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Introdução
Conservação de Massa
Conservação de Energia
Aplicações
Dinâmica de Rotação
Viscosidade
Exercícios
Aula de Física II - Dinâmica dos Fluidos
Prof.: Leandro Aguiar Fernandes
(lafernandes@iprj.uerj.br)
Universidade do Estado do Rio de Janeiro
Instituto Politécnico - IPRJ/UERJ
Departamento de Engenharia Mecânica e Energia
Graduação em Engenharia Mecânica/Computação
27 de agosto de 2010
Prof.: Leandro Aguiar Fernandes(lafernandes@iprj.uerj.br) Aula de Física II - Dinâmica dos Fluidos
Introdução
Conservação de Massa
Conservação de Energia
Aplicações
Dinâmica de Rotação
Viscosidade
Exercícios
Linhas de Corrente
Regimes de Escoamento
Linhas de Corrente
Descrição do movimento de um fluido:
Elemento de volume ∆V suficientemente pequeno para ser
tratado como partícula;
Dada sua posição
~
r
0
num dado instante t
0
, num instante
posterior t, ela ocupará a posição
~
r(t,~r
0
, t
0
);
Pode-se calcular
~
r em função de t para qualquer partícula
(Método de Lagrange);
Pode-se, também, destacar um ponto
~
r do fluido e descrever a
variação da velocidade
~
v em função do tempo deste ponto
(Método de Euler);
A associação de um vetor velocidade a cada ponto do fluido define
o campo de velocidades do fluido.
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Introdução
Conservação de Massa
Conservação de Energia
Aplicações
Dinâmica de Rotação
Viscosidade
Exercícios
Linhas de Corrente
Regimes de Escoamento
Linhas de Corrente
Descrição do movimento de um fluido:
Elemento de volume ∆V suficientemente pequeno para ser
tratado como partícula;
Dada sua posição
~
r
0
num dado instante t
0
, num instante
posterior t, ela ocupará a posição
~
r(t,~r
0
, t
0
);
Pode-se calcular
~
r em função de t para qualquer partícula
(Método de Lagrange);
Pode-se, também, destacar um ponto
~
r do fluido e descrever a
variação da velocidade
~
v em função do tempo deste ponto
(Método de Euler);
A associação de um vetor velocidade a cada ponto do fluido define
o campo de velocidades do fluido.
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Aplicações
Dinâmica de Rotação
Viscosidade
Exercícios
Linhas de Corrente
Regimes de Escoamento
Linhas de Corrente
Descrição do movimento de um fluido:
Elemento de volume ∆V suficientemente pequeno para ser
tratado como partícula;
Dada sua posição
~
r
0
num dado instante t
0
, num instante
posterior t, ela ocupará a posição
~
r(t,~r
0
, t
0
);
Pode-se calcular
~
r em função de t para qualquer partícula
(Método de Lagrange);
Pode-se, também, destacar um ponto
~
r do fluido e descrever a
variação da velocidade
~
v em função do tempo deste ponto
(Método de Euler);
A associação de um vetor velocidade a cada ponto do fluido define
o campo de velocidades do fluido.
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Linhas de Corrente
Regimes de Escoamento
Linhas de Corrente
Descrição do movimento de um fluido:
Elemento de volume ∆V suficientemente pequeno para ser
tratado como partícula;
Dada sua posição
~
r
0
num dado instante t
0
, num instante
posterior t, ela ocupará a posição
~
r(t,~r
0
, t
0
);
Pode-se calcular
~
r em função de t para qualquer partícula
(Método de Lagrange);
Pode-se, também, destacar um ponto
~
r do fluido e descrever a
variação da velocidade
~
v em função do tempo deste ponto
(Método de Euler);
A associação de um vetor velocidade a cada ponto do fluido define
o campo de velocidades do fluido.
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Linhas de Corrente
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Linhas de Corrente
Descrição do movimento de um fluido:
Elemento de volume ∆V suficientemente pequeno para ser
tratado como partícula;
Dada sua posição
~
r
0
num dado instante t
0
, num instante
posterior t, ela ocupará a posição
~
r(t,~r
0
, t
0
);
Pode-se calcular
~
r em função de t para qualquer partícula
(Método de Lagrange);
Pode-se, também, destacar um ponto
~
r do fluido e descrever a
variação da velocidade
~
v em função do tempo deste ponto
(Método de Euler);
A associação de um vetor velocidade a cada ponto do fluido define
o campo de velocidades do fluido.
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Linhas de Corrente
Descrição do movimento de um fluido:
Elemento de volume ∆V suficientemente pequeno para ser
tratado como partícula;
Dada sua posição
~
r
0
num dado instante t
0
, num instante
posterior t, ela ocupará a posição
~
r(t,~r
0
, t
0
);
Pode-se calcular
~
r em função de t para qualquer partícula
(Método de Lagrange);
Pode-se, também, destacar um ponto
~
r do fluido e descrever a
variação da velocidade
~
v em função do tempo deste ponto
(Método de Euler);
A associação de um vetor velocidade a cada ponto do fluido define
o campo de velocidades do fluido.
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Viscosidade
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Linhas de Corrente
Regimes de Escoamento
Linhas de Corrente
Descrição do movimento de um fluido:
Elemento de volume ∆V suficientemente pequeno para ser
tratado como partícula;
Dada sua posição
~
r
0
num dado instante t
0
, num instante
posterior t, ela ocupará a posição
~
r(t,~r
0
, t
0
);
Pode-se calcular
~
r em função de t para qualquer partícula
(Método de Lagrange);
Pode-se, também, destacar um ponto
~
r do fluido e descrever a
variação da velocidade
~
v em função do tempo deste ponto
(Método de Euler);
A associação de um vetor velocidade a cada ponto do fluido define
o campo de velocidades do fluido.
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Viscosidade
Exercícios
Linhas de Corrente
Regimes de Escoamento
Chama-se Linha de Corrente num dado instante uma linha
tangente em cada ponto ao vetor
~
v nesse ponto.
A superfície formada num dado instante por todas as linhas de
corrente que passam pelos pontos de uma dada curva C fechada no
fluido é dita Tubo de Corrente.
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Viscosidade
Exercícios
Linhas de Corrente
Regimes de Escoamento
Chama-se Linha de Corrente num dado instante uma linha
tangente em cada ponto ao vetor
~
v nesse ponto.
A superfície formada num dado instante por todas as linhas de
corrente que passam pelos pontos de uma dada curva C fechada no
fluido é dita Tubo de Corrente.Prof.: Leandro Aguiar Fernandes(lafernandes@iprj.uerj.br) Aula de Física II - Dinâmica dos Fluidos
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Viscosidade
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Linhas de Corrente
Regimes de Escoamento
Chama-se Linha de Corrente num dado instante uma linha
tangente em cada ponto ao vetor
~
v nesse ponto.
A superfície formada num dado instante por todas as linhas de
corrente que passam pelos pontos de uma dada curva C fechada no
fluido é dita Tubo de Corrente.
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Introdução
Conservação de Massa
Conservação de Energia
Aplicações
Dinâmica de Rotação
Viscosidade
Exercícios
Linhas de Corrente
Regimes de Escoamento
Regimes de Escoamento
O escoamento de um fluido é dito estacionário quando o
campo de velocidade do fluido não varia com o tempo. Neste
caso, dizemos que o escoamento é em regime permanente.
Num escoamento estacionário, as linhas de corrente coincidem
com as trajetórias das partículas do fluido, sem se cruzarem
umas com as outras. Desta forma, o fluido se escoa dentro do
tubo de corrente como se suas paredes fossem sólidas,
constituindo uma canalização.
O escoamento de um fluido é dito não-estacionário quando o
campo de velocidade do fluido varia com o tempo. Neste caso,
as linhas de corrente variam a cada instante e não coincidem
mais com as trajetórias, caracterizando uma turbulência.
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Viscosidade
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Linhas de Corrente
Regimes de Escoamento
Regimes de Escoamento
O escoamento de um fluido é dito estacionário quando o
campo de velocidade do fluido não varia com o tempo. Neste
caso, dizemos que o escoamento é em regime permanente.
