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🔢 Múltiplos 
● Um número ( b ) é múltiplo de 
outro ( a ) se existe um número 
inteiro ( n ) tal que ( b = a \cdot n ). 
● Exemplo: 15 é múltiplo de 5, pois ( 
15 = 5 \cdot 3 ). 
● Zero é múltiplo de todos os 
números. 
● Múltiplos de 5 terminam em 0 ou 
5. 
🧠 Aplicação: 
● Para contar múltiplos em um 
intervalo, basta: 
○ Encontrar o primeiro e o 
último múltiplo dentro do 
intervalo. 
○ Usar a fórmula: 
[ \text{Quantidade} = 
\frac{\text{Último} - 
\text{Primeiro}}{\text{Passo}
} + 1 ] 
➗ Divisores 
● Um número ( a ) é divisor de ( b ) 
se a divisão ( b \div a ) é exata 
(sem resto). 
● Exemplo: 5 é divisor de 15, pois ( 
15 \div 5 = 3 ). 
🔁 Múltiplos Comuns 
● Múltiplos comuns entre dois 
números são os múltiplos de seu 
MMC. 
● Exemplo: múltiplos comuns de 7 e 
11 → múltiplos de ( 7 \cdot 11 = 77 
). 
📏 Mínimo Múltiplo 
Comum (MMC) 
● É o menor múltiplo comum entre 
dois ou mais números. 
● Usado para: 
○ Resolver problemas de 
sincronização (ex.: eventos 
que ocorrem em ciclos). 
○ Somar ou subtrair frações 
com denominadores 
diferentes. 
🧮 Como calcular: 
1. Faça a decomposição 
simultânea dos números em 
fatores primos. 
2. Multiplique todos os fatores 
usados. 
Exemplo: 
MMC de 5, 3 e 4: 
5, 3, 4 | 2 
5, 3, 2 | 2 
5, 3, 1 | 3 
5, 1, 1 | 5 
1, 1, 1 
 
MMC = 2 × 2 × 3 × 5 = 60 
📉 Máximo Divisor 
Comum (MDC) 
● É o maior número que divide 
dois ou mais números ao mesmo 
tempo. 
● Usado para: 
○ Simplificar frações. 
○ Resolver problemas de 
repartição igualitária. 
🧮 Como calcular: 
● Pela decomposição em fatores 
primos: multiplica os fatores 
comuns. 
● Ou pelo algoritmo de Euclides: 
subtrai ou divide até chegar ao 
MDC. 
🔁 Mínimo Múltiplo 
Comum (MMC) – 
Aplicações 
O MMC é usado para encontrar o 
intervalo de tempo em que eventos 
cíclicos voltam a ocorrer juntos, desde 
que tenham começado simultaneamente. 
É muito comum em questões de 
concursos que envolvem: 
● Ciclos de lâmpadas, semáforos, 
ônibus, luzes pisca-pisca etc. 
● Frequências diferentes que 
precisam ser sincronizadas 
🧠 Como aplicar o MMC 
em problemas de tempo 
🧮 Passo a passo: 
1. Identifique os ciclos ou intervalos 
de cada evento. 
2. Calcule o MMC desses valores 
(por decomposição em fatores 
primos). 
3. O resultado indica em quanto 
tempo os eventos voltarão a 
ocorrer juntos. 
📌 Exemplos resumidos: 
1⃣ Lâmpadas de rua (14 e 21 dias) 
● MMC(14, 21) = 42 ✅ As lâmpadas 
acenderão juntas a cada 42 dias. 
2⃣ Ônibus (18 e 24 minutos) 
● MMC(18, 24) = 72 minutos ✅ Se 
passaram juntos às 8h22min, o 
próximo encontro será às 
9h34min. 
3⃣ Pisca-piscas com frequências 
de 2, 4 e 12 vezes por minuto 
● Converter para tempo entre 
piscadas: 
○ 60 ÷ 2 = 30s 
○ 60 ÷ 4 = 15s 
○ 60 ÷ 12 = 5s 
● MMC(30, 15, 5) = 30 segundos ✅ 
Se piscaram juntos às 
19h20min15s, o próximo será às 
19h20min45s. 
