Transformações Lineares 1

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Transformações Lineares 1
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8.1 Introdução
8.2 Transformações matriciais
8.3 Transformações lineares
8.4 Imagem de uma transformação linear
8.5 Núcleo de uma transformação linear
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OBJETIVOS: 
01_Definir os conceitos de transformação matricial e linear. 
02_Apresentar vários exemplos de transformação lineares. 
03_Compreender satisfatoriamente os principais resultados relacionados aos espaços vetoriais e 
as transformações lineares. 
8.1 INTRODUÇÃO
Um dos conceitos centrais na Matemática é o de função. De modo geral, usa-se os termos função, 
aplicação e transformação como sinônimos.
Uma função é uma associação entre dois conjuntos A e B, envolvendo todos os elementos de A, 
mas não necessariamente todos os elementos de B, e que associa cada elemento de A à somente 
um elemento de B. Esta maneira de ver uma função somente como uma associação é uma visão 
essencialmente estática.
Uma outra maneira de ver o mesmo conceito, porém mais dinâmica, é que uma função é uma 
transformação (um operador), que leva elementos do conjunto A em elementos do conjunto B, 
ou seja, transforma (opera) elementos de A em elementos de B.
Na Álgebra Linear, usa-se mais o termo transformação do que função, especialmente no caso das 
transformações lineares, que definiremos nesta unidade. Em resumo, uma transformação de um 
espaço vetorial V em um espaço vetorial W é simplesmente um função de V em W.
Como observamos são de interesse especial as transformações lineares. Começaremos definindo 
transformações matriciais e depois as lineares. Veremos que para transformações de Rn em Rm , 
os dois conceitos são equivalentes.
8.2 TRANSFORMAÇÕES MATRICIAIS
Uma transformação matricial é uma função dada por T(x) = Ax, onde A é uma matriz. Mais pre-
cisamente, seja A uma matriz m x n. Então, a aplicação T : Rn → Rm , dada por x → Ax, que é uma 
transformação matricial.
 
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Exemplo:
Seja: 
 
então A induz a transformação matricial T : R³ → R² , dada por x → Ax. Por exemplo, se 
 
, 
então: 
 
 
Em geral, se , então: 
 
Esse último formato de solução será muito comum de aparecer nas solução dos problemas de 
transformações lineares. E apenas como ilustração, vamos prosseguir avaliando uma matriz Am x n 
associada a uma transformação linear TA : Rn → Rm , cuja regra é obtida como TA(v) = A • v , onde v é 
tomado com um vetor coluna.
Um caso simples pode ser analisado considerando a matriz: 
 
e a transformação linear dada por TA : R² → R3, tal que: 
 
Logo a regra da transformação TA(x, y, z) = (4x - 2y, x + 7y, 3x) .
8.3 TRANSFORMAÇÕES LINEARES
De certa forma já temos em mãos tudo o que precisamos para trabalhar com espaços vetoriais 
A =
2
1
1
2
3
0
x =
1
-1
2
Ax =
2
1
1
2
3
0 •
1
-1
2
= 7
-1
x =
x1
x2
x3
A =
4
1
3
-2
7
0
•
x1
x2
x3
=
2x1
x1
x2
2x3
3x3+
+
+
TA(x, y, z) =
4
1
3
-2
7
0
• [x y] =
4x
x
3x
2y
7y
-
+
Ax =
2
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3
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reais. Acreditamos, a essa altura, que o leitor já esteja familiarizado com o conceito de funções, 
principalmente com aquelas que estão defi nidas em um subconjunto dos números reais e cujo 
contradomínio seja, eventualmente, um outro subconjunto dos números reais.
As funções naturais no contexto dos espaços vetoriais, chamadas de transformações lineares, for-
mam uma classe muito especial de funções que têm aplicações na Física, nas Engenharias e em 
vários ramos da Matemática.
Estamos interessados nas funções cujos domínios e contradomínios são espaços vetoriais e que, 
além disso, preservam as operações de adição de vetores e de multiplicação de um vetor por um 
escalar. Isto é o conteúdo da defi nição a seguir.
 
