Apostila de Fundamentos

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APOSTILA
DE
FUNDAMENTOS
CAPÍTULO I
Conceitos Iniciais e Funções
 O objetivo deste capítulo é apresentar o conceito de pares ordenados, produtos cartesiano, relação e função. Verificaremos que pares ordenados é um conceito primitivo e o produto cartesiano é o conjunto de todos os pares ordenados de dois conjuntos, e relação é um subconjunto de produto cartesiano e finalmente função é um tipo específico de relação.
 Apresentaremos ainda função real de uma variável real; função sobrejetora, função injetora e função bijetora; função crescente e função decrescente; função não crescente e função não decrescente; função par e função ímpar; função periódica; função limitada e álgebra das funções (adição, subtração, multiplicação, divisão e composição.
Definições
Definição 1.1. Dados os números reais a e b, podemos formar um par ordenado cuja notação é (a;b).
Observação:
● O par ordenado é um conceito primitivo. 
● A ordem de um par ordenado é muito importante, pois o par ordenado (a;b) é diferente do par ordenado (b;a) sendo ab.
● O par ordenado (a;b) é igual ao par ordenado (c;d) se, e somente se, a=c e b=d.
Exemplos: (3;5), (3;0).
Definição 1.2. Dados dois conjuntos A e B não vazios, o conjunto de todos os pares ordenados (a;b) com aA e bB, chama-se produto cartesiano de A por B e se denota por AxB.
AxB = 
Observação:
● Se A = ou B =, completa-se a definição com AxB =.
Exemplos:
Dados A = e B = então AxB = .
Exercícios
1) Dados os conjuntos M = e N = , determine o produto cartesiano MxN e NxM nas formas:
a) tabular
b) gráfica
c) diagrama de flechas
2) Dados os conjuntos A =e B= , determinar AxB nas formas:
a) tabular
b) gráfica 
c) diagrama de flechas
3) Determinar o produto cartesiano dos conjuntos na forma gráfica:
a) x
b) x
4) Sendo C = e D = , determine o produto cartesiano:
a) CxD
b) DxC
Definição 1.3. Dados dois conjuntos A e B, chama-se relação binária de A em B, denotada por f, a qualquer subconjunto do produto cartesiano de A por B.
Exemplo:
Dados os conjuntos A = e B = e f = ,então
f = 
Exercícios
1) Dados os conjuntos A = e B = e a relação 
R = , determinar:
a) os pares ordenados da relação R
b) o diagrama de flechas 
c) o gráfico cartesiano
2) Dados os conjuntos C = e D = e a relação
R = , determine: 
a) os pares ordenados da relação R
b) o diagrama de flechas 
c) o gráfico cartesiano
Definição 1.4. Dados dois conjuntos A e B não vazios, e f uma relação binária de A em B, chama-se função f de A em B se, e somente se, para todo x de A existir uma correspondência única em y de B tal que (x:y) f.
Observação:
● Notação de função: f = 
● Ao conjunto A chamamos de domínio de f e denotamos por D(f).
● Ao conjunto B chamamos de contradomínio de f e denotamos por CD(f).
● Se x é um elemento de A, então o único y de B associado a x denomina-se imagem de x pela função f e será indicado com a notação f(x).
● Ao conjunto de todos os elementos de B que são imagem de algum elemento de A, chamamos de conjunto imagem de f e denotamos por Im(f).
Exemplo:
Dados os conjuntos A = e B = e a relação
R = :
a) Determine a relação R em forma de pares ordenados
b) Construir o diagrama de flechas
c) verifique se essa relação é uma função. Em caso afirmativo determinar os conjuntos D(f), CD(f) e Im(f).
Resolução:
a) R = 
b)
c) D(f) = A, CD(f) = B e Im(f) = 
Exercícios
1) Dados os conjuntos A = e B = e a relação
R = :
a) Determine a relação R em forma de pares ordenados
b) Construir o diagrama de flechas
c) verifique se essa relação é uma função. Em caso afirmativo determinar os conjuntos D(f), CD(f) e Im(f).
2) Dados os conjuntos M = e N = e a relação
R = :
a) Determine a relação R em forma de pares ordenados
b) Construir o diagrama de flechas
c) verifique se essa relação é uma função. Em caso afirmativo determinar os conjuntos D(f), CD(f) e Im(f).
