Probabilidade e Estatística

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SEMANA 05 
PROBABILIDADE - Parte 2 
Autor: Anibal Tavares de Azevedo 
ESTATÍSTICA PARA TODOS 
“Tem-se dito que muitas descobertas científicas são feitas ao 
acaso. O acaso, já dizia Pasteur, só favorece aos espíritos 
preparados e não prescinde da observação. A descoberta da 
penicilina constitui um exemplo típico. Em 1928 Alexander 
Fleming desenvolvia pesquisas sobre estafilococos, quando 
descobriu a penicilina. A descoberta da penicilina deu-se em 
condições peculiaríssimas, graças a uma seqüência de 
acontecimentos imprevistos e surpreendentes.” Wikipedia. 
PROBABILIDADE 
A. Fleming Penicilina L. Pasteur 
PROBABILIDADE 
INTERSECÇÃO DE EVENTOS 
Sejam dois eventos A e B em um espaço amostral S, a 
intersecção de A e B é formada pelos resultados que são 
comuns a ambos e é representada por: A e B ou A  B. 
1 
4 
3 
6 
S B A 2 
Como os eventos A e B têm elementos em comum, isto é, 2 
e 4, então, A  B = {2, 4}, pois estes valores 
pertencem aos eventos A e B simultaneamente. 
AB 
PROBABILIDADE 
PROBABILIDADE CONJUNTA OU DA INTERSECÇÃO DE EVENTOS 
A probabilidade de que dois eventos A e B ocorram 
simultaneamente, ou seja, a probabilidade de 
intersecção de dois eventos, é chamada de probabilidade 
conjunta e escrita: P(A e B) ou P(A  B). 
1 
4 
3 
6 
S B A 2 
Observe que no exemplo acima: P(AB) = eventos 
favoráveis/Total de Eventos em S = 2/5. 
AB 
PROBABILIDADE 
PROBABILIDADE CONJUNTA – REGRA DA MULTIPLICAÇÃO 
A probabilidade de intersecção de dois eventos A e B 
pode ser obtida com: P(A  B) = P(A) * P(B|A). 
1 
4 
3 
6 
S B A 2 
Observe que no exemplo acima: P(A)=4/5 e P(B|A)=2/4 tal 
que P(A  B) = P(A) * P(B|A) = (4/5)*(2/4) = 
(4*2)/(5*4) = 2/5. 
AB 
PROBABILIDADE 
Seja a tabela a seguir que fornece a classificação dos 
empregados de uma empresa de acordo com o sexo e 
graduação em alguma faculdade. 
Graduado (G) Não-Graduado(N) Total 
Homem (H) 7 20 27 
Mulher (M) 4 9 13 
Total 11 29 40 
EXEMPLO 1: 
Caso um empregado da empresa seja selecionado 
aleatoriamente, qual a probabilidade de que ele seja do 
sexo feminino e graduado? 
Calcular P(M  G)! 
Graduado 
(G) 
Não-
Graduado(N) 
Total 
Mulher (M) 4 9 13 
PROBABILIDADE 
Calcular a probabilidade de que ele seja do sexo 
feminino e graduado. 
32,040/13)( MP
Total 
Homem 27 
Mulher 13 
Total 40 
31,013/4)|( GMP
Logo: P(M  G) = P(M) * P(G|M) = 0,32 * 0,31 = 0,10 
EXEMPLO 1: 
P(M  G) = P(M) * P(G|M) 
Graduado (G) Não-Graduado(N) Total 
Homem (H) 7 20 27 
Mulher (M) 4 9 13 
Total 11 29 40 
PROBABILIDADE 
Calcular a probabilidade de que ele seja do sexo 
feminino e graduado. 
Logo: P(M  G) = 4/40 = 0,10 
EXEMPLO 1: 
M  G 
S 
Eventos de Total Número
A a Favoráveis Eventos de Número
)( AP
PROBABILIDADE 
Calcular as demais probabilidades conjuntas para o 
conjunto de dados fornecido. 
