Cálculo Numérico - Exercícios.pdf

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c ÁLC U LO N U M ÉR ICO
A Sp ECTOS T Eó R1COS E COM p UTA CIONA IS
28 edi gÉo
c9 f M ár c Ja A G o m e s R u gg i e r o
V e r a l ú c i a d a Ro c h a L o p e s
D ' " - c n . . d . M " " t ' " l l ' "
n Æ c c U
B r m - c oBw iB B i w W · E : W h1
- Mb jco P. P- Rk o m d .
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AP1n d ic t RI
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d & ¢ n ¢c io r 377
A p ËN D I C E 4 I l < 1 
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l < I O t 1 , I ER
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x 1[r t 1
RESPO STA S DE EXERC ÍC IO S 6 I l < 2 x 1lT t Æ 1 , 1ERJ · â x 10 t Æ ]
9 a ) m 0 1000 × 1{T 5 10 6
M 0 9999 x i 05 -
b) n o a m do n da m e n to : 0 73 r6 × 102
n o tr u n c a m e n t o 0 7375 × 102
C A P L0 1
1 X 6371 1o 0 00 100 z
y 1234511o 0 00100 10 1000 z
c ) a + b 0 4245 × 105 + 0 00003 × 105 0 42453 x 105
M as o r e s u l t a do se r i - z e n 1 do c o m 4 dfgi to 1 n a m a n k s s a po r ta n t o
a Æ b 0 424 5 × 105
d) S 0 4245 × 105
S 0 4248 × 105
D Obse r v a r qu e 1 o pç1o (w z y t c o n u z a u m o v e r f lo w n e s ta m Bqu i1u
2 x GOU OE z 4451o
y 001 01 02 64271o
Z 40 U OF z 10 8 1251o
w 10 10 0 U 00 2 10 994 1406251o
C A PITUL0 2
3 a ) x + y + z 0 7240 × 104 1 E ; + y + . 1 < 1 3
b) X y z 0 7234 × 10 l 
<
. 
1 3
I E; y z 1 < 1 0002 × 10
3
c ) × /y 0 3374 × 108 1 E l · /
d) (x y ) / z 0 6004 IE R[× yv z l . 1 3
e ) × (y/z ) 0 6005 1 E ; / i ) 1 < 10
3
1 a ) 4c o s (x ) e 2x O
U m a r a i z po 1 i t i v 1 n o i n t e r v a l o [O l ] 
zr r 1' ' " g 1 k ' ' " OS ' ' " . S [k ( n ) (k 1x x )
: 
b) å tg (x ) O
O u m a r a i z
A s o u tr a s r a íz e s e s u o n o s i n t e r v a l o s
T
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3 TB Cd1c l o N B i c o Ap i n d ic t 
Ap 1n d ic e Re ip o « t m de Ex m tc iou 379
c ) 1 x l n (x ) 0 9 a ) Obse r v e qu e I ¬ x k l I ¬ x k - 1 x k + x k+ 1l qu c ¬ qpß ) e qu e x j Æ 1 q (x v par a
¬ l 2 to do j
d) 2 x 3x O b) M < 1/2
¬ o 1]
x
o
1
l o g (bo ao) l o g (e ) x 2
3 a ) k > l o g (2 ) 
1 
× 2 0 75
4 N ao V er i f 1qu e q u e n e s te e x e m p l o o m t odo da po s i ç l o f a l s a v a i m a11te r o e x t r e m o x 3 3 111
ú n i c a p o s s i bi l i da de s e r i a te s t a r s e (b a ) < l (T 4 o q u e n so v i áv e l n e s t e c a s o R e ü j a 
x 4 0 424744 898
a go r a u m a r e s p o s t a e x p l i c a n do o s de t a l h e s X 5 7 897338779
5 o b s e r v e qu e a s e qu l n c i a e s tá o s c i l a n do e c o n v e r gin do pa r a a r a i z e x a t a
N e s te c a s o
x 6 0 142658807
o b te n h a o m e n o r in te r v a l o qu e c o n t m a r a i z
x 7 56 1460 7424
Ca l c u l e q (x ) e v er i f i qu e qu e \ (x ) \ > 1 p ar a \ · \ < 1
6 a ) Obse r v e qu c 1l a é a s o lu ção da c qu a ç o a x 1 qu e é o m e s m o qu e f (x ) a 11x O
A pl i c a n d o o m ét o d o de N e w t o n c o n c l u a qu e 1/a p o de s c r o
b t i do i t e r a t i v am e n te 11 a ) 4i 4 2 747827467
p o r x k Æ 1 2x k a x e e s t a e x p r e s s
ão n ao r e qu e r n e n hu m a di v i s ão Co m p le te a b) 3i o 90479406 17
r e s o l u çäo do e x e r c f c i o c ) 3i 1 4309690826
b) 0 2307692 19 c o m E < 6 7 × 10 7
(o bJ e r v a çâ o A a pr o x im a ção i n i c i a l p a r a o m ét o do de N e w t o n t e m de se r c u i da
do 12 0 b tém a r a iz apr o x im a da x 2 o0000007 1p6a 9 i t em çöe s p ar a jn s t i l5c u o bse r v e
s a m e n t e e sc o l h i da ) qu c f (Xo) 3 939 e r (x o) 0 23
7 b) p a r a qu a l qu e r x o # O e l a s e r á o s c i la n t e é par a l e l a à r e t a ta n gc n te ù - a f (x ) n o po n t o (x o f (x o) i
14 a ) 0 po n to 1 k - r s c r á a in . c o m o e ix o & da r c t a qu e pw po r »f ( XDe
c ) N o A n a l i s e o u t r o s e x e m pl o s
8 p e l o Te o r e m a do V al o r M édi o te m o s qu e x k Æ 1 q (c k) (x k ¬) c o m c k e n t r e x k c 
15 a ) M PF Obt m 3i 0 714753186 após 8 i te r a çöe s
A n a l i s e o s s i n a i s dc x j j 0 1 b) 0 méto do dc N ew t o n o bt m 3i 0 71481186 1pós 3 it cm çöe a
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380 Cd lc « Bo N - c o
- t
A pB d i c 1 R1 apo n u d En n k io * 38 1
16 a ) Ï 3 14 15926533 COm f (3E) = 2 9 × 1 t o e m 2 i te r a çöe s 2 1 a ) f (x ) x e x e 3 é c o n t í n u a e m [O l ] f (0) < O e f (1) > 0
b) Ï 3 14 131672 164 C o m f (3i) = 3 8 × 1 e m 9 i te r a ç öc s b) 1f (x 13) 1 = 4 037 x I [T 3 : x o 0 9 e s t * p r óx i m o de u m z e r o de r (1 ) ; v e r i f 1qr» h to
En c o n t r e 11m a e x p l i w o t eó r i c a p a r a e i as r e s po s tas
b) 0 0709 13 < k < 0 128373 po r ta n to pe l a r e gr a de s in a l de D e s c a r t e s e s t a e qu aç1o o u te m 2 r a íz e s o u n 1o te m r 1 i z n o
i n t e r v a l o [O l ] 
18 E s u D1n ç1o t e m ape n a s u m po n t o « f t i c o Ju s t i f i qu e i st o
U s 1 n do o m éto do de N e w t o n c o m x o 0 5 Ï 0 567 138988 COm e 1 4 
n l o te m r a i z n o i n te r v a l o [0 1] 
24 U s1n do o - dc Stu r m c o m a O e B 1 v e r il i c a se qu e p (x ) 3× 5 x 4 x 3 + x + 1 0
19 X 1 0 906 179
x 2 0 538452 
25 P1r a x o 1 5 3i 3 00072 e f (3i) 0 5256642 x l iT S
x 3 0
x 4 0 538452 CA PITUL0 3
x 5 0 90617 9 2 o n úm e r o de oper açöe da o r de m de n 2
20 ¬ e ¬ [2 3] 4 c ) x * (0 8 0 6 0 4 0 2) T
E 1{T 5
5 x O 2 1 oýr
p o 1i ¢ o Æ x ) i n . . L ^ '
, a ) I n f i n i t a s 1o lu çöc s- 1o
2 3] . 2 3 . 23 :: : b) N 1o adm i t e 1o l u ç1o
r= l = 182 76 1 , 7 1827 7 A 2 71a283 7 N a f as e d a e l1n u n aç1o po d e s e c l e m a r so Dr e a m a m z o o s c o c n c l c r u c s p v w v