4⃣ Semáforos (18 e 24 segundos) 
● MMC(18, 24) = 72 segundos ✅ 
Voltarão a ficar verdes juntos a 
cada 72 segundos. 
🎯 Dica Final 
Sempre que o problema envolver eventos 
que se repetem com frequência 
diferente, e você precisar saber quando 
eles coincidem novamente, pense em 
MMC. Se o problema for sobre divisão ou 
repartição, pense em MDC. 
🔢 Múltiplos e Divisores 
✅ Múltiplos 
● São os resultados da multiplicação 
de um número por inteiros. 
● Exemplo: múltiplos de 5 → 5, 10, 
15, 20… 
● Zero é múltiplo de todos os 
números. 
✅ Divisores 
● São os números que dividem outro 
número exatamente, sem deixar 
resto. 
● Exemplo: divisores de 12 → 1, 2, 
3, 4, 6, 12 
● Zero não é divisor de nenhum 
número. 
● 1 é divisor de todos os números. 
📏 MMC – Mínimo 
Múltiplo Comum 
🔹 Definição: 
É o menor número que é múltiplo comum 
entre dois ou mais números. 
🔹 Aplicações: 
● Sincronização de eventos cíclicos 
(ex.: ônibus, semáforos, escalas 
de trabalho) 
● Soma de frações com 
denominadores diferentes 
🔹 Exemplo prático: 
Escala de trabalho 
● Servidor A: 12h trabalho + 24h 
folga → ciclo de 36h 
● Servidor B: 9h trabalho + 18h folga 
→ ciclo de 27h 
● MMC(36, 27) = 108 horas → 
próximo plantão conjunto será 4 
dias e 12 horas depois 
➗ MDC – Máximo 
Divisor Comum 
🔹 Definição: 
É o maior número que divide dois ou mais 
números simultaneamente, sem deixar 
resto. 
🔹 Aplicações: 
● Divisão igualitária de objetos 
● Simplificação de frações 
● Organização de grupos ou lotes 
🔹 Exemplo prático: 
Distribuição de materiais 
● 36 balas e 48 lapiseiras → 
MDC(36, 48) = 12 
● Pode-se formar 12 kits iguais com 
3 balas e 4 lapiseiras cada 
🧮 Como calcular MMC e 
MDC 
✅ MMC 
1. Decompor os números em fatores 
primos 
2. Multiplicar todos os fatores, 
mesmo os que aparecem em 
apenas um número 
✅ MDC 
1. Decompor os números em fatores 
primos 
2. Multiplicar apenas os fatores 
comuns aos dois números 
📊 Cálculo da quantidade 
de divisores 
Para um número NN: 
1. Decompor em fatores primos: ex. 
12=22⋅3112 = 2^2 \cdot 3^1 
2. Somar 1 a cada expoente: 
(2+1)(1+1)=3⋅2=6(2+1)(1+1) = 3 
\cdot 2 = 6 
3. Resultado: 6 divisores positivos 
tamanho possível, sem sobras. Isso é 
um típico caso de MDC (Máximo Divisor 
Comum). 
🧮 Passo a passo: 
Cálculo do MDC 
Vamos decompor os três números 
simultaneamente: 
Código 
84, 126, 48 → ÷2 → 42, 63, 24 
42, 63, 24 → ÷3 → 14, 21, 8 
14, 21, 8 → não têm mais divisores 
comuns 
 
✅ MDC = 2 × 3 = 6 metros 
✂ Quantidade de 
pedaços: 
● 84 ÷ 6 = 14 pedaços 
● 126 ÷ 6 = 21 pedaços 
● 48 ÷ 6 = 8 pedaços 🔢 Total = 14 + 
21 + 8 = 43 pedaços 
✅ Gabarito: 
c) 6 metros | 43 pedaços 
🔁 Relação entre MMC e 
MDC 
Para qualquer par de números aa e bb: 
 
Exemplo: 
● a=12a = 12, b=18b = 18 
● MDC = 6, MMC = 36 
● 6⋅36=2166 \cdot 36 = 216 e 
12⋅18=216 
📘 Introdução 
● Potenciação e radiciação são 
ferramentas fundamentais para 
temas como: 
○ Funções exponenciais e 
logarítmicas 
○ Equações 
○ Matemática financeira 
● Embora não sejam muito cobradas 
isoladamente, são pré-requisitos 
essenciais. 
