Apostila Cálculo II (1)

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Curso: Engenharia Civil Turma: 2° Período - Matutino
 Disciplina: Cálculo II
 Prof. Esp. Káttia Ferreira da Silva
 Acadêmico (a):_____________________________
Cálculo II 
GURUPI – TO, 2015/2
1- FUNÇÕES DE MAIS DE UMA VARIÁVEL
Como vimos muitos problemas em áreas científicas são modelados com o uso de muitas variáveis.
Lembrando Cálculo I: Vamos considerar um exemplo bem simples de uma função de uma variável, definida pela expressão algébrica: . 
	Uma função é uma regra que associa a cada ponto do domínio, um único ponto do contradomínio. Assim, por exemplo, a função acima associa o número real ao número real Analogamente associa a a a a, e assim por diante. Essas associações podem ser representadas geometricamente através de um diagrama, conforme indicado na figura ao lado.
	O gráfico de uma função nada mais é do que a coleção de todos os pares ordenados da forma com x no domínio de . Mais formalmente:
Definição: (gráfico de uma função de uma variável) Dada uma função: de uma variável, o gráfico de é o subconjunto do plano cartesiano definido por 
	De maneira informal, o gráfico de uma função nada mais é do que juntar o domínio e o contradomínio de em um mesmo desenho (o domínio em um eixo e o contradomínio em outro eixo) e fazer a representação de através dos pontos na forma com variando no domínio da função.
	Em nosso exemplo, os pares ordenados (0,0), (1,1), (-1, 1), (, 5) e (são pontos do gráfico de . Um esboço do gráfico de está na figura ao lado e é nossa conhecida parábola. 
Funções de duas variáveis: Vamos começar com uma função de duas variáveis bem simples, definida pela expressão algébrica 
	A função é de duas variáveis por que ela associa cada par de números reais e ao número real , definido como a soma dos quadrados de e . 
Vamos calcular em alguns pontos: , , , . Novamente essas associações podem ser representadas geometricamente através de um diagrama, conforme indicado na figura ao lado.
	Essa representação geométrica na é conveniente, o gráfico para esse tipo de função deve ser representado em um único desenho.
Como o domínio da função de precisa de 2 eixos para ser representado e o contradomínio precisa de 1 eixo, então o gráfico precisa de 3 eixos para ser representado. O gráfico de é um subconjunto de formado pelas triplas ordenadas da forma com no domínio de . Mais formalmente:
Definição: (gráfico de uma função de duas variáveis) Dada uma função: de duas variáveis, o gráfico de é o subconjunto do espaço euclidiano tridimensional definido por 
Por exemplo, o ponto (1,1, 2) é um ponto do gráfico de f e o seu desenho é dado na figura ao lado. 
Outros pontos de que também pertencem ao gráfico de são (0,0,0), (0,1,1), (1-1,2) e (, 1). Observe as figuras abaixo o esboço do gráfico da função O primeiro gráfico ainda em construção e o segundo gráfico gerado por computador.
A representação gráfica de funções reais de duas variáveis gera superfícies no R³. Em geral, essa representação pode se tornar bastante complexa sem o auxílio de uma ferramenta computacional.
Definições
Função de Duas Variáveis
Uma função real f de duas variáveis é uma relação que a cada par ordenado de números reais (x, y) associa um único número real f(x, y).
Função de Três Variáveis
Uma função real f de três variáveis é uma relação que a cada terna ordenada de números reais (x, y, z) associa um único número real f(x, y, z).
Função de n Variáveis
Uma função real f de n variáveis é uma relação que a cada n-upla ordenada de números reais (x1, x2, ...,xn) associa um único número real f (x1, x2, ..., xn).
Observação: Como o gráfico é um subconjunto do e no papel podemos representar até o     então podemos desenhar o gráfico de funções de no máximo duas variáveis, isto é,   . 
Domínio, contra-domínio e Imagem 
Definição: Domínio é o conjunto D; ou seja, é a região do R² formada, pelos pares x,y para os quais a função resulta um número real; Contra-domínio é o conjunto de “chegada”, normalmente é o próprio conjunto dos reais; Imagem é o conjunto dos números reais possíveis de serem obtidos pela função (A imagem da função dependendo do caso é o próprio contradomínio, ou então é um subconjunto seu).
Ao desenhar o gráfico de uma função de x e y, lembre-se de que, embora o gráfico seja tridimensional, o domínio da função é bidimensional, ou seja, é construído por todos os pontos (x, y) para os quais um valor da função pode ser calculado. Em outras palavras, a cada ponto (x,y) do domínio de f corresponde um ponto (x, y, z) de uma superfície, e a cada ponto (x, y, z) dessa superfície corresponde um ponto (x, y) do domínio de f.
Exemplo Resolvido: Determine o domínio e o contradomínio da função f (x, y ) = 
Solução: O domínio de f é o conjunto {(x, y) IR2 / x²+y² < 64} (o radicando não deve ser negativo). Assim, o domínio é o conjunto de todos os pontos que pertencem à região limitada pela circunferência x² + y² = 8². O Contradomínio de f é o intervalo 0 < z < 8, como mostra a figura:
	
