ESTUDO DA RETA-LIVRO-2

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61 
 
0 
0 0 
0 
3 – O ESTUDO DA R E T A 
 
 Define-se reta como sendo uma sucessão de infinitos pontos, distintos e alinhados. 
 
3.1 – INCLINAÇÃO DE UMA RETA 
 
DEFINIÇÃO 1 : A inclinação de uma reta r é o menor ângulo , positivo, que ela forma 
com o eixo dos x, medido no sentido anti-horário, partindo-se do eixo dos x 
até a reta dada. 
 
EXEMPLOS: 
 
a) b) 
 r r 
 
 
 
  
 x x 
 
 Se 0
o
 <  < 90
o
, a reta é crescente Se 90
o
<  < 180
o
, a reta é decrescente 
 
 
c) r d) 
 r 
 
  = 90
o
  = 0
o
 
 x x 
 
 Se  = 90
o
, a reta é perpendicular ao x´x Se  = 0
o
, a reta é paralela ao x´x 
 
EXEMPLO 
 
1) Represente no plano cartesiano a reta que passa pelos pontos A(2, 3) e B(4, 2) e diga se ela e 
crescente ou decrescente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
-2 
y 
y 
y y 
y 
B 
x 
4 
0 -2 
3 
A 
 
 62 
B 
0 
Solução: 
 Observando o gráfico verifica-se que o ângulo  está compreendido entre 900 e 1800. 
Assim, a reta que passa pelos pontos A e B é decrescente. 
 
EXERCÍCIOS 3.1 
 
1) Represente a reta que passa pelos pontos dados e depois, com uso de um transferidor, 
verifique quanto mede o ângulo de inclinação e classifique de acordo com o item 3.1: 
a) (3, 4) e (2, 3) b) (0, 4) e (5, 0) 
 
c) (6, 2) e (0, 3) d) (2, 5) e (3, 4) 
 
2) Represente a reta que passa pelo ponto (qppp) P e cujo ângulo de inclinação  é dado: 
a) P(3, 0) e  = 45
o
 b) P(2, 1) e  = 145
o
 c) P(2, 0) e  = 75
o
 
 
d) P(2, 1) e  = 160
o
 e) P(0, 0) e  = 17
o
 f) P(4, 3) e  = 90
o
 
 
3.2 – DECLIVIDADE ( ou, COEFICIENTE ANGULAR ) DE UMA RETA 
 
A palavra declive é usada no cotidiano com vários sentidos, como : 
 a) "O terreno tem um declive de 20 % " 
 b) "A cobertura do telhado deve ter um " caimento" (declive) de 30 %" 
 c) "A ferrovia foi construída observando-se a rampa máxima de 3 %" 
 
O declive de uma reta é interpretado de forma semelhante. 
 
DEFINIÇÃO 2: Chama-se declividade (ou coeficiente angular) de uma reta r, ao número real 
"m", que representa a tangente trigonométrica do ângulo de inclinação desta 
reta: 
 
 
 
 
 
 y 
 
 yA 
 
 
  
 
 
 Figura 23 
 
 angularecoeficientedeclividadm  
 
 
B eA entre x dos variação
B eA entrey dos variação
x
y



m 
 
 


 ao adjacente cateto
 ao oposto cateto
B
B 



A
A
xx
yy
m 
 
 reta da declive tg  m 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A 
yB 
xA 
y 
x 
xB 
 
x 
 63 
0 
0 
EXEMPLOS : 
 
1) Uma reta passa pelos pontos A(2, 1) e B(8, 4). Representando a reta e fazendo o estudo 
 do seu crescimento quando um ponto P se desloca de A para B, conclui-se que: 
 y 
 
 
 4 
 
 
 
 
 1 
 
 r 2 8 x 
 
 
 Figura 23 
 
 
a) - as abscissas crescem de 2 para 8 
 A variação das abscissas é igual a 
 x = xB  xA = 8  2 = 6 
 
b) - as ordenadas crescem de 1 para 4 
A variação das ordenadas é igual a 
y = yB  yA = 4  1 = 3 
 
c) - a reta CRESCE à razão de 3 por 6, ou, 
 1 por 2; isto é, para cada acréscimo 
 de 2 unidades nas abscissas, corresponde 
 um acréscimo de 1 unidade nas ordenadas 
 
Portanto, o declive ( ou coeficiente angular) da reta r é: 
 
