Momento Linear e Angular

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FÍSICA I 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Olá! 
A velocidade é uma das grandezas mais estudadas em física, e outras tantas 
surgiram a partir dela. É o que acontece com o momento linear, por exemplo, que 
é o produto da massa pela velocidade de um corpo. O momento linear também 
pode ser chamado de quantidade de movimento ou, ainda, de momentum. 
O momento angular, também chamado de quantidade de movimento 
angular, é uma grandeza vetorial associada a um sistema em rotação — uma 
massa pontual, um sistema de partículas ou um corpo rígido. Ele fornece uma 
medida da quantidade de movimento rotacional associada a esse sistema com 
relação a um eixo particular de rotação ou a uma origem particular. 
O estudo do momento angular é de grande relevância, haja vista que essa 
grandeza fornece a base estrutural para se definir, por exemplo, a segunda lei de 
Newton para rotações. Além disso, o momento angular possui implicações no 
estudo físico de corpos celestes, como estrelas, planetas e satélites naturais que 
rotacionam pelo espaço, e na mecânica quântica, em que partículas como prótons 
e elétrons possuem um momento angular quantizado. Por conseguinte, o momento 
angular e as suas implicações estão presentes em todas as escalas de grandeza 
em que a física possui campo de estudo. 
Bons estudos! 
 
AULA 5 – MOMENTO 
LINEAR E ÂNGULAR 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nesta aula, você vai conferir os contextos conceituais da psicologia entenderá 
como ela alcançou o seu estatuto de cientificidade. Além disso, terá a oportunidade 
de conhecer as três grandes doutrinas da psicologia, behaviorismo, psicanálise e 
Gestalt, e as áreas de atuação do psicólogo. 
 Compreender o conceito de psicologia 
 Identificar as diferentes áreas de atuação da psicologia 
 Conhecer as áreas de atuação do psicólogo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nesta aula, você verá o que é momento linear e impulso e como aplicá-los no 
seu dia a dia. Além disso você vai aprender sobre o momento angular, verificando 
suas principais características e as principais equações que definem o momento 
angular para uma partícula independente. Por fim, você vai aprender a determinar o 
momento angular para um sistema de partículas e para um corpo rígido. 
Ao final deste desta aula, você será capaz de: 
 Definir momento linear e impulso; 
 Reconhecer os fundamentos do momento linear e impulso; 
 Aplicar esses conceitos em algumas situações básicas do cotidiano; 
 Discutir as características do momento angular; 
 Identificar as equações que definem o momentoangular; 
 Diferenciar os casos particulares do momento angular. 
 
 
 
5 MOMENTO LINEAR E ANGULAR 
5.1 Quantidade de movimento (momento) linear 
Para introduzirmos o conceito de quantidade de movimento linear, também 
denominado momento linear, vamos considerar dois jogos que envolvem bolas de 
massas completamente diferentes, como tênis e boliche. 
Em treinamentos de jogadores de tênis profissionais e amadores, é comum que 
sejam utilizados canhões de lançamento de bolas de tênis. Essas máquinas são 
capazes de lançar uma bola a uma velocidade que gira em torno de 25 km/. Em um 
jogo de boliche, embora as velocidades da bola não sejam tão grandes quanto no 
tênis, a bola tem uma massa que pode passar dos 7 kg, um valor mais expressivo que 
os cerca de 60 gramas da massa máxima que uma bola de tênis profissional pode ter. 
Em qualquer uma das situações anteriores, não é uma boa ideia ficar na linha 
da trajetória da bola, pois podemos nos machucar. Com isso em mente, podemos nos 
fazer a seguinte pergunta: existe alguma grandeza física carregada pelos corpos em 
ambas as situações que sejam comuns a eles? 
A resposta para essa pergunta é sim. A razão pela qual não é uma boa ideia 
estar na trajetória tanto da bola de tênis quanto da bola de boliche é elas portarem 
grande quantidade de movimento linear. Matematicamente, a quantidade de 
movimento é um vetor definido pelo produto da massa e da velocidade do corpo: 
 �⃗� = 𝑚�⃗� (1) 
De modo a unidade de medida para o momento angular é kg m/s. 
O momento linear, definido em (1), é uma grandeza muito importante na física, 
pois auxilia na descrição da dinâmica de partículas, sistemas de partículas e corpos 
rígidos, sendo particularmente útil no estudo de colisões. A sua importância é tal que 
a equação do movimento pode ser escrita em termos dela. Lembrando que, �⃗� =
𝑑�⃗⃗�
𝑑𝑡
, 
a segunda lei de Newton, pode ser escrita como: 
 �⃗�𝑅 = 𝑚
𝑑�⃗⃗�
𝑑𝑡
 (2) 
 