Num escoamento estacionário, as linhas de corrente coincidem
com as trajetórias das partículas do fluido, sem se cruzarem
umas com as outras. Desta forma, o fluido se escoa dentro do
tubo de corrente como se suas paredes fossem sólidas,
constituindo uma canalização.
O escoamento de um fluido é dito não-estacionário quando o
campo de velocidade do fluido varia com o tempo. Neste caso,
as linhas de corrente variam a cada instante e não coincidem
mais com as trajetórias, caracterizando uma turbulência.
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Aplicações
Dinâmica de Rotação
Viscosidade
Exercícios
Linhas de Corrente
Regimes de Escoamento
Regimes de Escoamento
O escoamento de um fluido é dito estacionário quando o
campo de velocidade do fluido não varia com o tempo. Neste
caso, dizemos que o escoamento é em regime permanente.
Num escoamento estacionário, as linhas de corrente coincidem
com as trajetórias das partículas do fluido, sem se cruzarem
umas com as outras. Desta forma, o fluido se escoa dentro do
tubo de corrente como se suas paredes fossem sólidas,
constituindo uma canalização.
O escoamento de um fluido é dito não-estacionário quando o
campo de velocidade do fluido varia com o tempo. Neste caso,
as linhas de corrente variam a cada instante e não coincidem
mais com as trajetórias, caracterizando uma turbulência.
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Introdução
Conservação de Massa
Conservação de Energia
Aplicações
Dinâmica de Rotação
Viscosidade
Exercícios
Linhas de Corrente
Regimes de Escoamento
Regimes de Escoamento
O escoamento de um fluido é dito estacionário quando o
campo de velocidade do fluido não varia com o tempo. Neste
caso, dizemos que o escoamento é em regime permanente.
Num escoamento estacionário, as linhas de corrente coincidem
com as trajetórias das partículas do fluido, sem se cruzarem
umas com as outras. Desta forma, o fluido se escoa dentro do
tubo de corrente como se suas paredes fossem sólidas,
constituindo uma canalização.
O escoamento de um fluido é dito não-estacionário quando o
campo de velocidade do fluido varia com o tempo. Neste caso,
as linhas de corrente variam a cada instante e não coincidem
mais com as trajetórias, caracterizando uma turbulência.
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Introdução
Conservação de Massa
Conservação de Energia
Aplicações
Dinâmica de Rotação
Viscosidade
Exercícios
Equação da Continuidade
Caso Geral Não-Estacionário
Equação da Continuidade
Consideremos um tubo de corrente cuja secção transversal no
entorno de um dado ponto do fluido num dado instante tenha área
A:
Sendo ρ a densidade do fluido e ~v a velocidade do fluido no ponto
e no instante considerado, então a massa do fluido que atravessa
essa secção num intervalo de tempo infinitesimal ∆t é dada por:
∆m = ρ ∗ A ∗ v ∗∆t (1)
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Viscosidade
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Equação da Continuidade
Caso Geral Não-Estacionário
Equação da Continuidade
Consideremos um tubo de corrente cuja secção transversal no
entorno de um dado ponto do fluido num dado instante tenha área
A:
Sendo ρ a densidade do fluido e ~v a velocidade do fluido no ponto
e no instante considerado, então a massa do fluido que atravessa
essa secção num intervalo de tempo infinitesimal ∆t é dada por:
∆m = ρ ∗ A ∗ v ∗∆t (1)
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Viscosidade
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Equação da Continuidade
Caso Geral Não-Estacionário
Equação da Continuidade
Consideremos um tubo de corrente cuja secção transversal no
entorno de um dado ponto do fluido num dado instante tenha área
A:
Sendo ρ a densidade do fluido e ~v a velocidade do fluido no ponto
e no instante considerado, então a massa do fluido que atravessa
essa secção num intervalo de tempo infinitesimal ∆t é dada por:
∆m = ρ ∗ A ∗ v ∗∆t (1)
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Equação da Continuidade
Caso Geral Não-Estacionário
Equação da Continuidade
Consideremos um tubo de corrente cuja secção transversal no
entorno de um dado ponto do fluido num dado instante tenha área
A:
Sendo ρ a densidade do fluido e ~v a velocidade do fluido no ponto
e no instante considerado, então a massa do fluido que atravessa
essa secção num intervalo de tempo infinitesimal ∆t é dada por:
∆m = ρ ∗ A ∗ v ∗∆t (1)
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Equação da Continuidade
Caso Geral Não-Estacionário
Equação da Continuidade
Consideremos um tubo de corrente cuja secção transversal no
entorno de um dado ponto do fluido num dado instante tenha área
A:
Sendo ρ a densidade do fluido e ~v a velocidade do fluido no ponto
e no instante considerado, então a massa do fluido que atravessa
essa secção num intervalo de tempo infinitesimal ∆t é dada por:
∆m = ρ ∗ A ∗ v ∗∆t (1)
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Viscosidade
Exercícios
Equação da Continuidade
Caso Geral Não-Estacionário
Sendo um escoamento estácionário, a massa de fluido contida entre
as secções A
1
e A
2
não pode variar com o tempo, ou seja:
∆m
1
= ∆m
2
=⇒ ρ
1
∗ A
1
∗ v
1
∗∆t = ρ
2
∗ A
2
∗ v
2
∗∆t (2)
Portanto:
ρ
1
∗ A
1
∗ v
1
= ρ
2
∗ A
2
∗ v
2
(3)
o que, para um fluido imcompressível, resulta em:
A
1
∗ v
1
= A
2
∗ v
2
(4)
ou seja, o produto A ∗ v permanece constante ao longo do tubo de
corrente, representando o fluxo de massa por unidade de tempo
através da secção transversal do tubo, dita vazão do tubo (
m
3
s
).
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Equação da Continuidade
Caso Geral Não-Estacionário
Sendo um escoamento estácionário, a massa de fluido contida entre
as secções A
1
e A
2
não pode variar com o tempo, ou seja:
∆m
1
= ∆m
2
=⇒ ρ
1
∗ A
1
∗ v
1
∗∆t = ρ
2
∗ A
2
∗ v
2
∗∆t (2)
Portanto:
ρ
1
∗ A
1
∗ v
1
= ρ
2
∗ A
2
∗ v
2
(3)
o que, para um fluido imcompressível, resulta em:
A
1
∗ v
1
= A
2
∗ v
2
(4)
ou seja, o produto A ∗ v permanece constante ao longo do tubo de
corrente, representando o fluxo de massa por unidade de tempo
através da secção transversal do tubo, dita vazão do tubo (
m
3
s
).
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Equação da Continuidade
Caso Geral Não-Estacionário
Sendo um escoamento estácionário, a massa de fluido contida entre
as secções A
1
e A
2
não pode variar com o tempo, ou seja:
∆m
1
= ∆m
2
=⇒
ρ
1
∗ A
1
∗ v
1
∗∆t = ρ
2
∗ A
2
∗ v
2
∗∆t (2)
Portanto:
ρ
1
∗ A
1
∗ v
1
= ρ
2
∗ A
2
∗ v
2
(3)
o que, para um fluido imcompressível, resulta em:
A
1
∗ v
1
= A
2
∗ v
2
(4)
ou seja, o produto A ∗ v permanece constante ao longo do tubo de
corrente, representando o fluxo de massa por unidade de tempo
através da secção transversal do tubo, dita vazão do tubo (
m
3
s
).
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Caso Geral Não-Estacionário
Sendo um escoamento estácionário, a massa de fluido contida entre
as secções A
1
e A
2
não pode variar com o tempo, ou seja:
∆m
1
= ∆m
2
=⇒ ρ
1
∗ A
1
∗ v
1
∗∆t = ρ
2
∗ A
2
∗ v
2
∗∆t (2)
Portanto:
ρ
1
∗ A
1
∗ v
1
= ρ
2
∗ A
2
∗ v
2
(3)
o que, para um fluido imcompressível, resulta em:
A
1
∗ v
1
= A
2
∗ v
2
(4)
ou seja, o produto A ∗ v permanece constante ao longo do tubo de
corrente, representando o fluxo de massa por unidade de tempo
através da secção transversal do tubo, dita vazão do tubo (
m
3
s
).