Exemplos (de valores de função de várias variáveis)
Determine os valores das funções dadas nos pontos indicados:
Ex.:1- se f(x,y) = x2 + 2y , então calcule f(2,3);
Ex.: 2- z = f(x,y) = (3x+y3)1/2, calcule f(1,2) 
Ex.: 3 – w = f(x,y, z) = ex (y+z) no ponto (0, -1, 4) 
Ex.: 4 – Seja a função dada f(x,y) = x2 + y2 (duas variáveis). Encontra:
f(1,2) b) f(0,0) c) f(-3,-4) d) Dom f e) Im f
Ex.: 5 – Seja a função dada por f(x,y) = f (x, y ) = . Determina:
 a) f(0,0) b) f(-1,-1) c) f(1,2) d) Dom f e) Im f
Ex.: 6 - Dada a função f(x,y) = , determine: 
f(1,0) b) Domínio da função c)Representação gráfica do domínio da função
Ex.: 7 - Dada a função f(x,y) = :
Calcule f(-3,7) b) Determine o domínio da função 
c) Faça a representação gráfica do domínio.
Exercícios
01) Determine e represente graficamente os domínios das seguintes funções:
a) f (x, y ) = b) f (x, y ) = 
c) f(x,y)= ln (x2- y + 1) d) f(x , y) = 
02) Determine o domínio de 
03) Seja a função: , calcule os valores da imagem para os pares de domínio: .
04) Encontre e represente graficamente o domínio das seguintes funções de duas variáveis:
a) b) c) 
Noção do domínio para função de três variáveis
	De maneira análoga às funções de duas variáveis, quando uma função real de três variáveis reais é dada por uma expressão analítica da forma w = f(x, y, z), convencionamos que o domínio dessa função é o maior subconjunto do espaço R³ para qual a expressão tem sentido.
Exemplo Resolvido: Considere a função de três variáveis definida pela expressão algébrica Não podemos calcular a função para qualquer escolha de x, y e z. Os pontos do domínio satisfazem a desigualdade 9 - x² - y² - z² > 0, isto é, x² + y² + z² < 9. Assim o domínio de f = {(x, y, z) IR3 / x²+y²+z² < 9}. Geometricamente, o domínio de f é a bola, isto é, a fronteira e o interior da esfera de centro na origem (0, 0, 0) e raio 3 (veja na figura). 
E o gráfico da função f? Uma vez que o domínio de f é um subconjunto de R³ e o contradomínio de f é R, o gráfico de f é um subconjunto de R4 e, portanto, ele não pode ser desenhado adequadamente em nosso mundo tridimensional.
	
Exercício 06) A função g está definida por w=g (x, y, z) = x³ - 4yz², ache:
g(1, 3 -2) b) g( -2a, -4b, 3c) c) g(x², y², z²) d) g(y, z, -x)
Nos exercícios de 7 a 10, ache o domínio de f e descreva a região R³ que seja o conjunto de pontos do domínio.
07) 08)09) 10) 
11) Dada a função de duas variáveis f(x,y) = ln (x² + y² - 4) o seu domínio é a região do plano XY:
Escolha uma:
a. Todo o plano XY.
b. Interior à circunferência de centro (0, 0) e raio 2.
c. Exterior à circunferência de centro (0, 0) e raio 4.
d. Exterior à circunferência de centro (0, 0) e raio 2.
e. N.D.A
	