Definição 1.5. Chama-se função real de uma variável real ou simplesmente função real às funções cujos elementos do domínio e do contra domínio são números reais.
 Por exemplo, a função f de em denotada por f: definida por 
f(x) = 3x² é uma função real, pois tanto o domínio quanto o contradomínio são reais, observe que para qualquer elemento x do domínio temos uma imagem que é obtida elevando-se x ao quadrado e multiplicando por três.
Definição 1.6. O gráfico de uma função f:é o subconjunto G(f) do produto cartesiano AxB formado por todos os pares (x:y), onde x é o ponto qualquer de A e 
y = f(x), podemos então escrever G(f) = . 
(Lima et al., 2006, p.80).
 Na figura 1.1 temos uma função real, cujo gráfico é o segmento , e nesse caso o domínio é o segmento e a imagem é o segmento .
 
 
Figura 1.1: Gráfico de uma função real: domínio e imagem.
1.2 Tipos de funções e propriedades
Definição 1.7. Uma função f: é sobrejetora se, e somente se, o conjunto imagem é igual ao contadomínio B.
Simbolicamente:
f: 
f é sobrejetora 
Definição 1.8. Uma função f: é injetora se, e somente se, elementos distintos do domínio têm imagens distintas em B.
Simbolicamente:
f: 
f é injetora .
Definição 1.9. Uma função f: é bijetora se, e somente se, f for injetora e sobrejetora.
Definição 1.10. Uma função f: definida por y= f(x) é crescente no intervalo 
I A se para todo par de pontos x1 < x2, tivermos f(x1) < f(x2).
Definição 1.11. Uma função f: definida por y= f(x) é monótona não decrescente no intervalo I A se para todo par de pontos x1 < x2, tivermos 
f(x1) f(x2).
Definição 1.12. Uma função f: definida por y= f(x) é decrescente no intervalo 
I A se para todo par de pontos x1 < x2, tivermos f(x1) > f(x2).
Definição 1.13. Uma função f: definida por y= f(x) é monótona não crescente no intervalo I A se para todo par de pontos x1 < x2, tivermos f(x1) f(x2).
Definição 1.14. Uma função f: definida por y= f(x) é par se e somente se f(x) = f(x), para todo xA.
Definição 1.15. Uma função f: definida por y= f(x) é impar se e somente se f(x) = f(x), para todo xA.
Definição 1.16. Uma função f: é periódica se, e somente se, existir p, p0 tal que para todo x em D(f), x+p é elemento de D(f) e f(x+kp) = f(x) para .
O menor p positivo que satisfaz a condição denomina-se período de f.
Definição 1.17. Uma função f: é limitada superiormente se, e somente se, existir um número tal que f(x) L, para todo x em A.
Definição 1.18. Uma função f: é limitada inferiormente se, e somente se, existir um número tal que f(x) L, para todo x em A.
1.3 Álgebra das funções
Definição 1.19. Dadas duas funções f e g reais, chama-se soma f + g a função 
(f+g) (x) = f(x) + g(x) cujo domínio será D(f) D(g) e o contradomínio .
Definição 1.20. Dadas duas funções f e g reais, chama-se diferença fg a função 
(fg) (x) = f(x)g(x) cujo domínio será D(f) D(g) e o contradomínio .
Definição 1.21. Dadas duas funções f e g reais, chama-se produto f . g a função 
(f.g) (x) = f(x) . g(x) cujo domínio será D(f) D(g) e o contradomínio .
Definição 1.22. Dadas duas funções f e g reais, chama-se quociente f / g a função 
(f/g) (x) = f(x) /g(x) cujo domínio será D(f) D(g) tais que g(x) 0 e o contradomínio .
Definição 1.23. Dadas duas funções f e g reais, chama-se composta g e f a função 
Definida por (g◦f)(x) = g(f(x)) cujo domínio 
D(g◦f) = e o contradomínio será CD(g◦f) = CD(g).
Definição 1.24. Seja uma função f: bijetora. A função f-1: é a inversa de f se e somente se:.
