Matemática Topico 01 Aritmética e Álgebra Elementares 02-10-2025

Prévia do material em texto

Tópico 01
Matemática
Aritmética e Álgebra
Elementares
1. Introdução
As informações numéricas estão presentes em diversas situações
do nosso dia a dia. Nos meios de comunicação, como jornais e
revistas, por exemplo, para leitura de gráficos e tabelas, em
informações percentuais, entre outros. Não podemos esquecer
das atividades de rotina de casa, como pesquisas para compras
de supermercado ou cálculos de descontos sobre alguma
compra.
Ou seja, números e informações numéricas fazem parte de
nossas vidas e precisamos sempre melhorar nossa visão e
conhecimento sobre eles, para compreendermos e termos uma
visão crítica.
Considerando sua importância, é de fundamental importância
revisar assuntos de matemática básica, para compreender com
clareza as outras técnicas que serão estudadas ao longo da
disciplina.
Estudar aritmética e álgebra elementares são essenciais para o
desenvolvimento do aluno em outros assuntos da matemática.
2. Conjuntos numéricos
Nesta disciplina, todas as operações serão discutidas o âmbito do
Conjunto dos Números Reais.
O conjunto dos Números Reais é o maior conjunto infinito e é
composto da união dos outros conjuntos numéricos.
Todos os conjuntos de números surgiram, historicamente, com a
necessidade de resolver problemas. São eles:
Conjuntos dos Números Naturais N.
Este conjunto é formado apenas por números inteiros e
positivos.
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, …}
Conjuntos dos Números Inteiros Z.
O Conjuntos dos números inteiros é formado por números
Inteiros, positivos e negativos.
Z = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}
Conjunto dos Números Racionais Q
Segundo Smole e Diniz (2003), o surgimento dos números
racionais está diretamente associado à noção de medidas. Então,
os números inteiros já não eram suficientes para representar
situações do cotidiano, assim, cria-se o conjunto dos números
racionais.
O conjuntos dos números racionais, Q, tem como elementos,
todos os números que podem ser escritos na forma p/q, em que
p e q são números inteiros e q ≠ 0. Ou seja, todos os números
que podem ser escritos na forma de fração são elementos desse
conjunto.
Exemplos de números racionais:
Percebemos que novas formas de representação numérica foram
surgindo da necessidade do homem de resolver situações
problemas. Mesmo sabendo que conjuntos numéricos são
infinitos, ou seja, não é possível mensurar a quantidade de
números que temos em cada um, podemos perceber que tipos de
números estão aumentando.
Primeiro, tratava-se apenas de números inteiros e positivos, o
segundo conjunto passou a relacionar os números inteiros
positivos e negativos, e agora, temos todos os números, positivos
e negativos, que podem ser transformados em forma de fração.
A Dizima Periódica pertence ao conjunto dos Números
Racionais, conforme visto no exemplo. Mas, como
transformar dizimas periódicas em forma de Fração?
Questão para pensar.

É importante pensar na relação entre conjuntos.
Dizemos que um Conjunto A é Subconjunto de B, se
todo elemento de A também for elemento de B. Neste
caso, dizemos que “A está contido em B” e a simbologia
é A ⊂ B.
Vamos ilustrar a situação:

Conjunto dos Números Irracionais I
Durante as aplicações com números, observou-se que nem
sempre números encontrados seriam Racionais, isto é, têm
representação decimal infinita e não periódica. Assim, surgiu
conjunto dos Números Irracionais.
Vamos pensar no problema que motivou a discussão e
existência de um conjunto numérico, onde números
expressam razões que não são números Racionais:
Como medir a Diagonal de um quadrado utilizando seu
lado como unidade de medida? Considere lado do
quadrado igual a 1 unidade. Então, aplicando Teorema
de Pitágoras no triângulo retângulo,
d² = 1² + 1²
d² = 2

