Resoluções de algumas aplicações de integral

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Resumo com exercícios resolvidos do assunto: 
Aplicações da Integral 
(I) Área 
(II) Volume de sólidos de Revolução 
(III) Comprimento de Arco 
 
(I) Área 
 Dada uma função positiva f(x), a área A entre o gráfico de f e o eixo x e as retas 
x=a e x=b é dada por: 
 
𝐴 = 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
 
 Generalizando, suponha que tem-se duas funções, e que 𝐹(𝑥) ≥ 𝑔(𝑥),∀ 𝑥 ∈ 𝑎, 𝑏 . 
 
A área A entre o gráfico de g e as retas verticais x=a e x=b é dada por: 
𝐴 = 𝑓 𝑥 − 𝑔 𝑥 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
 
Sendo f(x) a função que está por cima durante o intervalo [a,b] e g(x) a função que está embaixo. 
Exemplo 1: Calcule a área entre os gráficos das funções y=x² e y =2x-x². 
Resposta: 
Note que o enunciado não nos dá o intervalo, logo temos que a área entre os gráficos é 
justamente a área gerada por duas interseções seguidas, logo,vamos resolver por passos para 
você se habituar com a resolução destes tipo de questões. 
 Passo 1: Encontrar os pontos de interseção,achando a solução ao igualar uma das 
componentes das funções (neste caso o y). 
𝑦 = 𝑥 = 2𝑥 − 𝑥² 
2𝑥² = 2𝑥, 𝑙𝑜𝑔𝑜 𝑥 = 0 𝑜𝑢 𝑥 = 1 
 Passo 2: Encontrar qual função é maior entre os dois pontos de interseção, 
substituindo valores na função entre os dois pontos (Neste caso, um valor possível 
seria x=1/2 pois está entre 0 e 1). 
𝑥 =
1
2
 
𝑓 𝑥 = 𝑦 = 
1
2
 ² =
1
4
 
𝑔 𝑥 = 𝑦 = 2.
1
2
− 
1
2
 ² =
3
4
 
Logo, 𝑔 𝑥 = 2𝑥 − 𝑥2 ≥ 𝑓 𝑥 = 𝑥2 𝑛𝑜 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 0,1 
 Passo 3: Integrar as funções de acordo com a definição dada anteriormente para 
encontrar a área. 
𝐴 = 2𝑥 − 𝑥2 − 𝑥2 𝑑𝑥 =
1
0
 (2𝑥 − 2𝑥²)𝑑𝑥
1
0
=
1
3
 
Dependendo da situação, pode ser melhor integrar com relação ao eixo y. 
Exemplo 2:Encontre a área delimitada pelo gráfico das curvas 𝑦² = 2𝑥 + 6 𝑒 𝑦 = 𝑥 − 1. 
Resposta: 
→Percebe-se que é mais vantajoso integral a curva y²=2x+6 com relação ao eixo y(se 
fossemos isolar o y,encontraríamos uma raiz quadrada,que é mais trabalhoso do que 
um polinômio normal) ,então, a curva y=x-1 também deve ser integrada a esse mesmo 
eixo. 
 Passo 1: Alterar as equações de y(x) para x(y) isolando o x ,e encontrar os pontos de 
interseção em y. 
𝑦² = 2𝑥 + 6 , 𝑖𝑠𝑜𝑙𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑜 𝑥, 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠: 𝑥 = 
𝑦²
2
− 3 
𝑦 = 𝑥 − 1, 𝑖𝑠𝑜𝑙𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑜 𝑥, 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠: 𝑥 = 𝑦 + 1 
A interseção é dada por: 
𝑦2
2
− 3 = 𝑦 + 1 
Logo encontramos as raízes y=4 ou y=-2 
 Passo 2:Segue o mesmo procedimento do exemplo anterior. 
Temos y=0 um valor intermediário entre [-2,4]. 
𝑥 𝑦 =
𝑦2
2
− 3, 𝑥 0 = −3 
𝑥 𝑦 = 𝑦 + 1, 𝑥 0 = 1 
Logo, durante o intervalo [-2,4], é válida a equação 𝑦 + 1 ≥
𝑦2
2
− 3 
 Passo 3:Integramos( função maior) –( função menor), como no exemplo anterior. 
 𝒚 + 𝟏 − 
𝒚𝟐
𝟐
− 𝟑 𝒅𝒚 = (−
𝒚𝟐
𝟐
+ 𝒚 + 𝟒)
𝟒
−𝟐
𝟒
−𝟐
𝒅𝒚 
Exercícios Recomendados: 
1) (UFRJ-2013.2) 
 
2) (UFRJ-2011.2) 
 