EXEMPLO 1: 
P(H  G)= P(H) * P(G|H)= (27/40)*(7/27)=7/40 
P(H  N)= P(H) * P(N|H)= (27/40)*(20/27)=1/2 
P(M  N)= P(M) * P(N|M)= (13/40)*(9/13)=9/40 
A partir destas probabilidades conjuntas é possível 
obter o seguinte diagrama de árvore correspondente. 
Primeiro Evento Segundo Evento 
27/40 
13/40 
Homem 
Mulher 
7/27 
20/27 
4/13 
9/13 
N| Mulher 
G| Mulher 
N | Homem 
G| Homem 
EXEMPLO 1: 
As probabilidades conjuntas podem ser vistas através do 
diagrama de árvore. 
PROBABILIDADE 
P(H  G)=7/40 
P(H  N)=1/2 
P(M  G)=1/10 
P(M  N)=9/40 
PROBABILIDADE 
Seja a tabela a seguir que fornece a classificação dos 
empregados de uma empresa de acordo com o sexo e 
graduação em alguma faculdade. 
Graduado (G) Não-Graduado(N) Total 
Homem (H) 7 20 27 
Mulher (M) 4 9 13 
Total 11 29 40 
Exercício 1: 
Caso um empregado da empresa seja selecionado 
aleatoriamente, qual a probabilidade de que ele seja do 
graduado e do sexo feminino? 
Calcular P(G  M)! 
G N Total 
Total 11 29 40 
G 
Homem 7 
Mulher 4 
Total 11 
PROBABILIDADE 
Calcular a probabilidade de que ele seja graduado e do 
sexo feminino. 
27,040/11)( MP
36,011/4)|( GMP
Logo: P(G  M) = P(G) * P(M|G) = 0,27 * 0,36 = 0,10 
P(G  M) = P(G) * P(M|G) 
Exercício 1: 
Graduado (G) Não-Graduado(N) Total 
Homem (H) 7 20 27 
Mulher (M) 4 9 13 
Total 11 29 40 
PROBABILIDADE 
Calcular a probabilidade de que ele seja graduado e do 
sexo feminino. 
Logo: P(G  M) = 4/40 = 0,10 
M  G 
S 
Eventos de Total Número
A a Favoráveis Eventos de Número
)( AP
Exercício 1: 
PROBABILIDADE 
Calcular as demais probabilidades conjuntas para o 
conjunto de dados fornecido. 
P(G  H)= P(G) * P(H|G)= (11/40)*(7/11)=7/40 
P(N  H)= P(N) * P(H|N)= (29/40)*(20/29)=1/2 
P(N  M)= P(N) * P(M|N)= (29/40)*(9/29)=9/40 
A partir destas probabilidades conjuntas é possível 
obter o seguinte diagrama de árvore correspondente. 
Exercício 1: 
Primeiro Evento Segundo Evento 
11/40 
29/40 
G 
N 
7/11 
4/11 
20/29 
9/29 
Mulher | N 
Homem | N 
Mulher | G 
Homem | G 
As probabilidades conjuntas podem ser vistas através do 
diagrama de árvore. 
PROBABILIDADE 
P(G  H)=7/40 
P(G  M)=1/10 
P(N  H)=1/2 
P(N  M)=9/40 
Exercício 1: 
PROBABILIDADE 
PROBABILIDADE CONDICIONAL 
Sejam A e B dois eventos, então, a probabilidade 
condicional é obtida com: P(B|A) = P(A  B) / P(A) ou 
P(A|B) = P(B  A) / P(B). 
1 
4 
3 
6 
S B A 2 
Observe que no exemplo acima: P(A)=4/5 e P(A  B)=2/5 
tal que P(B|A) = P(A  B) / P(A) = (2/5)/(4/5) = 
(2*5)/(4*5) = 1/2. 
AB 
PROBABILIDADE 
A probabilidade de que um aluno aleatoriamente 
selecionado em uma faculdade seja quartanista é 0,20 e 
a probabilidade de que esteja cursando computação e no 
quarto ano é igual a 0,03. Encontrar a probabilidade 
condicional de selecionar ao acaso um aluno de 
computação, sabendo-se que ele/ela está no quarto ano. 