TRANSFORMAÇÃO LINEAR 
Sejam V e W espaços vetoriais. Uma transformação linear de V em W é uma função T : V → W que 
possui as seguintes propriedades: 
01_T(v1 + v2) = T(v1) + T(v2) , para quaisquer v1 e v2 em V; 
02_T( v) = T(v), para quaisquer v em V e em R. 
Os itens (1) e (2) da defi nição são equivalentes à seguinte afi rmação matemática: 
T(v1 + v2) = T(v1) + T(v2)
 
para quaisquer v1 e v2 em V e para qualquer Є R.
Em outras palavras, podemos dizer que uma transformação é linear quando preserva a soma de 
vetores e o produto de vetores por escalares. São estas caracterizações das transformações line-
ares que utilizaremos, por ser mais prática, para mostrar que determinada função entre espaços 
vetoriais é uma transformação linear.
Preservar a soma de vetores quer dizer que se somarmos os vetores primeiro (u + v) e, em segui-
da, aplicarmos T, obtendo T(u + v), o resultado é o mesmo que aplicarmos T aos vetores e depois 
somarmos os resultados (Tu + Tv), isto é T(u + v) = Tu + Tv.
Se A é uma matriz, u e v são vetores no domínio de T = Ax e c é um escalar, então, a propriedade 
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A(u + v) = Au + Av mostra que T preserva a soma de matrizes e a propriedade A(cu) = cA(u) mostra 
que T preserva o produto por escalar. Portanto, toda transformação matricial é linear.
Por outro lado, nem toda transformação linear de espaços vetoriais é matricial. Veremos um 
exemplo deste tipo a seguir. Porém, transformações lineares de Rn em Rm são sempre matriciais.
Vejamos, a seguir, alguns exemplos.
 
Exemplo
Diante da defi nição apresentada acima, avalie que a transformação T : R² → R³, defi nida por T(x, y) 
= (3x, -2y, x - y) , é linear. 
Solução: 
01_Vamos avaliar u = (x1 , y1) e v = (x2 , y2) como vetores genéricos de R². Então:
T (u + v) = T(x1 + x2 , y1 + y2) = (3 (x1 + x2) , - 2(y1 + y2) , (x1 + x2) - (y1 + y2))
= (3x1 + 3x2, - 2y1 - 2y2, x1 + x2 - y1 - y2)
= (3x1, -2y1 , x1 - y1) + (3x2 , -2y2 ,x2 - y2) = T(u) + T(v)
02_Para todo Є R e para todo u = (x1 , y1) Є R², tem-se: 
T( u) = (3 x1 , -2 y1 , x1 - y1) = (3x1 , -2y1 , x1 - y1) = T(u)
E isso encerra a nossa demonstração. 
 
Exemplo
A transformação T : V → W dada por T(x)) • w é linear. Esta transformação, chamada de transforma-
ção nula, leva todo vetor de V no vetor nulo de W. 
 
Exemplo
Seja V um espaço vetorial qualquer, a transformação T : V → V dada por T(u) = u é linear. Esta 
transformação é chamada identidade. Se V = Rn, então a transformação linear dada pela matriz In, 
identidade de ordem n, é a transformação identidade Rn . 
 
Exemplo
Seja r Є R. Mostre que a transformação T : Rn → Rn dada por T(x) = rx é uma transformação linear. 
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Solução:Sejam u, v Є Rn e c, d escalares. Então: 
T(cu + dv) = r(cu + dv) = rcu + rdv = c(ru) + d(rv) = cT(u) + dT(v)
 
Portanto, T é uma tranformação linear. 
Se r = 0, então temos a transformação nula. Se r = 1, temos a transformação identidade. 
Se 0 ≤ r 1, então dizemos que T é uma dilatação. 
A Figura mostra a dilatação T(x) = 2x.
 
 
Imagem: Dilatação T(x) = 2x
 
Exemplo:
A transformação T : R² → R² dada por T(x) = x + (1, 0) não é linear. Para ver isto, basta notar que ela 
não leva o vetor nula no vetor nulo. Esta é uma translação de vetores no R².
 
8.4 IMAGEM DE UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR
Seja T : V → W uma transformação linear. Chamamos de imagem desta transformação linear e 
representamos por Im(T) ou T(V), ao conjunto: 
Im(T) = T(V) = {w Є W : v Є V/T(v) = w} 
 
OBSERVAÇÕES: 
01_Im(T) W ; 
02_0 Є Im(T), pois sabemos que T(0) = 0; 
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03_Im(T)é um subespaço vetorial de W, isto é; 
 A) w1, w2 Є Im(T) → w1 + w2 Є Im(T) ; 
 B) k Є R, w Є Im(T) → k ∙ w Є Im(T). 
8.5 NÚCLEO DE UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR
O núcleo e a imagem de uma transformação linear são dois subespaços de seu domínio e de seu 
contradomínio, respectivamente, que nos fornecem informações valiosas sobre a transformação. 
Há uma relação importante entre as dimensões do domínio, do núcleo e da imagem de uma 
transformação linear, que apresentaremos nesta seção e que possui muitas aplicações.
 