 
Sendo a massa uma quantidade constante, podemos escrever a segunda lei 
em termos do momento linear: 
 �⃗�𝑅 =
𝑑(𝑚�⃗⃗�)
𝑑𝑡
= 
𝑑�⃗�
𝑑𝑡
 (3) 
Embora tenhamos adotado o caminho inverso, a equação (3) é, na verdade, a 
forma mais geral da segunda lei de Newton, sendo válida inclusive para sistemas com 
massa variável. A expressão 𝐹 ⃗⃗⃗⃗ = 𝑚�⃗� é que é um caso particular de (3). 
Exemplo 1: No ano de 2004, o tenista Andy Roddick sacou uma bola a 246,2 km/h, 
quebrando o seu próprio recorde. Considerando que a massa da bola de tênis não 
pode ultrapassar 58,5g, estime a quantidade de movimento linear da bola. 
Solução: O primeiro passo aqui é converter a velocidade e a massa da bola de tênis 
(bt) para unidades do SI: 
𝑣𝑏𝑡 = 246,2
𝑘𝑚
ℎ
𝑥 (
1 ℎ
3600 𝑠
) 𝑥 (
1000 𝑚
1 𝑘𝑚
) = 68,39 𝑚/𝑠 
𝑚𝑏𝑡 = 58,5𝑔 𝑥 (
1 𝑘𝑔
1000 𝑔
) = 0,0585 𝑘𝑔 
Desse modo, a quantidade de movimento linear da bola de tênis é: 
𝑝 = 𝑚𝑏𝑡𝑣𝑏𝑡 = 3,71 𝑘𝑔 𝑥 𝑚/𝑠 
Exemplo 2: Uma partícula de 140 g move-se em um plano y-z, sobre a ação da sua 
força peso e da força �⃗⃗⃗�, como mostra a figura abaixo. Sabendo que o momento linear 
da partícula é expresso por �⃗⃗⃗� = 
𝟏
𝟐
(𝒕𝟐 + 𝟏)�̂� −
𝟏
𝟑
(𝒕𝟑 − 𝟑)𝒋 ̂ determine o módulo da força 
�⃗⃗⃗� que age sobre a bola no instante 3,00 s 
 
 
Solução: Para resolver esse problema, devemos utilizar a segunda lei de 
Newton: �⃗�𝑅 =
𝑑�⃗�
𝑑𝑡
 
Do lado esquerdo, a força resultante é dada por: �⃗�𝑅 = �⃗� + �⃗⃗⃗⃗� 
O módulo do vetor �⃗⃗⃗� é a incógnita a ser determinada. Para determinar o vetor 
peso, o primeiro passo é converter g para kg e determinar a força peso: 
𝑚 = 140 𝑔 𝑥 (
1 𝑘𝑔
1000 𝑔
) = 0,140 𝑘𝑔, assim: 
�⃗⃗⃗⃗� = 𝑚�⃗� = −(0,140) 𝑥 (9,81)𝑗̂ = −(1,373 𝑁)𝑗̂, logo: 
�⃗�𝑅 = �⃗� − (1,373 𝑁)𝑗 ̂ 
Do lado direito da equação, é necessário derivar o momento linear em relação 
ao tempo: 
𝑑�⃗�
𝑑𝑡
=
1
2
(2𝑡)𝑖̂ −
1
3
(3𝑡2)𝑗̂ = 𝑡𝑖̂ − 𝑡2𝑗̂, logo, pela segunda lei de Newton: 
�⃗� − (1,373 𝑁)𝑗̂ = 𝑡𝑖̂ − 𝑡2𝑗̂ ⇒ �⃗� = 𝑡𝑖̂ + (−𝑡2 + 1,373 𝑁)𝑗 ̂
Para um tempo de 3 segundos: 
�⃗� = (3,00)𝑖̂ + (−(3,00)2 + 1,373)𝑗̂ = 3,00𝑖̂ − 7,627𝑗 ̂
Agora é possível determinar o módulo do vetor: 
𝐹 = √(3,00)2 + (−7,627)2 = 8,20 𝑁 
5.2 Impulso 
Na seção anterior, foi definida a quantidade de movimento de uma partícula de 
massa m e velocidade �⃗� e foi demonstrada a sua relação direta com o vetor força 
resultante via segunda lei de Newton. Aqui, vamos novamente recorrer a uma situação 
prática para compreender o conceito de impulso e a sua relação com os vetores força 
e o momento linear. 
y 
 
