AULA-03-FÍSICA-CINEMÁTICA-E-DINÂMICA

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FÍSICA: CINEMÁTICA E DINÂMICA 
 
 
Prezado (a) aluno (a), 
O momento angular, também chamado de quantidade de movimento 
angular, é uma grandeza vetorial associada a um sistema em rotação, uma massa 
pontual, um sistema de partículas ou um corpo rígido. Ele fornece uma medida da 
quantidade de movimento rotacional associada a esse sistema com relação a um 
eixo particular de rotação ou a uma origem particular. 
O estudo do momento angular é importantíssimo, haja vista que essa 
grandeza fornece a base estrutural para se definir a segunda lei de Newton para 
rotações. Além disso, o momento angular possui implicações no estudo físico de 
corpos celestes, como estrelas, planetas e satélites naturais que rotacionam pelo 
espaço, e na mecânica quântica, em que partículas como prótons e elétrons 
possuem um momento angular quantizado. Por conseguinte, o momento angular e 
as suas implicações estão presentes em todas as escalas de grandeza em que a 
física possui campo de estudo. 
Nesta aula, você vai estudar o momento angular, verificando suas principais 
características e as principais equações que definem o momento angular para uma 
partícula independente. Por fim, vai aprender a determinar o momento angular em 
um sistema de partículas e em um corpo rígido. 
 
Bons estudos! 
AULA 3 – 
MOMENTO DE INÉRCIA 
3 MOMENTO ANGULAR 
O momento angular de um objeto é uma propriedade física que compartilha 
notáveis similaridades com o momento linear, tanto em sua interpretação física quanto 
em sua formulação matemática. É possível afirmar, portanto, que o momento angular 
é a contraparte angular do momento linear. Além disso, podemos conceituar o 
momento angular como a medida da rotação associada a um sistema físico. Nessa 
definição, o sistema físico em questão pode ser uma partícula isolada (massa 
pontual), um conjunto de partículas ou mesmo um corpo rígido. 
Nesta abordagem, o momento angular, o qual iremos denotar como 𝐿 ou l, 
requer três quantidades físicas para sua completa caracterização, a saber: 
1. A massa 𝑚 ou o momento de inércia 𝐼 ligado a um objeto; 
2. A velocidade linear 𝑣 ou a velocidade angular 𝜔 do objeto em torno de um eixo 
específico de rotação; 
3. A distância perpendicular 𝑟⊥ do objeto em relação ao eixo específico de rotação. 
Em comparação com o momento linear, somente a última medida não é 
necessária para sua formulação. Dessa forma, a seleção do eixo de rotação é uma 
das características que torna o momento angular uma propriedade física distinta. A 
definição do momento angular ligada à medida 𝑟⊥, proporciona espaço para duas 
alternativas: 
• Um objeto em movimento linear pode possuir momento angular, desde que a 
seleção do eixo de rotação seja apropriada; 
• Um objeto tem a capacidade de possuir momento angular em relação a um 
eixo, mas pode não ter momento angular em relação a um eixo diferente. 
Outra distinção entre o momento angular e o momento linear é a sua 
categorização. O momento angular é categorizado em momento angular orbital e 
momento angular de spin. A Terra exemplifica essas duas formas de momento 
angular. O momento angular orbital está relacionado à órbita da Terra ao redor do Sol, 
enquanto o momento angular de spin diz respeito à rotação da Terra em torno do seu 
próprio eixo. 
Outra característica fundamental ligada ao momento angular é a sua natureza 
vetorial. Nesse contexto, o momento angular compartilha semelhanças com o 
momento linear, mas se distingue dele em termos de orientação vetorial. Enquanto o 
vetor do momento linear tem a direção e sentido do movimento do objeto em questão, 
uma vez que é definido pela multiplicação da massa pela velocidade do objeto. 
Uma vez que a massa é uma quantidade escalar, ela não tem o poder de 
influenciar a orientação do vetor velocidade, o qual estabelece a direção para o vetor 
do momento linear. Por outro lado, o momento angular de um corpo, como será 
explicado em maior detalhe posteriormente, é calculado como o produto da distância 
perpendicular ao eixo de rotação, 𝑟⊥, pelo momento linear 𝒑 associado ao corpo. 
Portanto, estamos lidando com a multiplicação de duas quantidades vetoriais, cada 
uma com orientações diferentes. 
Através da multiplicação dos vetores 𝑟⊥ e p, a direção do momento angular se 
torna axial, ou seja, ao longo do eixo de referência selecionado. No entanto, dado que 
um eixo possui duas direções possíveis, é crucial estabelecer qual é a direção positiva 
e qual é a direção negativa. Portanto, a convenção comum é estabelecida ao seguir a 
regra da mão direita, conforme ilustrado na Figura 1. 
Figura 1. (a) Corpo de massa m e momento linear p rotacionando no plano 𝑥𝑦 ao 
redor do eixo 𝑧, com velocidade angular ω, a uma distância perpendicular 𝑟⊥ = 𝑟 do 
eixo 𝑧. (b) Regra da mão direita especificando a direção e o sentido (positivo) do 
momento angular L. 
 