0
2
1
6
3
28
14
 
 xdos variação
y dos variação
 








 tgm
xx
yy
x
y
edeclividad
AB
AB 
 
 O B S E R V A Ç Ã O : Quando a reta é CRESCENTE, o ângulo de inclinação está 
 entre 0
o
 e 90
o
, 0
o
 <  < 90
o
, e a declividade de r é POSITIVA pois , m = tg  > 0 
 
 
2) Seja uma reta r que possui os pontos C( 2, 4 ) e D( 8, 1 ). Procedendo como no exemplo 
anterior, conclui-se que: 
 
 Y 
 r 
 
 4 
 
 
 
 
 1 
 x 
 
 
 Figura 24 
a) - as abscissas crescem de 2 para 8 
 a variação das abscissas é igual a 
 x = xD − xC = 8 − 2 = 6 
 
b) - as ordenadas decrescem de 4 para 1 
 a variação das ordenadas é igual a 
y = yD − yC = 1 − 4 = −3 
 
 c) - a reta DECRESCE à razão de −3 por 6, ou, 
.- 1 por 2; isto é, para cada acréscimo de 2 
. unidades nas abscissas, corresponde um 
. . decréscimo de 1 unidade nas ordenadas 
 
 
Assim, o declive ( ou coeficiente angular) da reta r é: 
 
0
2
1
6
3
28
41
 
 xdos variação
y dos variação
 










 tgm
xx
yy
x
y
edeclividad
CD
CD 
C 
D 
8 2 
A 
B 
 64 
0 
0 
 
 
 
 
3) A reta que passa pelos pontos G(2, 3) e H(7, 3) é paralela a x'x. Como é a declividade de 
uma reta paralela ao eixo dos x ? 
 
 
 
 r 
 
 
 
 
 
 Figura 25 
 
- quando um ponto P se desloca de G para H, 
os x crescem de 2 para 7, e a variação das 
abscissas é x = xH  xG = 7  2 = 5, 
 
- porém, as ordenadas não crescem e nem 
 decrescem, e a variação dos y é y = 3 3 = 0, 
 ou seja, nula. 
 
 Como a reta r tem uma posição paralela ao eixo dos x, ou, horizontal, (ela não cresce e 
nem decresce), o seu DECLIVE é N U L O, ( = zero): 
 
º0
5
0
 
 xdos variação
y dos variação
 


 tgm
x
y
edeclividad 
 
 
 
 
4) A reta que passa pelos pontos M(4, 2) e N(4, 3) é perpendicular ao eixo dos x. 
 Seu ângulo de inclinação é de 90
o
 
 
 y 
 3 
 
 
 
 
 
 -2 
 
 Figura 26 
 
 
- a variação dos x entre M e N é 
 x = 4  4 = 0 
 
- a variação entre os y é 
 y = 3  (2) = 5 
 
 
Aplicando a razão da declividade, obtém-se: 
 
? 90º )(
0
5
0
5
 
 xdos variação
y dos variação
 


 tgmimpossívelm
x
y
edeclividadOBSERVAÇÃO: Quando a reta é // x’x, ela tem posição horizontal, o seu ângulo de 
inclinação é de 0º e a sua DECLIVIDADE é NULA, pois m = tg  = tg 0º = 0 
OBSERVAÇÃO: Quando a reta é perpendicular ao eixo x’x (vertical), o seu ângulo de 
inclinação é de 90º e a sua declividade não é possível determinar (não é definida) pois, 
m = tg  = tg 90ºe esta não existe. 
4 x 
N 
M 
7 2 
G H 
x 
y 
3 
OBSERVAÇÃO: Quando a reta é DECRESCENTE, o ângulo de inclinação está entre 90º e 
180º, 90º<  < 180º, e a declividade de r é NEGATIVA, porque m = tg < 0 
 65 
0 
3.2.1 – CÁLCULO DA DECLIVIDADE DE UMA RETA (GENERALIZAÇÃO) 
 
 Seja uma reta r que passa pelos pontos A(xA, yA) e por B(xB, yB), quaisquer. 
 
 
 Na figura ao lado, traçando uma paralela ao 
eixo dos x , passando por A e, uma // ao eixo 
dos y, passando por B, obtém-se o triângulo 
retângulo ABM. 
 
 O ângulo de inclinação da reta é . 
 