NÚCLEO 
Chama-se núcleo de uma transformação linear T : V → W ao conjunto de todos os vetores v Є V que 
são transformados em 0 Є W. Indica-se esse conjunto por N(T) ou ker(T), tal que: 
N (T) = {v Є V | T(v) = 0 Є W}
 
Note que o núcleo N(T), ou kernel ker(T) é um subconjunto não vazio de V, já que T(0) = 0. Mais 
ainda, ker(T) é um subespaço de V. De fato, se v1, v2 Є ker(T) e se α Є R, então v1 + v2 Є ker(T), pois: 
T(v1 + v2) = T(v1) + T(v2)
 
Vamos analisar o caso em que, dada a transformação linear T : R³ → R³, tal que T(x, y, z) = (x, 2y, 0) 
, desejássemos encontrar, por exemplo, a imagem desta transformação linear, bem como o seu 
núcleo. Para a primeira parte teríamos: 
T(x, y, z) = (x, 2y, 0) = x(1, 0, 0)+ y(0, 2, 0) = [(1, 0, 0) , (0, 2, 0)]
e, portanto, a imagem Im(T) = [(1, 0, 0), (0, 2, 0) .
Na segunda parte do problema, precisamos notar que: 
T(x, y, z) = (x, 2y, 0) = (0, 0, 0) →
 
x = 0
2y = 0 →
0 = 0{ x = 0
y = 0 
z Є R{
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Logo, ker(T) = {(0, 0, z)}, z Є R. A Figura ilustra geometricamente a solução encontrada.
 
 
Imagem: Projeção da transformação linear estudada.
O seguinte exemplo ilustra o fato de que a determinação do núcleo de uma transformação linear, 
entre espaços vetoriais de dimensão finita, recai na determinação do conjunto solução de um 
sistema de equações lineares homogêneo.
 
Exemplo:
Seja T : R4 → R³ a transformação linear definida por: 
 
T(x, y, s, t) = (x - y + s + t, x + 2s - t, x + y + 3s -3t) 
Determine ker(T) . 
Solução: 
Para determinarmos ker(T), devemos obter o conjunto de vetores (x, y, s, t) em R4 tais que: 
T(x, y, s, t) = (x - y + s + t, x + 2s - t, x + y + 3s - 3t) =(0, 0, 0)
Equivalentemente, ker(T) é o conjunto solução do seguinte sistema linear homogêneo: 
 
x - y + s + t = 0
x + 2s - t = 0 
x + y + 3s - 3t = 0{
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Resolvendo o sistema acima, obtemos: 
ker(T) = {( -2s + t, -2 + 2t, s, t) s, t Є R}
Note que ker(T) é um subespaço vetorial de R4 de dimensão 2. 
A Figura (1.3) nos permite uma interpretação geométrica sobre o entendimento do núcleo de 
uma transformação linear. 
Observe que N(T) nunca é vazio pois contém, ao menos, o vetor nulo do espaço domínio. Ou-
tra consideração importante que podemos fazer é interpretar essa mudança matemática como 
uma transformação geométrica de um sistema para o outros. Ou seja, as transformações lineares 
podem descrever vários tipos de mudanças geométricas, como: rotação, cisalhamento, reflexão, 
além de outras deformações no plano ou no espaço.
Assim, a imagem de T é constituída dos vetores de W que são imagem de pelo menos um vetor 
de V, através da aplicação de T.
 
 Imagem: Interpretação geométrica de uma transformação linear.
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RESUMO:
Nesta unidade estudamos um dos conceitos fundamentais da Álgebra Line-
ar, que é o de Transformação Linear. 
Vimos, inicialmente, as transformações matriciais. Em seguida, definimos 
transformações lineares. Na sequência, abordamos inúmeros exemplos para 
maior aprendizado e entendimento. 
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REFERÊNCIA:
BIBLIOGRAFIA BASE
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BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR
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MURDOCK, David D. Geometria Analítica - 2ª edição. Rio de Janeiro: LCT Edi-
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BOLDRINI, José Luiz; COSTA, Sueli I. Rodrigues; FIGUEIREDO, Vera Lucia; 
WETZLER, Henry G. Álgebra Linear - 3ª edição. São Paulo: Harper e How do 
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