Fonte: Adaptado de Bauer, Wesfall e Dias (2013). 
Quando um corpo executa um movimento circular no plano 𝑥𝑦 e é necessário 
escolher um eixo de rotação conveniente, uma opção viável é uma linha perpendicular 
ao plano do movimento, que atravessa o centro do círculo correspondendo, portanto, 
ao eixo z. Nesse cenário específico, o momento angular assumirá a direção do eixo z, 
com sentido positivo em movimentos anti-horários e negativo em movimentos 
horários, de acordo com a regra da mão direita. Seguindo essa regra, a direção do 
momento angular de rotação da Terra é aquela que se estende pelo eixo conectando 
os polos norte e sul geográficos. No entanto, o sentido positivo é o que se direciona 
para a Estrela Polar (norte). 
Por se tratar de uma quantidade vetorial, o momento angular segue os 
princípios da adição vetorial. Portanto, no contexto de um sistema de partículas, o 
momento angular total desse sistema será o resultado da soma vetorial dos momentos 
angulares individuais de cada partícula que compõe o sistema, sempre em relação ao 
mesmo eixo de rotação ou à mesma origem. 
A última propriedade relacionada ao momento angular é a sua conservação. 
Novamente, há uma correspondência direta com o momento linear de um objeto. A 
conservação do momento linear ocorre quando o sistema é considerado isolado, ou 
seja, quando não há forças externas atuando sobre o corpo. No contexto do momento 
angular, essa característica também é observada quando o sistema é tratado como 
isolado. No entanto, no âmbito angular, a quantidade física que precisa ser mantida 
em zero para que o momento angular seja preservado é o torque externo. 
3.1 As equações que definem o momento angular 
Com fins educacionais, vamos estabelecer o arcabouço matemático/teórico do 
momento angular no contexto de uma partícula puntiforme. Posteriormente, na seção 
subsequente, vamos explorar casos específicos do momento angular em sistemas 
complexos, como um conjunto de partículas e um corpo rígido. 
Definição do momento angular 
Vamos analisar a situação em que uma partícula com massa 𝑚 e velocidade 𝑣 
está realizando um movimento em relação a uma origem O. Para essa partícula, 
iremos estabelecer a definição do seu momento linear 𝑝 como: 
𝑝 = 𝑚 ⋅ 𝑣 (1) 
A quantidade de momento angular 𝐼 ligada a essa partícula, pode ser expressa 
por meio da seguinte equação: 
𝐼 = 𝑟 𝑥 𝑝 = 𝑚 ⋅ (𝑟 𝑥 𝑣) 
Na equação (2), o vetor 𝑟 denota a posição da partícula em relação à origem 
do sistema. É relevante observar que 𝐼 é estabelecido por meio de um produto vetorial. 