 Por definição temos que: 
 
 
 
 
 
 yA 
 
  
 x 
 
 Figura 27 
 
AB
AB yy 
 xdos variação
y dos variação
 m
xxx
y
tg





  
 
EXERCÍCIOS 3.2 
 
1) Qual é a declividade (coeficiente angular) de uma reta cujo ângulo de inclinação mede : 
a)  = 45
o
 b)  = 78
o
 c)  = 135
o
 
 m = tg 45
o
 = m = tg 78
o
 = m = tg 135
o
 = 
 
2) Represente no plano cartesiano as retas que passam pelos pontos indicados; determine a 
declividade da reta e diga se ela é crescente, ou decrescente, ou ..., de acordo com o item 3.1 
deste capítulo. Determine ainda o seu ângulo de inclinação: 
a) A(0, 1) e B(4, 3) b) A(3, 2) e B(2, 4) c) C(2, 3) e D(2, 5) 
 
a) 
2
1
 
4
2
 
04
13
 
 xdos variação
y dos variação
 






AB
AB
xx
yy
m   = arc tg ( 1/2 ) = …….. 
 
d) E(3, 5) e F(3, 1) e) G(3, 4) e H(3, 4) f) P(2, 4) e R(2, 3) 
 
3) Representar graficamente a reta sendo dado: um ponto P e a declividade m: 
 
a) P(1, 0) e m = 3/4 b) P(2, 2) e m = 7/5 c) P(0, 0) e m = 2 
 
d) P(0, 6) e m = 6 / 5 e) P(2, 5) e m = 2 f) P(1, 4) e m = 0 
 
4) Os pontos M(x, 9) e N(0, 2) pertencem a uma reta cuja declividade é 2. 
 Calcular a abscissa de M. 
 
5) Uma reta que passa por G( 6, 3), tem declive m = 5/8. Em que ponto ela corta: 
 a) o eixo dos x ? b) o eixo dos y ? 
 
6) Usando a declividade, mostre que estão alinhados os pontos: A(0, 3), B( 2, 1) e C(5, 7): 
 
7) Qual o valor de y para que os pontos E(4, 18), F(1, y) e G( 3, 3) estejam alinhados ? 
yB B 
A 
xB xA 
M 
xA xB 
y 
M 
B 
A 
 66 
 0 
8) Determine as coordenadas de um ponto do eixo das abscissas e que está alinhado com os 
pontos K(3, 7) e L(2, 2): 
 
9) Num triângulo de vértices A, B e C, tem-se: A(2, 1) e B(14, 1), mAC = 5/6 e mBC = 5/2. 
Calcule as coordenadas de C: 
 
10) Num mercado a demanda de um produto é de 20 unidades, ao preço de R$ 25,00 e, é de 50 
unidades ao preço de R$ 10,00. Qual é a taxa média de variação do preço em relação à da 
quantidade demandada ? 
 O que significa este valor encontrado ? 
 
 q p 
 50 
 20 25,00 
 50 10,00 
 
 
 
 20 40 60 q 
 
11) Uma editora, para imprimir 500 volumes de um livro, teve um custo total de R$ 9.500,00. 
Se tivesse imprimido 700 vol., seu custo total seria de R$ 13.500,00. 
 
 Qual foi o custo unitário para imprimir cada livro? 
 
12) Represente, determine a declividade e o ângulo de inclinação da reta que passa pelos pontos 
abaixo indicados e diga se ela é crescente, ou decrescente, ou ...: 
a) A(2, 4) e B(4, 9); b) A(0, 4) e B(6, 3); 
 c) A(0, 6) e B(3, 0); d) A(5, 0) e B(4, 3) 
 
13) Represente graficamente a reta sendo dado: um ponto P e a declividade m: 
 
a) P(3, 2 ) e m = 5/6; b) P( 0, 4 ) e m = 3/2 b) P(−2, 5 ) e m = 3 
 
14) Usando a declividade, verifique se os pontos A(0, 3), B(2, 1) e C(7, 5) estão alinhados. 
 
15) Um viajante passou pelo [ km 20 ] de uma rodovia, após 15 minutos de viagem, e, chegou 
ao [km 50], aos 30 minutos de viagem. Qual foi a velocidade média desenvolvida? 
 
16) Uma fábrica coloca à venda 5 vassouras quando o preço unitário é de R$ 1,80 e, 20 
vassouras se o preço passa para R$ 2,70. 
 Qual é declividade (relação) da oferta : preço/quantidade ? 
 
