primeira unidade - função vetorial

Prévia do material em texto

AULA 3 Coordenadas no Espaço e Funções Vetoriais
1) Coordenadas retangulares no espaço
1.1 Revisão
Marcar pontos no plano
Marcar os pontos P1 = (2,4), P2 = (-3,2), P3 = (0,3), P4 = (1,-3) x e y 
e as unidades referentes aos pontos. Trace paralelas aos eixos passando pelos pontos. As interseções, representam os pontos. Veja a figura abaixo. 
 
 
 
Exemplo: 
Marque os pontos P0 = (2,-1), P1 = (-2,5) e determine a distância entre eles.
Lembrando que, dados dois pontos P0 = (x0, y0), P1 = (x1, y1), a distância entre P0 e P1 é dada por
 d(P0, P1) = 
Logo, 
 d(P0, P1) = 
1.2 Coordenadas no espaço 
Marcar pontos no espaço
Ex. Marcar o ponto P=(2, 3, 5)
Primeiro desenhe os três eixos coordenados, x, y e z, com na figura. 
- O segundo passo é marcar os pontos 
Equivalentes aos eixos x, y e z.
- Terceiro passo, traçar paralelas aos eixos
x e y e a interseção Q corresponde a
projeção no plano xy.
- Quarto passo, traçar uma perpendicular 
ao eixo z, passando por Q.
- No quinto passo, traçar uma paralela 
Ao segmento OQ, passando por
(0,0,5), até encontrar a perpendicular
representada na figura pelo 
segmento PQ. 
Faça você mesmo
Marque os pontos A(2,5,4), B(-2,3,2), C(4,-1,3) e determine a distância entre A e C.
2) Funções vetoriais
2.1 Revisão.
Vetor: conceito.
Representação geométrica de um vetor em um sistema de coordenadas cartesianas. 
Considere um ponto 
 no plano tendo como coordenadas cartesianas o par ordenados de reais 
. Ou seja, P(a, b). 
Ao ponto P associamos um vetor 
 tal que 
 é um de seus representantes e 
; isto é, o par ordenado de reais 
 são as componentes do vetor 
 em relação à base canônica 
 , sendo 
 e
.
Assim, para cada posição do plano (ponto 
) temos um vetor do espaço vetorial 
, o vetor 
.
Ex. v = (1, -2) 
Obs. Qualquer vetor do plano pode ser escrito em termos dos vetores i e j, onde i = (1,0) e j = (0,1).
Assim, v = i – 2j 
Vetor no espaço 
De modo análogo, podemos definir um vetor no
, isto é, a cada posição do espaço associamos um vetor do espaço vetorial 
. Ou seja, sendo 
= 
, então vetor 
. Em relação à base canônica 
, onde sendo 
 
 e 
, 
Ex. v = (2, 1,3) = 2i + j +3k
 
Reta: equações.
1º) No plano ( IR2 )
Consideremos a reta “r” que passa pelo ponto 
 e tem a direção do vetor não nulo 
.
Estes elementos são suficientes para determinar a reta “r” e, portanto, também são suficientes para equacioná-la como veremos a seguir.
Seja 
 um ponto qualquer de “r”. ( 
 é ponto variável sobre “r”).
	
Por construção qualquer vetor 
é paralelo ao vetor 
. Assim, para cada ponto 
 o vetor 
 é proporcional ao vetor 
, onde o coeficiente de proporcionalidade é a variável real 
 chamada parâmetro. Assim,
ou
ou
Equação Vetorial da Reta “r”
Daí, 
Equações Paramétricas da Reta “r”
	
Por exemplo, a reta “r”que passa pelo ponto 
 e tem a direção do vetor 
 tem equação vetorial 
	Atribuindo valores reais para o parâmetro 
 obtemos pontos da reta “r”:
..........
		
Obs. Eliminando t nas equações, obtemos a equação na forma cartesiana. Procedemos do seguinte modo: No caso do exemplo, 
Igualhando as equações, obtemos 
2º) No espaço ( IR3 ) 	
O desenvolvimento é análogo mudando apenas o fato de que os pontos possuem uma 3ª coordenada e os vetores uma 3ª componente.
Consideremos a reta “r”determinada por:
o ponto 
o vetor não nulo 
Sendo 
um ponto qualquer (variável) de “r” 
Então,
 
ou
 Equação Vetorial da Reta “r”
Daí, 
 Equações Paramétricas da Reta “r”
Ex. Dado o ponto A = (2,-1,3) e o vetor v = 3i + j – 2k, encontre a equação da reta r que cotem o ponto A, na direção de v, na forma: a) vetorial; b) paramétrica; c) cartesiana.
Solução: a) 
 