Por conseguinte, em uma abordagem ampla, a equação (2) pode ser reformulada 
como mencionado por (SHAPIRO; PEIXOTO, 2010): 
𝐼 = 𝑟 x 𝑝 = 𝑖(𝑦 ⋅ 𝑝𝑧−𝑧 ⋅ 𝑝𝑦) + 𝑗(𝑧 ⋅ 𝑝𝑥−𝑥 ⋅ 𝑝𝑧) + 𝑘(𝑥 ⋅ 𝑝𝑦−𝑦 ⋅ 𝑝𝑥) 
Aqui, 𝑖, 𝑗 𝑒 𝑘 representam vetores unitários ligados aos eixos 𝑥, 𝑦 𝑒 𝑧, 
respectivamente. Assim, as partes constituintes do vetor momento angular para essa 
partícula são tais que: 
 𝐼 = 𝑖 ⋅ 𝐼𝑥 + 𝑗 ⋅ 𝐼𝑦+ 𝑘 ⋅ 𝐼𝑧 
Assim, temos: 𝐼𝑥 = 𝑦 ⋅ 𝑃𝑧−𝑧 ⋅ 𝑃𝑦; 𝐼𝑦 = 𝑧 ⋅ 𝑃𝑥−𝑥 ⋅ 𝑃𝑧; 𝐼𝑥 = 𝑥 ⋅ 𝑃𝑥−𝑥 ⋅ 𝑃𝑥 . Enquanto 
isso, a magnitude do momento angular será determinada conforme (SHAPIRO; 
PEIXOTO, 2010): 
𝐼 = √𝐼𝑥
2 + 𝐼𝑦
2 + 𝐼𝑧
2 = 𝑟 ⋅ 𝑝 ⋅ sen 𝜃 
Nesse cenário, 𝜃 simboliza o ângulo entre o vetor de posição 𝑟 e o vetor do 
momento linear 𝑝 (ou vetor de velocidade 𝑣). A equação (5) também pode ser 
expressa da seguinte maneira, de acordo com a conveniência (HALLIDAY; RESNICK; 
WALKER, 1996): 
𝐼 = 𝑟 ⋅ 𝑝 ⋅ sen 𝜃 = 𝑟⊥ ⋅ 𝑝 = 𝑟 ⋅ 𝑝⊥ = 𝑟 ⋅ 𝑚 ⋅ 𝑣⊥ 
Aqui, 𝑟⊥ representa a distância perpendicular a 𝑂, com uma extensão do vetor 
𝑝, e 𝑝⊥(𝑣⊥) é a componente do vetor momento linear (ou velocidade) que é 
perpendicular ao vetor 𝑟. 
Dentro do Sistema Internacional de Unidades (SI), a unidade de medida para o 
momento angular é estabelecida de modo que: 
[𝐼] = [𝑟] ⋅ [𝑝] = [𝑚] ⋅ [𝑘𝑔 ⋅ 𝑚 ⋅ 𝑠−1] = [𝑘𝑔 ⋅ 𝑚2 ⋅ 𝑠−1] 
(2) 
(3) 
(4) 
(5) 
(6) 
(7) 
Essa unidade é equivalente a joule multiplicado por segundo (𝐽 ⋅ 𝑠). 
Observe que, quando o ângulo entre os vetores 𝑟 e 𝑝 assume 𝜃 = 0° ou 𝜃 =
 180°, a Equação (5) estabelece que a partícula não possui momento angular em 
relação à origem 𝑂. No entanto, é possível que em relação a outra origem, o momento 
angular seja diferente de zero. Portanto, faz sentido calcular o momento angular de 
uma partícula ou corpo somente quando uma origem específica é detalhada. 
A definição do vetor de momento angular, como dada na Equação (3), também 
nos indica que a direção desse vetor será sempre perpendicular ao plano formado 
pelos vetores 𝑟 e 𝑝, independentemente do plano em questão. 
Segunda lei de Newton na forma angular: a relação entre o momento angular 𝒍 e 
o torque 𝝉 
Após termos estabelecido tanto conceitual como matematicamente o momento 
angular 𝑙 de uma partícula em movimento ao redor de uma origem 𝑂, podemos 
investigar diversas facetas dessa definição. Vamos, por exemplo, examinar as 
implicações decorrentes da variação do momento angular dessa partícula ao longo do 
tempo. Caso ocorra uma variação temporal no momento linear 𝑝 de uma partícula, o 
resultado é a formulação da segunda lei de Newton, que pode ser expressa como: 
 