3.3 – EQUAÇÃO DA RETA 
 
 A equação de uma reta expressa a relação existente entre a ordenada e a abscissa de 
qualquer ponto pertencente à reta. 
 
EXEMPLO 1: Representar a reta na qual todos os pontos têm coordenadas que satisfazem a 
condição: " a ordenada é igual à abscissa." 
 p 
 67 
Para que um ponto pertença à reta é necessário que: ordenada = abscissa 
Isto se expressa simbolicamente pela equação: y = x. 
 Esta reta , entre outros, possui os pontos: 
 x y 
 2 2 
 0 0 
 1 1 
 3 3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 28 
 
EXEMPLO 2: Representar a reta na qual todos os pontos satisfazem a condição: 
 " a ordenada é igual ao dobro da abscissa." 
 
A equação que expressa a relação que deve existir entre os elementos dos pares 
ordenados desta reta é : y = 2x. 
 
 Alguns dos infinitos pontos desta reta podem 
ser: 
 x y 
 0 0 
 1 2 
2 4 
3 6 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 29 
 
EXEMPLO 3: Idem aos exemplos 2 e 3, a ordenada é igual ao triplo da abscissa e mais 2 
unidades." 
 A equação da reta nesta situação é : y = 3x + 2. 
 
 Entre outros, existem os seguintes pontos 
 sobre a reta: 
 
 x y 
 2 4 
 1 1 
0 2 
1 5 
 
 
 
 
 
 
2 
1 
x 
y 
x 
 Figura 30 
0 
0 
y 
x 
4 
1 
5 
2 
2 1 0 
0 
y 
 68 
OBSERVAÇÃO: 
 
 Os pontos que pertencem às retas dos exemplos 1, 2 e 3, são pares ordenados (x, y) que 
satisfazem a relação estabelecida entre a ordenada e a abscissa. Assim, se a equação da reta é 
23  xy e a abscissa é x = 2, temos: 
 2)2(3 y  y =  4 
 Se x = 1, então: 
 2)1(3 y  y = 1 
 
 Se x = 0, então: 
 203 y  y = 2 
 
 Se x = 1, então: 
 213 y  y = 5 
 
 Os pontos (2, 4), (1, 1), (0, 2) e (1, 5) são pontos que pertencem à reta 23  xy . 
Generalizando, podemos dizer que: 
 
 Ponto que pertence a uma reta é o ponto cujas coordenadas satisfazem à equação dessa 
reta. 
 
EXEMPLO: 
 
 Verifique se os pontos A(2, 1), B(4, 3) pertencem à reta cuja equação é y = 2x – 5. 
 
Solução: 
 Substituindo as coordenadas de A na equação y = 2x –5, obtém-se: 
 –1 = 2 (2) – 5  –1 = 4 – 5  –1 = –1 
 
 A igualdade está satisfeita, portanto, o ponto A pertence à equação da reta y = 2x – 5. 
 
 Substituindo as coordenadas de B na equação y =2x –5, obtém-se: 
 3 = 2 (–4) – 5  3 = –8 – 5  3  –13 
 
 A igualdade não está satisfeita, portanto, o ponto B não pertence à equação da 
reta 52  xy . 
 
EXERCÍCIO 3.3 
 
1) Verificar se o ponto P pertence à reta da equação dada: 
 a) P(5, 2) e r: y = 2x – 8 ; b) P(–4, 8) e r: y = –3x – 4 
 c) P(5, 2) e r: 2x + 5y = 10; d) P(–3, 1) e r: 3x – 2y – 6 =0 
 
2) Determine o valor de k para o ponto P (5, 2) pertença à reta 
a) kxy 
2
3
 b) 0)3(72  kyx c) 6 kxy 
 
 
 69 
 
3.3.1 - EQUAÇÃO REDUZIDA DA RETA 
 
 Antes de determinarmos formalmente a equação reduzida da reta vamos realizar duas 
tarefas. 
1) Dadas as equações abaixo determine alguns pontos e as represente num mesmo plano, 
verificar em que ponto cada uma corta o eixo dos y. Estabelecer uma propriedade sobre o que 
se observa em relação aos elementos da equação e onde ela corta o eixo dos y: 
a) y = x + 5 
b) y = x + 2 
c) y = x 
d) y = x – 3 
 
