Lei da Gravitação de Newton e Energia Potencial Gravitacional

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19/02/2015 
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Gravitação 
Gilson Amorim 
Lei da Gravitação 
 de Newton 
• Toda partícula atrai todas as outras partículas 
com uma força gravitacional cujo módulo é 
dado por 
 
onde m1 e m2 são as massas das partículas, r é a 
distância entre elas e G é a constante 
gravitacional, cujo valor é 
Lei da Gravitação 
 de Newton 
 
Lei da Gravitação 
 de Newton 
• A lei da gravitação de Newton no seu modo 
vetorial é 
 
 
• Importante notar que esta força não sofre 
alteração, mesmo que uma terceira força surja 
entre as duas outras. Não é possível blindar o 
efeito da partícula 2 sobre a partícula 1, e 
vice-versa 
 
 
Teorema das cascas 
• A lei da gravitação de Newton é válida quando 
os dois corpos envolvidos são considerados 
partículas. No exemplo Terra-Lua, certamente 
esta suposição é razoável, pois, como a 
distância entre os dois astros é muito grande, 
podemos supor duas partículas. 
• O mesmo não pode ser dito no caso do 
sistema Maçã-Terra. 
Teorema das cascas 
• Comparando a maçã com a Terra, pode-se 
dizer que a maçã é uma partícula comparada 
com a Terra, entretanto o contrário não é 
possível. 
• Para resolver este problema, Newton provou 
um importante teorema conhecido por 
teorema das cascas, que pode ser enunciado 
como 
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Teorema das casacas 
• Uma casca esférica uniforme de matéria atrai 
uma partícula que se encontra fora da casca 
como se toda a massa estivesse concentrada 
no seu centro. 
Gravitação e o Princípio da 
Superposição 
• Dado um sistema com n partículas, se 
quisermos calcular a força gravitacional 
resultante sobre a partícula 1 devido a todas 
as outras, basta soma o efeito de cada uma 
das n-1 partículas sobre a partícula 1, ou seja, 
 
 
onde é a força resultante sobre a 
partícula1 devido a todas as outras partículas 
Gravitação e o Princípio da 
Superposição 
• Em uma distribuição de massa contínua, um 
objeto real, a soma acima pode ser substituída 
por uma integral, ou seja, 
 
 
Se o objeto acima é uma esfera (cascas 
concêntricas como uma cebola) ou casca 
esférica, substituindo a esfera ou casaca por 
uma partícula. 
Exemplo 1 
 
Exemplo 1 - Solução 
• Os módulos das forças que atuam sobre a 
partícula 1 é 
 
Exemplo 1 - Solução 
 
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Exemplo 1 - Solução 
• Graficamente, os vetores que atuam sobre a 
partícula 1 será 
Exemplo 1 - Solução 
• Calculado o módulo da força resultante sobre 
a partícula 1 teremos 
 
 
 
• O ângulo do vetor resultante será 
 
Exemplo 2 
 
Exemplo 2 - Solução 
• Como as partículas 2 e 4 estão à mesma 
distância da partícula 1 e possuem a mesma 
massa, tem-se 
 
 
• Analogamente, as partículas 3 e 5 estão à 
mesma distância da partícula 1 e possuem a 
mesma massa 
Exemplo 2 - Solução 
 
 
 
• Pode-se notar que os vetores 𝐹 12 e 𝐹 14 se 
anulam, já que têm a mesma direção, mesma 
módulo e sentidos opostos. 
• Já os vetores 𝐹 13 e 𝐹 15 terão as componentes 
x anuladas e y somadas 
Exemplo 2 - Solução 
• A força resultante sobre a partícula 1 
finalmente será 
 
 
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Energia Potencial 
Gravitacional 
• Na disciplina Física A, tratou-se de problemas 
em que se calculava a energia potencial 
gravitacional para partículas na superfície da 
Terra, ou nas proximidades, tomando-se nulo, 
geralmente, na superfície. 
 
Energia Potencial Gravitacional 
Próximo à Superfície da Terra 
• Para sistemas conservativos, em que energia 
mecânica se conserva, podemos dizer que: 
• Ki + Ui = Kf + Uf 
• onde K é a energia cinética e U é a energia 
potencial do sistema, e os índices i e f 
representam inicial e final, respectivamente. 
Reescrevendo a equação acime teremos, 
• ∆𝐾 + ∆𝑈 = 0 
 
Energia Potencial Gravitacional 
Próximo à Superfície da Terra 
• Onde ∆𝐾 = 𝐾𝑓 − 𝐾𝑖 e ∆U = 𝑈𝑓 − 𝑈𝑖 . 
• Por outro lado, do teorema trabalho energia 
podemos escrever 
• ∆𝐾 = W e ∆U = −W 
Energia Potencial Gravitacional 
Próximo à Superfície da Terra 
• Ao longo do eixo x, quando a força varia com a 
posição, tem-se: 
 
 
• Ou ainda, 
 
Energia Potencial Gravitacional 
Próximo à Superfície da Terra 
• Para o caso em que a força envolvida é 
gravitacional, obtêm-se: 
 
 
 
 
• onde o sinal negativo em –mg é porque o 
peso está no sentido oposto ao do eixo y. 
Energia Potencial Gravitacional 
Próximo à Superfície da Terra 
• Ou ainda, 
 
 
• Tomando como referência Ui = 0 e yi = 0, tem-
se: 
 
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Energia Potencial Gravitacional 
Próximo à Superfície da Terra 
 
Energia Potencial Gravitacional de 
Duas Partículas Separadas por Grandes Distâncias 
• Ampliando nossa visão, vamos considerar a 
energia potencial gravitacional U de duas 
partículas, de massa m e M, separadas por 
uma distância r. 
• Novamente, utiliza-se uma configuração de 
referência com U igual a zero, com a distância 
r tomada como infinita ( U=0 para 𝑟 = ∞). 
Energia Potencial Gravitacional de 
Duas Partículas Separadas por Grandes Distâncias 
• Deste modo, pode-se escrever a energia 
potencial gravitacional entre duas partículas 
de massa M e m, é dada por 
 
 
• U(r) é nula para r tendendo ao infinito e 
negativo para valores finitos de r. 
Energia Potencial Gravitacional de 
Duas Partículas Separadas por Grandes Distâncias 
• Para o caso em que temos um sistema com 
várias partículas, devemos considerar a 
interação entre as partículas duas a duas, 
como se as outras não existissem e, no final, 
somar todas as interações. 
• Tomando, por exemplo, o sistema com 3 
partículas, a energia potencial gravitacional 
total deste sistema será: 
Energia Potencial Gravitacional de 
Duas Partículas Separadas por Grandes Distâncias 
 
 
 
• onde r12 é a distância entre as partículas 1 e 2, 
r13 entre 1 e 3 e r23 entre as partículas 2 e 3. 
Referências 
• HALLIDAY, David; RESNICK, Robert. 
Fundamentos de Física. V.2. 8.Ed. Rio de Janeiro: 
Livros Técnicos e Científicos, 2007.