12) O montante final M resultado de um capital C aplicado durante n meses, com uma taxa de juros de r % ao mês é dado por M = C(1 + r/100)n , ou seja, M depende, é função das variáveis C, r e n. Assim escrevemos: M = f(C, r, n). Calcule o valor do montante se o capital aplicado foi de R$ 5.000,00 a uma taxa de 2% ao mês durante três anos.
13) Encontrar uma função de várias variáveis que nos dê :
a) O comprimento de uma escada apoiada como na figura:
b) O volume de água necessário para encher uma piscina redonda de x metros de raio e y metros de altura.
c) A quantidade de rodapé, em metros, necessária para se colocar numa sala retangular de largura a e comprimento b. 
d) A quantidade, em metros quadrados, de papel de parede necessária para revestir as paredes laterais de um quarto retangular de x metros de largura y metros de comprimento, se a altura do quarto é z metros. 
e) O volume de um paralelepípedo retângulo de dimensões x, y e z.
14) Uma empresa vende dois tipos de produtos, A e B. O preço unitário do produto A é R$ 3,00 e o preço unitário de B é R$ 4,00. A empresa vende x unidades de A e y unidades de B. 
a) Escreva uma expressão matemática para a receita dessa empresa. 
b) Qual é a receita dessa empresa se forem vendidos 5 unidades do produto A e 2 unidades do produto B?
2 - Limite de Funções de Duas ou Mais Variáveis 
O limite da função f(x,y), quando (x,y) tende para um valor (x0,y0), é o número L (se existir) e é representado por:
Se o limite existir (resultar em um valor finito e real) no ponto (x0, y0), dizemos que a função é contínua neste ponto. Caso contrário a função será descontínua no ponto. O mesmo é válido para um intervalo, isto é, a função é contínua num intervalo quando o limite existe em todos seus pontos desse intervalo. Em geral é fácil verificar a continuidade das funções, por simples inspeção da mesma.
Nas funções abaixo o limite existirá sempre, com exceção nas restrições.
	
	
	
Limite – Conceito – Funções de várias variáveis
O conceito de limite de funções de uma variável pode ser estendido para funções de várias variáveis. Assim, diz-se que f(x,y) tende para um valor definido L (ou que lim f(x,y) = L), quando o par (x,y) se aproxima de (xo,yo), se quanto mais perto (x,y) estiver de (xo,yo), mais perto f(x,y) estará de L. 
	
	
Propriedades dos Limites
Exemplos: Calcule o limite dado usando os teoremas do limite
1) 
		 
Exercícios
Nos Exercícios de 1 a 15, calcule o limite dado, usando os teoremas do limite.
1) 2) 3) 
4) 5) 6) 
7) 8) 9) 
10) 	 11) 12) 
13) 	 14) 15) 
3 - Limite e Continuidade 
Nesta aula apresentaremos as noções básicas sobre limites que serão necessárias para a formulação dos conceitos de continuidade, diferenciabilidade e integrabilidade de uma função real de várias variáveis reais. Com o objetivo de tornar o texto mais leve, algumas demonstrações serão omitidas.
Para motivar o que será desenvolvido, vamos considerar a função f (x, y) = definida para (x,y) (0,0) . Não podemos fazer o uso da substituição direta neste caso, pois o comportamento da função na origem (0,0) produz a indeterminação . 
Tente levantar a indeterminação neste caso. O que você conclui? O que fazer neste caso?
 x 
tende para
 
aPara funções reais de uma variável, a aproximação de a é feita por valores à esquerda ou à direita de , e só existe, se existirem e forem iguais os limites laterais, ou seja, . 
x
y
 