Propriedade da função inversa
 Os gráficos de f e f-1 são simétricos em relação à bissetriz do primeiro e terceiro quadrante do plano cartesiano, figura 1.2.
 
Figura 1.2: Gráfico dafunção f e sua inversa f-1
CAPÍTULO II
Funções Elementares 
 Neste capítulo abordaremos as funções reais de uma variável real, isto é função 
f: , onde o domínio e cujos valores de f(x), para todo , são números reais.
 Em cada seção trataremos de um tipo de função. Iniciaremos com função afim e na sequência, função quadrática, função exponencial função logarítmica, função modular e função trigonométrica. 
2.1 Função Afim
 Chama-se função afim a toda função definida por f(x) = ax + b, para todo , onde . A função constante, função identidade, função linear são casos particulares de função afim.
Vejamos cada um desses casos:
● f(x) = ax + b, para a = 0, teremos f(x) = b, função constante;
● f(x) = ax + b, para a = 1 e b = 0, teremos f(x) = x, função identidade;
● f(x) = ax + b, para a0 e b = 0, teremos f(x) = ax, função linear.
2.1.1 Gráfico da função Afim
 Para traçarmos o gráfico da função afim. Devemos saber que o gráfico é uma reta, como diz o teorema abaixo.
Teorema: O gráfico de uma função definida por f(x) = ax + b, é uma reta. (Iezzi e Murakami, 2006, p.100).
 A demonstração se encontra no livro (Iezzi e Murakami, 2006).
Exemplo 2.1 Construir o gráfico da função definida por f(x) = 2x +1. 
Figura 2.1: Gráfico da função afim
2.1.2 Gráfico da função Constante
 Para traçarmos o gráfico da função constante basta observarmos o valor de b na função definida por f(x) = b e através deste ponto no eixo Oy traçamos uma reta paralela ao eixo Ox. 
Exemplo 2.2 Construir o gráfico da função definida por f(x) = 3. 
Figura 2.2: Gráfico da função constante
2.1.3 Gráfico da função Linear
 Para traçarmos o gráfico da função linear devemos saber que o gráfico é uma reta que passa pelo ponto (0;0).
 O gráfico da função definida por f(x) = ax , é uma reta que passa pelo ponto (0:0).
Exemplo 2.3 Construir o gráfico da função definida por f(x) = 2x. 
 
Figura 2.3: Gráfico da função linear
Exercícios
Construir o gráfico da função definida por 
1) f(x) = x + 3
2) f(x) = x – 3.
3) f(x) = 2x + 1.
4) f(x) = – 2x – 1.
5) f(x) = – x – 3
6) f(x) = 1
7) f(x) = 3x
8) f(x) = x
2.1.4 Inequação do 1º grau
 Chama-se inequação do 1º grau a toda sentença aberta do tipo ax + b > 0 ou ax + b 0 ou ax + b < 0 ou ax + b 0, onde e .
 Na resolução de inequação devemos aplicar adequadamente as propriedades das desigualdades entre números reais.
2.1.4.1 Propriedades das desigualdades
1ª) Dados vale uma e somente uma das possibilidades: x<y, x=y ou x>y.
2ª) Se x<y e y<z então x<z (transitiva).
3ª) Se x<y, então para qualquer tem-se x + z < y + z, ou, de outra forma 
x<y e a<b, então x + a < y + b (soma membro a membro).
4ª) Se x<y e z positivo então xz< yz, ou,de outra forma, dados x,y,a,b positivos, se x<y e a<b, então ax<by (produto membro a membro).
5ª) Se x<y e z negativo xz>yz.
6ª) Se 0<x<y, então 0<1/y<1/x. 
2.1.4.2 Resolução de inequação
Exemplos: 
1º) 2x – 6 > 0 em 
 2x > 6
 x > 3
 S = 
2º) 3 – 2x x – 12 em 
 – 2x – x – 12 – 3 
 – 3x – 15
 3x 15
 x 5
 S = 
Exercícios
Resolva em as seguintes inequações:
1) 3x – 4 < 8
2) 3 – 4x > x – 7
3) – 2x + 8 5 + 3x
4) 5 – x 3x + 1
2.1.5 Sistema de inequação do 1º grau 
 Utilizamos o estudo do sinal para resolver sistema de inequação do 1º grau em .