 
Em uma partida de golfe, ao dar uma tacada, o taco exerce uma força na bola, 
que está inicialmente parada, de modo que passe a se movimentar descrevendo uma 
trajetória parabólica. Embora a sensação que fica na tacada é que ela ocorreu de 
maneira instantânea, na verdade o taco aplicou uma força sobre a bola durante um 
curto intervalo de tempo. Nessa situação, a bola acabou experimentando um impulso 
externo capaz de alterar a sua quantidadede movimento inicial, que era nula. 
Como o problema envolve uma força aplicada em certo intervalo de tempo, 
podemos utilizar (3) para encontrar uma expressão matemática para o impulso, 
reescrevendo-a na forma: 
 �⃗�𝑑𝑡 = 𝑑�⃗� (4) 
integrando (4) em ambos os lados da igualdade no intervalo de tempo 𝒕𝒊 até 𝒕𝒇: 
 ∫ �⃗�
𝑡𝑓
𝑡𝑖
𝑑𝑡 = ∫ 𝑑�⃗�
𝑝𝑓
𝑝𝑖
 (5) 
Sendo 𝑝𝑖 ≡ 𝑝(𝑡𝑖) e 𝑝𝑓 ≡ 𝑝(𝑡𝑓), a quantidade que aparece no lado esquerdo de 
(5) é o vetor impulso linear: 
 𝐼 = ∫ �⃗�
𝑡𝑓
𝑡𝑖
𝑑𝑡 (6) 
Resolvendo o lado direito de (5), obtemos que: 
 𝐼 = �⃗�𝑓 − �⃗�𝑖 = ∆�⃗� (7) 
Que é conhecido como princípio do impulso e quantidade de movimento linear, 
que não será abordado em detalhes nesta aula. Aqui, vamos nos restringir ao cálculo 
do impulso. 
Exemplo 3: Um carro de 1350 kg trafega a uma velocidade de 115,0 km/h sobre uma 
pista retilínea como mostra a figura a seguir: 
 
 
 
Sabendo que, nessas condições, a pista oferece uma força resistiva de 7200 N 
ao movimento do carro, determine o impulso após 8,0 segundos. 
Solução: O primeiro passo é desenhar o diagrama de forças (figura abaixo) para 
calcular a força resultante. 
 
𝐹𝑅 = 𝑚𝑔𝑠𝑒𝑛3° − 𝐹𝐴 = (1350)x (9,81)x 𝑠𝑒𝑛3° − 7200 
𝐹𝑅 = −6506,89 N 
Nesse caso, a força é constante, então: 
𝐼 = −6506,89 ∫ 𝑑𝑡
8,0
0
= −6506,89 𝑥 (8,0) = 52055,15 𝑁𝑠 = 52,06 𝑘𝑁𝑠 
O resultado final foi arredondado para três algarismos significativos devido à 
precisão das medidas apresentadas no problema. 
5.3 As características do momento angular 
O momento angular de um corpo é uma grandeza física que guarda grandes 
semelhanças com o momento linear, tanto em sua compreensão física como na 
estruturação matemática que o define. Podemos dizer, portanto, que o momento 
angular é o correspondente angular do momento linear. Ainda, podemos definir o 
momento angular como sendo a quantidade de movimento rotacional associado a um 
sistema físico. Para essa definição, o sistema físico considerado pode ser uma 
partícula independente (massa pontual), um conjunto de partículas ou ainda um corpo 
rígido. Dentro dessa definição, o momento angular, que desde já vamos associar às 
letras L ou l, necessita de três quantidades físicas para ser completamente definido, a 
saber: 
 