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Caso Geral Não-Estacionário
Sendo um escoamento estácionário, a massa de fluido contida entre
as secções A
1
e A
2
não pode variar com o tempo, ou seja:
∆m
1
= ∆m
2
=⇒ ρ
1
∗ A
1
∗ v
1
∗∆t = ρ
2
∗ A
2
∗ v
2
∗∆t (2)
Portanto:
ρ
1
∗ A
1
∗ v
1
= ρ
2
∗ A
2
∗ v
2
(3)
o que, para um fluido imcompressível, resulta em:
A
1
∗ v
1
= A
2
∗ v
2
(4)
ou seja, o produto A ∗ v permanece constante ao longo do tubo de
corrente, representando o fluxo de massa por unidade de tempo
através da secção transversal do tubo, dita vazão do tubo (
m
3
s
).
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Caso Geral Não-Estacionário
Sendo um escoamento estácionário, a massa de fluido contida entre
as secções A
1
e A
2
não pode variar com o tempo, ou seja:
∆m
1
= ∆m
2
=⇒ ρ
1
∗ A
1
∗ v
1
∗∆t = ρ
2
∗ A
2
∗ v
2
∗∆t (2)
Portanto:
ρ
1
∗ A
1
∗ v
1
= ρ
2
∗ A
2
∗ v
2
(3)
o que, para um fluido imcompressível, resulta em:
A
1
∗ v
1
= A
2
∗ v
2
(4)
ou seja, o produto A ∗ v permanece constante ao longo do tubo de
corrente, representando o fluxo de massa por unidade de tempo
através da secção transversal do tubo, dita vazão do tubo (
m
3
s
).
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Viscosidade
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Equação da Continuidade
Caso Geral Não-Estacionário
Sendo um escoamento estácionário, a massa de fluido contida entre
as secções A
1
e A
2
não pode variar com o tempo, ou seja:
∆m
1
= ∆m
2
=⇒ ρ
1
∗ A
1
∗ v
1
∗∆t = ρ
2
∗ A
2
∗ v
2
∗∆t (2)
Portanto:
ρ
1
∗ A
1
∗ v
1
= ρ
2
∗ A
2
∗ v
2
(3)
o que, para um fluido imcompressível, resulta em:
A
1
∗ v
1
= A
2
∗ v
2
(4)
ou seja, o produto A ∗ v permanece constante ao longo do tubo de
corrente, representando o fluxo de massa por unidade de tempo
através da secção transversal do tubo, dita vazão do tubo (
m
3
s
).
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Conservação de Massa
Conservação de Energia
Aplicações
Dinâmica de Rotação
Viscosidade
Exercícios
Equação da Continuidade
Caso Geral Não-Estacionário
Sendo um escoamento estácionário, a massa de fluido contida entre
as secções A
1
e A
2
não pode variar com o tempo, ou seja:
∆m
1
= ∆m
2
=⇒ ρ
1
∗ A
1
∗ v
1
∗∆t = ρ
2
∗ A
2
∗ v
2
∗∆t (2)
Portanto:
ρ
1
∗ A
1
∗ v
1
= ρ
2
∗ A
2
∗ v
2
(3)
o que, para um fluido imcompressível, resulta em:
A
1
∗ v
1
= A
2
∗ v
2
(4)
ou seja, o produto A ∗ v permanece constante ao longo do tubo de
corrente, representando o fluxo de massa por unidade de tempo
através da secção transversal do tubo, dita vazão do tubo (
m
3
s
).
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Aplicações
Dinâmica de Rotação
Viscosidade
Exercícios
Equação da Continuidade
Caso Geral Não-Estacionário
Caso Geral Não-Estacionário
Consideremos um volume V fixo do fluido, limitado por uma
superfície fechada S , e seja nˆ o vetor unitário da normal externa em
cada ponto de S :
Neste caso, sendo
~
v ∗ nˆ∆t a altura do cilindro, então (1) fica:
∆m = ρ ∗ ~v ∗ nˆ∆t∆S (5)
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Equação da Continuidade
Caso Geral Não-Estacionário
Caso Geral Não-Estacionário
Consideremos um volume V fixo do fluido, limitado por uma
superfície fechada S , e seja nˆ o vetor unitário da normal externa em
cada ponto de S :
Neste caso, sendo
~
v ∗ nˆ∆t a altura do cilindro, então (1) fica:
∆m = ρ ∗ ~v ∗ nˆ∆t∆S (5)
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Dinâmica de Rotação
Viscosidade
Exercícios
Equação da Continuidade
Caso Geral Não-Estacionário
Caso Geral Não-Estacionário
Consideremos um volume V fixo do fluido, limitado por uma
superfície fechada S , e seja nˆ o vetor unitário da normal externa em
cada ponto de S :
Neste caso, sendo
~
v ∗ nˆ∆t a altura do cilindro, então (1) fica:
∆m = ρ ∗ ~v ∗ nˆ∆t∆S (5)
Prof.: Leandro Aguiar Fernandes(lafernandes@iprj.uerj.br) Aula de Física II - Dinâmica dos Fluidos
Introdução
Conservação de Massa
Conservação de Energia
Aplicações
Dinâmica de Rotação
Viscosidade
Exercícios
Equação da Continuidade
Caso Geral Não-Estacionário
Caso Geral Não-Estacionário
Consideremos um volume V fixo do fluido, limitado por uma
superfície fechada S , e seja nˆ o vetor unitário da normal externa em
cada ponto de S :
Neste caso, sendo
~
v ∗ nˆ∆t a altura do cilindro, então (1) fica:
∆m = ρ ∗ ~v ∗ nˆ∆t∆S (5)
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Consideremos um volume V fixo do fluido, limitado por uma
superfície fechada S , e seja nˆ o vetor unitário da normal externa em
cada ponto de S :
Neste caso, sendo
~
v ∗ nˆ∆t a altura do cilindro, então (1) fica:
∆m = ρ ∗ ~v ∗ nˆ∆t∆S (5)
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Conservação de Massa
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Aplicações
Dinâmica de Rotação
Viscosidade
Exercícios
Equação da Continuidade
Caso Geral Não-Estacionário
A massa total de fluido contida dentro do volume V num dado
instante é:
m =
∫
V
ρdV (6)
Agora, por (5), o decréscimo por unidade de tempo de massa de
fluido contida em V nos dá o fluxo resultante através da superfície
S por unidade de tempo:
−dm
dt
=
∮
S
ρ ∗ ~v ∗ nˆdS (7)
comparando (6) com (7), descrevemos a lei de conservação de
massa num fluido, dita equação da continuidade:∮
S
ρ ∗ ~v ∗ nˆdS = − d
dt
(
∫
V
ρdV ) (8)
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Caso Geral Não-Estacionário
A massa total de fluido contida dentro do volume V num dado
instante é:
m =
∫
V
ρdV (6)
Agora, por (5), o decréscimo por unidade de tempo de massa de
fluido contida em V nos dá o fluxo resultante através da superfície
S por unidade de tempo:
−dm
dt
=
∮
S
ρ ∗ ~v ∗ nˆdS (7)
comparando (6) com (7), descrevemos a lei de conservação de
massa num fluido, dita equação da continuidade:∮
S
ρ ∗ ~v ∗ nˆdS = − d
dt
(
∫
V
ρdV ) (8)
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Caso Geral Não-Estacionário
A massa total de fluido contida dentro do volume V num dado
instante é:
m =
∫
V
ρdV (6)
Agora, por (5), o decréscimo por unidade de tempo de massa de
fluido contida em V nos dá o fluxo resultante através da superfície
S por unidade de tempo:
−dm
dt
=
∮
S
ρ ∗ ~v ∗ nˆdS (7)
comparando (6) com (7), descrevemos a lei de conservação de
massa num fluido, dita equação da continuidade:∮
S
ρ ∗ ~v ∗ nˆdS = − d
dt
(
∫
V
ρdV ) (8)
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A massa total de fluido contida dentro do volume V num dado
instante é:
m =
∫
V
ρdV (6)
Agora, por (5), o decréscimo por unidade de tempo de massa de
fluido contida em V nos dá o fluxo resultante através da superfície
S por unidade de tempo:
−dm
dt
=
∮
S
ρ ∗ ~v ∗ nˆdS (7)
comparando (6) com (7), descrevemos a lei de conservação de