Exemplos:
1) para
A solução do sistema será dada pela intersecção das soluções das duas inequações.
 
 ou 
2) para
Essas desigualdades equivalem ao sistema
Exercícios
Resolva os sistemas de inequações, em :
1) 
2) 
3) 
2.1.6 Inequação-produto e inequação-quociente
 Utilizamos o estudo do sinal para resolver sistema de inequação do 1º grau em . Vamos resolver a inequação-produto 
Vamos estudar os sinais de cada função separadamente:
 
	
 _ 2 + 	+ 1/2 _ 
Quadro de sinais:	 
Logo, 
Vamos resolver agora a inequação-quociente
, com e .
Exercícios
Resolver em as seguintes inequações. 
1) 
2) 
3) 
4)
2.2 Função Quadrática
 Chama-se função quadrática a toda função definida por
 f(x) = ax² + bx + c, para todo , onde com a0.
2.2.1 Gráfico da função Quadrática
 O gráfico da função quadrática é uma parábola.
Definição de parábola.
Definição 2.1 Dado um ponto F (foco) e uma reta d (diretriz) que não contém o ponto F, parábola é o conjunto de pontos do plano que dista igualmente de F e de d. 
A demonstração se encontra no livro (Iezzi, 2006, p 125).
Exemplo 2.4. Construir o gráfico da função definida por f(x) = x². 
Figura 2.4
Figura 2.4: Gráfico da função quadrática.
Exercícios
Construir o gráfico da função definida por:
1) f(x) = x² – 4x + 3
2) f(x) = x² – 4x + 4
3) f(x) = x² – 2x + 4
4) f(x) = – x² + 6x – 8
5) f(x) = – x² + 6x – 9
6) f(x) = – x² + 2x – 5
2.2.1 Inequação do 2º grau
 Chama-se inequação do 2º grau a toda sentença aberta do tipo ou ou ou , com a ≠ 0, 
a,b,c.
2.2.1.1 Resolução da inequação do 2º grau
 a) Resolver, em , uma inequação do 2º grau do tipo , com 
a ≠ 0, é determinar o conjunto de todos os valores da variável x para os quais o gráfico de se encontra acima do eixo x.
 b) Resolver, em , uma inequação do 2º grau do tipo , com 
a ≠ 0, é determinar o conjunto de todos os valores da variável x para os quais o gráfico de se encontra abaixo do eixo x.
Exemplos:
1) 
Vamos determinar os zeros da função .
Os zeros da função são x1 = 1 e x2 = 2.
Esboçando o gráfico temos:
Logo a solução será 
2) 
Vamos determinar os zeros da função .
Os zeros da função são x1 = 3 e x2 = 3.
Esboçando o gráfico temos:
Logo a solução será 
3) 
Vamos determinar os zeros da função .
A função não tem zeros.
Esboçando o gráfico temos:
Logo a solução será 
Exercícios
Resolva em as seguintes inequações:
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
7) 
8) 
9) 
10) 
2.3 Função Modular
2.3.1 Módulo
Definição
 O módulo (ou valor absoluto) de um número real x é indicado por |x| e assim definido: 
2.3.2 Função modular
Chama-se função modular a função definida por: .
2.3.3 Gráfico da função modular
 O gráfico da função modular é a reunião de duas semirretas de origem O que são bissetrizes do primeiro quadrante e do segundo quadrante.
Exemplo 2.5
Construir o gráfico da função definida por: . Figura 2.5
Figura 2.5: Gráfico da função modular
Exercícios
Construir o gráfico da função definida por: 
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
2.3.4 Equações modulares
Equações modulares são aquelas em que a incógnita aprece dentro do módulo.
Exemplos;
1) Resolver a equação |x – 5| = 3.
x – 5 = 3 ou x – 5 = –3
x = 2 x = 8
2) Resolver a equação |3x – 1| =5
Não existe módulo com valor negativo, logo 
3) Resolver a equação |3x – 5| = |x + 3|
3x – 5 = x + 3 ou 3x – 5 = (x + 3)
x = 4 x = 
4) Resolver a equação |x|² + 2|x|15 = 0
Fazendo |x| = y, com y 0, teremos
y² + 2y15 = 0, resolvendo teremos y’ = 3 ou y’’ = 5 (este valor não convém)
Portanto teremos |x| = 3.
