𝑐𝑐𝑚𝑚
• ℎ = 40 𝑐𝑐𝑚𝑚
• ℎ𝑖𝑖 = 10 𝑐𝑐𝑚𝑚
• 𝑑𝑑 = 35 𝑐𝑐𝑚𝑚
• 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐 = 20 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑎𝑎
• 𝑓𝑓𝑦𝑦𝑐𝑐 = 500 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑎𝑎
• 𝑀𝑀𝐸𝐸𝑐𝑐 = 131 kN ⋅ 𝑚𝑚
83
1º - CÁLCULO DA LINHA NEUTRA
A primeira etapa do cálculo é dimensionar a viga normal-
mente como se 𝑏𝑏𝑖𝑖 fosse a largura de uma viga de seção retan-
gular.
 Caso a linha neutra (𝑒𝑒) seja menor do que a espessura da 
mesa (ℎ𝑖𝑖), o dimensionada da viga segue normalmente como se 
fosse uma seção retangular de 𝑏𝑏𝑤𝑤 = 𝑏𝑏𝑖𝑖. Contudo, se 𝑒𝑒 ≥ ℎ𝑖𝑖 é 
necessário realizar o dimensionamento da seção T.
𝑒𝑒 = 1,25 ⋅ 𝑑𝑑 ⋅ 1 − 1 −
𝑀𝑀𝐸𝐸𝑐𝑐
0,425 ⋅ 𝑏𝑏𝑖𝑖 ⋅ 𝑑𝑑2 ⋅ 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐
𝑒𝑒 = 1,25 ⋅ 35 ⋅ 1 − 1 −
13100
0,425 ⋅ 40 ⋅ 352 ⋅ 2,0/1,4
𝑒𝑒 = 11,0 𝑐𝑐𝑚𝑚
𝑒𝑒
ℎ𝑖𝑖
Como 𝑒𝑒 > ℎ𝑖𝑖 é necessário 
dimensionar a seção T.
84
2º - MOMENTO RESISTIDO PELAS ABAS
Analogamente ao cálculo de vigas com armadura dupla, no 
dimensionamento da seção T, a armadura principal também é 
resultado da ação de duas parcelas de momentos. Um formado 
pela ação das abas da mesa (𝑀𝑀1), e outro pela ação da alma (𝑀𝑀2).
= +
O momento resistido pelas abas da mesa é dado por:
𝑀𝑀1 = 0,85 ⋅ 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐 ⋅ ℎ𝑖𝑖 ⋅ 𝑏𝑏𝑖𝑖 − 𝑏𝑏𝑤𝑤 ⋅ 𝑑𝑑 −
ℎ𝑖𝑖
2
𝑀𝑀1 = 0,85 ⋅
2,0
1,4
⋅ 10 ⋅ 40− 20 ⋅ 35−
10
2
𝑀𝑀1 = 7285 𝑘𝑘𝑘𝑘 ⋅ 𝑐𝑐𝑚𝑚 → 𝑀𝑀1 = 72,9 𝑘𝑘𝑘𝑘 ⋅ 𝑚𝑚
3º - MOMENTO RESISTIDO PELA ALMA
Já o momento resistido pela alma, é dado por:
𝑀𝑀2 = 𝑀𝑀𝐸𝐸𝑐𝑐 −𝑀𝑀1
𝑀𝑀2 = 58,1 𝑘𝑘𝑘𝑘 ⋅ 𝑚𝑚
85
𝑀𝑀2 = 131− 72,9
4º - LINHA NEUTRA EQUIVALENTE NA ALMA
Antes de prosseguir para o cálculo da armadura, é preciso 
encontrar o valor da linha neutra equivalente. Tal valor é 
correspondente à distância da linha neutra que estaria atuando 
na alma devido a ação exclusiva do momento 𝑀𝑀2.
𝐴𝐴𝑠𝑠 =
𝑀𝑀1
𝑑𝑑 −
ℎ𝑖𝑖
2 ⋅ 𝑓𝑓𝑦𝑦𝑐𝑐
+
𝑀𝑀2
𝑑𝑑 − 0,4 ⋅ 𝑒𝑒 ⋅ 𝑓𝑓𝑦𝑦𝑐𝑐
𝐴𝐴𝑠𝑠 =
7290
35− 10
2 ⋅ 50,0
1,15
+
5810
35 − 0,4 ⋅ 9,6 ⋅ 50,0
1,15
𝐴𝐴𝑠𝑠 = 9,9 𝑐𝑐𝑚𝑚2 → 2 ∅ 25𝑚𝑚𝑚𝑚 = 10 𝑐𝑐𝑚𝑚2
𝑒𝑒 = 1,25 ⋅ 𝑑𝑑 ⋅ 1 − 1 −
𝑀𝑀2
0,425 ⋅ 𝑏𝑏𝑤𝑤 ⋅ 𝑑𝑑2 ⋅ 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐
𝑒𝑒 = 1,25 ⋅ 35 ⋅ 1 − 1 −
5810
0,425 ⋅ 20 ⋅ 352 ⋅ 2,0/1,4
𝑒𝑒 = 9,6 𝑐𝑐𝑚𝑚
5º - CÁLCULO DA ARMADURA
Podemos então calcular a armadura principal pela expres-
são dada abaixo:
86
FLEXÃO
DE LAJES
5.
