Posições entre retas

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Universidade Uniderp e Anhanguera 
Engenharias 
Prof. Rosilene Fernandes Posições entre retas 
 
 Módulo 04 - Posição Relativa de Duas 
Retas - Equação do Feixe de Retas 
 
1. Introdução 
Da geometria plana, sabemos que duas retas r e s (no plano) podem assumir as seguintes 
posições relativas: 
 concorrentes (caso particular importante: perpendiculares); 
 paralelas (distintas); 
 coincidentes. 
 
2. Relações entre os coeficientes 
As retas r e s (não-verticais), cujas equações reduzidas são, respectivamente, 
(r) : y = mrx + hr 
(s) : y = msx + hs,têm as seguintes relações: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Retas concorrentes 
 
mr  ms 
 
Se duas retas são concorrentes, seus coeficientes angulares são diferentes, e 
vice-versa 
Caso particular: retas perpendiculares 
 
 
 
 
Se duas retas são paralelas distintas, o coeficiente angular de uma é o oposto do 
inverso do coeficiente angular da outra, e vice-versa. 
 
 
 
 
Retas paralelas (distintas) 
 
 
mr = ms hr  hs 
 
Se duas retas são paralelas distintas, seus coeficientes angulares são iguais e 
seus coeficientes lineares são diferentes, e vice-versa. 
Retas coincidentes 
 
 
mr = ms hr = hs 
 
Se duas retas são paralelas coincidentes, seus coeficientes angulares são iguais e 
seus coeficientes lineares são iguais, e vice-versa. 
 
 
 
 
 
A partir das condições expostas, podemos estabelecer relações entre os coeficientes da 
equação geral das retas r e s, lembrando que m = – e h = – . 
Sendo 
(r) a1 . x + b1 . y + c1 = 0 e 
(s) a2 . x + b2 . y + c2 = 0, obtemos: 
Retas concorrentes 
 
Retas perpendiculares 
 
Retas paralelas (distintas) 
 
Retas coincidentes 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. Posição relativa de duas retas (Resumo) 
 
r: y = mr . x + hr 
s: y = ms . x + hs 
r:a1 . x + b1 . y + c1 = 0 
s: a2 . x b2 . y + c2 = 0 
 
mr  ms 
 
 
 
a1 . a2 + b1 . b2 = 0 
 
mr = ms 
e 
hr  hs 
 
 
mr = ms 
e 
hr = hs 
 
 
Exemplos 
Estudo das posições relativas das seguintes retas: 
 3x + 6y + 7 = 0 
 2x + 4y – 1 = 0 
Como , as retas são paralelas distintas, pois 
 
2x – y + 2 = 0 
 3x + 6y + 7 = 0. Como 3 . 2 + 6 . (– 1) = 0, as retas são perpendiculares, 
pois: a1 . a2 + b1 . b2 = 0 
 y =– 3 . x + 5 
y = 2 . x – 1. 
Como os coeficientes angulares das retas são iguais a – 3 e 2, as retas são 
concorrentes e não perpendiculares, pois 
 
 
 
 
 
4. Feixe de retas concorrentes 
Seja C(x0; y0) um ponto do plano, e r uma reta (não-perpendicular ao eixo ) que 
passa pelo ponto C. 
 
Sendo m o coeficiente angular da reta r e P(x; y) um ponto genérico dessa reta, 
temos: 
 
Dessa forma, a equação da reta r, conhecidos um ponto C(x0; y0) e o coeficiente 
angular m, resulta 
 
Obs.: Atribuindo todos os valores possíveis ao coeficiente angular m(m  ), 
obtemos as equações de todas as retas que passam pelo ponto C(x0; y0), com 
exceção da reta vertical, que é obtida pela equação. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A equação do feixe de retas concorrentes, de centro C(x0; y0), é: 
y - y0 = m . (x - x0), com m  
ou 
x = x0 (reta vertical). 
 
 
 
5. Feixe de retas paralelas 
Seja a reta r, de equação geral a . x + b . y + c = 0. Sabendo-se que 
retas paralelas têm o mesmo coeficiente angular (m = – ) e coeficientes lineares 
diferentes (h = – ), a obtenção de uma reta paralela a r é feita mantendo-se os 
valores de a e b e mudando-se o valor de c. 
Portanto, a equação de uma reta paralela a r é do tipo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a . x + b . y + k = 0 
 
 
6. Ângulo entre duas retas 
No plano cartesiano, sejam as retas r e s, não verticais nem perpendiculares entre 
si, com declividades mr e ms (mr ¹ ms), respectivamente: 
 
Adotaremos para os ângulos entre r e s, a seguinte nomenclatura: 
  ângulo da reta s para a reta r (orientado no sentido anti-horário) 
  ângulo da reta r para a reta s (orientado no sentido anti-horário) 
Cálculo do ângulo 
Sendo mr = tg qr, ms = tg qr e da figura: = qr – qs, temos: 
tg = tg ( qr – qs) Þ tg = 
Analogamente, obteríamos: 
 
Obs.: Obtido o valor da tangente, pela trigonometria, obtém-se o valor do ângulo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
7. Posições dos pontos de um plano em relação a uma reta 
Seja o plano cartesiano e r uma de suas retas. 
 
Em relação à reta r, os pontos do plano podem assumir uma das seguintes posições 
relativas: 
a) pertencem à reta r. 
b) pertencem ao semiplano (1) (sem considerar os pontos de r). 
c) pertencem ao semiplano (2) (sem considerar os pontos de r). 
Sendo P(x0; y0) um ponto genérico do plano cartesiano e r a reta de equação ax + 
by + c = 0, verifica-se que: 
a) ax0 + by0 + c = 0 para todos os pontos da reta r. 
b) ax0 + by0 + c > 0 para todos os pontos de um dos semiplanos (sem considerar 
os pontos da reta r). 
c) ax0 + by0 + c < 0 para todos os pontos do outro semiplano (sem considerar os 
pontos da reta r). 
Para sabermos qual dos semiplanos é positivo ou negativo, procede-se da 
seguinte maneira: 
a) Procura-se o valor numérico do trinômio ax + by + c para o ponto 0 (0; 0) – 
(origem). 
 
 
 
 
b) Se o resultado é positivo, o semiplano que contém a origem é positivo e o 
outro, negativo. 
c) Se o resultado for negativo, o semiplano que contém a origem é negativo e o 
outro, positivo. 
d) Se o resultado der “zero", significa que a origem pertence à reta e devemos, 
pois, tomar um outro ponto (exemplo: (1; 0), (2; 0), (0; 1) … etc.) externo à reta 
para, então, recairmos no estudo anterior. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 
Representar graficamente o conjunto dos pontos do plano (x; y), tais que 2x – 
3y – 6  0. 
Resolução 
O problema pede a representação gráfica dos pontos da reta e do semiplano 
positivo. 
A partir da representação gráfica da reta 2x – 3y – 6 = 0, observamos que o 
semiplano que contém a origem é negativo, pois 2 . 0 – 3 . 0 – 6  0. 
A representação gráfica da inequação 
2x – 3y – 6  0 é 
 
 
 
 
Fonte: http://conteudoonline.objetivo.br