b) 
c) 
Ex.2 Determine as equações paramétricas e simétricas da reta que passa pelos pontos A(1,  2, 1) e B(  2,  1, 0). 
Solução:
Se o ponto A e o ponto B pertencem à reta, o vetor AB determina a sua direção e, portanto, pode ser usado como vetor v , diretor da reta em questão. Além disso, tanto o ponto A como o ponto B podem ser usados como o ponto P0. Dessa maneira, como v = AB =  3, 1, 1  e considerando 
A = P0 = (1,  2, 1) as equações paramétricas da reta serão dadas por 
x = 1  3 t ; y =  2 + t e z = 1  t 
e as equações simétricas por 
EXERCÍCIOS: Dê as equações vetorial e paramétricas para a reta “r” que passa pelo ponto 
 e tem a direção do vetor
. Determine os pontos de “r”cuja distância do ponto 
 é igual ao dobro do módulo de 
.
Dois pontos distintos também são suficientes para determinar e também equacionar uma reta, Dê as equações vetorial e paramétricas da reta determinada pelos pontos A(2, -3) e B(0, 1). Represente esta reta e coloque no gráfico os pontos para 
 nas equações que você encontrou.
Com base no exercício 2), dê as equações vetorial e paramétricas e cartesiana do segmento de reta 
. 
2.2) Funções Vetoriais
Funções: conceito.
	Você já vem estudando funções desde o ensino fundamental e médio. Relembrando a definição de função de um modo geral:
	
	Também indicamos a função f por
Neste caso, dizemos que :
O conjunto A é o domínio da função f e denotamos 
.
O conjunto B é o contra-domínio da função f.
y é a imagem de x pela f e denotamos 
.
O conjunto formado por todos elementos de B que correspondem a pelo menos um elemento de A pela f é chamado imagem da função f e é denotado 
 ou 
.
Assim, 
 ou 
.
-------------------------------------------------------------
Quando 
 e o conjuntos A é um subconjunto do conjunto dos números reais, IR, dizemos que f é uma função real de uma variável real. Por exemplo, são funções reais de uma variável real as funções dadas por:
.
.
.
,
Obs: Lembramos que quando não é indicado o domínio de uma função real entendemos como seu domínio o conjunto de todos os números reais para os quais existem imagens reais pela função. Qual o domínio as funções dos itens 5, 6 e 7 do exemplo acima?
 Agora, vamos aplicar o que sabemos sobre funções para estudar as funções vetoriais
Definição e exemplos de funções vetoriais de uma variável: 
CURVA
 
Se uma função real de uma variável real f é contínua em um intervalo I, o seu gráfico de equação y = f(x) dizemos que é uma curva plana. Existem curvas planas, o que intuitivamente entendemos como tal, que não são gráficos de funções reais; por exemplo, circunferências, elipses, etc...
Assim, de modo geral definimos:
	 
 
Onde P é um ponto da curva C de coordenadas (x, y), sendo x = f(t) e y = g(t). Observe que entendemos intuitivamente como curva, o gráfico do que definimos como curva.
A curva C é dada pelas equações ao lado 
que são chamadas equações paramétricas da
 curva C.
	A variável t é auxiliar na determinação da curva C chamada parâmetro. Deste modo, o ponto P da curva C depende do parâmetro t , o que podemos indicar 
P = P(t) = ( f(t), g(t) ).
	Analogamente, definimos uma curva no espaço :
	
	
Um ponto P qualquer da curva C tem coordenadas (x, y, z) e depende do parâmetro t ; P = P(t) = ( f(t), g(t), h(t) ) = f(t)i + g(t)j + h(t)k.
 	 