5) Resolver a equação |x² – x – 1| = 1
x² – x – 1 = 1 ou x² – x – 1 = –1
x’ = 2 ou x’’ = –1	x’ = 0 ou x’’ = 1
Exercícios
Resolver as equações:
1) |4x +3| = 5
2) 5 + |–2x + 4| = 1
3) |3x–7| = |2x–3|
4) |1–3x| = |x + 3|
5) |x|² – 6|x| + 8 = 0
6) |x|² + 4|x| – 21 = 0 
7) |x² + 6x – 1| = 6
8) |x² – 2x – 4| = 4
2.3.5 Inequações modulares
Inequações modulares sãoaquelas que envolvem a incógnita em módulo.
Devemos observar que dado um número real a>0, temos:
a) 
b) ou 
Exemplos:
1) |x–3| < 7
 
2) |x – 1| ≥ 5
 ou 
ou 
Exercícios:
1) |2x – 5| > 3
2) |3x + 1| ≤ 10
3) |3x – 4| ≥ 2
4) |x + 5| > 9
2.4 Função Exponencial
 Chama-se função exponencial de base a. com , a função , definida por .
2.4.1 Gráfico da função exponencial
 Vamos analisar os gráficos de duas funções exponenciais , a primeira com , e a segunda com .
1ª) Construir o gráfico da função , definida por ,.
Exemplo 
	x
	-3
	-2
	-1
	0
	1
	2
	3
	2x
	2-3
	2-2
	2-1
	20
	21
	22
	23
	y=2x
	1/8
	1/4
	1/2
	1
	2
	4
	8
2ª) Construir o gráfico da função , definida por ,.
Exemplo 
	x
	-3
	-2
	-1
	0
	1
	2
	3
	2x
	(1/2)-3
	(1/2)-2
	(1/2)-1
	(1/2)0
	(1/2)1
	(1/2)2
	(1/2)3
	y=2x
	8
	4
	2
	1
	1/2
	1/4
	1/8
Exercícios: Construir o gráfico da função , definida por:
1) 
2) 
2.4.2 Equações exponenciais
Equações exponenciais são aquelas em que a incógnita aparece no expoente.
Para resolvê-las, usamos o fato de que a função exponencial é injetora, ou seja, para a>0 e a≠1, temos 
Exemplos: Resolver as equações abaixo
1) 
 
2) 
 
3) 
 
Exercícios:
Resolver as equações.
1) 2x = 64
2) 3x–2 = 9
3) 5x²–2x = 125
4) 4x = 32
5) 
2.4.3 Inequações exponenciais
 Inequações exponenciais são desigualdades onde a incógnita se encontra no expoente.
Para resolvê-las devemos lembrar que a função exponencial é crescente para a>1 e decrescente para 0<x<1, ou seja:
Para a>1 temos 
Para 0<a<1 temos 
Exemplos:
Resolver as inequações.
1) 
 
2) 
3) 
 resolvendo a inequação temos a solução 
Exercícios 
Resolver as inequações:
1) 25x > 23x+10 2) 35-x² < 34 3) (0,5)3x-1 ≥ 1 4) 3x-2 > 9 5) 2x+3 < (1/2)3
2.5.Função logarítmica
2.5.1 Logaritmos
 Chama-se logaritmo de um número N>0 numa base a, com a>0 e a≠1, o expoente a que se deve elevar a base para que a potência obtida seja igual a N. Isto é:
 é a base, é o logaritmo e o é chamado logaritmando ou antilogaritmo, isto é,
Para que exista o logaritmo N>0, a>0 e a≠1.
Define-se cologaritmo de N na base a como sendo o oposto do logaritmo de N na base a. 
Exemplos:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
2.5.2 Consequências da definição
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
Exercícios
Determine o valor de x
1) 2) 3) 4) 5) 
2.5.3 Propriedades operatórias
a) 
b) 
c) 
d) 	 ou 
Exemplos:
1) Vamos determinar o desenvolvimento do logaritmo da expressão 
2) Dados e , qual é o valor de .