q r ) a 4850915 × w 5 , 4796514 11r 5 . 642 1« 1 w
10 W x w l , 6621836 × m 8 e (i i i) e n u n c i ada s n o Te o r e m a 1 D a s pr o pDed* de s de de t e r m i n a n te s te m o s qu e
· · · · · i · · · · · I M 3 · · · · · i) tr o c a r du a s li l h a s r e s u l t a n u m a tr o c a do s i n al do de t e r m i n a n te
. . . l i , i i) m u
l t i pl i c a r u m a l in h a da m a t r i z po r u 111a c o n s t a n t e n & o n u l a r e su l t a qu e o 
de t e M n an te
f i c a m u l t i pl i c a do po r e s t a c o n s t a n te
L
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382 Cd1 u 1 N u dr i c o A p i d i c e 
Ap i d ic e Ra m m de E z e n i d o « 3 & 3
4
ü t ) a di c io n a r u m m úl t i p lo de u m a l b1h a a u m a o u tr a l in ha n o a l te r a o v a l o r do 18 a ) 4i ( 0 02127 0 2206) T
de t e r m i n a n t e
D e s t a s pr o pDe da de s e do f a t o qu c o de t e r m in an t e d e u m a m a t r iz t r i an gu l 1 r o 
b) N o t e m s o lu ção
pr o du t o do s e l e m e n to s d a d i 1 go n 1 l s a i f a c i lm e n t e o m ét o do pe dido pe lo e x e r c íc i o 
21 D e m o n s t r e qu c x T c x > O x ¬ R
n
x ¢ O c o bs e r v e a n e c e ss ida de da m tr ie A t e r po s t o
9 J x 1 1 1 0 r c o m pó o
22 e m á× 
 
0 2 1 e x 0 1 FT
1 « i « 3
- O 
P m i x Pi 0 328 1 < 1 e
Ob s e r v a r qu c a m a tr i z A s in gu l a r
1 « i ( 4
x (0 36364 0 45455 0 45455 0 36364) T
11 b) Co n s ta te qu e a m a t r iz A ' po de s e r o bt id a a tr a v es da r e s o l u çl o de n si s t e n 1as
l in e a r e s : 23 a ) 1 k 1 > 4
A x e i i 1 n b) k 5 e u s an do x Q) (0 0 0) T o bt e m o s x o ) (0 04857 0 25 0 2 ) T
o n de c i é a c o l u n a i da m a t r ie ide n t id a de dc o r de m n
25 a ) A s seqüën c ia s ge r adas po rG a u ss Ja c a b i e Ga u s s Se ide l n i o c o n v e t ge m par a a
c) A f a to r * gBo L U é o m t o do m a is in d i c ado { ju s t ió qu e po r qu el) so lu gao
0 2 9 18 o 0932 0 0282 0 0861 0 0497 o o 195 b) Pe r m u t a n do a s e qu a çö e s o s m é t o d o s ge r a m s e qk cn c i a l c o n v e r Be n t e s p · r ·
0 0932 0 3230 0 0932 0 1 0497 0 1056 0 0497 x
* (1 1) T
0 0282 0 0932 0 2948 0 0195 0 1 0497 0 0861
0 0497 0 1056 0 0497 0 0932 0 3230 0 0932 
28 a ) Ca l c u l an do 0 v e t o r r (k) A × O) b e v e r i l i c a n do se
0 0 195 0 0497 0 0861 0 0282 0 0932 0 2948 m £× I r i \ . E o n de e O (e 1 4 po r e x e m p l o)
1 1 i n
13 Se A 1D U o v u o r x se r á o b t i do r e s o lv en do
L y b D z y e U x z
17 + (1 0 94) T - do o ar r edo n dam e n to
ï (0 93 1 1) T u s a n do o tr u n c a m en to
29 A s o lu çi o x (1 1 1 1 1LT po de ee r o bt i da f a «z lm en te b1s t1n do o bee r v a r qu e M
c qu 1çöe 1 2 3 e 5 e n v o l v e m 1pe n u u m 1 v 1Di v e l
31 a ) in .i n i t as so lu içüe s
b) so lu ç o ún i c a
c) i n f i n i t as s o lu çöe s
d) in f in i t a s so l u göc s
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104 C_ -
-
APM k t
i n - 1 o 1w ûe 1
n 1 o i n ç1o -
C A Pf ï u Lo S
¢ ) i n f in i t « l o l u çöe 1 1 a ! Es c o 1he n do o s po n to s x o 2 8 x I 3 0 e = 1 3 2 - m o 1 113 n 22 2037 5
A i =ß =h u 1oBuçûc1 b 3 W 1 23 × m Z
n M o ó n Æ W k
D n 1o t em 1o l u ç1o (x 1 Æ ' oy 1 e o b t e n h 1 1 (ii )
2 S* B t s l d o Ve r i f i q u e qu e o m i x i m o d l fu n ç1o a (R) l (x x ox x Xv l o c o r r e p1 r 1 i
1) 1o Bu ç1o ún ic 1
3 Es c o lhe n d o x o 25 x l 30 e x l 35 o b te m o a 1(32 5) 0 99820 e r (x ) 0 99837 pm \
33 a ) r (1 1 1 J) T 27 88
b e H o r °
b) O bae - qu e l e b r e 1 m 1 tr i z R n 1o im po 1 u 1 o o n d iç1o d1 d iB ga m 1 l s e r po 1 i t iv 1
de 1 t 1 . u m 1 du Ir ei po 1 1 ib i l i d1 de 1 e
4 U 1 a n do o pr o c e m o de i n re r po l 1 ç 1o i n v e m p1 r 1 r (x ) 1o b r e o 1 p o n t o 1 : y o 0 67 y \
. 49 e
 y 2
-
. 49
 ob t emo 1
 : 1 (0. 1 01 ) - , e 1 p l i c1 nd o o p r oc e 1 1o ó i nt er po l 1ç 1o
in v e r 11 pw 1 ¥ (x ) r o br e o 1 po n to 1 yo 0 32 y 1 0 48 e y2 0 56 o b te m o 1 1{ l 4972)
0 5 10 1 M a n t o pm x 1 4972 : f(
 
(1 4 9 7 2 f{0 5 10 1) 0 6
5 A f u n ç1o c o a (x ) de v e r i i e r t a bc l 1 d* e m No m fn i m o 260 po n to 1
7 U am do u m pr o c e 1ao de i o te r po l a ç1o in v e n a e e 1c o l he n do yo f (O) 1 y i 6 0 5 ) 
0 106 5 e y2 f (1) 0 632 1 o b t e m o r f (0 5673) 0 E u r 1 n do 1 t1 be l 1 de di f e r e n çu
di v idi d1 s e o 1 po n t o 1 y (0) Y{0 5) y ( 1) e y [ 1 5) a e 1 t i m a t i v 1 do e r r o i e r i : 1 E (0) 1
0 1785 1 × 10 4
c A pfru Lo 4
a X O FT
8 I EW 5 1 63 1 × w 3
b) e (1 93177 0 5 1822) T 9 Po l in öm io de gr a u 3 po r qu e a i di f e r e n çu di v i dida s de gr 1 u 3 s ï o 1 pr o x i - n tc coALi 
c ) r ( 0 17425 0 71794) T t m te i E1c o lhc n do x o 0 5 x l 1 O x 2 1 5 e x 3 2 0 o bt e m o 1 f( l 23) 1 247 c o m I
d) X (1 1) T 
E( l 23) 1 2 327 × 1> 5
¢ ) x ( 01 70172 0 68181 0 7022 1 0 TOSSi 0 70491 0 T0 15 10 ï r o c e i 1o 1 : c o n a t r u in do p2 (x ) qu e i n te r po \1 f (x ) e m x o 0 25 x l 0 30 Xz 0 35 ¢0 69189 0 66580 05 9604 0 4 1642) T
c 1 l c u l1 n do x ta l qu e p2 (x ) 0 23 o b te m o s x 0 3 166667
D x (] 1 1 1 1 1 1 1 1 I LT
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Ap i n di c e Reapo m d¢ Ex e n tc io * 387
c ) pe s o de u m f u n c io n i r i o c o m l 75 m dc 1 1ü 1r a = 
72 2467 k g a l t u r a de U m f u n c i o n ár i o
11 c o = (1 07) 0 4801242 ¢) pe l o de u m fu n c i o n ár i o c o m 1 75 m de a l m r a 72 14 k g a
l tu r a de u m f r1 n c i o n ár i o
I E(1 07) 1 1 202 × W Ó c o m 80 kg 1 87 1 m
-
e · 1e gu i r ti z e m o s o 1 ju s tc p o r
12 d 3a 8b + 6c