EXEMPLO 2: 
Sejam os eventos: 
A = aluno do quarto ano 
B = aluno da computação 
1 Informações dadas: 
P(A) = 0,20 
P(A  B) = 0,03 
2 
P(B|A) = P(A  B) / P(A) = 0,03/0,20 = 0,15 3 
PROBABILIDADE 
A probabilidade de que um aluno aleatoriamente 
selecionado em uma faculdade seja quartanista é 0,25 e 
a probabilidade de que esteja cursando administração e 
no quarto ano é igual a 0,05. Encontrar a probabilidade 
condicional de selecionar ao acaso um aluno de 
computação, sabendo-se que ele/ela está no quarto ano. 
Exercício 2: 
PROBABILIDADE 
A probabilidade de que um aluno aleatoriamente 
selecionado em uma faculdade seja quartanista é 0,25 e 
a probabilidade de que esteja cursando administração e 
no quarto ano é igual a 0,05. Encontrar a probabilidade 
condicional de selecionar ao acaso um aluno de 
computação, sabendo-se que ele/ela está no quarto ano. 
Sejam os eventos: 
A = aluno do quarto ano 
B = aluno da computação 
1 Informações dadas: 
P(A) = 0,25 
P(A  B) = 0,05 
2 
P(B|A) = P(A  B) / P(A) = 0,05/0,25 = 0,20 3 
Exercício 2: 
PROBABILIDADE 
PROBABILIDADE CONJUNTA – EVENTOS INDEPENDENTES 
A probabilidade de intersecção de dois eventos A e B 
pode ser obtida com: P(A  B) = P(A) * P(B|A). Mas, se 
A e B forem independentes, então, P(B|A) = P(B) tal que 
Sejam A e B independentes, então, P(B|A) = P(B). 
P(A  B) = P(A) * P(B|A) = P(A) * P(B) 
PROBABILIDADE 
Um edifício comercial possui dois alarmes de incêndio. 
A probabilidade de um alarme ter uma falha durante um 
incêndio é igual a 0,02. Calcular a probabilidade de 
que dois alarmes venham a falhar. 
EXEMPLO 3: 
Sejam os eventos: 
A = falha do alarme 1 
B = falha do alarme 2 
1 Informações dadas: 
P(A) = 0,02 
P(B) = 0,02 
2 
P(A  B) = P(A)*P(B) = 0,02*0,02 = 0,0004 3 
Uma vez que a falha de um alarme não interfere no outro 
alarme, define-se: 
PROBABILIDADE 
A probabilidade de que um paciente seja alérgico a 
penicilina é 0,20. Suponha que esse medicamento seja 
administrado em 3 pacientes. Encontrar: 
(a)Probabilidade dos 3 serem alérgicos. 
(b)Probabilidade de que pelomenos 1 não seja alérgico. 
EXEMPLO 4: 
Penicilina 
PROBABILIDADE 
A probabilidade de que um paciente seja alérgico a 
penicilina é 0,20. Suponha que esse medicamento seja 
administrado em 3 pacientes. Encontrar: 
(a)Probabilidade dos 3 serem alérgicos. 
(b)Probabilidade de que pelo menos 1 não seja alérgico. 
EXEMPLO 4: 
Sejam os eventos: 
A = paciente 1 alérgico 
B = paciente 2 alérgico 
1 Informações dadas: 
P(A) = 0,2 
P(B) = 0,2 
2 
P(A  B  C) = P(A)*P(B)*P(C) = 0,008 3 
C = paciente 3 alérgico P(C) = 0,2 
PROBABILIDADE 
A probabilidade de que um paciente seja alérgico a 
penicilina é 0,20. Suponha que esse medicamento seja 
administrado em 3 pacientes. Encontrar: 
(a)Probabilidade dos 3 serem alérgicos. 
(b)Probabilidade de que pelo menos 1 não seja alérgico. 
EXEMPLO 4: 
Sejam os eventos: 
G= 3 pacientes alérgicos 
H = pelos menos 1 NA 
1 Observar que P(G) = 
P(ABC) = 0,008 (obtido 
no item (a)). Além disso, G 
e H são complementares . 
