Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
71 CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA CAPÍTULO 7 DISTÂNCIAS E ÂNGULOS 1 DISTÂNCIAS Todos os conceitos vetoriais que são necessários para o cálculo de distâncias e ângulos, de certa forma, já foram estudados nos capítulos anteriores. Apenas vamos utilizá-los para desenvolver este capítulo. As fórmulas que serão demonstradas são consequências da aplicação destes conceitos. Portanto, acreditamos que a memorização de tais fórmulas não seja necessária, mas sim a compreensão dos conceitos aplicados. É importante lembrar que, considera-se como sendo a distância entre dois objetos quaisquer a menor distância entre eles e, geometricamente, a menor distância entre dois objetos é sempre a perpendicular. 1.1 Distância entre dois pontos Sejam )z,y,x(Be)z,y,x(A 222111 dois pontos quaisquer do ℜ3. A distância ABd , entre os pontos A e B, coincide com o módulo do vetor AB , ou seja: |AB|dAB = . Assim: )zz,yy,xx(ABAB 121212 −−−=−= . Portanto: 2 12 2 12 2 12AB )zz()yy()xx(|AB|d −+−+−== 1.2 Distância de um ponto a uma reta Sejam P um ponto e vtAX:)r( � += uma reta qualquer no ℜ3. A distância do ponto P a reta (r) coincide com a altura relativa ao vértice P do triângulo determinado pelos vetores AP e v � . Então hd )r(P = . Vamos determinar esta altura h da seguinte forma. Da geometria plana a área do triângulo é dada por 2 h|v| 2 alturabase AT ⋅ = ⋅ = � . Do cálculo vetorial a área do triângulo é dada por 2 |vAP| AT � × = ⇒ 2 |vAP| 2 h|v| �� × = ⋅ . Portanto: |v| |vAP| d )r(P � � × = |AB|dAB = B A (r) hd )r(P = AP v � P A 72 1.3 Distância de um ponto a um plano Sejam )z,y,x(P ooo um ponto não contido no plano 0dczbyax:)( =+++pi , cujo vetor normal é )c,b,a(n = � . Pela figura abaixo, a distância do ponto P ao plano (pi), denotada por )(PD pi , coincide com a distância entre os pontos P e Q, que é igual ao módulo do vetor QP , onde Q é a projeção ortogonal do ponto P sobre o plano (pi) e, portanto, )(Q pi∈ . Seja Q(x,y,z), então: )zz,yy,xx(QP ooo −−−= . Os vetores neQP � são paralelos, logo o ângulo entre eles é 0o. Então: o0cos|n||QP|nQP ⋅⋅=⋅ �� ⇒ 222)(Pooo cbaD)c,b,a()zz,yy,xx( ++⋅=⋅−−− pi ⇒ 222 ooo )(P cba )czbyax(czbyax D ++ ++−++ =pi (*). Da equação do plano vem que dczbyax −=++ . Substituindo a expressão (*) e tomando seu módulo (distância não pode ser negativa) tem-se: 222 ooo )(P cba |dczbyax| D ++ +++ =pi 1.4 Distância entre duas retas Sejam duas retas 11 vtAX:)r( � += e 22 vtAX:)s( � += . Se as retas forem coincidentes, concorrentes ou perpendiculares a distância entre elas será adotada com sendo igual a zero. a) Reta Paralelas: A distância entre duas retas paralelas é constante e pode ser determinada calculando-se a distância de um ponto qualquer de uma delas a outra, como foi feito no item (1.2) para calcular a distância de um ponto a uma reta. |v| |vAA| d 2 212 rs � � × = n � P Q )(pi )(PDQP pi= 12AA rsd 2v � A2 A1 (r) (s) 73 b) Reta Reversas ou Ortogonais: A distância entre as retas (r) e (s) reversas ou ortogonais, coincide com a altura do paralelepípedo determinado pelos vetores diretores 21 vev �� e pelo vetor 21AA . Na figura abaixo temos: Da geometria espacial, o volume do paralelepípedo é igual a hAbVP ⋅= e do cálculo vetorial: |]v,v,AA[|V 2121P �� = . A área da base Ab é a área de um paralelogramo determinado pelos vetores 21 vev �� e a altura rsdh = . Então: |]v,v,AA[|hAb 2121 �� =⋅ ⇒ |]v,v,AA[|d|vv| 2121rs21 ���� =⋅× ⇒ |vv| |]v,v,AA[| d 21 2121 rs �� �� × = 1.5 Distância entre dois planos Sejam )( 1pi e )( 1pi dois planos de equações 0dzcybxa:)( 11111 =+++pi e 0dzcybxa:)( 22222 =+++pi . Se os planos forem coincidentes, concorrentes ou perpendiculares a distância entre eles