5 a ) M u dam o B a e sc a l a do s a n o s po r t 10
q (x ) a l e ° Y c 1 1ol uo0oi p (x) 1 8245C02e9 dm de pop 0 000) t p0 ) 17 71 &
17 U e a n do o p- o dc i n te i po 1aç i o in v e r s a c o s po n to s yo l 5735 y l 2 0333 e b) E m 1974
y2 2 6965 o b te m o s f (0 623) 2 3
6 a ) 
18 U s a n do o p r o c e ss o d c in t e i po l a ção in v e r s a c c e c o ha ado o s po n to s yo 0 y 1 15 e 
0 1958 + 0 0 185K
y2 5 3 o b te m o s f (1 5037) 2 b) y 5 5 199(0 8597 7
C A PHUL0 6 7 b) ¢p (x ) ab x o n de * 32 14685
2 a ) 0 216671 + 0 175 b 1 42696
b) 0 01548× 2 + 0 07 738x + 0 407 14 Qt (x ) 1x b o n de 1 38 8387 1
B
A c o m pu 1 ç l o po de s e r f e i t a a t r a v s do c a c u l o de 2 d pa r a a r e ta
k 1
8 8
b 0 9630
Ob re r v a çao n e s t e m t im o c 1s o pu * se e f et u u o 4 w b de 1p t e - o pr i m e ir o d1d o
0 32 pu a qu e fo sse po s 1tv e l 1 l in - o l n u ) In ( ) Æ b 1n (x )
2 0 08833 e pa r a 1 p« i bo h 0 04809
k 1 k 1
Co m o o m e n o r v a l o r pa r a a s o m a do s qu 1d r 1do o do s de av io s fo i pa r a a pM bo l 1 o
m e lho r a ju s t e pa r a o s dadw en tr e as du a s poasi bi l i da ¢ a pu : bo 11
3 Cm v a dc 1 ju s t e e sc o l hi da qp(x ) a 1 n (x ) + o 2 0 b te v e ae
q (x ) 5 47411 n (x ) Æ 0 98935
9 a ) ¢p (x ) 1e bx
b) a 95 9474
b 0 0249
O r e s fdu o qu e fo i m in i m i z a do fo i de 1/y c o m o fu n çl o de x
4 b) 52 7570x 20 0780 t r ab al ha n do c o m as a l tu r as em m e t r o s 10 g (x ) 1 + 0 9871e l 0036x
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388 Cdl c « 1 - -
A p t M ïc e Rw B d E w - Ja9
11 y (t ) a b t A l ém do te s te de a l i n ha m e n to se r r az o i v e l par a e s ta fu n q o a o u tr a possi
l i da de 1 p - n t 1 p r o bl e m 1s V e r i l i qu c
13 Pa r 1 j O 1 o I
. 
f (x ) dx
p a r a j " Ì 1
, 
f (x ) c o e (ix ) dx
p « 1 j . 1 b l Ì l x ) · e n ox ) d1
3 E < 5 X 1r 4
a ) 0 4700 17 1
b) 0 4702288
5 Em o po r Sim ps o n Ze r o
C A P&UL0 7 I
172
p o r T r a p z io s c o m s po n to o f r x 184 (\ E ï R \ < 24)
10 m > 8
b) · 4 6
T in pé t io s 4 6550925 
4 66t 4884 11 b) Lr x 2 086
4 6662207 4 6665612
W \
C) L 1 J
X
Sim ps o n 14 a ) T r a péz io s : 6 203
Sim pso 11 : 6 208
b) Tn péz i o s : 0 55509
Sim p so n 0 555 15
13 4 227527 c' ap z i o s n o pr im e ir o in te r v a l o e o r e s ta n te po r 0 3 
Si m pso n )
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390 Cd c t 1lo N u m l i c o Ap l d i c e
Apt n di Re qpo « U a d* - d o s 391
15 I
.
o 693 15
9 a ) P u te r A pc ó igo 1 do ) h 2 = y416) 12 00999
l n (2) 0 693 147
b) h 4 = y (16) 11 998
16 I
,
0 785392
n / 4 0 785398 
10 h 0 2 y (1 6) 2 7
17 a ) I 1 0 746855 
h 0 1 y (1 6) 2 8242597
b) k o 0 746594 11 h 0 1 y (5) 2 5
c 2) m 27 (ec u s a r m o s M 2 < 2) h 0 12 5 y (5) 2 3750
h 0 25 y (5) 1 75
C A Pfr u Lo h 0 5 y (5) 0 5
14 B u1 r de m
3 a ) e c ) h E u l e r A pe r f e i ço a do Eu l e r 0 2 2 7 2 971514 3 01% 7 1
0 5 3 5 0 1 2 85455 3 006242 3 0 1 9
0 25 3 1 75 0 05 2 928572 3 016337 3 019999
0 125 3 37 5 
0 025 2 973 17 1 3 019055 3 020001
O I 2 999995 2 499994
6 YiH 1 y . + å ( + l + l ) 15 Bu le t : y (1) 4 48832o
R u n ge i cu t t a de 4 1 o r d e m y (1) 4 718251
8 h Eu l e r Eu l e r A pc r i c iço 1do R K u tta 4
4 o r de m
0 2 2 047879 1 906264 1 909298 
y (1) 4 718282
O 1 1 979347 1 90854 1 909297 16 a ) c b) y (0 2) y(0 25) 1 00
0 05 1 9445 12 1 909 108 1 909298
0 025 1 926953 1 909251 1 909298
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98 c d lc l N l i o c p 2 Ca p 2 Z e r o r r e a i r de f n n p d r e 99
:E x is te u m a m o d i f i c a q i o n o m ét o do de N e w t o n n a qu a l a ' 1n ç o d e i t e r ação t p (x ) é da d a
f ix oi 
o n d e x
o 
 a a p r o x im ação in ic i a l e ¬ t a l qu e f (x o) · O 
a ) Ve r i f iqu e qu e x l E ( 1 0 T5) x 2 E ( 0 75 0 25) x 4 E (0 3 O 8) C x 5 E (0 8 1)
a ) Co m o a u x i l io de u m gr áEic o e s c r e v a a in t e r p r e ta g o ge o m ét r i c a de s t e m t o do b) En c o n t r e pe lo r e s pe c t i v o m é to do u s a n do c 1 5
de N e w to n
/ x 1 : N Cw to l 1 (Xo 0 8)
7 15 Se ja [(x ) e 4 × 2 . É SU A r a iz n o in t e r v a lo (0 1) T o m an do Xo 0 5 e n c o n t r e Co m 
/ x 2 b i s s c c ção ([a b ] [ 0 75 0 25])
e 1 4 u s a n do : 
x 3 : POSiç iio f a ls a ([a b] [ 0 25 0 25])
° ) o M PF c o m 
 
(x ) / . 12 ; ' x 4 : M PP (I [0 2 0 6] x o 0 4)
b) o m ét o do d e N e w t o n X 5 s e c a n t e (x o 0 8 ; x 1 1)
Co m pa r e a r a pi d e z d e c o n v e r gEn c i a 
v o Se j1 a e qu a gäo f (x ) x x l n (x ) 0
6 0 v a lo r dc n po de s e r o bt i do a t r a v s da r e s o lu ção da s se gu in t e s c qu a çöc s : Co n s tr u a ta be l as c o m o as do s c x e m plo a do fi n = 1 do c a p: tu l o pa r a a r a iz po s i t iv a des ta
a ) s e n (x ) O e qu a g* o U s e E 10 5
A p li qu e o m to do de N e w to n c o m x D 3 c p r e c is ão 10 7 e m c a da c a s o c c o m pa r e o s
r e s u l t a do s o b t ido s Ju s t i f iqu e / 2 1 Se ja f (x ) x c x e 3
17 s e ja f (x ) s c n (x ) k x ° ) v e r i 0i qu e gr áf i c a e a n a l i t ic a m c n tc qu e t (x ) po s s u i m z c I o n o in te r v a lo (o 1)
° ) E n c o n t r e o s v a l o r e s po s i tiv o s de k pa r a qu c f te n ha a pe n a s u m a r a iz e s tDt am e n t e ge r a da pe l o n 1éto do dc N e w t o n par a o c ü c u 1o do z e m de f Lx ) c m (0 1) c o m x u 0 9
b) j u s t i f iqu e te o r i c am e n te o c o m po r ta m e n t o da s e qü ên c i a {x k } c o l o c a da a s e gu i r
po s i t iv a
. pn c is o E 5 × 1 6
X 2 6 002 4 X 7 1 9863 × 12 0 04 40
ï n u m r ic o
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'.