𝑑𝑝
𝑑𝑡
=
𝑚 ⋅ 𝑑𝑣
𝑑𝑡
= 𝑚 ⋅ 𝑎 ⇒∴ ∑ 𝐹 =
𝑑𝑝
𝑑𝑡
 
Consequentemente, a variação temporal do momento linear está intimamente 
associada à força resultante atuando sobre uma partícula. Portanto, podemos indagar 
sobre a relação que surgirá se houver uma variação ao longo do tempo no vetor de 
momento angular 𝑙. 
 
𝑑𝑙
𝑑𝑡
=
𝑑
𝑑𝑡
(𝑟 x 𝑝) = 𝑚
𝑑
𝑑𝑡
(𝑟 x 𝑣) = 𝑚 (𝑟 x 
𝑑𝑣
𝑑𝑡
+
𝑑𝑟
𝑑𝑡
 x 𝑣) (9.1) 
 ⇒
𝑑𝑙
𝑑𝑡
= 𝑚(𝑟 x 𝑎 + 𝑣 x 𝑣) = 𝑟 x 𝑚 ⋅ 𝑎 = 𝑟 x 𝐹 (9.2) 
 ∴ ∑ 𝜏 =
𝑑𝐼
𝑑𝑡
 (9.3) 
Portanto, a alteração ao longo do tempo no momento angular está intimamente 
relacionada ao torque resultante exercido sobre uma partícula. A equação 9.3, 
corresponde, de fato, à formulação da segunda lei de Newton na forma angular. Na 
(8) 
equação 9.1, foi empregada a regra do produto para as derivadas, visto que 𝑟 = 𝑟(𝑡) 
e 𝑣 = 𝑣(𝑡). Por outro lado, na equação 9.2, o termo 𝑣 × 𝑣 = 0, é devido à 
paralelismo entre os dois vetores, resultando em produtos vetoriais nulos. O resultado 
derivado na equação 9.3 era, de certa forma, antecipado devido à simetria que se 
estabelece entre o momento linear e o momento angular. Assim, a equação 9.3 
corresponde à versão angular equivalente da equação 8. 
3.2 Casos particulares do momento angular 
Já exploramos a definição do momento angular para uma massa concentrada 
em um ponto. Agora, você examinará como o momento angular é conceituado tanto 
para um sistema composto de partículas distintas quanto para um corpo rígido. 
Momento angular para um sistema de partículas discretas 
Agora, vamos direcionar nossa atenção para algo mais complexo do que uma 
massa pontual com momento linear 𝑝, movendo-se em relação a uma origem 𝑂. 
Vamos considerar um conjunto discreto composto por 𝑛 partículas, em que cada uma 
possui um momento linear específico em relação à mesma origem 𝑂. Desse modo, 
para a n-ésima partícula, o momento linear 𝑝 pode ser formulado como: 
 𝑝𝑛 = 𝑚𝑛 ⋅ 𝑣𝑛 (10) 
Nessa equação, 𝑚𝑛 e 𝑣 representam, respectivamente, a massa e a velocidade 
da n-ésima partícula. Adicionalmente, é possível estabelecer para a n-ésima partícula, 
um momento angular 𝑙 em relação à origem 𝑂, que é dado por: 
 𝐼𝑛 = 𝑟 x 𝑝 = 𝑚𝑛 ⋅ (𝑟) (11) 
Nessa equação, 𝑚𝑛, 𝑟 e 𝑣 representam, respectivamente, a massa, o vetor 
posição e a velocidade da n-ésima partícula. 
Dado que estamos tratando de um conjunto de partículas, é possível 
estabelecer o momento angular total 𝐿 em relação ao sistema, ao invés de se referir 
a uma partícula isolada. Portanto, o momento angular total 𝐿 do sistema é concebido 
como a soma vetorial dos momentos angulares individuais das 𝑛 partículas que 
constituem o sistema: 
 𝐿 = 𝐼1 + 𝐼2 + 𝐼3 + ⋯ + 𝐼𝑛 = ∑ 𝐼𝑖
𝑛
𝑖=1
 (12) 
Com relação a cada valor de 𝑙, as relações estabelecidas na seção anterior são 
aplicáveis. O cálculo do módulo de 𝐿, por sua vez, pode ser realizado através da 
seguinte relação: 
 ⇒ 𝐿 = ∑ 𝐼𝑖
𝑛
𝑖=1
= ∑ 𝑟𝑖
𝑛
𝑖=1
⋅ 𝑝𝑖 ⋅ sen 𝜃 = ∑ 𝑟⊥,𝑖
𝑛
𝑖=1
⋅ 𝑚𝑖 ⋅ 𝑣𝑖 (13) 
Nessa equação, onde 𝑖 varia de 1 a 𝑛, indica cada uma das 𝑛 partículas que 
constituem o sistema. Caso ocorra uma alteração ao longo do tempo no momento 
angular da n-ésima partícula, também é possível estabelecer de maneira semelhante 
a variação temporal de 𝐿, seguindo as linhas das Equações (9), como: 
 