 
1. A massa m ou o momento de inércia I associado a um objeto; 
2. A velocidade linear v ou angular ω desse objeto ao redor de um eixo particular de 
rotação; 
3. A distância perpendicular r⊥ do objeto em relação ao eixo particular de rotação. 
Comparativamente ao momento linear, apenas a última quantidade não é 
requerida por este para sua definição. Desse modo, a escolha do eixo de rotação é 
uma das particularidades que fazem do momento angular uma grandeza física 
distinta. Perceba que a definição do momento angular associada à grandeza r⊥, no 
item (3), abre margem para duas possibilidades: 
a) Um objeto se movendo em uma linha reta pode ser dotado de momento angular, 
desde que a escolha do eixo de rotação seja conveniente; 
b) Um objeto pode possuir momento angular em relação a um eixo, mas não possuir 
momento angular em relação a outro eixo. 
Outra característica associada ao momento angular que difere do momento 
linear é a sua classificação. O momento angular é classificado em momento angular 
orbital e de spin. O planeta Terra possui esses dois tipos de momento angular. O 
momento angular orbital se refere à orbita da Terra ao redor do Sol, enquanto o 
momento angular de spin se refere à rotação da Terra ao redor do próprio eixo. 
Outra importante característica associada ao momento angular é a sua 
natureza vetorial. Nesse aspecto, o momento angular também é similar ao momento 
linear, entretanto, difere deste com relação à orientação vetorial. O vetor momento 
linear possui a mesma direção e o mesmo sentido do movimento do objeto que está 
sendo associado, haja vista que é definido em termos do produto da massa pela 
velocidade do objeto. 
Sendo a massa uma grandeza física de natureza escalar, ela não é capaz de 
alterar a orientação do vetor velocidade, o qual fornece a orientação para o vetor 
momento linear. Já o momento angular de um corpo, como veremos mais adiante em 
detalhes, é definido como o produto entre a distância perpendicular ao eixo de rotação, 
r⊥, pelo momento linear p associado ao corpo. Assim, temos um produto entre duas 
quantidades vetoriais, com orientações distintas. 
A partir do produto entre os vetores r⊥ e p, a direção assumida pelo momento 
angular será axial – isto é, ao longo do eixo de referência escolhido. No entanto, como 
 
 
um eixo possui dois sentidos, é necessário especificar qual é o sentido positivo e qual 
é o sentido negativo. Dessa forma, a convenção geral é obtida adotando-se a 
chamada regra da mão direita, como representado na Figura 1. 
Figura 1 - (a) Corpo de massa m e momento linear p rotacionando no plano xy ao 
redor do eixo z, com velocidade angular ω, a uma distância perpendicular r⊥ = r do 
eixo z. (b) Regra da mão direita especificando a direção e o sentido (positivo) do 
momento angular L 
Fonte: (a) Imagem do autor. (b) Bauer, Wesfall e Dias (2013, p. 337). 
No caso de o movimento executado por um corpo ser circular e ocorrer no plano 
xy, uma escolha conveniente para o eixo de rotação é uma linha perpendicular ao 
plano do movimento passando pelo centro do círculo — eixo z, portanto. Nesse caso 
particular, o momento angular terá a direção do eixo z e o sentido positivo se o 
movimento for anti-horário e negativo se o movimento for horário, como representado 
pela regra da mão direita. Por essa regra, a direção do momento angular de spin da 
Terra é aquela através do eixo que passa pelos polos norte e sul geográficos. O 
sentido positivo é aquele que aponta para a Estrela Polar (do norte). 
Por ser uma grandeza vetorial, o momento angular obedece às regras de soma 
vetorial. Assim, para um sistema de partículas, por exemplo, o momento angular total 
desse sistema será a soma vetorial dos momentos angulares individuais de cada uma 
das partículas que compõem esse sistema, sempre com relação ao mesmo eixo de 
rotação, ou à mesma origem. 
A última característica associada ao momento angular é a sua conservação. 
Nesse aspecto, mais uma vez, há uma associação direta com o momento linear de 
um corpo. A conservação do momento linear ocorre sempre que o sistema for tido 
como isolado, ou seja, não houver forças externas atuando sobre o corpo. No caso do 
momento angular, essa característica também se faz presente sempre que o sistema 
for tido como isolado. Entretanto, no caso angular, a grandeza física que deve se 
 
 
manter nula para que o momento angular se conserve é o torque externo. 
5.4 As equações que definem o momento angular 
Nesta seção, vamos abordar as equações que definem o momento angular, 
associando essas equações às características descritas na primeira seção, de forma 
a solidificar sua compreensão acerca dessa grandeza física. Para efeitos didáticos, 
construiremos nesta seção o arcabouço matemático/teórico do momento angular para 
o caso de uma partícula pontual. Na seção seguinte, abordaremos alguns casos 
particulares do momento angular em sistemas mais complexos, como um sistema de 
partículas e um corpo rígido. 
 
