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Ana Matos Objetivo: Estudar transformações lineares entre dois espaços vetoriais. Definição: Seja um conjunto “V”, não vazio, sobre o qual estão definidas as operações Adição e multiplicação. O conjunto “v” será chamado de espaço vetorial se forem verificados os seguintes Axiomas: Em relação a Adição: Dados u, v e w vetores , V um espaço vetorial , 0 o vetor nulo e α , β constantes pertencentes aos reais , temos que: 1) u + v = v + u ( comutativa) 2) u + (v + w) = (u + v) + w (associativa) 3) Existe 0 tal que v + 0 = v (elemento neutro) 4) Dados u Є V, existe v Є V, tal que u + v = 0 ( oposto do elemento u) Em relação a multiplicação: 5) α ∙ (β ∙ v) = (α ∙ β) ∙ v 6) α ∙ (v+w) = α ∙ v + α ∙w 7) (α + β) ∙ v = α ∙ v + β ∙v 8) 1∙ v = v Obs.: Os elementos do espaço vetorial V serão chamados vetores, independentemente da sua natureza, polinômios, matrizes, números. As operações de adição e multiplicação por escalar realizadas com esses elementos se comportam de forma idêntica, como se estivéssemos trabalhando com os próprios vetores do R2 ou do R3 1. Associativa 2. Comutativa 3. Elemento neutro (vetor nulo O) 4. Oposto de cada elemento u V: -u 5. (u+v)= u + v , K 6. ( + )u= u + u 7. ( u)= ( )u 8. 1·u = u 1. Rn = { (x1, x2, ..., xn) ; xi R } 2. Mmxn= { (aij) } matrizes m x n 3. P (x) = {anx n + an-1xn-1 +...+ ao ; ai R } 4. Pn (x)= { polinômios de grau n } 5. Cn = { (z1, z2, ..., zn) ; zi C} , sobre C 6. C2 = { (z,w) ; z,w C } ,sobre o corpo R 7. F(X ; R) ={ funções f: X R } 8. R = { (x1, x2,..., xn,...) ; xi 0 para um número finito de índices} Dado um espaço vetorial V, existem alguns subconjuntos W que também gozam das mesmas propriedades de V. Por isso eles são chamados de subespaços vetoriais. Exemplos de subespaços vetoriais são encontrados em toda parte, e é muito fácil detectá-los. Por exemplo, toda reta do plano que passa pela origem é um subespaço de R2 Analogamente, toda reta ou todo plano que passa pela origem é um subespaço de R3 x y z 1. O vetor nulo O pertence a W 2. Se w1, w2 W então w1+ w2 W 3. Se w W e K então w W 0 W é um subespaço vetorial de V se as seguintes condições são satisfeitas:
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