massa num fluido, dita equação da continuidade:∮
S
ρ ∗ ~v ∗ nˆdS = − d
dt
(
∫
V
ρdV ) (8)
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A massa total de fluido contida dentro do volume V num dado
instante é:
m =
∫
V
ρdV (6)
Agora, por (5), o decréscimo por unidade de tempo de massa de
fluido contida em V nos dá o fluxo resultante através da superfície
S por unidade de tempo:
−dm
dt
=
∮
S
ρ ∗ ~v ∗ nˆdS (7)
comparando (6) com (7), descrevemos a lei de conservação de
massa num fluido, dita equação da continuidade:
∮
S
ρ ∗ ~v ∗ nˆdS = − d
dt
(
∫
V
ρdV ) (8)
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A massa total de fluido contida dentro do volume V num dado
instante é:
m =
∫
V
ρdV (6)
Agora, por (5), o decréscimo por unidade de tempo de massa de
fluido contida em V nos dá o fluxo resultante através da superfície
S por unidade de tempo:
−dm
dt
=
∮
S
ρ ∗ ~v ∗ nˆdS (7)
comparando (6) com (7), descrevemos a lei de conservação de
massa num fluido, dita equação da continuidade:∮
S
ρ ∗ ~v ∗ nˆdS = − d
dt
(
∫
V
ρdV ) (8)
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Conservação de Massa
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Aplicações
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Viscosidade
Exercícios
Forças num Fluido em Movimento
Equação de Bernoulli
Forças num Fluido em Movimento
A equação de movimento de uma partícula de um fluido de volume
∆V é dada pela Segunda Lei de Newton:
∆~F
V
+ ∆~F
S
= ∆m~a = ρ~a∆V (9)
Como a pressão num fluido ideal em movimento só pode depender
da posição, então podemos escrever:
∆~F
V
+ ∆~F
S
= (~f − ~∇p)∆V (10)
Comparando (9) com (10), temos que:
ρ~a = ~f − ~∇p (11)
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A equação de movimento de uma partícula de um fluido de volume
∆V é dada pela Segunda Lei de Newton:
∆~F
V
+ ∆~F
S
= ∆m~a = ρ~a∆V (9)
Como a pressão num fluido ideal em movimento só pode dependerda posição, então podemos escrever:
∆~F
V
+ ∆~F
S
= (~f − ~∇p)∆V (10)
Comparando (9) com (10), temos que:
ρ~a = ~f − ~∇p (11)
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A equação de movimento de uma partícula de um fluido de volume
∆V é dada pela Segunda Lei de Newton:
∆~F
V
+ ∆~F
S
= ∆m~a = ρ~a∆V (9)
Como a pressão num fluido ideal em movimento só pode depender
da posição, então podemos escrever:
∆~F
V
+ ∆~F
S
= (~f − ~∇p)∆V (10)
Comparando (9) com (10), temos que:
ρ~a = ~f − ~∇p (11)
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A equação de movimento de uma partícula de um fluido de volume
∆V é dada pela Segunda Lei de Newton:
∆~F
V
+ ∆~F
S
= ∆m~a = ρ~a∆V (9)
Como a pressão num fluido ideal em movimento só pode depender
da posição, então podemos escrever:
∆~F
V
+ ∆~F
S
= (~f − ~∇p)∆V (10)
Comparando (9) com (10), temos que:
ρ~a = ~f − ~∇p (11)
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A equação de movimento de uma partícula de um fluido de volume
∆V é dada pela Segunda Lei de Newton:
∆~F
V
+ ∆~F
S
= ∆m~a = ρ~a∆V (9)
Como a pressão num fluido ideal em movimento só pode depender
da posição, então podemos escrever:
∆~F
V
+ ∆~F
S
= (~f − ~∇p)∆V (10)
Comparando (9) com (10), temos que:
ρ~a = ~f − ~∇p (11)
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Forças num Fluido em Movimento
A equação de movimento de uma partícula de um fluido de volume
∆V é dada pela Segunda Lei de Newton:
∆~F
V
+ ∆~F
S
= ∆m~a = ρ~a∆V (9)
Como a pressão num fluido ideal em movimento só pode depender
da posição, então podemos escrever:
∆~F
V
+ ∆~F
S
= (~f − ~∇p)∆V (10)
Comparando (9) com (10), temos que:
ρ~a = ~f − ~∇p (11)
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Forças num Fluido em Movimento
Equação de Bernoulli
Forças num Fluido em Movimento
A equação de movimento de uma partícula de um fluido de volume
∆V é dada pela Segunda Lei de Newton:
∆~F
V
+ ∆~F
S
= ∆m~a = ρ~a∆V (9)
Como a pressão num fluido ideal em movimento só pode depender
da posição, então podemos escrever:
∆~F
V
+ ∆~F
S
= (~f − ~∇p)∆V (10)
Comparando (9) com (10), temos que:
ρ~a = ~f − ~∇p (11)
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Viscosidade
Exercícios
Forças num Fluido em Movimento
Equação de Bernoulli
Agora, como:
~
f = −~∇(ρgz) (12)
então a equação (11) se torna:
ρ~a = ~f − ~∇(p + ρgz) (13)
mostrando que a pressão p se comporta como uma densidade de
energia potencial.
Se
~
a = 0, teremos:
~
f = ~∇p
que é uma das equações básicas da Estática dos Fluidos.
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Agora, como:
~
f = −~∇(ρgz) (12)
então a equação (11) se torna:
ρ~a = ~f − ~∇(p + ρgz) (13)
mostrando que a pressão p se comporta como uma densidade de
energia potencial.
Se
~
a = 0, teremos:
~
f = ~∇p
que é uma das equações básicas da Estática dos Fluidos.
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Forças num Fluido em Movimento
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Agora, como:
~
f = −~∇(ρgz) (12)
então a equação (11) se torna:
ρ~a = ~f − ~∇(p + ρgz) (13)
mostrando que a pressão p se comporta como uma densidade de
energia potencial.
Se
~
a = 0, teremos:
~
f = ~∇p
que é uma das equações básicas da Estática dos Fluidos.
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Forças num Fluido em Movimento
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Agora, como:
~
f = −~∇(ρgz) (12)
então a equação (11) se torna:
ρ~a = ~f − ~∇(p + ρgz) (13)
mostrando que a pressão p se comporta como uma densidade de
energia potencial.
Se
~
a = 0, teremos:
~
f = ~∇p
que é uma das equações básicas da Estática dos Fluidos.
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Forças num Fluido em Movimento
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Agora, como:
~
f = −~∇(ρgz) (12)
então a equação (11) se torna:
ρ~a = ~f − ~∇(p + ρgz) (13)
mostrando que a pressão p se comporta como uma densidade de
energia potencial.
Se
~
a = 0, teremos:
~
f = ~∇p
que é uma das equações básicas da Estática dos Fluidos.
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Forças num Fluido em Movimento
Equação de Bernoulli
Agora, como:
~
f = −~∇(ρgz) (12)
então a equação (11) se torna:
ρ~a = ~f − ~∇(p + ρgz) (13)
mostrando que a pressão p se comporta como uma densidade de
energia potencial.
Se
~
a = 0, teremos:
~
f = ~∇p
que é uma das equações básicas da Estática dos Fluidos.
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Forças num Fluido em Movimento
Equação de Bernoulli
Agora, como:
~
f = −~∇(ρgz) (12)
então a equação (11) se torna:
ρ~a = ~f − ~∇(p + ρgz) (13)
mostrando que a pressão p se comporta como uma densidade de
energia potencial.
Se
~
a = 0, teremos:
~
f = ~∇p
que é uma das equações básicas da Estática dos Fluidos.