será adotada com sendo igual a zero. No caso em que eles forem paralelos, a distância entre eles é a distância de qualquer ponto de um deles ao outro. Assim: 222 ooo cba |dczbyax| D 21 ++ +++ =pipi 1.6 Distância entre uma reta e um plano Sejam vtAX:)r( � += uma reta e 0dczbyax:)( =+++pi um plano. Caso a reta esteja contida no plano, ou for concorrente ou perpendicular ao plano a distância entre eles e adotada como sendo zero. No caso em que a reta é paralela ao plano, a distância entre eles é a distância de qualquer ponto da reta (r) ao plano (pi ). Assim: 222 ooo r cba |dczbyax| d ++ +++ =pi 21 D pipi P )( 1pi )( 2pi pird A (r) (pi) hdrs = 1v � 1v � 2v � 1A 2A (r) (s) ⊡ 74 Exemplo (1): Determine a distância do ponto P, interseção das retas 2 2z 3 1y 3x:)r( − − = + =− e 1 1z 1y 3 1x :)s( − − =−= − , ao plano 03z2yx2:)( =−+−pi . Solução: Fazendo P=(r)∩(s), temos: de +−=⇒ − − =− −=⇒ + =− (**)8x2z 2 2z 3x (*)10x3y 3 1y 3x :)r( . Substituindo (*) e (**) em (s), tem-se: 4x110x3 3 1x =⇒−−= − . Portanto, P(4,2,0). Usando a fórmula da distância de um ponto a um plano tem-se: 222 ooo )(P cba |dczbyax| D ++ +++ =pi , onde o vetor normal )2,1,2()c,b,a(n −== � e o ponto )0,2,4()z,y,x(P ooo = . Então: 9 |328| 2)1(2 |302242| D 222 )(P −− = +−+ −⋅+−⋅ =pi ⇒ .c.u1D )(P =pi (u.c. = unidades de comprimento). Exemplo (2): Determine a distância entre as retas 1 2z 2 1y 3 x :)r( − + = − = e 2 1z 4 y 6 1x :)s( + = − = − − . Solução: Note que as retas (r) e (s) são paralelas e de −= − )1,2,3(v )2,1,0(A :)r( 1 1 � e de −−= − )2,4,6(v )1,0,1(A :)s( 2 2 � . Vamos calcular a distância do ponto A1 à reta (s) usando a expressão |v| |vAA| d 2 221 rs � � × = . Então: k10j8i2 246 111 kji vAA 221 ��� ��� � ++−= −− −−=× ⇒ 422|AA| 12 = e 142|v| 2 = � . Voltando a expressão: .c.u3d 142 422 d rsrs =⇒= 2 ÂNGULOS 2.1 Ângulo entre dois vetores: O ângulo entre dois vetores CDveABu == �� , não nulos, é o ângulo DPB)v,u(ang � �� ==θ entre os segmentos orientados que representam os vetores, com a restrição oo 1800 ≤θ≤ , quando os vetores são transportados para um mesmo ponto de origem P. 75 Através da expressão do produto escalar entre dois vetores, podemos determinar o ângulo θ entre eles em função do valor do cosθ. Assim, sempre usaremos a expressão abaixo para determinar o ângulo entre dois vetores. Portanto, θ⋅⋅=⋅ cos|v||u|vu ���� ⇒ |v||u| vu cos �� �� ⋅ ⋅ =θ . Como oo 1800 ≤θ≤ , neste intervalo temos que )180cos(cos o θ−−=θ ⇒ |)180cos(||cos|cos o θ−=θ=θ . 2.2 Ângulo entre duas retas Sejam duas retas 11 vtAX:)r( � += e 22 vtAX:)s( � += . O ângulo α entre as duas retas é sempre o menor ângulo formado por elas, donde podemos concluir que oo 900 ≤α≤ . Se as retas forem coincidentes ou paralelas o ângulo entre elas é adotado com sendo 0o. Se as retas forem perpendiculares ou ortogonais, por definição, o ângulo entre elas já está definido e é igual a 90o. No caso em que as retas são concorrentes ou reversas, podemos determinar o ângulo entre elas através do ângulo entre seus vetores diretores. Assim, seja α o ângulo entre as retas (r) e (s) e seja θ o ângulo entre seus vetores diretores. Como vimos anteriormente temos que |v||v| vv cos 21 21 �� �� ⋅ ⋅ =θ . Então: a) se θ=α⇒≤θ≤ oo 900 b) se θ−=α⇒≤θ< ooo 18018090 Portanto, em ambos os casos a) e b) temos que: |)180cos(||cos|cos o θ−=θ=α ⇒ |v||v| vv cos 21 21 �� �� ⋅ ⋅ =α . θ α 2v � (s) (r) 1 v � α=θ 2v � (s) (r) 1v � u � A B v � D C D B v � u � CA ≡ θ 76 2.3 Ângulo entre dois planos Considere dois planos de equações gerais 0dzcybxa:)( 11111 =+++pi e 0dzcybxa:)( 22222 =+++pi com seus respectivos vetores normais 21 nen ��. O ângulo α entre os dois planos é sempre o menor ângulo formado por eles e oo 900 ≤α≤ . Se os planos forem coincidentes ou paralelos o ângulo entre eles é adotado com sendo 0o. Se os planos forem perpendiculares, por definição, o ângulo entre eles já está definido e é igual a 90o. No caso em que os planos são concorrentes, podemos determinar o ângulo entre eles através do ângulo entre seus vetores normais. Assim, seja α o ângulo entre os planos (pi1) e (pi2) e seja θ o ângulo entre seus vetores normais. Então: a) se θ=α⇒≤θ≤ oo 900 b) se θ−=α⇒≤θ< ooo 18018090 Portanto, em ambos os casos a) e b) temos que: |)180cos(||cos|cos o θ−=θ=α ⇒ |n||n| nn cos 21 21 �� �� ⋅ ⋅ =α . 