100 Cá lc l o N u m 1 i c o Ca p 2
22 U n 1a das di1i c u l da d e s do m é to do de N e w t o n é o f a to de u m a a pr o x i m aç o x k sc r ta l qu e
f (x k ) 0 U m a m o di l i c a ç i o do a l go D tm o o Dg in a l pa r a p r e v e r e s t e s c a s o s c o n s is te
e m da do k u m n úm e r o po s i t i v o p r óx im o de z e r o e s u po n do l f (x o) l > a s e qüen c ia
x k é g e r a da a tr a v s de
o n de
(x k ) s e I f (x k) 1 > kFL {: (\ ) - c o n t r ár i o
o n de x
. 
é a ú l t im a a p r o x im a ç o o b t i da t a l qu e I f (x w ) 1 > L
J 
Pe de s e
a ) b a s e a do n o a lg o r i t m o d e N e w t o n e s c r e v a u m a l g o r i t m o p a r a e s t e m éto d o
b) a p l i qu e e s t e m ét o d o a r e s o l u ç ão d a e qu a ç ão x 3 9 x + 3 0 c o m x o 1 275
k 0 05 c E 0 05
1 Z3 U s a n do a r e gr a d c s i n a l de D e s c a r t e s e o T e o r e m a 5 v e r i f iqu e qu e a e qu a ç i o
p (x ) 3x s / / + x + 1 0 po de te r du a s r a 1r e s r e ai s n o in te r v a l o [0 1] 
724 R e s o l v a o Ex e r c ic i o 23 u s a n do a go r a a s e qü¢n c i a dc St u r m
. v 25 X R Z 1 9 o a pl i c a n do o m t o do dc N c w t o n pa r a po 1i n öm io s
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Cl t p 3 Re i o du çd o de a ir t _ th e a r e s 181
EXERC Ic =o s
1 Es c r e v a u m a l go r i tm o pa r a a r es o l u ção de u m s
is te m a l in e a r Ir im g u l u in fe Do r
2 V m f i qu e qu e o c u s to n úm e r o dc opc r 1g c s e
f ct u a das pa r a r c ao l v e r u m s i s te m a
l in e a r t Da n gu la r in f e r i o r é o n 1e s m o qu e pa r a m u l t ip1ic u n m a m a
n i e t1i a n s u l u po r u 1n
v e t o r
3 Ve r i ó qu e qu e o n úm e r o de o per 1 göe s n ec e s s£f i a s n o m to do da - W de Ga us s
s em p i v o te 1 m e n to p u c in 1 '
Z 3
. " " e 1r i« aw l u iz 1 ç i o da m a t r i E
e n
2
n a f a s e da r e ao lu ç* o do s i a te x aa t r im gu k a u pe r i o r Es t o se n do c o n ta das as
o pe r a çöe s de ü v i säo m u l t ipl i c 1ç i o e so m a
(l e m br a m o s qu e k 2
n '
me n (2n em
k 1 
6 )
4 Se j a A x b u m s i s t em a n x n c o m m a tr i z t r i di a go n a l (1 i j O s c Ii j i > 1)
° ) Es c r ev a u m a lgo r i t m o pa r a r e s o lv e r A x b a t r a v s da E l im i n a ção dc G a u s s c o m
es tr a tégi a dc pi v o t c am c n to p ar c i a l dc m o do qu c a e s t r u tu r a e spe c i a l da m a tr iz A
s e ja e x p l o r ada
b) Co m par e 0 c u s to de r es o lv L 1o po r - ç l o de Ga u s s v i a 1 l go r i tm o k a
c i o n a l c o m o de r e s o l v b l o pe lo 1 l go r i M 1o do i t e m (a ) 
c) Te s te s e u s r e s u l 1a do s c o m o s is te m a
x i 1 + 2x j x j 1 0 2 a ¬ i (n 1)
p a r a n 10
/ 5 R e s o lv a o s is t e m a l i n e ar abai x o u t i l iz a n do o m t o do da E l i m in 1ç i o e G a u as
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1a2 Cd.c u lo N - o Ca p 3 Ca p 3 Rm l u çäo de a i r t - 1i - 183
76 A n 1 l ia e o s ei at e m r a l in e a r e s 1b1 ix o c o m r e l a ç1o a o n k m e r o de 1o l u çüe s u s a n do o c) u ae o m es m o r ac io c i n i o dc (a ) e (b) p ar a de du z ir qu e s e as (k 1) p e i r u l in has
m to do da E lim i n aç1o de G a u s s (tr 1b 1 lhe c o m t r es c as 1s dec im a is) dc U e c o l u n as de L j : f o r a m de te r m i n a da s e n t ao
7 o c ál c u l o do de t e r m in a n te de m a tr i z e s qu adn da s po de s e r f e i to u s a 11do o m éto do da 
k 1 n
El im in ação de Ga u s s e) e s c r e v a u m a lgo r i tm o pa r a a f a to r a g o L U de A u s an do a r edu g o de D o o l i tü e
a ) D e du z a o m to do
b) A p l i qu e o n o c ál c u l o do de te m 1in an t e da s m a tr ie e s do s s is t e n 1a s do s Ex e r c i c io s
5 e 6 1 3 5 1 7 5 13
1) "
<ï . F ï ' " . ' ' " . se n do
do m éto do da - a ção de Gau s s 1 0
8 D e m o n s t r e qu e s e n o in í c i o da e ta pa k do m éto do da El im i n a ção de Gau s s ti v e r m o s
 Ë"
_
 g
.