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Conservação de Massa
Conservação de Energia
Aplicações
Dinâmica de Rotação
Viscosidade
Exercícios
Forças num Fluido em Movimento
Equação de Bernoulli
Equação de Bernoulli
Para estudarmos a conservação de energia em Dinâmica dos
Fluidos, devemosconsiderar um fluido ideal incompressível num
escoamento estacionário.
A variação de energia cinética correspondente ao deslocamento de
massa de fluido da secção 1 à secção 2 é:
∆T =
1
2
(∆m
2
∗ v2
2
−∆m
1
∗ v2
1
) (14)
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Introdução
Conservação de Massa
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Aplicações
Dinâmica de Rotação
Viscosidade
Exercícios
Forças num Fluido em Movimento
Equação de Bernoulli
Equação de Bernoulli
Para estudarmos a conservação de energia em Dinâmica dos
Fluidos, devemos considerar um fluido ideal incompressível num
escoamento estacionário.
A variação de energia cinética correspondente ao deslocamento de
massa de fluido da secção 1 à secção 2 é:
∆T =
1
2
(∆m
2
∗ v2
2
−∆m
1
∗ v2
1
) (14)
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Equação de Bernoulli
Equação de Bernoulli
Para estudarmos a conservação de energia em Dinâmica dos
Fluidos, devemos considerar um fluido ideal incompressível num
escoamento estacionário.
A variação de energia cinética correspondente ao deslocamento de
massa de fluido da secção 1 à secção 2 é:
∆T =
1
2
(∆m
2
∗ v2
2
−∆m
1
∗ v2
1
) (14)
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Forças num Fluido em Movimento
Equação de Bernoulli
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Para estudarmos a conservação de energia em Dinâmica dos
Fluidos, devemos considerar um fluido ideal incompressível num
escoamento estacionário.
A variação de energia cinética correspondente ao deslocamento de
massa de fluido da secção 1 à secção 2 é:
∆T =
1
2
(∆m
2
∗ v2
2
−∆m
1
∗ v2
1
) (14)
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Para estudarmos a conservação de energia em Dinâmica dos
Fluidos, devemos considerar um fluido ideal incompressível num
escoamento estacionário.
A variação de energia cinética correspondente ao deslocamento de
massa de fluido da secção 1 à secção 2 é:
∆T =
1
2
(∆m
2
∗ v2
2
−∆m
1
∗ v2
1
) (14)
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Aplicações
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Exercícios
Forças num Fluido em Movimento
Equação de Bernoulli
Agora, o trabalho das forças de pressão é dado por:
(p
1
A
1
)(v
1
∆t)− (p
2
A
2
)(v
2
∆t) (15)
enquanto o trabalho realizado pelas forças gravitacionais, contrário
à variação da energia potencial gravitacional, é dado por:
−g(∆m
2
z
2
−∆m
1
z
1
) (16)
Pelo Teorema Trabalho-Energia, devemos somar (15) com (16) e
igualar a (14):
1
2
(∆m
2
∗v2
2
−∆m
1
∗v2
1
) = p
1
(A
1
v
1
∆t)−p
2
(A
2
v
2
∆t)−g(∆m
2
z
2
−∆m
1
z
1
)
1
2
(∆m
2
∗v2
2
−∆m
1
∗v2
1
) = p
1
(
∆m
1
ρ
)−p
2
(
∆m
2
ρ
)−g(∆m
2
z
2
−∆m
1
z
1
)
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Equação de Bernoulli
Agora, o trabalho das forças de pressão é dado por:
(p
1
A
1
)(v
1
∆t)− (p
2
A
2
)(v
2
∆t) (15)
enquanto o trabalho realizado pelas forças gravitacionais, contrário
à variação da energia potencial gravitacional, é dado por:
−g(∆m
2
z
2
−∆m
1
z
1
) (16)
Pelo Teorema Trabalho-Energia, devemos somar (15) com (16) e
igualar a (14):
1
2
(∆m
2
∗v2
2
−∆m
1
∗v2
1
) = p
1
(A
1
v
1
∆t)−p
2
(A
2
v
2
∆t)−g(∆m
2
z
2
−∆m
1
z
1
)
1
2
(∆m
2
∗v2
2
−∆m
1
∗v2
1
) = p
1
(
∆m
1
ρ
)−p
2
(
∆m
2
ρ
)−g(∆m
2
z
2
−∆m
1
z
1
)
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Equação de Bernoulli
Agora, o trabalho das forças de pressão é dado por:
(p
1
A
1
)(v
1
∆t)− (p
2
A
2
)(v
2
∆t) (15)
enquanto o trabalho realizado pelas forças gravitacionais, contrário
à variação da energia potencial gravitacional, é dado por:
−g(∆m
2
z
2
−∆m
1
z
1
) (16)
Pelo Teorema Trabalho-Energia, devemos somar (15) com (16) e
igualar a (14):
1
2
(∆m
2
∗v2
2
−∆m
1
∗v2
1
) = p
1
(A
1
v
1
∆t)−p
2
(A
2
v
2
∆t)−g(∆m
2
z
2
−∆m
1
z
1
)
1
2
(∆m
2
∗v2
2
−∆m
1
∗v2
1
) = p
1
(
∆m
1
ρ
)−p
2
(
∆m
2
ρ
)−g(∆m
2
z
2
−∆m
1
z
1
)
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Agora, o trabalho das forças de pressão é dado por:
(p
1
A
1
)(v
1
∆t)− (p
2
A
2
)(v
2
∆t) (15)
enquanto o trabalho realizado pelas forças gravitacionais, contrário
à variação da energia potencial gravitacional, é dado por:
−g(∆m
2
z
2
−∆m
1
z
1
) (16)
Pelo Teorema Trabalho-Energia, devemos somar (15) com (16) e
igualar a (14):
1
2
(∆m
2
∗v2
2
−∆m
1
∗v2
1
) = p
1
(A
1
v
1
∆t)−p
2
(A
2
v
2
∆t)−g(∆m
2
z
2
−∆m
1
z
1
)
1
2
(∆m
2
∗v2
2
−∆m
1
∗v2
1
) = p
1
(
∆m
1
ρ
)−p
2
(
∆m
2
ρ
)−g(∆m
2
z
2
−∆m
1
z
1
)
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Introdução
Conservação de Massa
Conservação de Energia
Aplicações
Dinâmica de Rotação
Viscosidade
Exercícios
Forças num Fluido em Movimento
Equação de Bernoulli
Agora, o trabalho das forças de pressão é dado por:
(p
1
A
1
)(v
1
∆t)− (p
2
A
2
)(v
2
∆t) (15)
enquanto o trabalho realizado pelas forças gravitacionais, contrário
à variação da energia potencial gravitacional, é dado por:
−g(∆m
2
z
2
−∆m
1
z
1
) (16)
Pelo Teorema Trabalho-Energia, devemos somar (15) com (16) e
igualar a (14):
1
2
(∆m
2
∗v2
2
−∆m
1
∗v2
1
) = p
1
(A
1
v
1
∆t)−p
2
(A
2
v
2
∆t)−g(∆m
2
z
2
−∆m
1
z
1
)
1
2
(∆m
2
∗v2
2
−∆m
1
∗v2
1
) = p
1
(
∆m
1
ρ
)−p
2
(
∆m
2
ρ
)−g(∆m
2
z
2
−∆m
1
z
1
)
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Forças num Fluido em Movimento
Equação de Bernoulli
Agora, o trabalho das forças de pressão é dado por:
(p
1
A
1
)(v
1
∆t)− (p
2
A
2
)(v
2
∆t) (15)
enquanto o trabalho realizado pelas forças gravitacionais, contrário
à variação da energia potencial gravitacional, é dado por:
−g(∆m
2
z
2
−∆m
1
z
1
) (16)
Pelo Teorema Trabalho-Energia, devemos somar (15) com (16) e
igualar a (14):
1
2
(∆m
2
∗v2
2
−∆m
1
∗v2
1
) = p
1
(A
1
v
1
∆t)−p
2
(A
2
v
2
∆t)−g(∆m
2
z
2
−∆m
1
z
1
)
1
2
(∆m
2
∗v2
2
−∆m
1
∗v2
1
) = p
1
(
∆m
1
ρ
)−p
2
(
∆m
2
ρ
)−g(∆m
2
z
2
−∆m
1
z
1
)
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Agora, o trabalho das forças de pressão é dado por:
(p
1
A
1
)(v
1
∆t)− (p
2
A
2
)(v
2
∆t) (15)
enquanto o trabalho realizado pelas forças gravitacionais, contrário
à variação da energia potencial gravitacional, é dado por:
−g(∆m
2
z
2
−∆m
1
z
1
) (16)
Pelo Teorema Trabalho-Energia, devemos somar (15) com (16) e
igualar a (14):
1
2
(∆m
2
∗v2
2
−∆m
1
∗v2
1
) = p
1
(A
1
v
1
∆t)−p
2
(A
2
v
2
∆t)−g(∆m
2
z
2
−∆m
1
z
1
)
1
2
(∆m
2
∗v2
2
−∆m
1
∗v2
1
) = p
1
(
∆m
1
ρ
)−p
2
(
∆m
2
ρ
)−g(∆m
2
z
2
−∆m
1
z
1
)
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Conservação de Massa
Conservação de Energia
Aplicações
Dinâmica de Rotação
Viscosidade
Exercícios
Forças num Fluido em Movimento
Equação de Bernoulli
Como ∆m
1
= ∆m
2
, resulta:
1
2
v
2
2
+ gz
2
+
p
2
ρ
=
1
2
v
2
1
+ gz
1
+
p
1
ρ
(17)
Considerando um fluido incompressível, não existe a possibilidade
de variação de energia interna, armazenada sob a forma de energia
térmica, de forma que, por (17), temos que:
1
2
ρv2 + p + ρgz = C (18)
é a Equação de Bernoulli (Daniel Bernoulli, 1738), onde C é
constante ao longo do tubo de corrente.