𝑑𝐿
𝑑𝑡
= ∑
𝑑𝐼𝑖
𝑑𝑡
𝑛
𝑖=1
 (14.1) 
 ⇒ ∑ 𝜏𝑒𝑥𝑡 =
𝑑𝐿
𝑑𝑡
 (14.2) 
A equação 14.2 corresponde à formulação angular da segunda lei de Newton 
para um sistema de partículas, expressa em termos das quantidades angulares. Por 
sua vez, a Equação 14.3 representa a contraparte angular da segunda lei de Newton 
para um sistema de partículas, apresentada em relação às grandezas lineares: 
 ∑ 𝐹𝑒𝑥𝑡 =
𝑑𝑃
𝑑𝑡
 (14.3) 
Aqui, 𝑃 denota o momento linear total do sistema de partículas. 
Momento angular de um corpo rígido 
Agora, vamos explorar as definições de momento angular para um corpo rígido 
que está realizando rotação em torno de um eixo fixo. Um corpo rígido pode ser 
interpretado como um sistema constituído por várias partículas ocupando posições 
constantes em relação a uma origem específica. Distinguindo-se de um sistema de 
partículas, quando um corpo rígido gira em torno de um eixo determinado, todas as 
suas partículas giram com a mesma velocidade angular 𝜔 ao redor desse eixo. 
Consequentemente, todas as análises matemáticas conduzidas para o sistema de 
partículas são igualmente aplicáveis ao corpo rígido. 
Devido à uniformidade das velocidades angulares das partículas,é possível 
estabelecer a seguinte relação para a n-ésima partícula: 
 𝑣𝑛 = 𝜔 ⋅ 𝑟𝑛 (15) 
Dessa forma, o momento angular de um corpo rígido pode ser conceituado 
através da aplicação da equação 13, resultando em: 
 ⇒ 𝐿 = ∑ 𝑟⊥,𝑖
𝑛
𝑖=1
⋅ 𝑚𝑖 ⋅ 𝑣𝑖 = ∑ 𝑟⊥,𝑖
𝑛
𝑖=1
⋅ 𝑚𝑖 ⋅ 𝜔 ⋅ 𝑟⊥,𝑖 = 𝜔 ⋅ ∑ 𝑚𝑖 ⋅ 𝑟⊥.𝑖
2
𝑛
𝑖=1
 (16) 
Na equação 16, a quantidade: 
 𝐼 ≡ ∑ 𝑚𝑖
𝑛
𝑖=1
⋅ 𝑟⊥,𝑖
2 (17.1) 
É referida como o momento de inércia de um corpo, sendo uma medida 
relacionada à maneira pela qual a massa é distribuída em torno do eixo de rotação. 
Quando o corpo é constituído por um contínuo de partículas, a equação 17 pode ser 
expressa conforme a forma (CHAVES; SAMPAIO, 2007): 
 𝐼 ≡ ∫ 𝑟⊥
2 ⋅ 𝑑𝑚 (17.2) 
Consequentemente, a equação (16) pode ser formulada de maneira alternativa 
como: 
 𝐿 = 𝐼 ⋅ 𝜔 (18) 
Onde a direção de 𝐿 é constantemente paralela ao eixo de rotação, e o sentido 
é determinado pela aplicação da regra da mão direita. Podemos considerar a versão 
linear análoga da equação 18 como a seguinte expressão: 
 𝑃 = 𝑀 ⋅ 𝑣𝑐𝑚 (19) 
Nessa equação, onde 𝑃 denota o momento linear de um sistema de partículas, 
𝑀 é a massa total do sistema e 𝑣 representa a velocidade do centro de massa do 
sistema. 
Exemplo 1: Suponha uma partícula concentrada com uma massa 𝑚 = 1 kg, 
deslocando-se em uma trajetória linear com velocidade 𝑣 = 30 𝑚/𝑠. Qual é o valor 
absoluto do momento angular associado a essa partícula em relação aos pontos 
𝐴 𝑒 𝐵? 
 