3) Se e , vamos expressar em função de a e b.
4) Vamos calcular o valor da expressão .
5) Vamos escrever a expressão por meio de um único logaritmo.
Exercícios
1)Determine o desenvolvimento do logaritmo das expressões:
a) b) 
2) Sendo e , calcule o valor de .
3) Sendo e , calcule .
4) Dado e , calcule 
5) Determine a expressão L.
a) b) 
6) Escreva na forma de um único logaritmo.
a) b) 
2.5.4 Função logarítmica
Chama-se função logarítmica de base a, com a>0 e a≠1, a função definida por 
2.5.5 Gráfico da função logarítmica
 Vamos analisar os gráficos de duas funções logarítmicas, a primeira com , e a segunda com .
1ª) Construir o gráfico da função, definida por, .
Exemplo 
2ª) Construir o gráfico da função, definida por, 0<a<1.
Exemplo 
2.5.6 Equações logarítmicas
 Vamos agora estudar as equações logarítmicas, ou seja, aquelas nas quais a incógnita está envolvida no logaritmando ou na base do logaritmo, como estas:
1) 2) 3) 
Exemplos:
Vamos resolver as equações abaixo.
1) 
Resolvendo a equação do 2º grau temos x’= 4 e x’’=1
Verificando a condição de existência observamos que , logo 
2) 
Fazendo , temos y² - 3y + 2 = 0, resolvendo essa equação temos 
y’ = 2 e y’’= 1.
Então 
 
Como x>0, 
Exercícios
Resolver as seguintes equações:
1) 2) 3) 4) 
5) 6) 
2.5.7 Inequação logarítmica
 Vamos agora estudar as inequações logarítmicas, ou seja, aquelas nas quais a incógnita está envolvida no logaritmando ou na base, como estas:
1) 2) 3) 
Para resolvê-las, devemos lembrar que quando a base é maior que 1, a função logarítmica é crescente e quando a base está entre zero e um a função logarítmica é decrescente.
Exemplo:
Resolver as inequações
1) 
Condição de existência: 
Deve satisfazer este sistema logo 
2) 
Condição de existência:
Resolvendo a inequação temos: , como satisfaz a condição de existência, a solução é .
Exercícios
Resolva as inequações em .
1) 2) 3) 
4) 5) 6) 
7) 8) 
2.6 Funções trigonométricas
 A palavra trigonometria significa “medida dos triângulos” e é a parte da matemática que tinha como objetivo inicial o cálculo dos elementos de um triângulo (lados e ângulos).
 Atualmente, a trigonometria não se limita a estudar somente os triângulos, encontramos suas aplicações em outros campos como Engenharia, Astronomia, Eletricidade, Acústica, topografia, que dificilmente lembram os triângulos que originaram a trigonometria.
2.6.1 Trigonometria no triângulo retângulo 
 Consideremos um triângulo ABC, reto em A. Os outros dois ângulos, B e C, são agudos e complementares.
Para os ângulos agudos temos as seguintes definições:
seno = cosseno = tangente = cotangente = secante = cossecante =
sen B = ; cos B = ; tg B =; cotg B =; sec B =; cossec B =.
sen C = ; cos C = ; tg C =; cotg C =; sec C =; cossec C =.
Exercícios:
1) No triângulo ABC da figura acima, o ângulo B mede 30°, determinar o lado b e c sabendo que o lado a mede 10.
2) No triângulo ABC da figura acima, o ângulo B mede 45°, determinar o lado b e c sabendo que o lado a mede 12.
3) No triângulo ABC da figura acima, o ângulo B mede 60°, determinar o lado b e c sabendo que o lado a mede 15.
4) No triângulo ABC da figura acima, o ângulo B mede 30°, determinar o lado a e c sabendo que o lado b mede 10.
5) No triângulo ABC da figura acima, o ângulo B mede 60°, determinar o lado a e b sabendo que o lado a mede 15.
2.6.1.1 Relações fundamentais e auxiliares
 Seja x um ângulo agudo num triângulo retângulo. Podemos verificar as seguintes relações fundamentais.
Fundamentais:
1) 2) 3) 4) 5) .
Auxiliares:
1) 2) .
