Interpolação Polinomial e Ajuste de Curvas - Conceitos Importantes

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Interpolação Polinomial e Ajuste de Curvas - Conceitos
Importantes
Cálculo Numérico e Análise Númerica
May 4, 2024
1 Interpolação Polinomial
1.1 Polinômios Interpoladores
1. Para um conjunto de n + 1 pontos base (x0, y0), (x1, y1), . . . , (xn, yn), é posśıvel determinar
um polinômio Pn(x) de grau no máximo n.
2. Nos conjuntos de pontos, o valor do polinômio encontrado e o valor da função devem coincidir;
P (xn) = yn.
3. O esquema mais simples para construir um polinômio interpolador, em termos conceituais,
envolve a solução de um sistema de equações lineares.
4. Para calcular o polinômio interpolador via sistemas lineares requer esforço computacional da
ordem de n3.
1.2 Polinômios de Lagrange
1. Os polinômios de Lagrange constituem um modo de interpolar sem a necessidade de resolver
um sistema linear.
2. Para aumentar o grau do polinômio (acrescentar um ponto) é necessário montá-lo novamente.
3. Requer um menor esforço computacional quando comparado com o método de interpolação
via sistemas lineares.
1.3 Polinômios de Newton
1. É necessário usar o operador de diferença dividida (∆).
2. Se y = f(x) for um polinômio de grau n, então suas diferenças divididas de ordem n+ 1 são
identicamente nulas.
3. A diferença dividida de f(x) é uma função simétrica de seus argumentos, isto é, independe
da ordem dos pontos x0, x1, . . . , xn.
4. Vantajoso em relação ao Lagrange, pois para aumentar o grau do polinômio de Newton basta
acrescentar um novo termo.
1.4 Polinômios de Gregory-Newton
1. O polinômio de Gregory-Newton é um caso particular do polinômio de Newton.
2. Ele é o mais indicado se os pontos forem igualmente espaçados.
3. É necessário usar o operador de diferença finita ascendente.
4. Os pontos devem estar ordenados em relação a x.
5. As ordenadas dos pontos-base não aparecem explicitamente na expressão de Gregory-Newton,
ao contrário do polinômio de Lagrange
6. O erro de interpolação dos polinômios de Lagrange e Newton são os mesmos de Gregory-
Newton, se considerarmos abscissas igualmente espaçadas
1
1.5 Escolha dos Pontos
1. Para determinar um polinômio interpolador de grau n são necessários n+ 1 pontos.
2. Quanto mais próximo o valor a ser interpolado for de um ponto base, melhor será o resultado
obtido da interpolação.
1.6 Erro de Truncamento
1. É o erro ao aproximar uma função f(x) por um polinômio interpolador.
2. f(x) definida no intervalo [a, b] que contém os pontos x0, x1, . . . , xn.
3. A derivada f (n+1)(x) deverá existir e ser cont́ınua no intervalo [a, b].
4. Para calcular a cota máxima do erro de truncamento, deve ser tomado como o ponto no
intervalo [x0, xn] (a, b), onde f (n+1)(x) apresenta o maior valor em módulo.
5. O erro de truncamento nos pontos bases é igual a zero.
6. Em geral, usar pontos bases mais distantes da abscissa interpolada leva a um aumento no
erro de truncamento.
2 Ajuste de Curvas
2.1 Regressão Linear Simples
Quando se tem um conjunto finito de pontos, é posśıvel extrapolar uma reta através de um diagrama
de dispersão relacionando esses pontos. Todavia, para encontrar uma reta que melhor representa
o sistema, é necessário constrúı-la de forma que o desvio entre o valor de f(x) da reta e o yn dos
n pontos seja o menor posśıvel.
2.2 Método dos Quadrados Mı́nimos
O método dos quadrados mı́nimos tem como função determinar uma reta u = β0 +β1x que possui
o menor desvio posśıvel entre os pontos. Definindo uma função que relaciona yi com ui, percebe-se
que os valores para quais essa função tem um mı́nimo, são aqueles em que as derivadas parciais se
anulam. Através disso, é posśıvel determinar os coeficientes β1 e β0 da seguinte maneira:
b1 =
∑
xi
∑
yi − n
∑
xiyi∑
x2
i − n (
∑
xi)
2
b0 =
∑
yi − b1
∑
xi
n
Nota-se que, para este método, montar as equações normais, calculando somatórias, demora mais
que resolver essas equações.
2.3 Qualidade do Ajuste
Coeficiente de determinação (r2): pode ser visto como a proporção da variação total dos dados em
relação à média, quanto mais próximo de 1 for r2, melhor será o ajuste.
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