 /%- 1) . , . Tão d et (A) · " " m q kc n t eme n t e A nã o é
i n v e r s ív e l (a
_
) é o e 1e n 1e n to da po s iç1o i j N o i n i c i o da e ta pa A )
9 p o dem o s e n c o n t m 1 f a m r 1ç1o L U de A di r e tam e n te u sa n do s im ple sm e n te 1 de1i n içi o
dc pr o du to de m a tr i z e s Esqu ean 1 s de s te t ipo s i o c o n he c ido s c o m o e s qu e m a s c omp
to s e o e qu i v 1 l e n te B f a to r 1 g1o A L U c o m L lr i 1n gu la r in f e r i o r c o m di1go n i l u n i t i r ia
e U tr i u 1su la r s up er io r c ha m a do de r edu çd o de D o o 1it t le
Su po n do qu e 1 f 1 to r 1çBo L U de A se ja po 3s fv e l de u m a f o r m a ún ic a
a ) m u l t ipli qu e a pr i m e i r a I ; n ha de L pe la j s im a c o lu n a de U e igu 1 l c a l l j Ve r il i qu e
qu c de s ta f o r m a o b t m s e o e le m e n to u l j
b) r c p i t 1 o i t e m (a ) m u l t ip l i c a n do a go r a a i s i m a l i n ha de L pe l a pr i m e i r a c o l u n a
de U c i gu 1 l 1 n do a a u s e r i po s s fv e l o bt e r l i 1
/ 1o c a l a 1l e a f a to r a ç o L u de s e po s s iv e l
 : / <- )
11 a ) M o s t r e qu e r e so l v e r A X B o n de A é m a tr iz n x n X e B s ão m a tr iz es n x m éo m e s m o qu e r es o lv e r m s i st e m a s do t ipo A x b o n de A é n 1a tr iz n x n x e b
v e t o r e s n x 1
b) U s a n do o i te m (a ) v e r i l i qu e qu e A ' po de se r ob t i da a t r av és dc r e so lu qi o de n
s is te m as l in e a r e s
c ) En tr e o m to do da - aqi o de Ga u ss e a f * to r açän L U qu a l o n 1a i s in dic ado
pa r a o c ál c u l o dc A 1?
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184 C d o N Um l r i c o Ca p 3
Ca p 3 R_ o d* a i« - 1in - 1es
' ' ' " _ l hi do n o ' (c ) pa r a o bte r a h ' ' " d. " Ä .
. \:: , : :
12 M o s t r e qu c se A e m a tr i z n s i n gu l a r e A L U e n t ão A t n t r o n de D é m au iz
d i1 go n 1 l e U m a t r i e tr i a n gu l a r s u pe Do r c o m dia go n a l u n i táDa
l 13 Se A L D U c o m o f i c a a r e s o l u ç o de A x b?
14 E s c r e v a u m a l go D t m o pa r a o m ét o d o da E l im i n a çâo de G a u s s u s an do e s t r a t g i a de
pi v o t e a1n e n t o p a r c i 1 l
15 Se ja r e s o l v e r o s is te m a l in e a r a x b pe lo m eto d o d a e l im in a ção de g a u ss c o m
e s t r a tég i a d e pi v o t e 1m e n t o p u c i a l
se M m á× { l a ij l } 1 < i j i ° pr o v e qu e 1pós o p r im e ir o e s t ágio I a!P 1 « 2M
i j
16 a ) R e s o l v a o s i t e n s (b) e (c ) d o Ex e r d c io 11 c o n s ide r a n do a e s t r a tég i a de p i v o te ·
m e n to pa r c i a l
b) U s c o s r e s u l t a do s de (a ) p a r a e n c o n tr a r a in v e r s a d a m a tr i z
" ( z .+ . )
r/ 17 Tabal hando c o m a r r ed o n dan 1e n to par a do i s d W to s s ign f f ic a t iv o s e m to das as opesües
r e s o lv a o s is te m a l in e a r a ba i x o pe l o m ét o do da E l im i n ação 
de Ga u ss s em e c o n 1
p iv o t c a m e n t o p a r c i a l D i sc u ta s u s r e s u l t a
do s
16× 1 + 5x z 2 1
+ 2 5× 2 5 5
Re f aça o e x c r c tc io u s an do m 1n c am e n to pa r a do is 
dfg i to s s igr1il5c 1 tiv o s
18 ' a ba lha n do c o m qu a t r o di Bi to s s ign i f i c 1 t iv o s r es o lv a o s s is tem a s 
l in ea r e s a segu i r (o u
de l e e te qu e n * o há so lu ç* ó) Us e piv o te m en to pa r c i1 l Es t abe le ça u m c DtéDo par i
de c i dir se n úm e r o s pe qu e n o s e m lu ga r e s im po r t an te s s o c o n s i
der ado s c o m o z e r o o u
n l o Co n i r a a s o lu ç* o o b t ida
19 Ju a t i l i qu e s e f o r v e r da de i r a o u de c o n u 1 e x e m p lo s e f o r m 1 -
o
D a da 1 a m a t r iz n x n su a f a t o r a g o L U o b t i da c o n 1 e m e de pfv o t_ t o
p u c i 1t t a l qu c t o do s o 5 e l em e n t o s da m 1 t r iz L t l m m ód u l g m e n a r o u igu 1
l a >
20 0 v e to r p qu e a r m a z e n a a in f o m 1# o s o br e 1 s p e r m u t * gõe 1 r e a l i z a da s d - t e a f a
r a ção L u p o de s e r c o - do c o m o p (k ) i s e n a e t 1 p · k * 1i n h i d · m 1 1r iz A æ 1) f o r
e s c o lh ida c o m o a l i n h a p i v o t1 1 D e s ta f o t m o v u o r t e r á dt m e m 1o (n 1) × 1 Pa r a o
Ex em pl o 7 t e r í a m o s p (3 3)T a dim e n s ão d e p é (n 1) × 1 1 m l v e z qu e eao
r - a s (n 1) e tapas E s ta i o rm a pu a o v e to r p e m 1 is ed5d m te ¢
c o m pi1t 1 c i o n a is po r qu e n a f ase da r c a Æ u ç1n do s 1h t e m u W e 1 o v e t o r b po de
se r ar m az e n a do so b r e o v e to r b o r igin 1 l
R e es c r ev a o 1l go Dtm o pa r a a r es o lu ç* o de A x b 1 m v r d1 f 1 m w o L U c o m
es tr a tégi a de piv o t e am e n t o pu c i a l u s m do o v e t o r p c o n t - de a c r i to l e im a
s im ¬ H w de f in i da po s i t i v a
21 p r o v e qu c s e B é m a1ó m x n m > n c o m po s to c o m p le t o e n t i o a m a t r iz C B
TB é
/ 22 Em c a da c as o
a ) v e r il i qu e s e o c r i téDo de Sai s e n 0e l d é s a t is f c i ro
b) r e so lv a po r G=11s s Se ide l s e po ssí v e l
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186 CdBc u b N W pLc o Cqp 3 C p 3 Ra o in çdo d¢ - t in _ 187
/ 23 a ) U 1m do o c r i ter i o de Su 1e n f bl¢ v « i l i qu e p1r 1 qu e v 11o r e a po 1 iü v o 1 de k ae te m
11 r u ad · de qu e o m óto do de O1 u aB Se ide l v 1 i ge r i r u m a 1e qo<n c i1 c o n v e r gen t e pan 1
1o lu ç1o do 1i 1t e m
26 Ve r il5qu e qu e s e l im x ) o n de j +1 ) Cr lD + & e M 1o a 1o Bu s1o de x Æ &
k
27 p r ov e qu e n o m to do de G1 u s a Se ide l v a l e a r e l 1 çi o
b) E * c o lha o m e n o r v 11o r i n t e i r o e po 1 i t i v o p u a k e f a ç1 du a s i t en ç öe s do m t o do dc
G1 u s1 Se i de l p m o 1i st er na o bt ido
Æ 1) I 2 1 c f ' " Æ 1 23 ep + + w p
a22
c ) C o m e n t e o e r m c o m e t i do n o i te m (b) ( ' " ) . ) )
24 a ) Co n s i de r e o 1i a e m l in e =
28 a ) u m po r 1b e l tesBe de p1m d1 p11* 1m 1 - i t_ tes tar i e A 1 ) b e at i p r ó o
de z e r o qu 1n do e n tão x (bi s er i e sc o lh ido c o m o 1pr o x im * ç1o da eo ln ç1o x do
s is t e m a Co m o r e a l i z a r c o m pu ta c io m l m e n t e e s t e t e s te ?