5.4.1 Definição do momento angular 
Consideremos o caso de uma partícula de massa 𝑚 e velocidade 𝑣 executando 
um movimento em relação a uma origem O. Para essa partícula, vamos definir seu 
momento linear 𝑝 como sendo:𝑝 = 𝑚 𝑥 𝑣 (1) 
O momento angular l associado a essa partícula pode ser definido mediante a 
seguinte equação: 
 𝐼 = 𝑟 𝑥 𝑝 = 𝑚 𝑥 (𝑟 𝑥 𝑣) (2) 
onde r é o vetor posição que localiza a partícula com relação à origem do 
sistema. 
É importante notar que l é definido em termos de um produto vetorial. Portanto, 
de forma geral, a Equação (2) pode ser reescrita como (SHAPIRO; PEIXOTO, 2010): 
 𝒍 = 𝒓 𝒙 𝒑 = 𝒊 (𝑦 x 𝑝𝑧−𝑧 𝑥 𝑝𝑦) + 𝒋 (𝑧 x 𝑝𝑥−𝑥 𝑥 𝑝𝑧) + 𝒌 (𝑥 x 𝑝𝑦−𝑦 𝑥 𝑝𝑥) (3) 
onde i, j e k são vetores unitários associados aos eixos x, y e z, 
respectivamente. 
Portanto, as componentes do vetor momento angular para essa partícula são 
tais que: 
 𝒍 = 𝒊 x 𝑙𝑥 + 𝒋 x 𝑙𝑦 + 𝒌 x 𝑙𝑧 (4) 
 
 
onde 𝑙𝑥 = 𝑦 x 𝑝𝑧−𝑧 x 𝑝𝑦; 𝑙𝑦 = 𝑧 x 𝑝𝑥−𝑥 x 𝑝𝑧; 𝑙𝑥 = 𝑥 x 𝑝𝑦−𝑦 x 𝑝𝑥 . Já o seu módulo 
será dado por (SHAPIRO; PEIXOTO, 2010): 
 𝑙 = √ 𝑙𝑥
2 + 𝑙𝑦
2 + 𝑙𝑧
2 = 𝑟 x 𝑝 x 𝑐𝑜𝑠𝜃 (5) 
onde θ é o ângulo entre o vetor posição r e o vetor momento linear p (ou vetor 
velocidade v). A Equação (5) ainda pode assumir a seguinte forma, conforme a 
conveniência (HALLIDAY; RESNICK; WALKER, 1996): 
 𝑙 = = 𝑟 x 𝑝 x 𝑐𝑜𝑠𝜃 = 𝑟⊥x 𝑝 = 𝑟 x 𝑝⊥ = 𝑟 x 𝑚 x 𝑣⊥ (6) 
onde r⊥ é a distância perpendicular de O, e um prolongamento do vetor p e 
p⊥(v⊥) é a componente do vetor momento linear (velocidade) perpendicular ao vetor 
r. No Sistema Internacional de Unidades, a unidade de medida do momento angular 
é tal que: 
 [𝑙] = [𝑟] 𝑥 [𝑝] = [𝑚] 𝑥 [𝑘𝑔 x 𝑚 x 𝑠−1] = [𝑘𝑔 x 𝑚2 x 𝑠−1] (7) 
sendo equivalente ao Joule vezes segundo (J ⋅ s). 
Perceba que, quando o ângulo entre os vetores r e p for θ = 0° ou θ = 180°, a 
Equação (5) nos informa, obrigatoriamente, que a partícula não possui momento 
angular em torno da origem O, como mostrado pela Figura 2. No entanto, pode ser 
que em torno de outra origem o momento angular seja não nulo. Assim, só há sentido 
em determinar o momento angular de uma partícula, ou corpo, caso seja especificada 
uma origem. 
A definição do vetor momento angular mediante a Equação (3) nos informa 
também que a direção do vetor momento angular será sempre perpendicular ao plano 
formado pelos vetores r e p, independentemente de qual plano for esse. 
5.4.2 Segunda lei de Newton na forma angular: a relação entre o momento 
angular l e o torque τ 
Uma vez que definimos, conceitualmente e matematicamente, o momento 
angular l de uma partícula se deslocando em torno de certa origem O, podemos 
explorar alguns aspectos dessa definição. Vejamos, por exemplo, qual consequência 
advém da variação temporal do momento angular dessa partícula. 
 