🔢 Potenciação 
📌 Definição: 
● Uma potência é representada por 
aᵇ, onde: 
○ a = base 
○ b = expoente → número de 
vezes que a base será 
multiplicada por ela mesma 
📚 Exemplos: 
● 23=2⋅2⋅2=82^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 
= 8 
● 32=3⋅3=93^2 = 3 \cdot 3 = 9 
🧠 Propriedades da 
Potenciação 
N
º 
Propriedade 
1 Número elevado a zero 
é 1 
2 Número elevado a 1 é 
ele mesmo 
3 Expoente negativo → 
inverte base 
4 Multiplicação com 
mesma base → soma 
expoentes 
5 Multiplicação com 
bases diferentes → 
distribui expoente 
6 Divisão com mesma 
base → subtrai 
expoentes 
7 Divisão com bases 
diferentes → distribui 
expoente 
8 Potência de potência 
→ multiplica expoentes 
9 Potência com 
expoente fracionário → 
vira radiciação 
🧮 Radiciação 
📌 Definição: 
● É o processo inverso da 
potenciação. 
● Representada por: 
anm=an/m\sqrt[m]{a^n} = a^{n/m} 
● a = radicando 
● n = expoente 
● m = índice da raiz 
🧠 Dica mnemônica: 
● “Quem está na sombra 
(denominador) vai para o sol 
(índice do radical).” 
● “Quem está no sol (numerador) 
vai para a sombra (expoente do 
radicando).” 
📈 Aplicações 
● Essenciais para: 
○ Funções exponenciais e 
logarítmicas 
○ Cálculo de taxas na 
matemática financeira 
○ Transformações 
algébricas em equações 
🌿 4ª Propriedade – Raiz de um 
Produto 
√ (a · b · c) = √ a · √ b · 
√ c 
A raiz enésima de um produto é igual ao 
produto das raízes de cada fator, 
mantendo o mesmo índice. 
 🔹 Exemplo: √576 = √(4·16·9) = √4 · √16 
· √9 = 2 · 4 · 3 = 24 
 Essa propriedade é útil para simplificar 
cálculos com números grandes, 
especialmente quando decompostos em 
fatores primos. 
➗ 5ª Propriedade – Raiz de uma 
Fração 
√ (a/b) = √ a / √ b 
A raiz enésima de uma divisão é a 
divisão das raízes. 
 🔹 Exemplo: √0,01 = √(1/100) = √1 / 
√100 = 1/10 = 0,1 
 Essa regra facilita o cálculo com 
números decimais, transformando-os em 
frações. 
🔢 6ª Propriedade – Passar 
Constante para Dentro do 
Radical 
A · √ B = √ (Aⁿ · B) 
Uma constante fora do radicalpode ser 
passada para dentro elevando-a ao 
índice do radical. 
 Essa propriedade é reversível: o número 
pode voltar para fora, retornando à forma 
original. 
 📍 Dica prática: usada para simplificar 
expressões e transformar radiciação 
em potenciação. 
📊 Exemplo de Aplicação 
(Questão 01 – FADENOR) 
Dado: ⁴√A = 1,57 → pedir √A 
 ➡ Eleva-se ambos os lados ao quadrado: 
 (⁴√A)² = (1,57)² 
 → A^(2/4) = A^(1/2) → √A = 1,57² = 
2,4649 
 ✅ Resposta: 2,46 
🧮 Exemplo (Questão 02 – 
UNESC) 
Transforma-se potenciação em 
radiciação: 
 8^(2/3) = (³√8)² = 2² = 4 
 Usando propriedades de potências com 
mesma base, mantém-se a base e 
somam-se ou subtraem-se os 
expoentes conforme o caso. 