b) Co m pu e o c u s to c o m pu t1 c io n 1 l de u s ar o te s te ac im a c o m o c u s to do t e ste
q u e u m n do e 1i m i n aç1o g - qu e e s t e s i s t e m a n 1o te m so l u ç l o Qu a l se r i o 
(X+l ) b e s t a r p r óx im o d e z e r o
c o m
-
to do m to do de Oa i1s s Se i de l ?
b) A t n v £1 de u n 1 sh te m a 2 × 2 de - in te i p r e t1ç1o gco m tr ic 1 do qu c o c o m c o m
G1 u 1a Se i de l q u a r do o 1 ia t e m 1 n 1o te m 1o lu ç1o e qu m do e x i s t e m i n l i n i tm 1o l u çöe l
2 5 a ) A pl iqu e m u t i m e gn i i c - le o 1 m to do s de G1 u ss Ja c o bi e G1 u s s Se ide l n o si s 0 0 16 0
te m i 0 4 0 0
2X r + 5× 2 3
3X r + X2 2
b) Re pi u o i te m (a ) p 1r a o s i s t em a o b t ido pe i m u m do a s equ a çðe s
c ) A m l i s e t e u s r e s u l ta do s
a } A c he 1 so lu çi o po r in s peçi o
b) F * p mudnç1s dc l in h as n a 1 n a o Dg in 11 pa r a f ac i1i ta r a 1p1i c 1 ç1o do m et odo d*
E1in 1in açi o dc Gau s s O qu c v o c E po de c o n c lu i r dc l u n a m m c ir 1 gc r 117
c) A pl i qu e o m to do de G1 u ss Se i de l 1o s is te m a Co m e n t e se u de se m pe n ho
d) F1ça u n 1a o o m p1 r 1 ç* o da u t i liz 1 ç1o de m t o do s di r e to s c it e r 1 t iv o s n * r ei o lu ç1o de
s is tc n 1as 1in c u e s espa t s o s
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188 Cálc u lo N u m dr ic o Ca p 3 
Ca p 3 Re r o k çao de ri r t - lh - 1a9
Ï
i m p l i c a r a o b t e n ç o de u m a s o l u ç ao X o a p e n a s a pr o x i m a da p a r a Ï Ch a n 1am o s 
1 d) 6x + 4y 3z + W 104× 1 + 2× 2 3×3
4
'
o
A x o b 0 r es i du o a ss o c i ado a x o N o u qu e r o A x o b A x o A4I A (x o
W 6× 1 + 3XZ 4x 3 6
Se A z r o f o ss e r e so l v i do se m e r r o e n tão ï x o z s e Da a so lu ç o do s i s t em a es te
p a r a r e f i n a m e n t o de s o l u gMc s ap r o x i m a da s
c o m o b as e pa r a 11n l e squ e m a i te r a t iv o 1 
+ 
4
É r a z o áv e l s u po r m o s qu e x
,
x
.
ì ß s o l u ção a pr o x i m a da de A z ro) s e j a 1m a
A 1go D t m o el i nament o 1l e r a ri v o ) Z
Se ja r - s o l u ç i o (a pr o x i n 1a da) pa r a A x b o b da po r a lgu m m éto do di r e to E > O e
i m 1ax o n ú m e r o m áx i m o de i te r a gõc s pe r m i t ido
Pa r a i 1 2 i t m a x
r A x b
z : s o lu ç&o de A z r
X X Zk) c/ì.c#/ì
s e m á× I z i l / m a× I x j < E f im A s o lu ção é x Se i > i m 1a x e n v i e m en sa ße m de
l « i « n 1 4 i 4 n 32 In v e n t e u m s i s t e n 1a l i n e a r c o m 6 c qu a çöe s e 4 v ar iáv e is s em s o l u ç*o o u Uo co m
n ão c o n v e r gen c i a e m i tm ax i te r a çöe s 
s o l u ção ún ic a e o u t r o c o m in ßn i t as s o l u çöc s Ju s t if iqu e c a da c a so
a ) Ju s t i i i qu c po r qu c de v e m o s u s a r f a t o r a g1o L U n e s te c as o p ar a r e s o lv e r o s s is t e m a s
e n v o lv ido s 33 R e so l v a o s s is tem a s l in e a r e s ab a ix o u s an do a f a t o r açi o de Cho l es ky
b) N e s te . n ão de v e m o s s o b r e po r L e U e m A Ju s t i f iqu e
a )
'l i'/ !c#// b) ' l i8135:£/ 31 p u a c ada u m do s s i s t e m a s l in - · s e gu i r a n a l i se a ex is ten c ia o u n so de so l u ç1o
be m c o m o u n i c i da de de ao lu ç o n o c a s o de hav e r e x is ten c ia 4x + x 2 Æ 1 x 3 +
a ) 31 + 2y 7 H ß . A ,
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/ 1
256 Cûlc u 1o N u m Br i c o Cap 4 C p 5 257
Po r e x e m pl o se ja a pr o x im ar f (0 37) po r po l in öm i o de in te i po laçao de gr au ¬ 4 
de gr a u 2 £ u m a bo a e s c o ha pa r a o bte r f (32 5) u s E 11m pr o c e s so de i n te r po 1aç1o l in e a r
3 Re so l v a o e x e r c fc io pr o po s to n a i n tr odu gão de s te c a pf tu ]o V m i f i qu e qu e u m po l in óm i o
pa r a o bt e r o po n to x pa r a o qu a l f (x ) 0 99837
f (X ) f f l i 2 f 3 f4 f 5 f ö f 7 f8
W 0 2 0 4 0 6 0 8 0 9
D e v e m o s e s c o u i e r {x o x 1 x 2 x 3 x 4 ) {0 2 0 3 0 4 0 5 0 6} po is 0 37 es u i (w ) 0 905 0 8
19 0 67 0 549 0 44 9 0 407
m ai s p r óx im o de 0 6 qu e de 0 1
x I 2 1 4 1 7 1 8
3 o m a te m £t ic o r u ss o p L h e bw li e v p r o v o u qu e e n tr e to do s o s po l in dm i o s do
t ipo G (x ) (x Jr (x x l ) (x \ ) o qu e a pr e se n t a m e n o r v a lo r p r a m d× 1 G (x ) ï g (x ) 0 210 0 320 0 480 0 560 0 780[
o
J
c o n hæ i da c o m o pr o pDc dade M 1N M ÁX é o po l in ðm i o n o qu a l o s x j i 0 1 n s ão o s
n ós de Che by i h e v Ca l c u l e o v a l o r a pr o x im ado de x t a l qu e f (g j× D 0 6 u s an do po 1in ô m io s in t c 1po l1n t e s
Te n do a l i be r da de de t a be la r f (x ) n o i n te r v a lo [x o x ] de v e m o s es c o lhe r pa r a x o d c gr a u 2
x l x o s n
ös de Che by she v
/ 5 Qu e r e m o s c o n s m 1i r 11m a ta be l a qu e c o n te n ha v a lo r es dc c o s (x ) pa r a p o n t o s igu a m e n te
e sp 1 çs do s n o in t e r v a lo I [1 2] 
EXERC íC iO S 
c o s (X) u san do in te i po l agâo l in e a r c o m e r r o m e n o r qu e 1F 6 pa r a qu a lqu e r X n o i n t
Qu a l de v e s e r o m e n o r n úm e r o de po n to s de s t a ta be l a p a r a s e o b te ; a p a r t i r de l a o
'
1 D ada a a be l a a ba i x o v a l o [1 2 ?
a ) c a l c u le e 3 J u s a n do u m po l in ðm i o de i n tc 1p o l a çl o s o br e tr es p o n t o s / 6 c o n s ider em o s o pr o ble m a de in te rpo l a çBo pa r a se n (x ) n u m a ta be l a de po n to s igu 1
m e n te e spa ça do s c o m in t e r v a lo h u s a n do u m po l in ôm i o de 2o gr a u Fa z e n do x o h
b) D ë u m l im i ta n te p a r a o e n o c o m e t ido x 1 0 x 2 h m o s tr e qu «
x 2 4 2 6 2 8 3 0 3 2 3 4 3 6 3 8 W x ) l h327
13 46 16 4 4 20 08 24 53 2 9 96 36 59 44 70 
7 Ë , 9 qu e a c qu a ç " r O a dm i te u m a r a iz n o in te r v a l o (0 l ) de te r m in e o
I/ 2 V er if iqu e qu e n a i n te i p o la çao l i n e a r Ju s t if iqu e !
