Numeros Binarios

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Arquitetura de Computadores
Prof. MsC Adilson Oliveira Cruz
acruz@catolica-es.edu.br
� Aritmética dos Seres Humanos x Aritmética dos 
Computadores
� Sistema de Numeração:
○ Seres Humanos � Sistema de Base Decimal.
○ Computadores � Sistema de Base Binária.
� Quantidade de Números:
○ Seres Humanos � Infinito!
○ Computadores � Finito.
� Precisão:
○ Seres Humanos � Infinita!
○ Computadores � Fixa
� Nos computadores, a quantidade finita de números e a 
precisão fixa é devido ao tamanho da memória.
2
� Pouca importância à questão de quantos dígitos decimais 
são gastos para representar um número.
� O papel sempre é suficientemente grande para qualquer 
número que desejamos colocar nele.
� Exemplos:
� Ano-luz. Qual é a distância percorrida pela luz em 1 ano?
○ 9,4605284 × 1015 metros
� Universo observável. Qual é o tamanho do Universo 
observável?
○ 13.700.000.000 anos-luz
� 01 molécula de água. Quanto pesa 1 molécula de água?
○ 3.10-23g
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� A quantidade de memória disponível para armazenar um 
número é determinada no instante em que o computador é 
projetado.
� Decisão de arquitetura do computador!
� A natureza finita do computador nos força a lidar apenas 
com números que podem ser representados com um 
número fixo de dígitos.
� Números de precisão finita.
4
� Exemplo:
� Qual é o tamanho do conjunto dos números inteiros 
representáveis por até 03 dígitos decimais, sem ponto 
decimal e sem sinal?
○ Conjunto tem exatamente 1000 elementos.
� Quais são esses números?
○ 000, 001, 002, ..., 999
� Vamos supor que os únicos números que existem são os 
números desse conjunto.
� Toda operação aritmética que eu realizo com os números 
desse conjunto é válida?
5
� Exemplo:
� 600 + 600 = 
� 003 – 005 = 
� 050 . 050 = 
� 007 / 002 = 
� 700 + (400 – 300) ≠ (700 + 400) – 300
� 5 . (210 – 195) ≠ 5 . 210 – 5. 195
� Isso normalmente acontece para todo conjunto de número 
de precisão finita.
1200
-2
2500
3,5
6
� Utilizamos um sistema de numeração posicional com base 
decimal.
� Ou seja, em nosso sistema de numeração utilizamos 10 
símbolos:
� 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
� O nome da base numérica utilizada é dado em função do 
número de símbolos utilizados.
7
� Representação:
DÍGITOS No. ALGARISMOS MAIOR No.
101 9 (101 - 1)
102
10N
_
99 (102 - 1)
(10N - 1)
_ _
_ _ _ ... _ (n vezes)
8
� Apesar de nos parecer intuitivo o uso do sistema decimal, 
há outros sistemas de numeração utilizados.
� Em computação, por exemplo, trabalha-se normalmente 
com quatro bases:
� Decimal � para entrada e saída dos dados;
� Binária � para os cálculos internos;
� Hexadecimal � como forma compactada de representação 
interna;
� Octal � também por este mesmo motivo, mas bem menos 
utilizada.
9
� Sistema cuja base é 2.
� Quais são os possíveis algarismos?
� 0 e 1
� Exemplos:
� 100110
� 10101
� 1110011
DÍGITOS No. ALGARISMOS MAIOR No.
21 1 (21 - 1)
22
2N
_
3 (22 - 1)
(2N - 1)
_ _
_ _ _ ... _ (n vezes)
Curiosidade: O nome “Bit” surgiu a partir 
da expressão Dígito Binário – Binary 
Digit – significando 0 1.
10
� Sistema cuja base é 8.
� Quais são os possíveis algarismos?
� 0 1 2 3 4 5 6 e 7
� Exemplos:
� 5372
� 110101
DÍGITOS No. ALGARISMOS MAIOR No.
81 7 (81 - 1)
82
8N
_
63 (82 - 1)
(8N - 1)
_ _
_ _ _ ... _ (n vezes)
11
� Sistema cuja base é 16
� Possíveis algarismos: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ...
� Como representar números maiores que 9?
� A (10) B (11) C (12) D (13) E (14) F (15)
� Exemplos
� F0EA522F8B, 389157, 1101011101
DÍGITOS No. ALGARISMOS MAIOR No.
161 16 (161 - 1)
162
16N
_
256 (162 - 1)
(16N - 1)
_ _
_ _ _ ... _ (n vezes)
12
� A Figura abaixo mostra a representação do número
decimal 2001 nas bases binária, octal, decimal e
hexadecimal, respectivamente.
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� O número 7D1 está representado em qual base?
� É a base hexadecimal, porque o símbolo D só pode ocorrer
em números hexadecimais.
� E o número 111?
� Pode estar em qualquer um dos quatro sistemas de
numeração discutidos.
� Para evitar ambigüidades, usa-se um subscrito de 2, 8, 10
ou 16 para indicar a base quando ela não é óbvia pelo
contexto. Ex: (111)2 ou (45602)16 ou (13262)10 ou (227)8.