2.4 Ângulo entre uma reta e um plano Considere uma reta de equação vetorial vtAX:)r( � += , cujo vetor diretor é v � e um plano de equação geral 0dczbyax:)( =+++pi , cujo vetor normal é n � . O ângulo α entre a reta e o plano e o menor ângulo formado por eles e oo 900 ≤α≤ . Caso a reta seja paralela ao plano, em particular, se ela estiver contida no plano o ângulo entre eles é adotado como sendo 0o. Se a reta for perpendicular ao plano, por definição, o ângulo entre eles já está definido e é igual a 90o. No caso em que a reta é concorrente ao plano, podemos determinar o ângulo entre eles através do ângulo entre o vetor diretor da reta e o vetor normal ao plano. Assim, seja α o ângulo entre a reta (r) e o plano (pi) e seja θ o ângulo entre o vetor diretor da reta e o vetor normal ao plano. Então: θ=α )( 2pi )( 1pi α 1n � 2n � 2n � 1n � α )( 2pi )( 1pi α 1n � 2n � 2n � 1n � θ 77 a) se θ−=α⇒≤θ≤ ooo 90900 b) se ooo 9018090 −θ=α⇒≤θ< Nestes casos devemos determinar o ângulo θ entre o vetor diretor da reta e o vetor normal ao plano entre através do valor de |n||v| nv cos �� �� ⋅ ⋅ =θ e, posteriormente, determinar o ângulo α , uma vez que: a) se θ−=α⇒≤θ≤ ooo 90900 e b) se ooo 9018090 −θ=α⇒≤θ< . Exemplo (3): Determine o ângulo entre os planos 03zyx2:)( 1 =+−+pi e 04yx:)( 2 =−+pi . Solução: Estamos interessados em determinar o ângulo α entre os planos, em função do ângulo θ entre os vetores normais que são )0,1,1(ne)1,1,2(n 21 =−= �� . Note que: como LI}n,n{ 21 �� e 0nn 21 ≠⋅ �� , logo os planos são concorrentes. Então: 21 21 nn nn |cos|cos �� �� ⋅ ⋅ =θ=α ⇒ 26 3 011)1(12 0)1(1112 cos 222222 ⋅ = ++⋅−++ ⋅−+⋅+⋅ =α ⇒ 2 3 cos =α . Portanto, o30=α . Exemplo (4): Sejam a reta 3 2z 2 1y x:)r( − = − − = e o plano 03z5yx:)( =++−pi . Qual é o ângulo entre eles? Solução: Queremos determinar o ângulo α entre a reta e o plano em função do ângulo θ entre o vetor diretor da reta )3,2,1(v −= � e o vetor normal ao plano )5,1,1(n −= � . Note que a reta é concorrente ao plano. Vamos determinar θ usando a expressão |n||v| nv cos �� �� ⋅ ⋅ =θ . Então: 222222 5)1(13)2(1 53)1()2(11 cos +−+⋅+−+ ⋅+−⋅−+⋅ =α ⇒ θ α )(pi v � n � )r( θ α )(pi v � n � )r( 78 7 42 cos =θ . Como 0cos >θ ⇒ oo 900 ≤θ≤ ⇒ θ−=α o90 . Portanto, −=α 7 42 arccos90o . Exercícios Propostos 1) Sejam o plano 015z5y5x3:)( =−++pi . Ao "passar" pelo ℜ3 ele deixa traços e intercepta os eixos coordenados em pontos P, Q e R, cujo esboço do plano (pi) é o triângulo PQR. Determine o ângulo do vértice R do triângulo PQR. Resp: =α=θ 34 173 arccos 2) Determine o ângulo entre as retas, cujos vetores diretores são )h,g,f(v 1111 = � e )h2,g,f(v 1222 = � , sabendo-se que 21 vvAB �� += , com A(2,3,-1) e B(4,-3,5), 1iv1 =⋅ � � e ji8kv2 ��� � −−=× . Resp: =θ 27 7 arccos 3) Sejam A(2,3,0), B(2,1,4) e C(4,1,4) vértices de um triângulo ABC. Sejam M e N pontos médios dos lados AC e BC, respectivamente. Determine o ângulo entre as retas suportes do lado AC e do segmento MN. Resp: =θ 6 30 arccos 4) Determine a distância entre as retas 1ze2y 2 1x :)r( −=−= − e 2ze 2 2y 4 1x :)s( = − = − . Resp: .c.u3d = 5) Determine a distância da reta 2z5y 3 x :)r( −=−= ao plano 030z5y2x:)( =−−+pi . Resp: .c.u30d =
Compartilhar