2 
P(H) = 1 – P(G) = 1 - 0,008 = 0,992 3 
1)()(  HPGP
Paciente 1 
0,20 
A 
O diagrama de árvore correspondente ao problema 
proposto é dado a seguir. 
PROBABILIDADE 
EXEMPLO 4: 
A
0,80 
0,20 
0,80 
B 
B
0,20 
0,80 
B 
B
Paciente 2 
C 
C
C 
C
C 
C
C 
C
Paciente 3 Resultado Final 
008,0)(  CBAP
032,0)(  CBAP
032,0)(  CBAP
128,0)(  CBAP
032,0)(  CBAP
128,0)(  CBAP
128,0)(  CBAP
512,0)(  CBAP
PROBABILIDADE 
A probabilidade de que um paciente seja alérgico a 
penicilina é 0,10. Suponha que esse medicamento seja 
administrado em 3 pacientes. Encontrar: 
 
(a)Probabilidade de 3 não serem alérgicos. 
(b)Probabilidade de que pelo menos 1 seja alérgico. 
Exercício 3: 
PROBABILIDADE 
A probabilidade de que um paciente seja alérgico a 
penicilina é 0,10. Suponha que esse medicamento seja 
administrado em 3 pacientes. Encontrar: 
 
(a)Probabilidade de 3 não serem alérgicos. 
(b)Probabilidade de que pelo menos 1 seja alérgico. 
Exercício 3: 
Sejam os eventos: 
A = paciente 1 alérgico 
B = paciente 2 alérgico 
1 Informações dadas: 
P(A) = 0,1 
P(B) = 0,1 
2 
3 
C = paciente 3 alérgico P(C) = 0,1 
73,0)1,01()(*)(*)()( 3  CPBPAPCBAP
PROBABILIDADE 
A probabilidade de que um paciente seja alérgico a 
penicilina é 0,10. Suponha que esse medicamento seja 
administrado em 3 pacientes. Encontrar: 
 
(a)Probabilidade de 3 não serem alérgicos. 
(b)Probabilidade de que pelo menos 1 seja alérgico. 
Exercício 3: 
Sejam os eventos: 
G= 3 pacientes não alérgicos 
H = pelos menos 1 alérgico 
1 Observar que P(G) = 
P(ABC) = 0,73 (obtido 
no item (a)). Além disso, G 
e H são complementares . 
2 
P(H) = 1 – P(G) = 1 – 0,73 = 0,27 3 
1)()(  HPGP
Paciente 1 
0,10 
A 
O diagrama de árvore correspondente ao problema 
proposto é dado a seguir. 
PROBABILIDADE 
A
0,90 
0,10 
0,90 
B 
B
0,10 
0,90 
B 
B
Paciente 2 
C 
C
C 
C
C 
C
C 
C
Paciente 3 Resultado Final 
001,0)(  CBAP
009,0)(  CBAP
009,0)(  CBAP
081,0)(  CBAP
009,0)(  CBAP
081,0)(  CBAP
081,0)(  CBAP
729,0)(  CBAP
Exercício 3: 
PROBABILIDADE 
PROBABILIDADE CONJUNTA – EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUDENTES 
A probabilidade de conjunta de dois eventos mutuamente 
excludentes é sempre igual a zero, ou seja, P(A  B) = 
0. 
Observe que no exemplo acima: P(A)=3/6 e P(B|A)=0/6. 
Assim, P(A  B) = P(A) * P(B|A) = P(A) * 0 = 0. 
1 
5 
3 
2 
4 
6 
S A B 
AB 
PROBABILIDADE 
UNIÃO DE EVENTOS 
Sejam dois eventos A e B em um espaço amostral S, a 
união de A e B é formada pelos resultados que são 
comuns a ambos e é representada por: A ou B ou A  B. 
1 
4 
3 
6 
S B A 2 
A união de A com B considera todos os eventos A e B, 
isto é, 1, 2, 3, 4 e 6 então, A  B = {1, 2, 3, 4, 6}. 
Observe que {2, 4} pertencem à A e B, isto é, à A  B e 
não devem ser contados duas vezes. 
