TeoriaSemana08-Leiturav1

Prévia do material em texto

SEMANA 08 
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E SUAS DISTRIBUIÇÕES 
DE PROBABILIDADE - PARTE 2 
Autor: Anibal Tavares de Azevedo 
ESTATÍSTICA PARA TODOS 
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E DISTRIBUIÇÕES 
FATORIAL 
O símbolo n!, n fatorial, representa o produto de todos 
os números inteiros de 1 até n. Isto é: 
1*2*...*)1(*!  nnn 1!0 e 
Além disso: 
)!1(*!  nnn
EXEMPLO 4: 1201*2*3*4*5!5 
EXEMPLO 5: 1!0)!55( 
EXEMPLO 6: 720120*6!5*6!6 
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E DISTRIBUIÇÕES 
COMBINAÇÕES 
Fornece o número de maneiras que um conjunto de n 
elementos podem ser combinados para formar subconjuntos 
contendo x elementos. 
)!(!
!
,
xnx
n
x
n
CCC n
xxnxn








VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E DISTRIBUIÇÕES 
EXEMPLO 1: 
Três opções de cápsulas de café serão escolhidas a 
partir de um total de cinco. Quantas são as possíveis 
combinações? 
A B C D E 
A B C A B D A B E A D A E C C 
A D E B C D B C E B E D E D C 
10 combinações 
10
)!35(!3
!5
35 

C
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E DISTRIBUIÇÕES 
EXEMPLO 2: 
Quantas são as possíveis combinações da Megasena se 6 
números são escolhidos a partir de 60 números 
possíveis? 
!54!6
!54*55*56*57*58*59*60
)!660(!6
!60
660 

C
3*4
55*56*57*58*59
1*2*3*4*5*6
55*56*57*58*59*60

55*)7*2(*57*)19(*59
3*4
55*)7*8(*57*)3*19(*59

860.063.50
Ocorre quando 4 condições são satisfeitas: 
DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES BINOMIAIS 
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E DISTRIBUIÇÕES 
(1) Um teste (prova de Bernoulli) é repetido n vezes em 
condições idênticas. 
(2) Só existem 2 resultados: sucesso ou insucesso. 
(3) A probabilidade de sucesso é p e insucesso q=1-p e 
constantes durante todos os testes. 
(4) Os testes são independentes. 
X0 
A ruína do apostador 
X1 X1 
Perde (1-p) Ganha (p) 
  