Conjunto dos Números Reais R
O conjunto dos números Reais reúne todos os conjuntos
estudados até agora. É o maior conjunto dos conjuntos
numéricos estudados aqui.
Ou seja, todos os outros conjuntos são subconjuntos do
Conjunto dos Números reais. Podemos também dizer que os
Números Reais resultam da união dos números racionais com
números irracionais.
Q ∪ I = R
Os números reais podem ser representados geometricamente na
Reta Numérica ou Reta Real. A reta numérica é um segmento de
reta, com origem no zero, estabelecendo dois sentidos, um
positivo e outro negativo.
Cada número real corresponde a um único ponto da reta real.
Este número é chamado de Abscissa.
Essa correspondência entre os elementos de R e os pontos da
reta real é denominada Sistema de Coordenadas.
Intervalos Numéricos
d = √2
Com auxílio de calculadora, encontramos o valor: √2 ≅
1,4142135629…
Este número não pode ser expresso com número finito
de casas decimais, portanto, não é considerado um
número Racional.
Devemos saber representar intervalos numéricos na reta real,
pois nem sempre as aplicações ou cálculos solicitados estarão
relacionados apenas a uma coordenada.
Assim, temos a representação dos Intervalos:
a) Intervalos Infinitos
b) Intervalos Fechados, abertos e semiabertos
Intervalo fechado
Representação [a; b] = {x|a ≤ x ≤ b}
Intervalo aberto
Representação ]a; b[ = {x|aa é chamado
de base e n é o expoente, com n significando a quantidade de
vezes que a base aparece como fator de uma multiplicação.
Assim:
1 2
2
3
3
4
4
5
5 
6
6
7
2
5 6
n 
n
2 = 2 x 2 x 2 x 2
3 = 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3
5 = 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5
 
Potência com expoente inteiro
Para o cálculo de potências cuja base é um número real positivo
e o expoente é um número inteiro negativo, que iremos
representar por -n, sendo n um número natural, temos:
Exemplos:
4
6
10 
Por definição, consideram-se verdadeiras as seguintes
afirmações:
a = a (todo número real a elevado a 1 é igual a ele
mesmo).

1
Potência com expoente racional
A potência a a , com a> 0 e a ≠ 1, para todo r ∈ Q tal que r=
m/n, com m pertencendo ao conjunto dos número Reais e n
pertencendo ao conjunto dos números Naturais, excluindo o
zero, é definida como
Ou seja:
Propriedade das potências
A partir da definição de potências, é possível observar algumas
de suas características. Essas características das potências são
decorrentes unicamente da relação entre a definição de potência
e as operações de multiplicação e divisão.
a = 1, para qualquer número a ≠ 0 (todo número
real, a, não-nulo, elevado a zero é igual a 1).
0
r
Considere
a, b ∈ R* e m, n ∈ Q
Potência de base 10
Efetuam-se as potências de 10 escrevendo à direita da unidade
tantos zeros quantas forem as unidades do expoente.
Exemplos
a. 10² = 100
b. 10 = 10000000
c. 200 = 2 x 100 = 2x10²
d. 4 000 = 4 x 1000 = 4 x 10
4. Porcentagem
Seja i um número real. A notação i%, que lê-se: “i por cento”, é
usada para representar a fração i/1oo.
i% = i/100
7 
3
Guidorizzi (2012) enfatiza que, nos livros de matemática
financeira, administração financeira, entre outros, a taxa i% é
usualmente representada pela letra r (inicial de rate que, em
inglês, significa taxa), e essa letra será também adotada nesse
texto.
A porcentagem é uma fração em que o denominador é 100 e é
representada com %.
Vamos refletir sobre o percentual de uma taxa unitária. Por
exemplo:
A taxa percentual 20% corresponde à taxa unitária
r = 20% = 20/100 = 0,2.
Seja x um número real, e considerando i% a taxa percentual, a
frase
“i% de x, significa o produto (multiplicação) de i% por x.
i% de x = i% . x
Vamos aos exemplos:
Exemplo 01:
Calcular 12% de 500.
Solução:
Observamos que
12% = 12/100 = 0,12
e que a base para cálculo é 500. Então, temos
12% de 500 = 0,12 . 500 = 60
Assim, 12% de 500 é 60.
Exemplo 02:
Uma loja oferece descontos nas mercadorias sobre o preço que
está na etiqueta, nas compras para pagamento à vista. Uma calça
de linho, cujo preço da etiqueta era R$ 219,00, foi vendida por
R$ 186,15. Qual foi o percentual de desconto, dado pela loja?
Valor do desconto = 219,00 – 186,15 = 32,85
Se x% foi o desconto dado, sendo preço base da etiqueta
R$219,00, então, temos:
219 de x% = 32,85, 
ou seja
x% = 32,85/219 = 0,15
Lembrando que
x% = x/100 = 0,15,
então:
0,15 . 100 = 15%
Foi dado 15% de desconto na compra da calça, realizando
pagamento à vista.
Exemplo 03:
Uma pessoa consegue um empréstimo de R$ 3000,00 por 2
meses, a uma taxa de juros compostos de 6% ao mês. Quanto
esta pessoa deverá desembolsar para pagar a dívida em dois
meses?
Solução:
Juros compostos de 6% ao mês significam que, ao final do mês,
devem ser calculados juros sobre saldo devedor um mês antes.
1º mês: 3000 + 6% de 3000
3000 + 0,06 . 3000 = 3180
2 mês: (3000 + 6% de 3000) + 6% de (3000 + 6% de 3000) +
3180 + 0,06 . 3180 = 3180 + 190,8 = 3370,80
Portanto, o valor da dívida após dois meses será de R$ 3.370,80.
Logo, para liquidar a dívida, será necessário desembolsar este
valor.
Devemos lembrar que as porcentagens são utilizadas não só em
problemas do cotidiano, conforme exemplos dados acima, mas
também em análises estatísticas de empresas e grandes
indústrias, apresentações de resultados e representações gráficas
para análise de informações e tomada de decisão, ou seja, estudo
e análise de porcentagem estarão sempre presentes em diversas
áreas e para diversos fins.
Para praticar um pouco cálculo de Porcentagens, assista
a esse vídeo e siga orientações. Bons estudos!