3) Encontre a área delimitada pelas curvas indicadas: 
a) 𝑦 = 12 − 𝑥2 𝑒 𝑦 = 𝑥2 − 6 
b) 𝑦 = 𝑒𝑥 , 𝑦 = 𝑥𝑒𝑥 𝑒 𝑥 = 0 
c) 𝑦 = cos 𝜋𝑥 𝑒 𝑦 = 4𝑥2 − 1 
d) 𝑦 = cos 𝑥 , 𝑦 = 2𝑠𝑒𝑛 𝑥 , 𝑥 = 0 , 𝑥 =
𝜋
2
 
 
 
(II) Volume e de sólidos de Revolução 
Neste capítulo estudaremos como utilizar integrais para calcular volume de superfícies 
planas. Podemos calcular o Volume V, como: 
𝑉 = 𝐴 𝑥 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
 
Onde A(x) é a área de interseção do sólido com os planos perpendiculares que cruzam 
o eixo no ponto x (seção transversal). 
 
No exemplo do cilindro, calculamos 𝑉 = 𝐴 𝑥 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
 sendo A(x)= Área do círculo 
(seção transversal) que é constante durante todo o intervalo [a,b]. 
Exemplo 1: Calcule o volume da esfera de raio R. 
Resposta: 
 
Percebemos que a seção transversal (área de interseção do sólido com o plano perpendicular que cruza o 
eixo no ponto x ) é: 
Á𝑟𝑒𝑎 = 𝜋𝑦², mas, y = 𝑅² − 𝑥² 
Logo, A(x)=𝜋(𝑅2 − 𝑥2) 
E o volume pode ser calculado por: 
𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 ∶ 𝑉 = 𝜋 𝑅2 − 𝑥2 𝑑𝑥
𝑅
−𝑅
=
4
3
𝜋𝑅³ 
Sólidos de Revolução 
 Sólidos de Revolução são sólidos gerados a partir da rotação de uma área 
plana A ao redor de um eixo qualquer, como no exemplo abaixo. 
 
A área plana A que temos é uma circunferência, e está sendo rotacionada no eixo y. 
 Exemplo 1:Encontre o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo x 
da região sob a curva y= 𝑥 ,o eixo x e as retas x=0 e x=1. 
 
 Curva y y rotacionada 
Á𝑟𝑒𝑎 = 𝐴(𝑥) = 𝜋𝑅2 = 𝜋𝑦2 = 𝜋 𝑥 
2
= 𝜋𝑥 
Para determinar o volume, temos: 
 𝐴 𝑥 𝑑𝑥
1
0
 𝜋𝑥𝑑𝑥
1
0
=
𝜋
2
 
Sólidos que não são de revolução: 
São sólidos como pirâmides, cubos, esferas, entre outros sólidos que não são gerados 
por rotação em um eixo. 
Exemplo 1: Calcule o volume de uma pirâmide de base quadrada e lado l e altura h. 
Resposta: 
Utilizando a equação da reta y=ax como uma aresta da face lateral da pirâmide, 
podemos desenhar a seguinte figura. 
 
Para encontrarmos o volume desta pirâmide, vamos supor fatias paralelas ao 
eixo y com alturas infinitesimais dx: 
 
O volume dessa Área infinitesimal é V=l²dx 
Tendo y=l/2 e substituindo na equação anterior, temos: 
V=(4y²)dx 
A soma dos infinitesimais volumes é dada por: 
 4𝑦²𝑑𝑥
𝑕
0
= 4 𝑦²𝑑𝑥 =
𝑕
0
4 𝑎²𝑥²𝑑𝑥 =
4𝑎2𝑕3
3
𝑥
0
 
𝑆𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑎 =
𝑦
𝑕
=
𝑙
2𝑕
, 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠: 
𝑉 =
4𝑎2𝑕3
3
=
4
3
𝑙2
4𝑕²
.𝑕³ =
𝑙2𝑕
3
 
𝑉 =
𝑙2𝑕
3
 
Cálculo de Volume pelas Cascas Cilíndricas 
O método de Cascas Cilíndricas é outra maneira para calcular volumes. Muitas vezes 
calcular o volume pelo método anterior não é fácil e algumas vezes nem é possível. 
Este método tem o objetivo de calcular o volume de sólidos somando cascas cilíndricas 
finas que crescem de dentro pra fora do eixo de revolução. 
Seguindo um rápido passo a passo você consegue resolver problemas desse tema: 
Temos: 
1° Passo: Desenhe a região e esboce um segmento de reta identificando o corte 
paralelo ao eixo de rotação. Encontre o raio e altura da casca cilíndrica. 
2° Passo: Determine os limites de integração para a variável em questão. 
3° Passo: Integre o produto de 2π ⋅ raio ⋅ altura em relação a variável do problema. 
A fórmula geral deste método é: 
𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 = 2𝜋𝑅𝐹 𝑥 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
 
Onde o R será o raio da rotação e o F(x) será a altura, isso ficará mais claro nos exemplos. 
Exemplo 1:Encontre o volume do sólido obtido ao girar a região delimitada por y = f(x) 
= 3x – x² gira em torno da reta x = -1. 
Corte uma fatia cilíndrica (paralelamente ao eixo de revolução) na parte interna do 
sólido.Depois corte outra fatia em torno do primeiro corte, e assim por diante. Cada 
cilindro encontrado terá raio de aproximadamente 1+𝑥𝑘 , altura 3𝑥𝑘 -𝑥𝑘² e espessura 
dx. 
 