AB 
PROBABILIDADE 
PROBABILIDADE DA UNIÃO DE EVENTOS – REGRA DA ADIÇÃO 
A probabilidade da união de dois A e B, é chamada de 
probabilidade conjunta e escrita: P(A ou B) ou P(A  B) 
e é dada por: P(A  B) = P(A) + P(B) – P(A  B). 
1 
4 
3 
6 
S B A 2 
Observe que no exemplo acima: P(A) = 4/5, P(B) = 3/5 e 
P(AB) = 2/5, tal que: P(A  B) = P(A) + P(B) – P(A  
B) = 4/5 + 3/5 – 2/5 = 5/5 = 1. 
AB 
PROBABILIDADE 
Seja a tabela a seguir que fornece a classificação das 
pessoas de uma faculdade sobre a abertura de novos 
cursos. 
A favor(B) Contra Neutro Total 
Professores(A) 45 15 10 70 
Alunos 90 110 30 230 
Total 135 125 40 300 
EXEMPLO 5: 
Encontre a probabilidade de que um pessoa selecionada 
ao acaso, dentre as 300, seja professor ou a favor da 
proposta. 
Calcular P(A  B)! 
PROBABILIDADE 
EXEMPLO 5: 
Sejam os eventos: 
A= professor selecionado B = pessoa a favor selecionada 
1 
2 
3 
Encontre a probabilidade de que um pessoa selecionada 
ao acaso, dentre as 300, seja professor ou a favor da 
proposta. 
Informações: P(A) = 70/300 P(B) = 135/300 
P(A  B) = P(A) + P(B) – P(A  B) = 
0,23 + 0,45 – 0,15 = 0,53 
P(AB) = P(A)*P(B|A) = (70/300)*(45/70)=0,15 
PROBABILIDADE 
A favor(B) Contra Neutro Total 
Professores(A) 45 15 10 70 
Alunos 90 110 30 230 
Total 135 125 40 300 
EXEMPLO 5: 
Encontre a probabilidade de que um pessoa selecionada 
ao acaso, dentre as 300, seja professor ou a favor da 
proposta. 
Logo: P(A  B) = (45+15+10+90)/300 = 160/300 = 0,53 
Eventos de Total Número
A a Favoráveis Eventos de Número
)( AP
PROBABILIDADE 
Seja a tabela a seguir que fornece a classificação das 
pessoas de uma faculdade sobre a abertura de novos 
cursos. 
A favor Contra (B) Neutro Total 
Professores 45 15 10 70 
Alunos(A) 90 110 30 230 
Total 135 125 40 300 
Encontre a probabilidade de que um pessoa selecionada 
ao acaso, dentre as 300, seja aluno ou contra a 
proposta. 
Exercício 4: 
PROBABILIDADE 
Seja a tabela a seguir que fornece a classificação das 
pessoas de uma faculdade sobre a abertura de novos 
cursos. 
A favor Contra (B) Neutro Total 
Professores 45 15 10 70 
Alunos(A) 90 110 30 230 
Total 135 125 40 300 
Encontre a probabilidade de que um pessoa selecionada 
ao acaso, dentre as 300, seja aluno ou contra a 
proposta. 
Calcular P(A  B)! 
Exercício 4: 
PROBABILIDADE 
Sejam os eventos: 
A= aluno selecionado B = pessoa contra selecionada 
1 
2 
3 
Encontre a probabilidade de que um pessoa selecionada 
ao acaso, dentre as 300, seja professor ou a favor da 
proposta. 
Informações: P(A) = 230/300 P(B) = 125/300 
P(A  B) = P(A) + P(B) – P(A  B) = 
0,77 + 0,42 – 0,37 = 0,82 
P(AB)=P(A)*P(B|A) = (230/300)*(110/230)=0,37 
Exercício 4: 
PROBABILIDADE 
A favor(B) Contra (B) Neutro Total 
Professores(A) 45 15 10 70 
Alunos (A) 90 110 30 230 
Total 135 125 40 300 
Encontre a probabilidade de que um pessoa selecionada 
ao acaso, dentre as 300, seja professor ou a favor da 
proposta. 