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Forças num Fluido em Movimento
Equação de Bernoulli
Como ∆m
1
= ∆m
2
, resulta:
1
2
v
2
2
+ gz
2
+
p
2
ρ
=
1
2
v
2
1
+ gz
1
+
p
1
ρ
(17)
Considerando um fluido incompressível, não existe a possibilidade
de variação de energia interna, armazenada sob a forma de energia
térmica, de forma que, por (17), temos que:
1
2
ρv2 + p + ρgz = C (18)
é a Equação de Bernoulli (Daniel Bernoulli, 1738), onde C é
constante ao longo do tubo de corrente.
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Exercícios
Forças num Fluido em Movimento
Equação de Bernoulli
Como ∆m
1
= ∆m
2
, resulta:
1
2
v
2
2
+ gz
2
+
p
2
ρ
=
1
2
v
2
1
+ gz
1
+
p
1
ρ
(17)
Considerando um fluido incompressível, não existe a possibilidade
de variação de energia interna, armazenada sob a forma de energia
térmica, de forma que, por (17), temos que:
1
2
ρv2 + p + ρgz = C (18)
é a Equação de Bernoulli (Daniel Bernoulli, 1738), onde C é
constante ao longo do tubo de corrente.
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Equação de Bernoulli
Como ∆m
1
= ∆m
2
, resulta:
1
2
v
2
2
+ gz
2
+
p
2
ρ
=
1
2
v
2
1
+ gz
1
+
p
1
ρ
(17)
Considerando um fluido incompressível, não existe a possibilidade
de variação de energia interna, armazenada sob a forma de energia
térmica, de forma que, por (17), temos que:
1
2
ρv2 + p + ρgz = C (18)
é a Equação de Bernoulli (Daniel Bernoulli, 1738), onde C é
constante ao longo do tubo de corrente.
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Como ∆m
1
= ∆m
2
, resulta:
1
2
v
2
2
+ gz
2
+
p
2
ρ
=
1
2
v
2
1
+ gz
1
+
p
1
ρ
(17)
Considerando um fluido incompressível, não existe a possibilidade
de variação de energia interna, armazenada sob a forma de energia
térmica, de forma que, por (17), temos que:
1
2
ρv2 + p + ρgz = C (18)
é a Equação de Bernoulli (Daniel Bernoulli, 1738), onde C é
constante ao longo do tubo de corrente.
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Conservação de Massa
Conservação de Energia
Aplicações
Dinâmica de Rotação
Viscosidade
Exercícios
Fórmula de Torricelli
Tubo de Pitot
Fenômeno de Venturi
Fórmula de Torricelli
A figura a seguir mostra as linhas de corrente que se iniciam na
superfície livre do fluido de um reservatório:
Aplicandp a equação (17) entre os pontos A e B de uma linha de
corrente do escoamento, temos:
1
2
ρv2
0
+ p
0
+ ρgz
0
=
1
2
ρv2 + p
0
+ ρgz (19)
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Fórmula de Torricelli
A figura a seguir mostra as linhas de corrente que se iniciam na
superfície livre do fluido de um reservatório:
Aplicandp a equação (17) entre os pontos A e B de uma linha de
corrente do escoamento, temos:
1
2
ρv2
0
+ p
0
+ ρgz
0
=
1
2
ρv2 + p
0
+ ρgz (19)
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Fórmula de Torricelli
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Fórmula de Torricelli
A figura a seguir mostra as linhas de corrente que se iniciam na
superfície livre do fluido de um reservatório:
Aplicandp a equação (17) entre os pontos A e B de uma linha de
corrente do escoamento, temos:
1
2
ρv2
0
+ p
0
+ ρgz
0
=
1
2
ρv2 + p
0
+ ρgz (19)
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Fórmula de Torricelli
A figura a seguir mostra as linhas de corrente que se iniciam na
superfície livre do fluido de um reservatório:
Aplicandp a equação(17) entre os pontos A e B de uma linha de
corrente do escoamento, temos:
1
2
ρv2
0
+ p
0
+ ρgz
0
=
1
2
ρv2 + p
0
+ ρgz (19)
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Fórmula de Torricelli
A figura a seguir mostra as linhas de corrente que se iniciam na
superfície livre do fluido de um reservatório:
Aplicandp a equação (17) entre os pontos A e B de uma linha de
corrente do escoamento, temos:
1
2
ρv2
0
+ p
0
+ ρgz
0
=
1
2
ρv2 + p
0
+ ρgz (19)
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Exercícios
Fórmula de Torricelli
Tubo de Pitot
Fenômeno de Venturi
Logo:
1
2
ρv2 = ρgz
0
− ρgz =⇒ v2 = 2
ρ
[ρg(z
0
− z)]
Como z
0
− z = h e a altura de que o líquido desce entre a suérfície
livre e o orifício, e v
0
= 0, então:
v =
√
2gh (20)
que é o resultado obtido por Torricelli em 1636. Observe que se
fizermos v = 0 em (19)(tapando o orifício, por exemplo), obtemos
a Lei de Stevin da Estática de Fluidos.
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Viscosidade
Exercícios
Fórmula de Torricelli
Tubo de Pitot
Fenômeno de Venturi
Logo:
1
2
ρv2 = ρgz
0
− ρgz
=⇒ v2 = 2
ρ
[ρg(z
0
− z)]
Como z
0
− z = h e a altura de que o líquido desce entre a suérfície
livre e o orifício, e v
0
= 0, então:
v =
√
2gh (20)
que é o resultado obtido por Torricelli em 1636. Observe que se
fizermos v = 0 em (19)(tapando o orifício, por exemplo), obtemos
a Lei de Stevin da Estática de Fluidos.
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Exercícios
Fórmula de Torricelli
Tubo de Pitot
Fenômeno de Venturi
Logo:
1
2
ρv2 = ρgz
0
− ρgz =⇒
v
2 =
2
ρ
[ρg(z
0
− z)]
Como z
0
− z = h e a altura de que o líquido desce entre a suérfície
livre e o orifício, e v
0
= 0, então:
v =
√
2gh (20)
que é o resultado obtido por Torricelli em 1636. Observe que se
fizermos v = 0 em (19)(tapando o orifício, por exemplo), obtemos
a Lei de Stevin da Estática de Fluidos.