2) Determine dois pontos para cada uma das retas das equações abaixo. Calcule a declividade de 
cada reta e verifique se existe alguma relação com a declividade e a equação: 
a) 2
2
3
 xy 
b) y = 2x – 4 
c) y = –3x + 3 
d) 2
2
1
 xy 
 
 Seja r uma reta que corta o eixo dos y em B(0, b) e cujo ângulo de inclinação é . 
Consideremos P(x, y) um ponto qualquer da reta ( = ponto genérico; = ponto variável). 
Qualquer que seja a posição de P(x,y) sobre a reta, 
aplicando o cálculo da declividade da reta, obtém-se: 
 
 





 
0
 
x
by
m
xx
yy
m
BP
BP
 
 
 )0(  xmby 
 x 
Resolvendo a equação para y temos: 
 Figura 31 
 
  Forma reduzida da equação da reta 
 
 
OBSERVAÇÕES: 
a) qualquer equação que represente uma reta é uma equação do 1
o
 grau, 
b) o "m" da equação reduzida que é o coeficiente de x, representa a declividade (ou coeficiente 
angular) da reta, 
c) o "b" da equação reduzida é chamado coeficiente linear. Ele representa o valor da ordenada do 
ponto onde a reta corta o eixo dos y. 
 
OUTROS EXEMPLOS 
 
1) A equação y = 2x  3 representa uma reta na qual: 
b = 3  Significa que a reta corta o eixo dos y em 3; 
 m = 2  Significa que a reta cresce à razão de 2 para 1, isto é, para cada acréscimo de uma 
 y = mx +b 
P(x,y) 
B(0,b) 
y 
0 
 70 
y 
unidade nas abscissas corresponde o acréscimo de duas unidades na ordenada. 
 
Pode-se representar então a reta determinando o "b" 
e o "m" ou, encontrando alguns pontos: 
 
 
 
 x y = 2x – 3 
 0 −3 
 3/2 0 
 
 
 
 
 
 
 
2) A equação y = 
5
3
x + 2 representa uma reta na qual: 
 b = 2  Significa que a reta corta o eixo dos y em 2 ; 
 m = 3/5  Significa que a reta cresce à razão de 3 para 5. 
 
Pode-se representar então a reta usando 
o "b" e o "m" ou, determinando alguns pontos: 
 
 x y = (3/5) x + 2 
 0 2 
 5 1 
 10/3 0 
 
 Figura 32 
 
 
3) A equação y = –x + 3 representa uma reta na qual: 
 b = 3  Significa que a reta corta 
 o eixo dos y em 3; 
 m = 3/3 = 1/1  Significa que a reta 
 decresce à razão de 1/1. 
 x y = –x + 3 
 0 3 
 2 1 
 3 0 
 
 Figura 33 
 
4) A equação y = 3 representa uma reta na qual: 
 b = 3  Significa que reta corta o eixo dos y em 3; 
 m = 0  Significa que a reta tem declive NULO 
 ( é // ao eixo dos x). 
 
3 
3 x 
y 
0 
x 0 10/3 
2 
y 
3/2 
3 
x 0 
Figura 31 
 71 
 
 x y = 3 
 8 3 
 0 3 
 4 3 
 
 
 
 
 
 Figura 34 
EXERCÍCIOS 3.4 
 
1) Representar graficamente a reta cuja equação é: 
a) y = 0,5x + 3 b) y = 2x – 5 c) y = 4x 
d) y = 1,3x –2 e) y = 0,75x + 2,4 f) xy
3
2
 
g) 3
2
5
 xy h) y = –3x + 4 i) xy
4
7
 
j) y = –2,6x + 4,5 k) y = 0 l) y = 2,7 
 
2) Qual é a equação da reta sabendo que: 
a) possui o ponto (0, 6) e sua declividade é m = 23/4 ?; 
b) possui o ponto (0, 2) e sua declividade é m = 4/7 ?; 
c) possui o ponto (0, 7) e tem m = 0? 
d) possui o ponto (0, 2) e tem m = 2,78? 
 