 
 
Se o momento linear p de uma partícula variar temporalmente, temos como 
efeito a definição da segunda lei de Newton, tal que: 
 
𝑑𝒑
𝑑𝑡
=
𝑚 x 𝑑𝒗
𝑑𝑡
= 𝑚 𝑥 𝒂 ⇒ ∴ ∑ 𝐹 =
𝑑𝒑
𝑑𝑡
 (8) 
Assim, a variação temporal do momento linear guarda estreita relação com a 
força resultante aplicada sobre uma partícula. Podemos questionar, portanto, qual 
relação obteremos caso o vetor momento angular l apresente variação no tempo. 
 
𝑑𝒍
𝑑𝑡
=
𝑑
𝑑𝑡
(𝒓 x 𝒑) = 𝑚
𝑑
𝑑𝑡
(𝒓 x 𝒗) = 𝑚 (𝒓 x 
𝑑𝒗
𝑑𝑡
+ 
𝑑𝒓
𝑑𝑡
 𝑥 𝒗) (9.1) 
 ⇒ 
𝑑𝒍
𝑑𝑡
= 𝑚(𝒓 𝑥 𝒂 + 𝒗 x 𝒗) = 𝑟 x 𝑚 x 𝒂 = 𝒓 𝐱 𝑭 (9.2) 
 ∴ ∑ 𝑇 =
𝑑𝒍
𝑑𝑡
 (9.3) 
Assim, a variação temporal do momento angular guarda estreita relação com o 
torque resultante aplicado sobre uma partícula. A Equação (9.3) é, precisamente, a 
definição da segunda lei de Newton na forma angular. Na Equação (9.1), aplicou-se a 
regra do produto para derivadas, haja vista que 𝒓 = 𝒓(𝑡) e 𝒗 = 𝒗(𝑡). Já na Equação 
(9.2), o termo 𝑣 x 𝑣 = 0, pois são dois vetores paralelos entre si e, por consequência, 
seus produtos vetoriais são nulos. O resultado obtido pela Equação (9.3) já era, de 
certa forma, esperado, pela simetria que existe entre o momento linear e o momento 
angular. Assim, a Equação (9.3) é a equivalente angular da Equação (8). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
BAUER, W.; WESTFALL, G. D.; DIAS, H. Física para universitários: relatividade, 
oscilações, ondas e calor. Porto Alegre: AMGH, 2013. 
BEER, F. P.; JOHNSTON JUNIOR, E. R.; CORNWELL, P. J. Mecânica vetorial para 
engenheiros: dinâmica. 9. ed. Porto Alegre: AMGH, 2012. 
CHAVES, A.; SAMPAIO, J. F. Física básica: mecânica. Rio de Janeiro: LTC, 2007. 
CHAVES, A.; SAMPAIO, J. F. Física básica: mecânica. Rio de Janeiro: LTC, 2011. 
HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J. Fundamentos de física. 4. ed. v. 1. Rio 
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HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J. Fundamentos de física: mecânica. 10. 
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HIBBELER, R. C. Dinâmica: mecânica para engenharia. 10. ed. São Paulo: Pearson 
Prentice Hall, 2005. 
NUSSENZVEIG, H. M. Curso de física básica 1: mecânica. 4. ed. v. 1. São Paulo: 
Blucher, 2002. 
SHAPIRO, I. L.; PEIXOTO, G. B. Introdução à mecânica clássica. São Paulo: 
Editora Livraria da Física, 2010. 
TIPLER, P. A.; MOSCA, G. Física para cientistas e engenheiros: mecânica, 
oscilações e ondas, termodinâmica. 6. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009.