Exercícios:
1) Sabendo que x é um ângulo agudo e , obter as outras funções trigonométricas.
2) Sabendo que x é um ângulo agudo e , obter as outras funções trigonométricas.
3) Sabendo que x é um ângulo agudo e , obter as outras funções trigonométricas.
Conversões:
Conjunto das determinações de um arco ou ângulo trigonométrico
Sendo a primeira determinação positiva ou negativa temos , o conjunto das determinações em graus e , o conjunto das determinações em radianos.
Exercícios:
1) Exprimir em radianos 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 240°, 330°.
2) Exprimir em graus ,,.
2.6.2 Funções trigonométricas
 Para o estudo das funções trigonométricas devemos definir a circunferência trigonométrica.
Definição:
Circunferência trigonométrica é uma circunferência de raio unitário, sobre a qual fixamos um ponto (A) como origem dos arcos e adotamos o sentido anti-horário como sendo o positivo. É dividido em quatro partes denominadas quadrantes, enumerados conformeindicado na figura.
Uma volta corresponde a 360° ou radianos.
2.6.2.1 Estudo da função seno
 Consideremos um arco AP e seja N a projeção ortogonal de P sobre o eixo dos senos (eixo y). Chama-se seno do arco AP, a medida algébrica do segmento ON. senAP= ON.
Simbolicamente
Consequência da definição
Domínio:
Imagem: 
Propriedades
1) O período da função seno é . .
2) A função y=sen x é impar. .
3) A função seno é crescente nos quadrantes I e IV e decrescente nos quadrantes II e III.
4) A função seno é positivo nos quadrantes I e II e negativo nos quadrantes III e IV.
Gráfico da função y=sen x
2.6.2.2 Estudo da função cosseno
 Consideremos um arco AP e seja M a projeção ortogonal de P sobre o eixo dos cossenos (eixo x). Chama-se cosseno do arco AP, a medida algébrica do segmento OM. cosAP= OM.
Simbolicamente
Consequência da definição
Domínio:
Imagem: 
Propriedades
1) O período da função seno é . .
2) A função y=sen x é par. .
3) A função cosseno é crescente nos quadrantes III e IV e decrescente nos quadrantes I e II.
4) A função seno é positivo nos quadrantes I e IV e negativo nos quadrantes II e III.
Gráfico da função y=cos x
2.6.2.3 Estudo da função tangente
 Consideremos um arco trigonométrico AP com P≠B e P≠D e seja T a intersecção da reta OP com o eixo das tangentes. Chama-se tangente do arco AP, a medida algébrica do segmento AT. tgAP = AT.
SimbolicamenteSimbolicamente
Consequência da definição
Domínio: 
Imagem: 
Propriedades
1) O período da função tangente é . 
2) A função y = tg x é impar. .
3) A função tangente é crescente nos quadrantes.
4) A função tangente é positivo nos quadrantes I e IV e negativo nos quadrantes II e III.
Gráfico da função tangente
O estudo das funções cotangente, secante e cossecante pode ser feito a partir das três funções estudadas.
2.6.3 Equações trigonométricas
Determine o valor de x.
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
7)
8) 
9) 
10)
2.6.4 Inequação trigonométrica
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
7)
8) 
9) 
10)
2.6.5 Transformações trigonométricas
2.6.5.1 Fórmula da adição e subtração
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
Exercícios
Determine:
1) tg 15°
2) sen 15°
3) cos 75°
4) tg 75°
5) sen 105°
6) cos 195°
7) tg 105°
8) sen 195°
9) cos105°
10) tg 195°
2.6.5.2 Fórmula do arco dobro
1) 
2) 
3) 
Exercícios
1) Dado senx = m e cosx = n, determine
a) sen2x b) cos2x c) tg2x 
2) Se tgx = 2, calcule tg2x
3) Dado sena=2/3, com a no 1º quadrante, determine sen2a.
4) Calcule sen 22°30’, conhecendo cos 45°.
2.6.5.3 transformação em produto
1) 
2) 
3) 
4) 
Exercícios
Transformar em produto as expressões
1) cos5x + cos3x
2) 1 – cosx
3) cos5x – cos3x
4) sen3x + sen 3x
5) sen5x – cos3x