As equações paramétricas deC são 
As equações paramétricas de uma curva C constituem uma parametrização de C. Também dizemos que C é uma curva parametrizada.
Sendo C uma curva parametrizada, fica definida uma orientação para C que é a direção definida pelos valores crescente do parâmetro t , que indicamos por setas ao longo do gráfico da curva. 
Se I é um intervalo fechado [a,b] os pontos P(a) e P(b) são os pontos extremos ou extremidades da curva C. Se P(a) = P(b) dizemos que C é uma curva fechada e se P(a) = P(b) e C não intercepta a si própria em nenhum outro ponto dizemos que C é uma curva fechada simples. 
OBS: Estas curvas poderiam estar no espaço.
Particularmente, para D um intervalo I e as funções componentes f, g, e h 
contínuas no intervalo I, temos a função vetorial r de uma variável dada por 
 r(t) = ( f(t), g(t) ) = f(t)i + g(t)j com t
I, para m = 2
 r(t) = ( f(t), g(t), h(t) ) = f(t)i + g(t)j + h(t)k com t
I, para m = 3
Assim, a imagem de t pela função r é o vetor r(t) = 
 em que O é a origem do sistema e o ponto P é um ponto de uma curva parametrizada C, pois 
P = P(t) = ( f(t), g(t) ) com t
I, para m = 2 ou P = P(t) =( f(t), g(t), h(t) ) com t
I, para m = 3. Desta forma, a medida que t percorre o intervalo I , o ponto P traça a curva C. Portanto, podemos apresentar a curva C através da função vetorial r. 
Chamamos o vetor R(t) = 
 de vetor posição de P . 
Exemplos: 
R(t) = 3t2i + 2t3j + tk => R(1) = 3i + 2j + k
F(t) = ( 2 – t, 1 +3 t) com t
 [0, 1].
As funções componentes são x = 2 – t [ f(t) = 2 – t ]
				 y = 1+ 3t [ g(t) = 1 + 3t ] que são 
equações paramétricas de uma reta no plano (espaço 2D). 
Exemplo 3:
r(t) = (2t, 5-t, 3) com t variando em IR.
As funções componentes são x = 2t
 y = 5 - t.
 z = 3 que são as equações paramétricas de uma reta no espaço (espaço 3D).
Neste caso, a curva definida por r é uma reta uma vez que o parâmetro t assume todos os valores reais. Como no exemplo 1, faça uma tabela e coloque alguns pontos num sistema de coordenadas. Você vai verificar que esta reta é paralela com o plano XOY (z é a constante 3).
De um modo geral, 
Seja “m” um número inteiro positivo(
) e sejam “m” funções reais 
 com um mesmo domínio D, sendo D = IRn.
A função 
 que a cada elemento 
 faz corresponder um único vetor 
 sendo 
 tal que 
 para todo 
 é uma função vetorial de domínio D. As funções reais 
 são ditas funções componentes da 
.
Exemplo 4:
Considere a curva C dada pela função vetorial
r(t) = (3 + 2cos t, 1 + 2 sen t) , t 
 x = 3 + 2cos t
ou curva de equações paramétricas , t 
 
 y = 1 + 2sen t
Identificaremos mais facilmente esta curva se conhecermos sua equação cartesiana. Para isso, devemos procurar eliminar o parâmetro t. De x = 3 + 2cos t e y = 1 + 2sen t temos que cos t = (x – 3)/2 e sen t = (y - 1) /2 . 
Substituindo na relação trigonométrica cos2 t + sen2 t = 1 temos 
 ou (x – 3)2 + (y – 1)2 = 4 que é a equação de uma circunferência de centro o ponto C(3, 1) e de raio 2.
Observe esta é uma curva fechada. 
Teríamos o mesmo “gráfico” para
t
IR, só que seria uma infinidade de
circunferências se sobrepondo.
	Por outro lado, esta não é a única 
parametrização para a curva C. 
A função vetorial dada por
r(t) = (3 + 2sen t, 1 - 2cos t), t 
 também é uma parametrização para C (teste alguns pontos, em especial as extremidades, e verifique inclusive a orientação). Existem muitas outras parametrizações para C.
 
Exemplo 5:
r(t) = (2cos t, 2sen t, 3), t
 é parametrização de uma curva C no espaço representada graficamente por uma circunferência de raio 2 e centro C(0, 0, 3) [ x = 2cos t e y = 2sen t], no plano z = 3.
r
.
Outra visualização (obtida com o software Maple).
 
Exemplo 6. A hélice é uma curva circular obtida ela função vetorial 
r (t) = (cos t, sen t, t).
Gráfico 
 
Um exemplo curioso: A curva trefoil é dada pela função vetorial
R(t) = (-10cos(t) – 2cos(5t) 15 sen(2t), - 15cos(2t)+10sen(t)-2sen(5t), 10cos(3t)). Visualização de R para t no intervalo [0, 2(]
 