(x,y) tende para
 (a,b)
No caso de funções de duas ou mais variáveis, a situação é mais complicada, pois a aproximação, neste caso de a , pode ser feita seguindo uma infinidade de diferentes trajetórias, como se pode observar pela figura ao lado:
Neste caso, o valor do limite de f (x, y) em (0, 0) depende do caminho que conduz o ponto (x, y) à origem. 
Se existir, aproxima-se de L, independentemente da forma como se aproxima de . Podemos assim concluir a não existência deste limite, se estudarmos os limites direcionais. Neste sentido, surge a “regra dos dois caminhos”: Se dois caminhos diferentes para um ponto resulta em dois limites diferentes, então não existe.
Observação: Esta regra só prova a não existência de limite.
Exemplo 1: Prove que o limite da função com quando não existe.
Exemplo 2: Dada , prove que 
Exemplo 3: Prove que para a função dada, não existe: .
Exercícios
Nos exercícios de 1 a 15, prove para a função dada, não existe.
1) 2) 3) 
4) 5) 6) 
7) 8) 9) 
10) 11) 12) 
13) 14) 15) 
 16) Prove que o limite da função quando não existe.
Nos exercícios de 17 a 20, prove para a função dada, não existe.
17) 18) 
19) 20) 
4 - Calculando Limites por Meio das Coordenadas Polares
Na aula anterior aprendemos a provar a não existência de limite pela “Regra dos dois caminhos”, E quando o limite existir? Calculando e encontrando o mesmo valor para o limite por vários caminhos prova a existência do limite no ponto dado?
Para provar que o limite existe deve-se observar se a função dada tem termos, em que alguns vão para o infinitésimo (que é infinitamente pequeno (tende a zero)) e termos que uma função limitada.
Exemplo1: Determinar se o seguinte limite existe: 
	Existem algumas “classes” de funções, para as quais o cálculo de limites pode ser feito por meio de mudança de variáveis por coordenadas polares, essa forma torna a análise da existência de limite menos complexa do que a análise de função tendendo a zero por função limitada.
 Coordenadas Polares
	 Dado um ponto P do plano, utilizando coordenadas cartesianas (retangulares), descrevemos sua localização no plano escrevendo P = (x,y) onde x é a projeção de P no eixo x e y, a projeção no eixo y. Podemos também descrever a localização de P, a partir da distância de P à origem O do sistema, e do ângulo formado pelo eixo x e o segmento OP, caso PO. Denotamos P = (r,) onde r é a distância de P a O e o ângulo tomado no sentido anti–horário, da parte positiva do eixo Ox ao segmento OP, caso PO. Se P = O, denotamos P = (0, ), para qualquer . Esta maneira representar o plano é chamada Sistema de Coordenadas Polares.
Observação: O limite só vai existir se a “resposta” não depender de . Consequentemente se a resposta depender do valor do ângulo , então o limite não existe.
Observação: Quando se utiliza coordenadas polares para determinar o limite. Se (r,) são as coordenadas polares, o ponto (x,y) com r > 0, note que r0+ quando (x,y) (0,0).
Vantagens do cálculo de limite na forma polar:
Facilidade em reconhecer um limite que não existe;
Rápida identificação de uma função limitada;
Exemplo 2: Mostre que 
Exemplo 3: Verifique se o limite da função existe, quando (x,y) tende à origem.
Exercícios
Nos exercícios 1 a 4, prove que existe.
1) 2) 
 3) 4) 
Nos exercícios 5 a 12, determine se o limite existe.
5) 6) 
7)8) 
9) 10) 
11) 12) 
Em cada exercícios de 13 a 18, calcule L, o limite, quando existir. Caso contrário, justifique (prove que o limite não existe).
13) 14) 
15) 16) 
17) 	 18) 
19) Mostre que 
5 - Derivadas parciais
Já vimos que a derivada é o coeficiente de inclinação da reta tangente ao gráfico da função f(x) em um ponto dado e que ela é associada à ideia de taxa de variação. Agora, faz sentido perguntar como poderíamos calcular a derivada de uma função com duas – ou mais – variáveis. A resposta à nossa pergunta surge na forma de derivadas parciais.
Em uma função de duas variáveis f(x, y), a princípio temos um “problema” porque ambas as variáveis variam ao mesmo tempo e, dessa forma, não sabemos como calcular a derivada. Uma estratégia interessante para contornar esse “problema” seria calcularmos a taxa de variação de uma delas enquanto a outra permanece fixa.
Por exemplo: considere a fórmula da área de um retângulo escrita como uma função A(x, y) = xy, onde x é o comprimento e y é a altura. Desta forma, um matemático poderia estudar a taxa de variação do comprimento se a altura for mantida fixa ou na taxa de variação da altura se o comprimento não variar. Em outras palavras, vamos supor que, no primeiro caso, a altura seja mantida fixa em y =5 unidades de comprimento. Dessa forma, temos que A(x, 5) é uma função de apenas uma variável e, portanto, podemos calcular a derivada d/dx A(x, 5) normalmente como fazíamos até agora.
De uma forma mais geral, se f(x, y) é uma função diferenciável e (x0, y0) for um ponto no domínio dessa função, a derivada parcial de f em relação a x é a derivada em (x0, y0) é a derivada em x0 da função que resulta quando y = y0 e permitimos que x varie. Nós denotamos essa derivada por ƒx(x0, y0) e a calculamos através do limite:
Uma definição análoga pode ser feita para a variável y com as devidas modificações. Em outras palavras, para calcularmos a derivada parcial de uma função com duas (ou mais) variáveis, devemos escolher uma das variáveis para calcularmos a derivada e tratarmos as demais como se fossem constantes.
Para encontrar as derivadas parciais primeira ordem de uma função de duas variáveis f(x,y) ,por exemplo, primeiro derivamos em relação a x (considerando y uma constante), e depois derivamos em relação a y (considerando x uma constante). 
Notação: Derivada parcial de f(x,y) em relação a x : 
 Derivada parcial de F(x,y) em relação a y : 
Exemplo 1) Determine e para a função z= 3x-x²y²+2x³y.
Exemplos 2) Determine as derivadas parciais de primeira ordem em relação a x e em relação a y.
a) b)
c) d)
e) f)
Exemplo 3): Determine as derivadas parciais de primeira ordem em relação a x em relação a y e em relação a z da função:
Exercícios
Calcule as derivadas parciais das funções dadas nos exercícios 1 a 22.
01) 02) 03) 
04) 05) 06) 
07) 08) 09) 
10) 11) 12) 
13) 14) 15) 
16) 17) 
18) 
19) 20) 21) 
22) 
23) Calcule as derivadas parciais de .
24) Mostre que se então, + 
25) Determine as derivadas parciais de primeira ordem de 
Regras de Derivação
	A derivada pode ser interpretada Geométrica- mente como a inclinação de uma curva e, fisicamente, como uma taxa de variação. Como derivadas podem ser usadas para representar  tudo, desde a variação de taxas de juros até taxas em que peixes morrem e moléculas de gás se movimentam, elas têm implicações em todas as ciências.
 