Xt Xt Fim de jogo 
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E DISTRIBUIÇÕES 
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E DISTRIBUIÇÕES 
p 
p -1 
+1 
-1 
Neste livro o protagonista resolve 
tomar decisões empregando o 
resultado da jogada de um dado ! 
DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES BINOMIAIS 
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E DISTRIBUIÇÕES 
Seja x variável aleatória que fornece o número de 
sucesso em n testes de um experimento binomial. A 
distribuição de probabilidades de x é denominada de 
distribuição de probabilidades binomiais. A 
probabilidade de ocorrer exatamente x sucessos em n 
testes é dada por: 
xnx
xn qpCxP )(
Onde: 
n – número de testes, 
p – probabilidade de sucesso, 
q – probabilidade de insucesso, 
x – número de sucessos em n testes e 
n-x – número de insucesso em n testes. 
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E DISTRIBUIÇÕES 
EXEMPLO 3: 
Foi verificado que 5% dos produtos de uma empresa são 
defeituosos. Um inspetor de controle de qualidade 
seleciona aleatoriamente 2 produtos. Qual a 
probabilidade de 1 deles ser defeituoso? E pelo menos 
1? 
Primeiro Produto Segundo Produto 
0,95 
0,05 
P 
D DD 
DP 
PD 
PP 
P(PP)=0,9025 
P(PD)=0,0475 
P(DP)=0,0475 
P(DD)=0,0025 
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E DISTRIBUIÇÕES 
EXEMPLO 3: 
Qual a probabilidade de 1 deles ser defeituoso? E pelo 
menos 1? 
0,95 
0,05 
0,05 
0,95 
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E DISTRIBUIÇÕES 
EXEMPLO 3: 
Qual a probabilidade de 1 deles ser defeituoso? E pelo 
menos 1? 
121
12 )95,0()05,0()1(   CqpCxP xnx
xn
Onde: 
n – número de testes = 2, 
p – probabilidade de sucesso (defeito)= 0,05, 
q – probabilidade de insucesso = 0,95, 
x – número de sucessos em n testes = 1 e 
n-x – número de insucesso em n testes = (2-1) = 1. 
)0475,0(*205,0*95,0*2)1( xP
Primeiro Produto Segundo Produto 
0,95 
0,05 
P 
D DD 
DP 
PD 
PP 
P(PP)=0,9025 
P(PD)=0,0475 
P(DP)=0,0475 
P(DD)=0,0025 
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E DISTRIBUIÇÕES 
EXEMPLO 3: 
Qual a probabilidade de 1 deles ser defeituoso? E pelo 
menos 1? 
0,95 
0,05 
0,05 
0,95 
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E DISTRIBUIÇÕES 
EXEMPLO 3: 
)2()1()1(  xPxPxP
Qual a probabilidade de 1 deles ser defeituoso? E pelo 
menos 1? 
222
22 )95,0()05,0()2(   CqpCxP xnx
xn
Onde: 
n – número de testes = 2, 
p – probabilidade de sucesso (defeito)= 0,05, 
q – probabilidade de insucesso = 0,95, 
x – número de sucessos em n testes = 2 e 
n-x – número de insucesso em n testes = (2-2) = 0. 
0025,005,0*05,0*1)2( xP
0025,00475,0*2)2()1()1(  xPxPxP
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E DISTRIBUIÇÕES 
FORMATO DA BINOMIAL 
Para qualquer número de testes n, a distribuição de 
probabilidades binomial é: 
Simétrica se p = 0,5; 
Assimétrica à direita se p 0,5. 
EXEMPLO 4: 
Para n = 4: 
p=0,5 p=0,3 p=0,8 
x p(x) p(x) p(x) 
0 0,0625 0,2401 0,0016 
1 0,2500 0,4116 0,0256 
2 0,3750 0,2646 0,1536 
3 0,2500 0,0756 0,4096 
4 0,0625 0,0081 0,4096 
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E DISTRIBUIÇÕES 
FORMATO DA BINOMIAL 
Para qualquer número de testes n, a distribuição de 
probabilidades binomial é: 
Simétrica se p = 0,5; 
Assimétrica à direita se p 0,5. 
EXEMPLO 4: 
Para n = 4: 
0,0000
0,0500
0,1000
0,1500
0,2000
0,2500
0,3000
0,3500
0,4000
0,4500
0 1 2 3 4
p=0,50
p=0,30
p=0,80
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E DISTRIBUIÇÕES 
FORMATO DA BINOMIAL 
Para qualquer número de testes n, a distribuição de 
probabilidades binomial é: 
Simétrica se p = 0,5; 
Assimétrica à direita se p 0,5. 
EXEMPLO 4: 
Para n = 4: 
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E DISTRIBUIÇÕES 
MÉDIA ARITMÉTICA E DESVIO=PADRÃO DA BINOMIAL 
A média e o desvio-padrão da distribuição de 
probabilidade binominal são dados por: 
np
npq
 - média aritmética 
n – número de testes 
p – probabilidade de sucesso 
 - desvio-padrão 
n – número de testes 
p – probabilidade de sucesso, q = 1-p. 
As mesmas condições das binomiais, exceto pelo fato de 
que os experimentos não são independentes. Neste caso, 
a probabilidade de ocorrer exatamente x sucessos é dada 
por: 
DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES HIPERGEOMÉTRICAS 
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E DISTRIBUIÇÕES 
nN
xnrNxr
C
CC
xP )(
Onde: 
N – número total de elementos da população, 
r – sucessos na população (N-r = insucessos na pop.), 
n – número de testes (tamanho da amostra), 
x – sucessos em n testes (n-x = insucessos na amostra). 
Sucessos na pop. e na amostra 
Insucessos na pop. e na amostra 
Total na pop. e na amostra 
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E DISTRIBUIÇÕES 
EXEMPLO 5: 
Uma empresa remeteu 25 peças para uma loja, mas 5 
destas tinham defeito. Quando isto foi descoberto, 4 
peças das 25 tinham sido vendidas. Qual a probabilidade 
de que 3 das 4 vendidas serem perfeitas e 1 ter 
defeito? 
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E DISTRIBUIÇÕES 
EXEMPLO 5: 
Uma empresa remeteu 25 peças para uma loja, mas 5 
destas tinham defeito. Quando isto foi descoberto, 4 
peças das 25 tinham sido vendidas. Qual a probabilidade 
de que 3 das 4 vendidas serem perfeitas e 1 ter 
defeito? 
425
15320 *
)3(
C
CC
C
CC
xP
nN
xnrNxr  
Onde: 
N – número total de elementos da população = 25, 
r – sucessos (perfeitas) na população = 20 (N-r = 5), 
n – número de testes = 4, 
x – sucessos (perfeitas) em n testes = 1 (n-x = 3). 
)!425(!4
!25
)!15(!1
!5
*
)!320(!3
!20