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Fenômeno de Venturi
Logo:
1
2
ρv2 = ρgz
0
− ρgz =⇒ v2 = 2
ρ
[ρg(z
0
− z)]
Como z
0
− z = h e a altura de que o líquido desce entre a suérfície
livre e o orifício, e v
0
= 0, então:
v =
√
2gh (20)
que é o resultado obtido por Torricelli em 1636. Observe que se
fizermos v = 0 em (19)(tapando o orifício, por exemplo), obtemos
a Lei de Stevin da Estática de Fluidos.
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Logo:
1
2
ρv2 = ρgz
0
− ρgz =⇒ v2 = 2
ρ
[ρg(z
0
− z)]
Como z
0
− z = h e a altura de que o líquido desce entre a suérfície
livre e o orifício, e v
0
= 0, então:
v =
√
2gh (20)
que é o resultado obtido por Torricelli em 1636. Observe que se
fizermos v = 0 em (19)(tapando o orifício, por exemplo), obtemos
a Lei de Stevin da Estática de Fluidos.
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Logo:
1
2
ρv2 = ρgz
0
− ρgz =⇒ v2 = 2
ρ
[ρg(z
0
− z)]
Como z
0
− z = h e a altura de que o líquido desce entre a suérfície
livre e o orifício, e v
0
= 0, então:
v =
√
2gh (20)
que é o resultado obtido por Torricelli em 1636. Observe que se
fizermos v = 0 em (19)(tapando o orifício, por exemplo), obtemos
a Lei de Stevin da Estática de Fluidos.
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Logo:
1
2
ρv2 = ρgz
0
− ρgz =⇒ v2 = 2
ρ
[ρg(z
0
− z)]
Como z
0
− z = h e a altura de que o líquido desce entre a suérfície
livre e o orifício, e v
0
= 0, então:
v =
√
2gh (20)
que é o resultado obtido por Torricelli em 1636. Observe que se
fizermos v = 0 em (19)(tapando o orifício, por exemplo), obtemos
a Lei de Stevin da Estática de Fluidos.
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Dinâmica de Rotação
Viscosidade
Exercícios
Fórmula de Torricelli
Tubo de Pitot
Fenômeno de Venturi
Tubo de Pitot
Seja um campo de escoamento uniforme, e nele introduzido um
corpo de geometria aerodinâmica:
No ponto O, a velocidade do fluido tende zero (ponto de
estagnação), enquanto que no ponto A quase não sofre alteração.
Sendo p
0
a pressão em O, e p a pressão em A, desprezando a
diferença de altura entre essses pontos, então (17) fica:
p
0
= p +
1
2
ρv2 (21)
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Conservação de Massa
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Aplicações
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Fórmula de Torricelli
Tubo de Pitot
Fenômeno de Venturi
Tubo de Pitot
Seja um campo de escoamento uniforme, e nele introduzido um
corpo de geometria aerodinâmica:
No ponto O, a velocidade do fluido tende zero (ponto de
estagnação), enquanto que no ponto A quase não sofre alteração.
Sendo p
0
a pressão em O, e p a pressão em A, desprezando a
diferença de altura entre essses pontos, então (17) fica:
p
0
= p +
1
2
ρv2 (21)
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Tubo de Pitot
Fenômeno de Venturi
Tubo de Pitot
Seja um campo de escoamento uniforme, e nele introduzido um
corpo de geometria aerodinâmica:
No ponto O, a velocidade do fluido tende zero (ponto de
estagnação), enquanto que no ponto A quase não sofre alteração.
Sendo p
0
a pressão em O, e p a pressão em A, desprezando a
diferença de altura entre essses pontos, então (17) fica:
p
0
= p +
1
2
ρv2 (21)
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Aplicações
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Viscosidade
Exercícios
Fórmulade Torricelli
Tubo de Pitot
Fenômeno de Venturi
Tubo de Pitot
Seja um campo de escoamento uniforme, e nele introduzido um
corpo de geometria aerodinâmica:
No ponto O, a velocidade do fluido tende zero (ponto de
estagnação), enquanto que no ponto A quase não sofre alteração.
Sendo p
0
a pressão em O, e p a pressão em A, desprezando a
diferença de altura entre essses pontos, então (17) fica:
p
0
= p +
1
2
ρv2 (21)
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Tubo de Pitot
Seja um campo de escoamento uniforme, e nele introduzido um
corpo de geometria aerodinâmica:
No ponto O, a velocidade do fluido tende zero (ponto de
estagnação), enquanto que no ponto A quase não sofre alteração.
Sendo p
0
a pressão em O, e p a pressão em A, desprezando a
diferença de altura entre essses pontos, então (17) fica:
p
0
= p +
1
2
ρv2 (21)
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Tubo de Pitot
Seja um campo de escoamento uniforme, e nele introduzido um
corpo de geometria aerodinâmica:
No ponto O, a velocidade do fluido tende zero (ponto de
estagnação), enquanto que no ponto A quase não sofre alteração.
Sendo p
0
a pressão em O, e p a pressão em A, desprezando a
diferença de altura entre essses pontos, então (17) fica:
p
0
= p +
1
2
ρv2 (21)
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Tubo de Pitot
Fenômeno de Venturi
Acoplando um manômetro ao corpo, temos um Tubo de Pitot.
Sendo ρ
0
a densidade do fluido no tubo em "U", e h a diferença de
nível nos dois ramos, então:
p
0
− p = ρ
0
gh =
1
2
ρv2 (22)
o que permite medir a velocidade de escoamento do fluido:
v =
√
2ghρ
0
ρ−1 (23)
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Acoplando um manômetro ao corpo, temos um Tubo de Pitot.
Sendo ρ
0
a densidade do fluido no tubo em "U", e h a diferença de
nível nos dois ramos, então:
p
0
− p = ρ
0
gh =
1
2
ρv2 (22)
o que permite medir a velocidade de escoamento do fluido:
v =
√
2ghρ
0
ρ−1 (23)
Prof.: Leandro Aguiar Fernandes(lafernandes@iprj.uerj.br) Aula de Física II - Dinâmica dos Fluidos
Introdução
Conservação de Massa
Conservação de Energia
Aplicações
Dinâmica de Rotação
Viscosidade
Exercícios
Fórmula de Torricelli
Tubo de Pitot
Fenômeno de Venturi
Acoplando um manômetro ao corpo, temos um Tubo de Pitot.
Sendo ρ
0
a densidade do fluido no tubo em "U", e h a diferença de
nível nos dois ramos, então:
p
0
− p = ρ
0
gh =
1
2
ρv2 (22)
o que permite medir a velocidade de escoamento do fluido:
v =
√
2ghρ
0
ρ−1 (23)
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Fórmula de Torricelli
Tubo de Pitot
Fenômeno de Venturi
Acoplando um manômetro ao corpo, temos um Tubo de Pitot.
Sendo ρ
0
a densidade do fluido no tubo em "U", e h a diferença de
nível nos dois ramos, então:
p
0
− p = ρ
0
gh =
1
2
ρv2 (22)
o que permite medir a velocidade de escoamento do fluido:
v =
√
2ghρ
0
ρ−1 (23)
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Tubo de Pitot
Fenômeno de Venturi
Acoplando um manômetro ao corpo, temos um Tubo de Pitot.