Se desenrolássemos o cilindro em 𝑥𝑘 teriamos uma fatia retangular de espessura dx. O 
comprimento da circunferência interna do cilindro será 2π . R = 2 π ( 1+𝑥𝑘 ).Portanto, o 
volume do sólido retangular é: 
∆V ≈ largura X altura X espessura ≈ 2 𝜋 ( 1 + 𝑥𝑘 ) . ( 3𝑥𝑘 − 𝑥𝑘²).𝑑𝑥 
Somando todos os volumes ao longo de todo o intervalo de x obtemos uma soma de 
Riemann. Basta então aplicar o limite para dx tendendo a zero e obtemos a integral. 
Os limites de integração são as interseções entre as duas curvas dadas(de onde até 
onde a seráintegral), nesse caso y=0 e y= 3x-x², logo os limites são 0 e 3. 
Generalizando para x, temos: 
 2𝜋𝑅𝐹 𝑥 𝑑𝑥 =
𝑏
𝑎
 2 𝜋 ( 1 + 𝑥 ) . ( 3𝑥 − 𝑥²).𝑑𝑥
3
0
 
Exemplo 2:Encontre o volume do sólido de revolução obtido ao girar a região limitada 
por y=x-x² e y=0 em torno da reta x=2. 
Temos a seguinte curva: 
 
Vemos que o limite de integração entre y=x-x² e y=0 são 0 e 1. 
Fazendo a rotação na reta vertical x=2, temos: 
 
Neste caso , vemos que ao escolher um x arbitrário, o raio da rotação passa a ser 2-x e 
a altura a própria função x-x²-0 = x-x², aplicando na fórmula, temos: 
𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 = 2𝜋 2 − 𝑥 𝑥 − 𝑥2 𝑑𝑥
1
0
 
Exercícios: 
4) (UFRJ-2013.2) 
 
5) (UFRJ-2013.1) 
 
6) (UFRJ-2012.2) 
 
7) (UFRJ-2012.1) 
 
8) (UFRJ-2011.2) 
 
Comprimento de Arco 
Vamos supor que uma curva f(x) qualquer seja uma linha. Se esticássemos esta linha e 
medíssemos com uma régua, encontraríamos o comprimento desta curva. Para 
determinar este comprimento, costumamos (no Cálculo I , apenas) utilizar a seguinte 
equação: 
𝐶𝑜𝑚𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 = 𝐿 = 1 + (𝑓 ′ 𝑥 )²𝑑𝑥
𝑏
𝑎
 
Exemplo 1: Calcule o comprimento da parábola x= y² do ponto (0,0) ao ponto (1,1). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Logo, deve-se integrar com relação a y. 
F(y) = x= y² 
Aplicando na fórmula, temos: 
𝐿 = 1 + 𝐹′ 𝑦 
2
𝑑𝑦 ,
1
0
𝐹 𝑦 = 2𝑦 
𝐿 = 1 + 2𝑦 2𝑑𝑦 = 1 + 4𝑦²𝑑𝑦
1
0
1
0
 
Exercícios: 
9)(UFRJ-2013.2) 
 
10)Encontre o comprimento exato das curvas: 
a)y = 1 + 6x
3
2 0 ≤ x ≤ 1 
b)x =
1
3
 y y − 3 1 ≤ x ≤ 9 
c)y = ln 1 − x2 ,0 ≤ x ≤
1
2
 
 
Gabaritos: 
Se tentarmos integrar com relação à x a 
função seria y= 𝑥 ,e veríamos que não seria 
possível esta integração por esta fórmula (essa 
fórmula não é valida para qualquer função,veja 
qual eixo é melhor para fazer a integral (x ou y)). 
1)a) b) =4/3 
2)
1
2
ln3 3)a) 72 b) e-2 c)
2
𝜋
+
2
3
 d)=
1
2
 4)
𝜋
252
 5) 
𝜋2−𝜋
6
 6) 
4𝜋
15
 7)2𝜋 8)± 
1
𝜋+2
 
9) ln( 3 + 2) 10)a)
2
243
(82 82 − 1) b)
32
3
 c) ln3 −
1
2
 
Bons Estudos!! 
 
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