4506,0
12650
5*1140

VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E DISTRIBUIÇÕES 
EXEMPLO 5 – FORMA ALTERNATIVA: 
Uma empresa remeteu 25 peças para uma loja, mas 5 
destas tinham defeito. Quando isto foi descoberto, 4 
peças das 25 tinham sido vendidas. Qual a probabilidade 
de que 3 das 4 vendidas serem perfeitas e 1 ter 
defeito? 
425
32015 *
)1(
C
CC
C
CC
xP
nN
xnrNxr  
Onde: 
N – número total de elementos da população = 25, 
r – sucessos (defeitos) na população = 5 (N-r = 20), 
n – número de testes = 4, 
x – sucessos (defeitos) em n testes = 1 (n-x = 3). 
)!425(!4
!25
)!320(!3
!20
*
)!15(!1
!5



4506,0
12650
1140*5

Ocorre quando 3 condições são satisfeitas: 
DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES DE POISSONVARIÁVEIS ALEATÓRIAS E DISTRIBUIÇÕES 
(1) X deve ser variável aleatória discreta. 
(2) As ocorrências devem ser aleatórias. 
(3) As ocorrências devem ser independentes. 
Exemplos que seguem distribuição de Poisson: 
 
(A)Número de acidentes em uma rodovia em 1 semana; 
(B)Número de clientes que entram em um supermercado em 
1 hora; 
(C)Número de aparelhos de televisão vendidos em 1 
semana. 
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E DISTRIBUIÇÕES 
Número de passageiros que 
chegam em um aeroporto 
Número de pacientes que 
chegam em um consultório 
A chegada de pacientes em um 
consultório ou em um aeroporto não 
são aleatórias, pois os horários de 
chegadas são agendados e a 
distribuição de Poisson não pode ser 
aplicada. A fórmula de distribuição de 
probabilidade de Poisson é: 
!
)(
x
e
xP
x  

Onde:  é a média aritmética do 
número de ocorrências no intervalo, 
e o valor e = 2,71828. 
NoticiaANSBomDiaBrasil.mp4
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E DISTRIBUIÇÕES 
EXEMPLO 6: 
Uma empresa oferece exame gratuito de seus produtos por 
7 dias. Foi observado que em média 2 de 10 produtos 
vendidos são devolvidos. Usando Poisson, encontrar a 
probabilidade de exatamente 6 produtos de 40 vendidos 
serem devolvidos. 
1221,0
720
)00033546,0(*)14,262(
!6
8
!
)6(
86

 e
x
e
xP
x 
Observar que se 2 em 10 são devolvidos, então: 
 2 em 10 são devolvidos 
  em 40 são devolvidos 
Logo,  = 8 produtos devolvidos. 
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E DISTRIBUIÇÕES 
EXEMPLO 6: 
O Exemplo 5 pode ser resolvido utilizando-se uma 
binomial. Para tanto, observar que a probabilidade de 
sucesso (probabilidade produto devolvido) é p = 2/10 = 
0,20, o número de testes é n = 40 (produtos vendidos) e 
o número de sucessos é x = 6 (produtos devolvidos). 
6406
640)6(   qpCqpCxP xnx
xn
346 )8,0()2,0(*
)!640(!6
!40


1246,000050706,0*000064,0*380.838.3 
Na verdade, para n grande, isto é n > 25 e   25, é 
mais fácil usar a Poisson do que a binomial. Se n > 25 
e  > 25 é melhor usar a distribuição Normal (próximo 
capítulo). 
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E DISTRIBUIÇÕES 
EXEMPLO 7: 
Uma loja consegue vender 0,9 carros em média por dia. 
Calcular e desenhar o gráfico da distribuição de 
Poisson associada para valores do número de vendas de 0 
até 6 carros. 
x P(x) 
0 0,4066 
1 0,3659 
2 0,1647 
3 0,0494 
4 0,0111 
5 0,0020 
6 0,0003 
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
1 2 3 4 5 6 7
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E DISTRIBUIÇÕES 
MÉDIA ARITMÉTICA E DESVIO-PADRÃO DA POISSON 
A média e o desvio-padrão da distribuição de 
probabilidade de Poisson são dados por: 
 
 
 - média aritmética 
 – média de ocorrências 
 - desvio-padrão 
 – média de ocorrências 
OBRIGADO !!!