No contexto de uma partícula isolada, empregaremos a equação 2: 
a) Momento angular em relação ao ponto A 
𝐼 = 𝑚 ⋅ (𝑟 x 𝑣) = 1 ⋅ [15(−𝑗) x 30(𝑖)] = −450(𝑗 x 𝑖) = 450 kg ⋅ 𝑚2 ⋅ 𝑠−1 𝑘 
b) Momento angular em relação ao ponto B 
𝐼 = 𝑚 ⋅ (𝑟 x 𝑣) = 1 ⋅ [0(𝑗) x 30(𝑖)] = −0 kg ⋅ 𝑚2 ⋅ 𝑠−1 
Uma vez que 𝑟⊥ = 0, isso leva a 𝑙 = 0 𝑘𝑔 ⋅ 𝑚² ⋅ 𝑠⁻¹. 
Exemplo 2: Sejam duas partículas, A e B, em movimento conforme ilustrado no 
diagrama abaixo. Qual é o momento angular total para esse sistema em relação à 
origem 𝑂? 
 
Para realizar esse cálculo, iremos empregar uma combinação das Equações 
(12) e (2). 
𝐿 = ∑ 𝐼𝑖
𝑛=2
𝑖=1
= 𝐼1 + 𝐼2 = 𝑚𝐴 ⋅ (𝑟𝐴 𝑥 𝑣𝐴) + 𝑚𝐵 ⋅ (𝑟𝐵 𝑥 𝑣𝐵) 
𝐿 = 2 ⋅ [15 ⋅ (−𝑗) x 10 ⋅ (𝑖)] + 4 ⋅ [30 ⋅ (𝑖) x 20 ⋅ (𝑗)] 
𝐿 = −300 ⋅ (𝑗 x 𝑖) + 2400 ⋅ (𝑖 x 𝑗) = 2700 𝑘𝑔 ⋅ 𝑚2 ⋅ 𝑠−1 𝑘 
Exemplo 3: Um disco com um momento de inércia 𝐼 = 2 ⋅ 10⁻³ 𝑘𝑔 ⋅ 𝑚² está fixado 
a um mecanismo que gira a uma velocidade angular 𝜔 = 500 𝑟𝑎𝑑/𝑠. Calcule o vetor 
do momento angular desse disco. 
 
Para abordar essa questão, basta utilizar a equação 18: 
𝐿 = 𝐼 ⋅ 𝜔 = 2 ⋅ 10−3 ⋅ 500 = 1𝑘𝑔 ⋅ 𝑚2 ⋅ 𝑠−1 𝑘 
Como notado, em caso de rotação no sentido anti-horário, o vetor do momento 
angular é alinhado com o eixo de rotação e direcionado no sentido positivo do vetor 
𝑘. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
BAUER, W.; WESTFALL, G. D.; DIAS, H. Física para universitários: relatividade, 
oscilações, ondas e calor. Porto Alegre: AMGH, 2013. 
CHAVES, A.; SAMPAIO, J. F. Física básica: mecânica. Rio de Janeiro: LTC, 2007. 
HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J. Fundamentos de física. 4. ed. Rio de 
Janeiro: LTC, 1996. (Mecânica, v. 1). 
SHAPIRO, I. L.; PEIXOTO, G. B. Introdução à mecânica clássica. São Paulo: 
Editora Livraria da Física, 2010.