3) Sobre as retas, nos gráficos abaixo, determine: a declividade, o coeficiente linear e a equação 
 
a) b) c) 
 - 4 - - 
 - - x 
 - - 
 - - 2 
 x x - 
 3 4 
 
m = 
)3(0
04


 = 
3
4
 m = ---------- = m = ------------ = 
b = 4 b = b = 
y = mx + b 4
3
4
 xy y = y = 
 
4) Fazer a discussão da equação da reta y = mx + b, para o caso de: 
 a) b = 0 e m > 0 b) b = 0 e m < 0 
 c) m = 0 e b > 0 d) m = 0 e b < 0 
 e) m = 0 e b = 0 f) m > 0 e b > 0 
 g) m > 0 e b < 0 h) m < 0 e b > 0 
 i) m < 0 e b < 0 
y 
3 
y 
0 
0 0 
1 
y 
x 0 
4 
3 
y 
 72 
3.3.2 - CASO ESPECIAL DA EQUAÇÃO DA RETA 
 
 Quando a reta tem um ângulo de inclinação de 90°, sua posição é perpendicular ao eixo dos 
x. Logo, não é possível determinar a declividade ( otgm 90 ), pois, neste caso, a reta não 
intercepta o eixo dos y ou a reta tem infinitos pontos coincidindo com o eixo das ordenadas. Isto 
quer dizer, que a equação desta reta não pode ser escrita na forma reduzida bmxy  . 
 
 
Exemplo: x = 4 
 x y 
 4 6 
 4 3 
 4 2 
 4 0 
 4 1 
 4 5 
 
 
 
 
Todos os pontos desta reta da Figura 35 têm a característica ou a condição de: 
" a sua abscissa é constante e igual a 4." 
 
 
 
 
 
OUTROS EXEMPLOS: 
 
 1) x = 3 2) x = 2,8 3) x = 0 
 
 y y y 
 
 
 
 
 
 Figura 36 Figura 37 Figura 38 
 
 
3.3.3 - EQUAÇÃO GERAL DA RETA 
 
 A equação de uma reta pode ser escrita também na FORMA GERAL. Esta forma é 
representada como segue: 
 
 Ax + By + C = 0  equação do 1
o
 grau, 
 
 Na forma geral, A é o coeficiente da variável x, B é o coeficiente da variável y e C é o 
termo independente da equação. 
 
Simbolicamente escreve-se isto sob a forma: 
 x = constante  x = 4 
 
4 x 0 
−3 2,8 x x 
x 
y 
0 0 
0 
Figura 35 
 73 
y 
EXEMPLOS: 
 
1) 3x + 2y + 5 = 0  A = 3 ; B = 2 ; C = 5 
2) x – 3y – 8 = 0  A = ? ; B = ? ; C = ? 
3) x – 7y = 0  A = ; B = ; C = 
4) 5x + 9 = 0  A = ; B = ; C = 
5) 2y – 3 = 0  A = ; B = ; C = 
 
EXERCÍCIOS 3.5 
 
1) Passar para a forma geral as equações: 
a) y = 3x – 7 b) y = –2x + 4 c) y = –8x 
d) y =(2/3)x – 5 e) y = (–3/4)x + 2/3 f) y = –9 
 
2) Passar para a forma reduzida a equação: 
a) x + y + 3 = 0 b) 2x + y – 5 = 0 c) x – y – 6 = 0 
d) x – 2y + 4 = 0 e) 3x + 5y – 6 = 0 f) 4x – 3y = 0 
 
 
3.3.4 - DETERMINAÇÃO DOS PONTOS ONDE UMA RETA CORTA OS EIXOS 
 
 
Consideremos uma reta r qualquer. B(0,y) 
No ponto B onde a reta corta o eixo dos y, 
temos o x = 0. 
 
No ponto A onde a reta corta o eixo dos x, 
temos o y = 0. 
 A(x,0) 
 
 Figura 39 
 
 Portanto, quando queremos saber onde uma reta corta o eixo: 
 
a) dos y, atribuímos ao x o valor 0 (zero) e calculamos o y. 
 
 
 
 
b) dos x, damos ao y o valor 0 e calculamos o x . 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS 3.6 
 
1) Achar as coordenadas dos pontos onde a reta corta os eixos e fazer o gráfico 
 a) y = 6 – 2x b) y = 3x + 6 c) y = 2,7x – 5,4 
 d) 3x – 4y = 6 e) 2x + 4y + 8 = 0 
 x y 
 B(0 y) 
 x y 
 A(x 0) 
x 0 
 74 
E que 
x
y
m


 
Para os pontos A e P da Figura 40 
temos: 
 
A
A
xx
yy
m


 
Figura 40 
3.3.5 - FORMAS DE DETERMINAÇÃO DA EQUAÇÃO DE UMA RETA 
 
3.3.5.1 - QUANDO SÃO CONHECIDOS UM PONTO DA RETA E A SUA 
DECLIVIDADE 
 
GENERALIZAÇÃO: 
 