 O cálculo leva à resposta correta 16/27 
(alternativa D). 
🔍 Exemplo (Questão 03 – 
FUNDATEC) 
Decomposição em fatores primos: 
 8 = 2³ e 32 = 2⁵ 
 → √8 − √32 = √(2³) − √(2⁵) 
 Aplicando propriedades de radiciação e 
simplificação: 
 resultado = −2√2 (alternativa B). 
📚 Conclusão 
As propriedades da radiciação e 
potenciação são fundamentais e 
amplamente aplicadas em: 
● Matemática financeira (juros 
compostos, taxas equivalentes) 
● Estatística 
● Problemas algébricos e físicos 
💡 Resumo das propriedades 
essenciais: 
1. √ (a·b) = √ a · √ b 
2. √ (a/b) = √ a / √ b 
3. A·√ B = √ (Aⁿ·B) 
 
4. Potenciação e radiciação são 
operações inversas, e seus 
expoentes podem ser trocados 
entre radical e potência (“quem 
está na sombra vai para o sol e 
vice-versa”). 
📘 Conjunto dos 
Números Naturais (N) 
🔹 Definição 
● Representado pela letra N. 
● Formado por números inteiros 
não negativos: N = {0, 1, 2, 3, 4, 
5, 6, 7, …} 
● Surgiu da necessidade de contar 
elementos da natureza (animais, 
plantas, objetos). 
🔹 Propriedades 
● Adição e multiplicação entre 
naturais → resultado sempre 
natural. 
○ Ex.: 2+3=52 + 3 = 5, 
2⋅3=62 \cdot 3 = 6 
● Subtração e divisão → nem 
sempre resultam em naturais. 
○ Ex.: 2−3=−12 - 3 = -1 (não 
natural), 2÷3=0,666...2 \div 
3 = 0{,}666... 
🔹 Ordem e Desigualdades 
● Os números naturais têm ordem 
crescente na reta numérica. 
● Quanto mais à direita, maior o 
número. 
● Símbolos usados: 
○ > Maior que 
○ 12 > 1, 1–5–3 > –5 
🧠 Questão Resolvida 
Pedro somou três números 
inteiros positivosconsecutivos. 
O resultado x é: 
● Exemplo: 3+4+5=123 + 4 + 5 = 12 
● Soma de três consecutivos sempre 
resulta em múltiplo de 3. 
● Resposta correta: b. x é um 
número múltiplo de 3 
📘 Conjunto dos 
Números Racionais (ℚ) 
🔹 Definição 
● Representado pela letra ℚ. 
● Formado por todos os números 
que podem ser escritos na forma 
de fração: 
ab,onde a∈Z, b∈Z∖{0}\frac{a}{b}, 
\text{onde } a \in \mathbb{Z},\ b \in 
\mathbb{Z} \setminus \{0\} 
● Inclui: 
○ Frações (ex.: 23\frac{2}{3}) 
○ Decimais exatos (ex.: 0,4) 
○ Dízimas periódicas (ex.: 
0,333…) 
🔹 Propriedades 
● Todas as operações básicas 
(adição, subtração, multiplicação e 
divisão) entre racionais resultam 
em outro número racional. 
● Não possuem sucessor ou 
antecessor definidos, pois entre 
dois racionais sempre há infinitos 
outros. 
🔹 Ordem e Comparação 
● Para comparar frações com 
denominadores diferentes, usa-se 
a multiplicação cruzada: 
○ Exemplo: 38\frac{3}{8} vs 
49\frac{4}{9} 3⋅9=273 \cdot 
9 = 27, 4⋅8=324 \cdot 8 = 
32 → 38