 
 0 a X
Y
b
P
� EMBED Equation.3 ���
1
� EMBED Equation.3 ���
1
� EMBED Equation.3 ���
a
X
P
b 
Y
0
Z
c
� EMBED Equation.3 ���
1
1
1
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
r
0
X
Y
� EMBED Equation.3 ���
A
A
P
P
P
P
0
X
Y
r
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
 � EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
r
A
0 Y
X
Z
� EMBED Equation.3 ���
 � EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
Dados dois conjuntos não vazios A e B. Uma função f de A em B é uma correspondência entre estes conjuntos que a cada elemento � EMBED Equation.3 ��� faz corresponder um e somente um elemento � EMBED Equation.3 ���.
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
z
x
P
3
2
5
Q
O
y
4
3
2
1
P1
P2
P3
-1
-2
-3
P4
 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
Uma curva plana é um conjunto C de pares ordenados de reais ( f(t), g(t) ), 
em que f e g são funções reais contínuas em um intervalo I.
I 
 t
f
g
P
Y
y
0 x X
C
 
 
 x = f(t)
C:. , t� EMBED Equation.3 ���I
 y = g(t)
 Uma curva no espaço é um conjunto C de ternos ordenados de reais 
( f(t), g(t), h(t) ), em que f , g e h são funções reais contínuas em um intervalo I.
I
 t
S
P
f
h
0
 y. Y 
x
X
Z
z
 
 x = f(t)
 C :. y = g(t) , t � EMBED Equation.3 ��� I 
 z = h(t) 
 Seja D um subconjunto de IR. Uma função vetorial de uma variável , r, com
 domínio D é uma correspondência que a cada número real t de D associa 
 somente um vetor r(t) em IRm.
t
C
� EMBED Equation.3 ���
0 3 X
Y
1
r� EMBED Equation.3 ���
P
3
g
C
z = 3
�PAGE �
�PAGE �13�
_1105866737.unknown
_1171358456.unknown
_1301043653.unknown
_1343719599.unknown
_1343764559.unknown
_1343764757.unknown
_1343764871.unknown
_1343765627.unknown_1343764619.unknown
_1343719952.unknown
_1343722641.unknown
_1343719951.unknown
_1343718929.unknown
_1343719079.unknown
_1301044062.unknown
_1343645316.unknown
_1171376525.unknown
_1171378885.unknown
_1171378929.unknown
_1171377841.unknown
_1171378301.unknown
_1171377345.unknown
_1171371973.unknown
_1171372166.unknown
_1171372225.unknown
_1171373028.unknown
_1171376516.unknown
_1171372202.unknown
_1171372075.unknown
_1171364865.unknown
_1171370529.unknown
_1171371944.unknown
_1171365006.unknown
_1171358560.unknown
_1108536592.unknown
_1108539298.unknown
_1109402651.unknown
_1139919780.unknown
_1171358058.unknown
_1109405606.unknown
_1109408083.unknown
_1109408312.unknown
_1109407143.unknown
_1109404596.unknown
_1109403821.unknown
_1108961414.unknown
_1108970352.unknown
_1109401416.unknown
_1108962007.unknown
_1108544469.unknown
_1108544644.unknown
_1108904082.unknown
_1108950089.unknown
_1108544581.unknown
_1108544305.unknown
_1108543812.unknown
_1108544203.unknown
_1108539383.unknown
_1108543576.unknown
_1108537194.unknown
_1108539135.unknown
_1108539233.unknown
_1108537346.unknown
_1108537839.unknown
_1108536965.unknown
_1108537002.unknown
_1108536924.unknown
_1105868058.unknown
_1105868636.unknown
_1105868862.unknown
_1108535888.unknown
_1105868090.unknown
_1105867768.unknown
_1105867839.unknown
_1105866835.unknown
_1105822929.unknown
_1105861295.unknown
_1105862198.unknown
_1105862376.unknown
_1105866234.unknown
_1105865259.unknown
_1105862242.unknown
_1105861659.unknown
_1105862177.unknown
_1105861345.unknown
_1105830198.unknown
_1105830358.unknown
_1105830439.unknown
_1105830282.unknown
_1105827249.unknown
_1105827331.unknown
_1105829988.unknown
_1105822998.unknown
_1105826804.unknown
_1105806940.unknown
_1105812103.unknown
_1105822474.unknown
_1105822753.unknown
_1105819528.unknown
_1105821560.unknown
_1105821628.unknown
_1105821431.unknown
_1105812230.unknown
_1105811778.unknown
_1105811928.unknown
_1105811686.unknown
_1105801937.unknown
_1105802275.unknown
_1105806595.unknown
_1105806719.unknown
_1105803105.unknown
_1105804258.unknown
_1105802348.unknown
_1105802083.unknown
_1105802187.unknown
_1105801984.unknown
_1105801884.unknown