Porcentagens em apresentações Estatísticas.
5. Expressões algébricas
Por que o uso de letras? Vamos ver um exemplo de utilização,
ilustrado pela figura abaixo: imagine que seu quarto tenha as
medidas x e y e você queira revesti-lo com carpete.
Como você indicaria a quantidade de tecido necessária? E caso
seja colocado um viés em toda barra da roupa de cama? Quanto
seria utilizado?
Como você indicaria a quantidade de carpete necessária? E a de
rodapé?
Dimensões de quarto Retangular.
Nessas duas situações, utilizamos letras para representar a
forma genérica de calcular área e perímetro que, no caso acima,
teve sua aplicação em relação à quantidade de carpete e rodapé
necessária para utilização em um quarto com dimensões x e y.
As generalizações são situações nas quais a letra pode assumir o
papel de variável. Generalizar é expressar, de forma geral,
uma situação. É colocar em uma expressão uma representação
válida para toda uma série ou sequência.
Pode-se chegar a uma generalização intuitivamente ou por meio
de tentativas, até que se consiga enxergar uma forma de
estabelecer uma relação entre os valores que conseguimos
visualizar ou determinar e os valores que são conseguidos a
partir dos dados de entrada.
As generalizações são fundamentais para o desenvolvimento de
habilidades mais complexas utilizadas nas diversas ciências, e,
em particular na Matemática, na qual esta linguagem é
denominada Álgebra. Generalizando a situação acima, temos:
A quantidade de tecido necessária para confecção da roupa de
cama corresponde à área desse quarto de formato retangular.
A área do retângulo pode ser expressa pela fórmula: A = x . y
Já a quantidade de rodapé, não considerando o espaço da
porta, corresponde ao perímetro do quarto e pode ser
expressa pela fórmula: P = x + y + x + y, ou seja, P = 2x
+ 2y.
Na fórmula da área do retângulo, a letra x ou y pode representar
vários números, portanto, é uma variável.
Na fórmula do perímetro, a letra P, de perímetro, também é uma
variável e varia em função de x e y.
As variáveis são utilizadas de forma muito significativa nas
fórmulas, pois, além de simplificar a comunicação, o uso das
letras também é universal, já que, da forma escrita sem
variáveis, de modo textual, apenas quem entende o idioma
português entende, ao passo que a fórmula com letras pode ser
compreendida por pessoas de todo o mundo.
 Observe o exemplo abaixo:
Se o perímetro do retângulo anterior for 18 m e y igual ao dobro
de x, temos:
P = 6x e a equação : 6x = 18
Nessa equação, x é uma incógnita, um número desconhecido e,
para encontrá-lo, basta resolver a equação.
As expressões x . y, 2x + 2y, 6x = 18 são
chamadas expressões algébricas. São formadas por números
e letras ou somente por letras e servem
para simplificar fórmulas, resolver equações.
A parte da Matemática que lida com variáveis e incógnitas
chama-se Álgebra. Com ela, podemos expressar fatos da
aritmética, geometria e ciências em geral, resolver problemas em
diversas situações (não somente na Matemática), mas também
em outras áreas do conhecimento ou em situações diversas com
as quais nos deparamos no nosso dia a dia.
São exemplos de expressões algébricas:
São exemplos de fórmulas matemáticas:
Propriedades da Multiplicação
Algumas propriedades da Multiplicação são:
1. Comutativa
a.b = b.a
2. Associativa
a.(b.c) = (a.b) .c
3. Distributiva
a. (b + c) = a.b + a.c
Exemplos:
a) 5.10 = 10.5 = 50
b) 10. (5.2) = (10.5) .2
 10. (100 = (50) .2 = 100
c) 4. (2 + 1) = 4.2 + 4.1 = 12
Produtos notáveis
A fim de economizar tempo e não ter que multiplicar termo a
termo, utilizamos os produtos notáveis.
Quadrado da Soma
Indicado por: o quadrado de a mais b é igual ao quadrado do
primeiro maisduas vezes o primeiro vezes o segundo, mais o
quadrado do segundo:
(a + b)² = a² + 2ab + b²
Exemplos:
a) (x + 3)² = x² + 2.x.3 + 3² = x² + 6x + 9
b) (2x + 5)² = (2x)² + 2.2x.5 + 5² = 4x² + 20x + 25
Quadrado da Diferença de dois termos
Indicado por: quadrado de a menos b é igual ao quadrado do
primeiro menos duas vezes o primeiro vezes o segundo, mais o
quadrado do segundo:
(a – b)² = a² – 2ab + b²
Exemplos:
a) (x – 7)² = x² – 2.x.7 + 7² = x² – 14x + 49
b) (3x + 5)² = (3x)² – 2.3x.5 + 5² = 9x² – 30x + 25
Produto da Soma pela Diferença de dois termos
Indicado por: o produto da soma de a e b, pela diferença de a e b,
é o quadrado do primeiro termo (a) menos o quadrado do
segundo termo (b):
(a + b) . (a – b) = a² – b²
Exemplos:
a) (x + 5). (x – 5) = (x)² – 5² = x² – 25
b) (5x + 2) . (5x – 2) = (5x)² – 2² = 25x² – 4
Cubo da Soma de dois termos
Indicado por: cubo de a mais b é igual ao cubo do primeiro mais
três vezes o quadrado do primeiro vezes o segundo, mais três
vezes o primeiro vezes o quadrado do segundo, mais o cubo do
segundo:
(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
Exemplos:
a) (x + 3)³ = x³ + 3.x².3 + 3.x.3² + 3³ = x³ + 9x² + 27x + 27
b) (2x + 5)³ = (2x)³ + 3.(2x)² . 5 + 3.2x.5² + 5³ = 8x³ + 60x² +
150x + 125
Cubo da Diferença de dois termos
Indicado por: cubo de a menos b é igual ao cubo do primeiro
menos três vezes o quadrado do primeiro vezes o segundo, mais
três vezes o primeiro vezes o quadrado do segundo, menos o
cubo do segundo.
(a – b)³ = a³ – 3a²b + 3ab² – b³
Exemplos:
a) (x – 2)³ = x³ – 3.x².2 + 3.x.2² – 2³ = x³ – 6x² + 12x – 8
b) (3x – 1)³ = (3x)³ – 3.(3x)² . 1 + 3.3x.1² – 1³ = 27x³ – 27x² +
9x -1
Todos os produtos notáveis podem ser demonstrados com
propriedades algébricas. As regras existem para facilitar nossos
cálculos algébricos.
6. Conclusão
Este Tópico procurou mostrar a vocês a importância de
conteúdos básicos da matemática, suas principais características
e aplicações. Discutimos operações numéricas e algébricas.
Concluímos que, com essa base, você terá um melhor
desempenho ao longo da disciplina, ainda terá possibilidade de
aplicar conceitos discutidos neste Tópico em tópicos seguintes.
Até próximo desafio!
7. Referências
GUIDORIZZI, Hamiton Luiz. Matemática para
Administração. Rio de Janeiro: LTC, 2012.
SMOLE, Katia Cristina Stocco; DINIZ, Maria Ignez de Souza
Vieira.Matemática – volume 01. 3.ed. São Paulo: Saraiva,
2003.
YouTube. (2015, Agosto, 04). Khan Academy Brasil.
Introdução a Notação de Intervalo. 11min14. Disponível
em: .
YouTube. (2013, Setembro, 27). Khan Academy Brasil.
Exemplo de Cálculo de Porcentagens. 03min44.
Disponível em: .
Parabéns, esta aula foi
concluída!
O que achou do conteúdo estudado?
Péssimo Ruim Normal Bom Excelente
https://youtu.be/gc3arwcmOkc
https://youtu.be/J-f5O4r0gyw
Mínimo de caracteres: 0/150
Deixe aqui seu comentário
Enviar