Logo: P(A  B) = (90+110+30+15)/300 = 245/300 = 0,82 
Eventos de Total Número
A a Favoráveis Eventos de Número
)( AP
Exercício 4: 
PROBABILIDADE 
PROBABILIDADE DA UNIÃO – EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUDENTES 
A probabilidade de conjunta de dois eventos mutuamente 
excludentes é sempre igual a zero, ou seja, P(A  B) = 
0. 
Observe que no exemplo acima: P(A)=3/6, P(B) = 3/6 e 
P(B|A)=0/6 tal que P(A  B) = P(A) * P(B|A) = P(A) * 0 
= 0. Assim, P(A  B) = P(A) + P(B) - P(A  B) = 3/6 + 
3/6 + 0 = 6/6 = 1. 
1 
5 
3 
2 
4 
6 
S A B 
AB 
PROBABILIDADE 
Seja a tabela a seguir que fornece a classificação das 
pessoas de uma faculdade sobre a abertura de novos 
cursos. 
A favor(A) Contra Neutro(B) Total 
Professores(A) 45 15 10 70 
Alunos 90 110 30 230 
Total 135 125 40 300 
EXEMPLO 6: 
Encontre a probabilidade de que um pessoa selecionada 
ao acaso, dentre as 300, seja a favor (A) ou neutra na 
proposta (A e B são eventos mutuamente excludentes). 
Calcular P(A  B)! 
PROBABILIDADE 
EXEMPLO 6: 
Sejam oseventos: 
A= Pessoa a favor B = Pessoa neutra 
1 
2 
Encontre a probabilidade de que um pessoa selecionada 
ao acaso, dentre as 300, seja a favor (A) ou a contra a 
proposta (A e B são eventos mutuamente excludentes). 
Informações: P(A) = 135/300 P(B) = 40/300 
P(AB) = P(A)*P(B|A) = (135/300)*(0)=0,00 
A favor(A) Contra(B) Neutro Total 
Total 135 125 40 300 
PROBABILIDADE 
EXEMPLO 6: 
Sejam os eventos: 
A= Pessoa a favor B = Pessoa neutra 
1 
2 
3 
Encontre a probabilidade de que um pessoa selecionada 
ao acaso, dentre as 300, seja a favor (A) ou a contra a 
proposta (A e B são eventos mutuamente excludentes). 
Informações: P(A) = 135/300 P(B) = 40/300 
P(A  B) = P(A) + P(B) – P(A  B) = 
135/300 + 40/135 – 0 = 175/300 = 0,58 
P(AB) = P(A)*P(B|A) = (135/300)*(0)=0,00 
A favor(A) Contra(B) Neutro Total 
Total 135 125 40 300 
PROBABILIDADE 
A probabilidade de que uma pessoa seja a favor da 
engenharia genética é de 0,55 e contra é de 0,45. Duas 
pessoas são aleatoriamente selecionadas e é observado 
se são a favor ou contra engenharia genética. Faça: 
 
(A)Um diagrama de árvore para este experimento 
 
(B)Encontre a probabilidade de que pelo menos uma das 
duas pessoas seja a favor da engenharia genética. 
EXEMPLO 7: 
PROBABILIDADE 
A probabilidade de que uma pessoa seja a favor da 
engenharia genética é de 0,55 e contra é de 0,45. Duas 
pessoas são aleatoriamente selecionadas e é observado 
se são a favor ou contra engenharia genética. Faça: 
 
(A)Um diagrama de árvore para este experimento 
 
(B)Encontre a probabilidade de que pelo menos uma das 
duas pessoas seja a favor da engenharia genética. 
EXEMPLO 7: 
Sejam os eventos: 
F= Pessoa a favor A = Pessoa contrária 
1 
O experimento tem 4 resultados possíveis: FA, AF, FF e 
AA conforme mostrado no diagrama de árvore. 
Primeiro Pessoa Segunda Pessoa 
0,55 
0,45 
F 
A 
0,55 
0,45 
0,55 
0,45 
A A 
A F 
F A 
F F 
EXEMPLO 7: 
As probabilidades conjuntas podem ser vistas através do 
diagrama de árvore. 