Definição de derivada:
f’(x0) = limh0 f(x0+h) – f(x0)
Notações utilizadas na operação de derivação
Dx f(x) = d/dx(f(x)) = f'(x)
Onde u(x) e v(x) são funções deriváveis de x.
 
Grupo I
1. A derivada de uma constante é zero.
   (c)’ = 0
2. A derivada de x em relação a x é um.
   (x)’ = 1
3. As constantes de ser colocadas para o lado
de fora do sinal de derivação.
   (a.u)’ = a.u’
4. Derivada da potência.
   (un)’ = n un-1. u’
5. A derivada da soma (subtração) é igual a
soma (subtração) das derivadas.
   (u + v)’ = u’ + v’
6. Derivada do produto.
   (u.v)’ = u’ . v + u.v’
   (r.s.t...z)' = r'.s.t...z + r.s'.t...z +...+ r.s.t...z'
7. Derivada da divisão.
   (u/v)’ = (u’.v – u.v’) / v2
 
Grupo II
8. ( eu )’ = eu.u'
9. (ln u)’ = u' / u
10. (sen u)’ = cos u.u’
11. (cos u)’ = - sen u.u’
12. (tan u)’ = sec2u.u’
	Grupo III
13. (au)’ = au . ln a . u’
14. (loga u)’ = u’(x) / u ln a
15. (cot u)’ = - csc2 u u’
16. (sec u)’ = sec u tan u u’
17. (csc u)’ = - csc u cot u u’
18. (sen-1u)’ = u’ / (1- u2 )1/2
19. (cos-1u)’ = - u’ / (1 - u)2 )1/2
20. (tan-1u)’ = u’ / (1 + u2 )
21. (cot-1u)’ = - u’ / (1 + u2)
22. (sec-1u)’ = u’ / |u|.(u2 – 1)1/2
23. (csc-1u)’ = - u’ / |u|.(f(x)2 – 1)1/2
 
Grupo IV - Hiperbólicas
24. (senh u)’ = cosh u.u'
25. (cosh u)’ = senh u.u'
26. (tanh u)’ = sech2u.u'
27. (coth u)’ = - csch2 u . u’
28. (sech u)’ = - sech u tanh u . u’
29. (csch u)’ = - csch u coth u . u’
30. (senh-1u)’ = u’ / (1 + u2 )1/2
31. (cosh-1u)’ = u’ / (u2 -1)1/2
32. (tanh-1u)’ = u’ / (1- u2 )
33. (coth u)’ = - u’ / (u2 -1)
34. Dx |u| = ( u Dx u) ) / |u|
 
Complementos:
 
A. Regra da cadeia. A derivada de g(u(x)) é a
derivada da função externa calculada na função
interna, vezes a derivada da função interna.
Dxv(u(x)) = Duv(u).Dxu(x)
 
B. (uv)' = v.uv-1.u' + uv. Ln u . v'