4
Co m qu e gr au d e pr e c is o po de m o s c a l c u l a r m u s a n do in te rpo l a ç o s o br e o s po n to sI E (X) I < 8 o n de h X l x o x o 100 x l 121 C x 2 144?
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258 Cdlc u l o N u m ér ic o Ca p 5
l 9 c o n s t r u a a tab e l a de di f c r c n w di v i di da s c o m o s o s
0 0 0 5 1 0 1 5 2 0 2 5
f (x ) 2 78 2 24 1 1 65 0 594 1 34 4 564
a ) E s t im e o v a l o r d c f (1 23) da m e l ho r m u 1e i r a po s s iv e l de fo r m a qu c s e po «sa
e s t im a r o e r r o c o m e t i do
b) Jw t i f i qu e o g r a u do po l i n öm io qu e v o c ¢ e s c o lh e u pa r a r e s o l v e r o i te m (a ) 
/ 10 Se ja a ta be l a
x 0 15 0 20 0 25 0 30 0 35 0 40
f (x ) 0 12 0 16 0 19 0 22 0 25 0 27
U s a n do u m po l i n óm io in te rpo l a do r de gr a u 2 t r a ba l he de do is m o do s di 0e r e n te s p« 1
o b t e r o v a l o r e s t im a do de x pa r a o q u · I f (x ) 0 23 D ë u m a e s t im a t iv a do e r r o
c o m e t i do e m c a da . s e po sa fv e l
I/ i l Co n s t r u a u m a t abe l a p a r a a D1n çi o f (x ) c o s (x ) u s an do o s po n to s : 0 8 0 9 1 0 1 1
1 2 c 1 3 0 b t e n h1 u m po l in öm io de g r a u 3 pa r a e s t im a r c o s(1 07) e f orneça u m
l i m i t a 11tc s u pe Do r pa r a o e r r o
/ 2 s e ja a ta be l a
f (x ) a U
1 3
C d
)P N·
l
A tO
e s ej a p
. 
(x ) o po l in öm io qu e in te r po l a f (x ) e m 1 0 1 e 3 I m po n ha c o n diçõe a s o br e
a b c d pa r a qu e s e te n h a n 2
r
X
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W
c qp 6 A iw t de cupe1oMt ododor q d d in inw 287
H 8u r 1 6 4
EXERCIC IOS
1 D a do u m c o n ju n to de v a l o r e s (x k l {x kD k 0 1 2 m des c r e v a s i tu 1 çöe s e m qu c
v o cE u s a r i a u m po l i n öm io in t e r po la do r po r e s t e s po n to s e s itu a çöe a em qu e v o c ¢
a ju s t a r ia u m a c u r v a a es te s da do s pe l o D1éto do do s qu a dr 1do s - o s
l 2 A ju s te o s da do s aba ix o pe l o m ¬ t o do do s qu 1d r 1do s m i - » til iz an do
u m a r e t a
b) u m p p ar ábo l a do t ipo ax 2 + bx + c
T r a c e as du a s c u r v Bs n o gr f f ic o dc di spe r s i o do s da do s Co m o v o c ë c o u p1 Tu i 1 1s du a s
c u r v as c o m r e l ação a o s da do s ?
x 1 2 3 4 5 6 7 8
y 0 5 0 6 0 9 0 8 1 2 1 5 1 7 
2 0
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/
ï c d
1c u l o M u n ér i c o Cqp 6 c qp 6 A jw l e dt c tw Æ p e1o m d o da r qu a dm dm m h im m 289
/ 3 Dada a tabe l a aba ix o f 1 ça o Br * l i c o de dispe r s o do s dado s e aju s te u m a c u r v a da a ) Obten ha u n 1a es t im a t iv a pai a a pop U1ç* o br asi le i1a n o an o ^ e s a t su l tado
m e ho r m an e i r a po s s i v e l b) E m qu e a n o a popu l a ç* o br a s i l e i r a u l t r apas s o u o fn di c e de 100 1n i lhöe s ?
· I · · o °
y 2 8 0 6 1 3 2 4 8 6 0 7 0
1/ 6 A ju s te o s dado s
x 8 6 4 2 0 2 4
A ta be l a 1ba ix o m o s t r a as a l t t1r as e pe so s de u m a a m o s tr a de n o v e hom e n s e n tr e as y 3o 1o 9 6 5 4 
4
ida des de 25 a 29 u 1o s e x t r a l da a o a c as o e n tr e fu n c io n ár i o s de u m a gr an de i n dús tr i a
A 1t ru a 183 173 168 188 158 163 193 163 
79 69 70 81 61 63 79 71
a ) u s an do 1 ap r o x i1n a çi o y 1/(ao + a l x ) F a ga o gr f f ic o pa r a 1/y e v e r i l +qu e qu e
e s ta apr o x im a çâo v i áv e l
/ P J
a ) F a ça o di a gr 1n 1a de di s pe r s1o do s dado s c o bse r v e qu e pai e c e e x is t i r u m a r e l a ç o 
c) c o m pa r e o s r e s u l t a do s (a ) e (b)
l in e a r e n t r e a a l tu r a c o PEs o l 7 o n ú m e r o de b a c t Da s p o r u n i da de d e v o l u m e ex is t e n t e e n 1 u m a c u l t u r a a pó s x h o r a s
b) A ju s t e - r e t a qu e de s c re v a o c o m po r ta m e n to do pe so e m f u n ç i o da a l t u r a i sto é ap r e s e n ta do n a ta b e l a
ë p e s o f (11t u r 1 )
f u n c i o n i r io c o m 80 kg 
n 
Q de b a c t éDa s po r 32 47 65 92 132 190 2 75
d) A j u s te a go r a a r e t a qu e de s c r e v e o c o m po r ta m en to da Bl t u r a e m f u n gi o do pe so v o lu m e u n i tár io (y)
i st o é a l t u r a g (pe s o )
e ) Re s o lv a o i t e m (c) c o m e s sa n o v a fu n ç o e c o m par e o s r e su l ta do s o bt ido s Te n te
en c o n tr ar u m a e x p l i c a ç o
Co l o qu e n u m gr áf i c o a s e qu a çõe s (b) · (d) e c o m pa r e a s
' 5 A be l a a ba i x o f or nece o n km e r o de ha bi ta n te s do B r a s i l (e m m i l höc s) de s de 1872
a ) v e r i f iqu e qu e u m a c u r v a par a s e a ju s t a r a o di a 8 r am a de di s pe r s o é do t i po ex
n e n c i a l
b) a ju s t e a o s da do s a s c u r v as y a bx e y a x b ; c o m ps r c o s v a l o r e s o b t i do s po r
m e io de s t a s c qu a góes c o m o s da do s e x pe Dn 1e n t a i s
c ) av a l ie da m e l ho r f o m 1a o v al o r de y (x ) p ar a x 7
A n o 1872 1890 1900 1920 1940 1950 1960 1970 1980 1991
8 Co n s ide r e
H abi tu 1tes 9 9 14 3 17 4 30 6 41 2 5 1 9 70 2 93 1 119 0 146 2
X X o X 1 X
.
f (x ) f (x o) f (x l ) f (x
.