 Seja A(xA, yA) um ponto conhecido 
da reta r cuja declividade m também é 
é conhecida. Consideremos P(x, y) um 
ponto genérico (qualquer) da reta. 
 Sabemos que: 
 m = tg 
 
 
 
 
 
 
 
 donde: 
 
 
 
 
 Uma vez substituído o ponto conhecido e a declividade na expressão acima, a equação da 
reta pode ser escrita na forma reduzida, geral ou na forma segmentaria que será estudada logo 
mais adiante no item 3.3.6. 
 
EXEMPLO: 
 
 Uma reta passa pelo ponto A( 3, 5 ) e tem declive m = 2. A equação da reta obtém-se por: 
 
 y – yA = m ( x – xA ) 
 y – 5 = 2(x – 3)  y – 5 = 2x – 6  y = 2x – 6 + 5 
 
 Na forma reduzida: y = 2x – 1 ou, na forma geral: 2x – y – 1 = 0 
 
 
3.3.5.2 - QUANDO SÃO CONHECIDOS DOIS PONTOS DA RETA 
 
 Sejam A(xA , yA) e B(xB , yB) dois pontos conhecidos da reta. Consideremos P(x , y) um 
ponto qualquer (genérico) da reta. Para determinar a equação da reta que possui os pontos A, B e 
P pode-se proceder de diferentes maneiras. Vamos apresentar duas possibilidades. 
 
1a POSSIBILIDADE: 
 
 Podemos usar a fórmula do item anterior, y – yA = m(x – xA). Para tal, devemos calcular 
primeiramente a declividade m da reta que passa por A e B. Calculado o m , fazemos a sua 
substituição na fórmula )( AA xxmyy  , usando para xA e yA, as coordenadas do ponto A 
 y – yA = m ( x – xA ) 
y 
x 
y 
yA 
0 x xA 
 
P 
A 
 75 
y 
b 
ou do ponto B. 
 
EXEMPLO 
 
 Determine a equação da reta que possui os pontos: A( 2, 1 ) e B( 5, 7 ): 
 
2 
3
6
2-5
1-7
 


 m
xx
yy
m
AB
AB 
 
 Se substituirmos, na fórmula, as coordenadas de B, temos: 
 y – 7 = 2(x – 5)  y = 2x – 3 
 
2a POSSIBILIDADE: 
 
 Partindo do critério de que os três pontos (A, B, P) tem que estar alinhados para 
pertencerem a uma mesma reta e, que a área do triângulo formado por estes pontos deve ser nula, 
podemos aplicar o esquema prático para calcular esta área: 
 Usando os dados do exemplo anterior, teremos: 
 
 
 xA xB x xA 2 5 x 2 
 = 0 = 0 
 yA yB y yA 1 7 y 1 
 ++ ++ ++ 
 
 14 + 5y + x – 5 – 7x – 2y = 0 
 –6x + 3y + 9 = 0 
 2x – y – 3 = 0 
 
3.3.6 – EQUAÇÃO SEGMENTÁRIA DA RETA ( EM FUNÇÃO DAS COORDENADAS À 
ORIGEM ) 
 
3.3.6.1 – COORDENADAS À ORIGEM 
 
 Denominam-se coordenadas à origem os segmentos determinados por uma curva sobre os 
eixos coordenados, entre a origem e os pontos de intersecção desses. 
 
 Paradeterminarmos as coordenadas à origem, procede-se da seguinte forma: 
 Fazendo y = 0, determinam-se os valores reais de x, obtendo, assim, as abscissas à origem. 
 Fazendo x = 0, determinam-se os valores reais de y, obtendo, assim, as ordenadas à origem. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Usando as coordenadas de A 
 y – 1 = 2 ( x – 2 ) 
 y = 2x  3 
 
Quando uma reta corta o eixo dos x em um ponto 
A(xA, 0), a abscissa xA = a denomina-se abscissa à 
origem. Quando uma reta intercepta o eixo dos y em 
um ponto B(0, yB), a ordenada yB = b chama-se 
ordenada à origem. 
0 
A 
Figura 41 
x 
a 
B 
 76 
 
 Como é possível encontrar a equação da reta, em função das coordenadas à origem? 
 Aplicando o esquema para determinar a equação da reta que passa por dois pontos, 
obtemos: 
 