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� Para evitar ambiguidades, convencionou explicitar a base
na qual o número está representado.
� A representação é feita da seguinte forma: (<numero>)B,
onde B indica a base (2, 8, 10 ou 16).
� Exemplo:
� (111)2
� (45602)16
� (13262)10
� (227)8
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� Utilizando x algarismos em uma base numérica n,
podemos ter nx valores distintos. Por exemplo:
� Com 3 algarismos na base decimal (10) representamos 103,
ou seja, 1000 valores (de 000 a 999).
� Com 3 algarismos na base binária(2) representamos 8
valores distintos: 000,001,010,011,100,101,110,111.
� Assim, se for necessário representar y valores distintos
em uma base n serão necessários logn y algarismos para
tal representação.
� Para representar 32 valores na base binária precisarei de
log2 32 algarismos, ou seja, 5 algarismos pois, 32 é igual a
25.
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� O computador trabalha apenas com base binária, o ser
humano, preferencialmente, com base decimal.
� Logo, precisamos de técnicas para converter números de
uma base para outra.
� Exemplo:
� Decimal� Binário, Octal ou Hexadecimal
� Binário, Octal ou Hexadecimal� Decimal
� Binário �� Octal, Binário ��Hexadecimal e Octal ��
Hexadecimal
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� O melhor método é o da divisão.
� O número é dividido pela nova base (na aritmética da
base de origem).
� O resto da divisão forma o algarismo mais à direita
(menos significativo) do número convertido.
� O quociente é novamente dividido, e assim
sucessivamente, até o novo quociente ser menor que o
divisor.
DIVIDENDO
QUOCIENTE
DIVISOR
RESTO
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� Ex: (23)10� ( )2
11
2 No. Binário:
2
2
2
23
5
2
1
1
1
10
19
� Ex: (2001)10� ( )8
� Exercício: (17254)10� ( )16
250
8 No. Octal:
8
8
2001
31
1
7
2
3
20
� A melhor maneira de converter números binários (octal ou
hexadecimal) em decimal, consiste em somar as
potências da base correspondentes aos bits diferentes de
zero do número.
� Ex: ( 1 1 1 0 )
� Exercício: (10011)2 = ( )10
(3457)8 = ( )10
(1A34FC9)16 = ( )10
= +. (14)10+. +. =.
0123
2
0
2
0
11 1
2
1
2
2
2
3
21
� Para converter um número binário para octal, divida-o em
grupos de 3 bits, sempre da direita para a esquerda. Cada
grupo de 3 bits pode ser diretamente convertido para um
único dígito octal, de 0 a 7.
� Siga o mesmo procedimento de transformar binário para
decimal, ou seja, é a somatória do algarismo vezes a base
de origem elevado ao seu índice.
� OBS: Pode ser necessário adicionar um ou dois zeros à
esquerda para completar um grupo de 3 bits.
22
� Na conversão de octal para binário, cada dígito octal é
simplesmente substituído pelo número binário de 3 bits.
� Seguir o procedimento de transformar decimal para binário,
ou seja, dividir o número pela base de destino até o
dividendo ser menor que o divisor. Tomar o resto ao
contrário.
� A conversão de hexadecimal para binário é
essencialmente a mesma de octal para binário, exceto que
cada dígito hexadecimal corresponde a um grupo de 4 bits
em vez de 3.
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� Exemplo:
(1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1 0)2 = ( )8
� Logo: (1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1 0)2 = (5 5 6 2)8
0 . 20 + 1 . 21 + 0 . 22 = 2
0 . 20 + 1 . 21 + 1 . 22 = 6
1 . 20 + 0 . 21 + 1 . 22 = 5
1 . 20 + 0 . 21 + 1 . 22 = 5
24
� Exemplo:
(1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1 0)2 = ( )16
� Logo: (1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1 0)2 = (B 7 2)16
0 . 20 + 1 . 21 + 0 . 22 + 0 . 23 = 2
1 . 20 + 1 . 21 + 1 . 22 + 0 . 23= 7
1 . 20 + 1 . 21 + 0 . 22 + 1 . 23 = B
25
� Exercício:
(1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0)2 = ( )8
(1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0)2 = ( )16
� Octal �� Hexadecimal?
� Octal �� Binário �� Hexadecimal
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DECIMAL BINÁRIO OCTAL HEXADECIMAL
0 0 0 0
1 1 1 1
2 10 2 2
3 11 3 3
4 100 4 4
5 101 5 5
6 110 6 6
7 111 7 7
8 1000 10 8
9 1001 11 9
10 1010 12 A
11 1011 13 B
12 1100 14 C
13 1101 15 D
14 1110 16 E
15 1111 17 F
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� TANENBAUM, A. s. Organização Estruturada de 
Computadores. 3ª. ed. Editora LTC, 1999.
� STALLINGS, W. Arquitetura e Organização de 
Computadores. 5a. ed. São Paulo: Prentice Hall, 2002
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