CHARLES CHAPIN
5.1 – LAJES MACIÇAS
Lajes maciças de concreto armado são elementos estru-
turais de superfície frequentemente utilizados em obras de 
médio e grande porte. A sua agilidade na execução facilita a 
construção de obras com muitos pavimentos, reduzindo o tempo 
gasto com montagem das formas e concretagem.
 Seu custo em comparação com as demais opções é rela-
tivamente mais caro. Dentre os principais motivos para o seu alto 
custo estão: elevados gastos com formas; alto peso específico; e 
mau aproveitamento dos materiais (muito concreto tracionado 
no banzo inferior).
5.1.1 - CLASSIFICAÇÃO
A principal classificação das lajes maciças é referente a sua 
distribuição de armaduras. A depender do formato da laje ela 
pode ser classificada como armada em uma ou em duas dire-
ções. Vale ressaltar que, na prática, ela sempre apresentará 
armadura em ambas as direções, essa classificação se refere às 
armaduras que desempenham função estrutural.
 Para classificar as lajes quanto a sua direção de armaduras 
é preciso calcular a proporção entre seus vãos, sendo:
𝑏𝑏𝑚𝑚 → Menor vão da laje.
𝑏𝑏𝑦𝑦 → Maior vão da laje.
89
Após identificar os valores de 𝑏𝑏𝑚𝑚 e 𝑏𝑏𝑦𝑦, calculamos a propor-
ção entre eles (𝜆𝜆) e classificamos a laje pelo seguinte critério:
𝑏𝑏𝑦𝑦𝑏𝑏𝑚𝑚𝜆𝜆 =
𝑏𝑏𝑦𝑦
𝑏𝑏𝑚𝑚
𝜆𝜆 ≤ 2 → Uma direção
𝜆𝜆 > 2 → Duas direções
5.1.2 - VINCULAÇÃO
Os critérios de vinculações da laje estão relacionados tan-
to ao seu tipo de apoio, como também com a sua continuidade. 
Veja o exemplo abaixo:
Livre
Apoio
Engaste
Balanço Sem apoio de vigas
Continuidade de lajes com rigidez semelhantes
Apoio de viga e laje
sem continuidade
Apoio de viga e
continuidade com
rigidez maiorApoio de viga e
continuidade com
rigidez menor
90
5.1.3 – MÉTODOS DE ANÁLISE
A determinação das solicitações e flechas de uma laje 
armada em duas direções é uma tarefa bastante complexa, o que 
torna inviável para os projetistas calculá-las à mão. Os métodos 
mais comuns de cálculo envolvem:
TABELAS
Fornecem um método simplificado 
baseado em coeficientes que determinam 
as componentes dos esforços solicitantes. 
Seu uso comercial é inviável devido a 
necessidade do cálculo manual.
Baseado na substituição da laje por uma 
grelha equivalente. Esse método fornece 
resultados bastantes satisfatórios e é 
utilizado na maioria dos softwares 
comerciais de análise estrutural.
ANALOGIA DE GRELHA
ELEMENTOS FINITOS
Método computacional que divide a 
estrutura em elementos menores 
conectados entre si. Fornecem os 
resultados mais próximos à realidade, mas 
requer um alto custo computacional.
91
5.1.4 – ANÁLISE ESTRUTURAL
Para exemplificar o processo de utilização de tabelas na 
análise estrutural de lajes, será resolvido um exemplo deste tipo 
de cálculo.
1º – DADOS
Cargas
- Peso do concreto:
𝛾𝛾𝑐𝑐𝑜𝑜𝑖𝑖𝑐𝑐 = 25 𝑘𝑘𝑘𝑘/𝑚𝑚3
- Revestimento
𝑘𝑘𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 = 1,5 𝑘𝑘𝑘𝑘/𝑚𝑚2
- Acidental
𝑞𝑞𝑎𝑎𝑐𝑐𝑖𝑖𝑐𝑐 = 3,0 𝑘𝑘𝑘𝑘/𝑚𝑚2
Será realizada a análise estrutural da laje L2. Suas dimen-
sões e vínculos estão ilustradas abaixo:
Livre
Apoio
Engaste
L1
L2
92
2º – PRÉ-DIMENSIONAMENTO
No pré-dimensionamento de lajes maciças é comum ado-
tarmos espessuras na ordem de 2,5% do menor vão. Contudo, 
também é preciso respeitar as espessuras mínimas de cada caso. 
Estão destacados abaixo os valores mínimos de espessura para 
os casos mais comuns de lajes maciças.
ℎ𝑐𝑐𝑖𝑖𝑖𝑖
7 cm
Tipo
Laje de cobertura
8 cmLaje comum
10 cmLaje em balanço
ℎ
ℎ = 0,025 ⋅ 𝑏𝑏𝑚𝑚 → ℎ = 0,025 ⋅ 400 → ℎ = 10 𝑐𝑐𝑚𝑚
Como a espessura de 10 cm do pré-dimensionamento su-
pera os 8 cm mínimos recomendado pela norma, podemos pros-
seguir com o exemplo.
3º – COMBINAÇÃO DE AÇÕES
Realizando a combinação última normal de ações, temos:
𝐹𝐹𝑐𝑐 = 𝛾𝛾𝑔𝑔 ⋅ 𝐹𝐹𝑔𝑔𝑐𝑐1