Sendo ρ
0
a densidade do fluido no tubo em "U", e h a diferença de
nível nos dois ramos, então:
p
0
− p = ρ
0
gh =
1
2
ρv2 (22)
o que permite medir a velocidade de escoamento do fluido:
v =
√
2ghρ
0
ρ−1 (23)
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Conservação de Massa
Conservação de Energia
Aplicações
Dinâmica de Rotação
Viscosidade
Exercícios
Fórmula de Torricelli
Tubo de Pitot
Fenômeno de Venturi
Fenômeno de Venturi
Seja um escoamento estacionário de um fluido incompressível numa
canalização de secção transversal variável, conforme a figura:
Sejam (p
1
, v
1
) e (p
2
, v
2
) as pressões e velocidades correspondentes
aos pontos 1 e 2. Supondo as secções de áreas A
1
e A
2
, então a
Equação de Bernoulli (17) fica:
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Conservação de Massa
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Aplicações
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Viscosidade
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Tubo de Pitot
Fenômeno de Venturi
Fenômeno de Venturi
Seja um escoamento estacionário de um fluido incompressível numa
canalização de secção transversal variável, conforme a figura:
Sejam (p
1
, v
1
) e (p
2
, v
2
) as pressões e velocidades correspondentes
aos pontos 1 e 2. Supondo as secções de áreas A
1
e A
2
, então a
Equação de Bernoulli (17) fica:
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Fórmula de Torricelli
Tubo de Pitot
Fenômeno de Venturi
Fenômeno de Venturi
Seja um escoamento estacionário de um fluido incompressível numa
canalização de secção transversal variável, conforme a figura:
Sejam (p
1
, v
1
) e (p
2
, v
2
) as pressões e velocidades correspondentes
aos pontos 1 e 2. Supondo as secções de áreas A
1
e A
2
, então a
Equação de Bernoulli (17) fica:
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Viscosidade
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Fórmula de Torricelli
Tubo de Pitot
Fenômeno de Venturi
Fenômeno de Venturi
Seja um escoamento estacionário de um fluido incompressível numa
canalização de secção transversal variável, conforme a figura:
Sejam (p
1
, v
1
) e (p
2
, v
2
) as pressões e velocidades correspondentes
aos pontos 1 e 2. Supondo as secções de áreas A
1
e A
2
, então a
Equação de Bernoulli (17) fica:
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Aplicações
Dinâmica de Rotação
Viscosidade
Exercícios
Fórmula de Torricelli
Tubo de Pitot
Fenômeno de Venturi
p
1
+
1
2
ρv2
1
= p
2
+
1
2
ρv2
2
(24)
onde v
2
> v
1
e, consequentemente, p
2
< p
1
, fato observado porVenturi, que acreditava que a pressão deveria aumentar com a
redução da área. Agora, pela Lei de Stevin, podemos medir a
diferença de pressão nos manômetros 1 e 2:
p
1
− p
2
= (p
0
+ ρgh
1
)− (p
0
+ ρgh
2
) = ρg(h
1
− h
2
) (25)
Este fenômeno pode ser aplicado em medições de escoamento em
tubulações. Combinando (4), (24) e (25), encontramos:
v = A
2
√
2gh
A
2
1
− A2
2
(26)
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Viscosidade
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Tubo de Pitot
Fenômeno de Venturi
p
1
+
1
2
ρv2
1
= p
2
+
1
2
ρv2
2
(24)
onde v
2
> v
1
e, consequentemente, p
2
< p
1
, fato observado por
Venturi, que acreditava que a pressão deveria aumentar com a
redução da área.
Agora, pela Lei de Stevin, podemos medir a
diferença de pressão nos manômetros 1 e 2:
p
1
− p
2
= (p
0
+ ρgh
1
)− (p
0
+ ρgh
2
) = ρg(h
1
− h
2
) (25)
Este fenômeno pode ser aplicado em medições de escoamento em
tubulações. Combinando (4), (24) e (25), encontramos:
v = A
2
√
2gh
A
2
1
− A2
2
(26)
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Fenômeno de Venturi
p
1
+
1
2
ρv2
1
= p
2
+
1
2
ρv2
2
(24)
onde v
2
> v
1
e, consequentemente, p
2
< p
1
, fato observado por
Venturi, que acreditava que a pressão deveria aumentar com a
redução da área. Agora, pela Lei de Stevin, podemos medir a
diferença de pressão nos manômetros 1 e 2:
p
1
− p
2
= (p
0
+ ρgh
1
)− (p
0
+ ρgh
2
) = ρg(h
1
− h
2
) (25)
Este fenômeno pode ser aplicado em medições de escoamento em
tubulações. Combinando (4), (24) e (25), encontramos:
v = A
2
√
2gh
A
2
1
− A2
2
(26)
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p
1
+
1
2
ρv2
1
= p
2
+
1
2
ρv2
2
(24)
onde v
2
> v
1
e, consequentemente, p
2
< p
1
, fato observado por
Venturi, que acreditava que a pressão deveria aumentar com a
redução da área. Agora, pela Lei de Stevin, podemos medir a
diferença de pressão nos manômetros 1 e 2:
p
1
− p
2
= (p
0
+ ρgh
1
)− (p
0
+ ρgh
2
) = ρg(h
1
− h
2
) (25)
Este fenômeno pode ser aplicado em medições de escoamento em
tubulações. Combinando (4), (24) e (25), encontramos:
v = A
2
√
2gh
A
2
1
− A2
2
(26)
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p
1
+
1
2
ρv2
1
= p
2
+
1
2
ρv2
2
(24)
onde v
2
> v
1
e, consequentemente, p
2
< p
1
, fato observado por
Venturi, que acreditava que a pressão deveria aumentar com a
redução da área. Agora, pela Lei de Stevin, podemos medir a
diferença de pressão nos manômetros 1 e 2:
p
1
− p
2
= (p
0
+ ρgh
1
)− (p
0
+ ρgh
2
) = ρg(h
1
− h
2
) (25)
Este fenômeno pode ser aplicado em medições de escoamento em
tubulações. Combinando (4), (24) e (25), encontramos:
v = A
2
√
2gh
A
2
1
− A2
2
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p
1
+
1
2
ρv2
1
= p
2
+
1
2
ρv2
2
(24)
onde v
2
> v
1
e, consequentemente, p
2
< p
1
, fato observado por
Venturi, que acreditava que a pressão deveria aumentar com a
redução da área. Agora, pela Lei de Stevin, podemos medir a
diferença de pressão nos manômetros 1 e 2:
p
1
− p
2
= (p
0
+ ρgh
1
)− (p
0
+ ρgh
2
) = ρg(h
1
− h
2
) (25)
Este fenômeno pode ser aplicado em medições de escoamento em
tubulações. Combinando (4), (24) e (25), encontramos:
v = A
2
√
2gh
A
2
1
− A2
2
(26)
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Conservação de Massa
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Aplicações
Dinâmica de Rotação
Viscosidade
Exercícios
Circulação
Escoamentos Rotacionais e Irrotacionais
Efeito Magnus
Vórtices
Circulação
Seja Γ uma curva fechada orientada, situada no interior de um
fluido. Chama-se circulação CΓ ao longo de Γ a integral:
CΓ =
∮
Γ
~
v ∗ ~dl (27)
onde
~
v é a velocidade do fluido e
~
dl o elemento de linha ao longo
de CΓ. Seja, por exemplo, um recipiente cilíndrico contendo líquido
em rotação uniforme com velocidade angular ω:
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Viscosidade
Exercícios
Circulação
Escoamentos Rotacionais e Irrotacionais
Efeito Magnus
Vórtices
Circulação
Seja Γ uma curva fechada orientada, situada no interior de um
fluido. Chama-se circulação CΓ ao longo de Γ a integral:
CΓ =
∮
Γ
~
v ∗ ~dl (27)
onde
~
v é a velocidade do fluido e
~
dl o elemento de linha ao longo
de CΓ. Seja, por exemplo, um recipiente cilíndrico contendo líquido
em rotação uniforme com velocidade angular ω:
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Efeito Magnus
Vórtices
Circulação
Seja Γ uma curva fechada orientada, situada no interior de um
fluido. Chama-se circulação CΓ ao longo de Γ a integral:
CΓ =
∮
Γ
~
v ∗ ~dl (27)
onde
~
v é a velocidade do fluido e
~
dl o elemento de linha ao longo
de CΓ. Seja, por exemplo, um recipiente cilíndrico contendo líquido
em rotação uniforme com velocidade angular ω:
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Escoamentos Rotacionais e Irrotacionais
Efeito Magnus
Vórtices
Circulação
Seja Γ uma curva fechada orientada, situada no interior de um
fluido. Chama-se circulação CΓ ao longo de Γ a integral:
CΓ =
∮
Γ
~
v ∗ ~dl (27)
onde
~
v é a velocidade do fluido e
~
dl o elemento de linha ao longo
de CΓ.
Seja, por exemplo, um recipiente cilíndrico contendo líquido
em rotação uniforme com velocidade angular ω:
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