PROBABILIDADE 
P(FF)=0,30 
P(FA)=0,25 
P(AF)=0,25 
P(AA)=0,20 
PROBABILIDADE 
(B) Encontre a probabilidade de que pelo menos uma das 
duas pessoas seja a favor da engenharia genética. 
EXEMPLO 7: 
Os eventos que tem pelo menos uma pessoa a favor são: 
FA, AF, FF. Portanto, é necessário calcular: 
P(A favor  1) = P((FA)(AF)(FF)) 
Como são mutuamente excludentes, basta empregar que: 
P(A favor  1) = 
P((FA)(AF)(FF)) = 
P(FA) + P(AF) + P(FF) = 
0,30 + 0,25 + 0,25 = 
0,80 
Primeiro Pessoa Segunda Pessoa 
0,55 
0,45 
F 
A 
0,55 
0,45 
0,55 
0,45 
A A 
A F 
A F 
F F 
As probabilidades conjuntas podem ser vistas através do 
diagrama de árvore. 
PROBABILIDADE 
P(FF)=0,30 
P(FA)=0,25 
P(AF)=0,25 
P(AA)=0,20 
EXEMPLO 7: 
PROBABILIDADE 
A probabilidade de que uma pessoa seja a favor da 
engenharia genética é de 0,6 e contra é de 0,4. Duas 
pessoas são aleatoriamente selecionadas e é observado 
se são a favor ou contra engenharia genética. Faça: 
 
(A)Um diagrama de árvore para este experimento 
 
(B)Encontre a probabilidade de que pelo menos uma das 
duas pessoas seja a favor da engenharia genética. 
Exercício 5: 
PROBABILIDADE 
A probabilidade de que uma pessoa seja a favor da 
engenharia genética é de 0,6 e contra é de 0,4. Duas 
pessoas são aleatoriamente selecionadas e é observado 
se são a favor ou contra engenharia genética. Faça: 
 
(A)Um diagrama de árvore para este experimento 
 
(B)Encontre a probabilidade de que pelo menos uma das 
duas pessoas seja a favor da engenharia genética. 
Sejam os eventos: 
F= Pessoa a favor A = Pessoa contrária 
1 
O experimento tem 4 resultados possíveis: FA, AF, FF e 
AA conforme mostrado no diagrama de árvore. 
Exercício 5: 
Primeiro Pessoa Segunda Pessoa 
0,6 
0,4 
F 
A 
0,6 
0,4 
0,6 
0,4 
A A 
A F 
F A 
F F 
As probabilidades conjuntas podem ser vistas através do 
diagrama de árvore. 
PROBABILIDADE 
P(FF)=0,36 
P(FA)=0,24 
P(AF)=0,24 
P(AA)=0,16 
Exercício 5: 
PROBABILIDADE 
(B) Encontre a probabilidade de que pelo menos uma das 
duas pessoas seja a favor da engenharia genética. 
Os eventos que tem pelo menos uma pessoa a favor são: 
FA, AF, FF. Portanto, é necessário calcular: 
P(A favor  1) = P((FA)(AF)(FF)) 
Como são mutuamente excludentes, basta empregar que: 
P(A favor  1) = 
P((FA)(AF)(FF)) = 
P(FA) + P(AF) + P(FF) = 
0,36 + 0,24 + 0,24 = 
0,84 
Exercício 5: 
Primeiro Pessoa Segunda Pessoa 
0,6 
0,4 
F 
A 
0,6 
0,4 
0,6 
0,4 
A A 
A F 
F A 
F F 
As probabilidades conjuntas podem ser vistas através do 
diagrama de árvore. 
PROBABILIDADE 
P(FF)=0,36 
P(FA)=0,24 
P(AF)=0,24 
P(AA)=0,16 
Exercício 5: 
OBRIGADO !!! 
http://av.rds.yahoo.com/_ylt=A0geul9JAFhIjRcBaXwPGqMX;_ylu=X3oDMTBvMmFkM29rBHBndANhdl9pbWdfcmVzdWx0BHNlYwNzcg--/SIG=120ik703g/EXP=1213813193/**http:/www.e-minis.net/index.php?cPath=576