)
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290 Cdl c u l o N lt m Bn ic o Ca p 6
D e s e ja s e e s t im a r f (a ) a ¬ (x o \ ) c o n 1pa r e o s r e s u l ta do s qu e se r i am o bt ido \Ë<\cîv.j¢+ ¥A/ \ A
qu a n do a pr o x i m a m o s f (x ) po r
I n q n r de \ 1n 
\ 
a ) u m po l i n ôm i o qu e i n te r p o l a f (x ) n o s n + 1 po n t o s N U \ u p
: , 
b) ¢ (X ) ao + a 1x + a 2x 2 + + W " pe l o m to do do s q u a dr a do s - o s
/ 9 a ) c o n s i de r e
x 2 5 8 10 14 17 27 3 1 35 44
y 94 8 98 7 8 1 3 74 9 68 7 64 0 4 9 3 44 0 39 1 3 1 6
i lg
A tr a v és do t e s t e de a l in ha m e n t o e sc o lha u m a da s f am ü i a s de f u n çöe s aba i x o qu e
m e lh o r a ju s t a e s t e s dad o s a e b 1/ (a + bx ) x / (a + bx )
b) A j u s t e o s da do s do i te m a c i m a à - a dc f u n çö c s e s c o lh i da Qu a l o r es fd u o
m in im i z a do 7
/ 1o A p r o x i m e a ta be l a a ba ix o p o r - f u n ç o do t ip o g (x ) 1 + a e b u s a n d o qu a dr a do s
 
m f t ri m o s D i s c u t a s e u s r e s u l t a do s
0 5 1 0 2 5 3 0
 
° '
/ 11
9 6 4 2 0 2 4
10 9 6 5 4 4
Po r qu 1 l da s f u n çöe s x (t) 1/ (a t Æ b) o u y (t) a bt v o c ë a pr o x i m a r i a a f u n çl o u (t) 7
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\ ' L
Ca p 7 ïn t t o çdo n p i c a 31
t
o
6 3 0 577350 e t l 0 3 0 577350
A
o 
A 1
E n t o
k ' " "
'
5 [e 2 113249 + e 7 18675 ' 0 606 102
Sa be m o s qu e c o m se i s c a s a s de c im a i s
O
.
= dx 0 999955
A ss im o v e r da de i r o e n o c o m s e i s c a s a s de c i m a i s é
1e r m l 10 999955 0 606 1021 0 393853
Par a qu e IET R I < 0 39385 4 n a r e g r a do s Th p z i o a l e d a n e c e 1aBr io u be l1r f (x ) m
n o m i n i n 1o 16 po n t o s (m > 15)
E pa r i a r e gr a 1/ 3 de Sim poo n I EsR ' < 0 393851 im pl i c · m > 8 e 1e D1 n
c e ss ár i o po r t a n to ta be l ar a f u n çl o e m 9 po n to s
EXERC ÏC IO $
1/ 1 Cal c u l e a s in te gr a i s a se gu i r pe l a r e gr a do s l in p z i o 1 e pe l · de Sim p1o n u 11mdo qu 1 ü o e
se i s di v is öe s de [
 
b] 
Co m par e o s r e s u l ta do s
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3 12 Câ i c u Bo N m l r ic o C a p 7 C¢ 1 Be 1 r 3 3
c ) ( 
/ 2 u s a n do a s in t e g r a i s do e x e r c i c i o a n t e Do r c o m qu a n ta s d iv i sö c s do interval n m i n i
Es ta é a r e gr a do Po n to M a o e é u m a f ó r m u l a abe r t a de N e & rBo n c o te s
m o Po d e m o s e s p e r a r o b t e r e r r o s m e n o r es qu e 1o 57 9 o b te n ha a fó r m u l a do E r r o pa r a a r egr a do s Tin p z io s e pa r a a r egr a 1/3 de Si m ps o n 1
c
. 1^ ' " . p i = m & ' " .
.
0 l + x
1710 Sej a o p r o bl e m a
a ) s im ps o n 
1n te 1po l a r a f u n çBo ae n (1 ) s o br e [o n l4 u s a n do u m po l in öm i o de g r a u 2 e in t eg r u e s ta
b) T r a péz i o s Fu n ç1o n e s te in t er v a l o u s a n do a r e gr a 1/3 de Sim pa o n
Qu a i de v e s e r o 1n e n o r n úm e r o m de s t 1bin t c r v a 1o s c m [O î ] pu * s e gm n t i r u m c n o
/ 5 Qu a l . c n o m áx im o c o m e t ido n a a pr o x im a çl o dc f ( 3x + 1)d l pe l a r eg r a de
Sim ps o n c o m qu a t r o s u b in t c r v al o s ? 0 11 a ) Co m pr o v e gr f f ic a e m* i Bi c ment e qu e s e
Ca lc r1Be po r ' 1 p z io s e c o m p ar e o s - l t ado s
i) f (x ) c o n th u a e m [a b] e
. e t er mi na r h, d i s n c i a en t re x j
 e x» pa r a que se pos sa av a l iar J,
 c
o & \x) ox co m
p g A 
(x ) O V x ¬ b
U s c a r egr a 1/3 de Sim ps o n pa r a i n t egr 1r a f u n ç o ab a ix o e n t r e o e 2 c o m o m e n o r
e s fo r go c o m pu t a c i o n a l po s5 fv c l (m e n o r n úm e r o de iv i sMe s e m a io r p r e c is * o) J ust f
qu e T r a ba l he c o m t r es c a s as dec im al s
e n tão a a pr o x im aç1o o bt i d a pan J
. 
i (x ) d1 peb r e g r * do s T t ap¢z i o a ¢ m a i o r do
qu ' " a l . . . . A t. Da J f (x ) dx Co n s i dc r e n 1
i lx )
x
2 
se O < X 1
(x + 2) 3 sc 1 < x < 2
b) Sabe n do qu e f (x ) e + x 2 sa t in faz a s c o n çüc a 1 c im 1 e m [0 1] c qu e
I I (e1 + x 2)dx 2 o51 ' " r o v e qu e 1 m n c lu s1o do i tem (a ) v i 1id1
t am b m par a a r e gr a do o ' ap z io a r epe t id c a1c u l m do l c o m e n o in i c Do r a
5 × 1> 2 U se tr es - d«rc im ai s
8 A r egr a do s Re u n gu lo a r e pe tida o bt ida qu a n do a pr o x im am o s f (x ) e m c ada s ub i n t
v a l o po r u m po 1in öm i o dc in te i po l açao de gr a u z er o En c o n t r e a r e gr a do s Re t l n gu l o s
bem c o m o a e x pr e ss o do e r r o f i z c n do
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314 Cdl c « lo - Ca p 7 1 
qpc pcc pc pc p 7 1in1egrrrr a çdoa çdoa çdoa çdoa çdo - a- a- a- a- a 
333331111155555
12 - = f ó t m d e in te gr a çBo d a f o 1m a
qu e in te sTe ex 1 tm e n t e po Bin öm i o s 
de gr au < 2 
b) Es t im e I po r Qu a dr a tu r a Ga u s s ia n a c o m 2 po n to s
/ 13 D a da a t1 be l a \ c) s abe n do qu e o v al o r e x a t o dc 
I (u s 1 n do 5 c a sa s de c im a i s) é 0 74682 Pe de s «
c o m pa r e as e s t im a t iv a s o b t i da s e n 1 (a ) c (b)
qu a n to s po 11t o s sc Da1n n e c e s s áDo s p a r a q
u e a r e g r a do s T1pézi os obt i
a m esm a p r e c is o qu e a e s t im a t i v a o b t ida pa r a 
I e m (b) 7
e s 1b e n do qu e a r e gr a 1/3 de s i1n ps o n é e m B
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