 
2.6.7 – EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS DA RETA 
 
 
 
3.3.7 – EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS DA RETA 
 
 Em certas aplicações da equação da reta convém expressar x e y em função de uma 
terceira variável auxiliar, a qual é denominada de parâmetro. Assim, tomando t como parâmetro, 
x e y passam a ser expressos como funções de t, isto é, )(tfx  e )(tfy  . 
 As equações paramétricas )(tfx  e )(tfy  de uma reta r são obtidas levando em 
consideração que essa reta que passa por um ponto ),( AA yxA e tem a direção de um vetor não nulo 
(vetor diretor), por exemplo, um vetor jdicv  . cuja representação analítica é dada por ),( dcv  . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 42 
 
 Tomando um ponto genérico P(x, y) do plano, pertencente à reta r, é necessário e suficiente para 
obtenção das equações paramétricas que os vetores AP e v sejam colineares, isto é, deve existir uma 
constante de proporcionalidade entre esses vetores, que no caso o é parâmetro t, tal que 
 vtAP  (1) 
 O membro esquerdo da equação (1), por ser um vetor formado por dois pontos, pode ser 
expresso pela diferença entre as coordenadas do extremo e da origem, isto é 
 APAP  (2) 
 Substituindo a AP da equação (2) na equação (1), temos: 
 vtAP  (3) 
 Isolando P na equação (3) obtemos: 
 vtAP  (4) 
 Substituindo em (4) as coordenadas de P, A e os elementos v , temos: 
 ),(),(),( dctyxyx AA  
 ),(),(),( tdtcyxyx AA  
x.0 + a.b + 0y – x.b – 0.0 – a.y = 0 
bx + ay = ab  
ab
ab
ab
ay
ab
bx
 
 
 
 0
0
0

yby
xax
 1 
b
y
a
x
 
v 
P 
A 
r 
x 
y 
0 
 77 
-3 
Figura 43 
 ),(),( dtyctxyx AA  (5) 
 Da igualdade da equação (5) obtemos as equações paramétricas da reta, que assumem a 
seguinte forma: 





dtyy
ctxx
A
A
 
 
 Se atribuirmos sucessivos valores ao parâmetro t determinam-se sucessivos valores para x 
e y, que formam pares ordenados, que ligados estabelecem o lugar geométrico das equações 
paramétricas. 
 
EXEMPLO 
 
 As equações x = t + 2 e y = 2t + 1, são as duas equações paramétricas de uma reta r no 
espaço R
2
. Para fazer a sua representação gráfica podemos atribuir valores arbitrários para t e 
em função destes valores de t, calcula-se os pares ordenados (x, y) que pertencem à reta. 
 
 
 
 t ( x y) 
 -2 0 -3 
 -1 1 -1 
 0 2 1 
 1 3 3 
 2 4 5 
 
 Tabela 1 
 
 
 
 
 Podemos encontrar a equação (reduzida, geral ou segmentária) da reta, definida por 
equações paramétricas de diferentes maneiras. Uma dessas começa por isolar a variável t na 
)(tfx  deixando t em função de x. Após esse procedimento substitui-se o valor algébrico 
encontrado para t na )(tfy  faz-se a redução dos termos semelhantes obtendo assim a equação 
reduzida da reta. 
 No exemplo dado 





12
2
ty
tx
 
 
isolando a incógnita t na equação x = t + 2 obtemos 2 xt . 
 Substituindo este valor algébrico no lugar de t equação 12  ty , obteremos: 
1)2(2  xy . Reduzindo os termos semelhantes temos y = 2x – 3, que é a equação reduzida 
da reta correspondente às equações paramétricas conhecidas. 
 Ainda, com pontos de coordenadas (x, y) (Tabela 1), obtidos ao atribuirmos valores para a 
variável independente t nas equações paramétricas, podemos determinar a declividade da reta e 
com um desses pontos (x, y), da referida tabela, podemos escrever a equação da reta 
correspondente às equações paramétricas conhecidas. 
5 
3 
1 
 0 
-1 
1 2 3 4 x 
y 
 78 
 Da Tabela 1 podemos pegar os pares ordenados (0, -3) e (1, -1). A declividade m da reta é 
dada por 
 2
01
)3(1



m 
 Com essa declividade, um desses pontos, por exemplo, (0, -3) e a equação da reta quando 
são conhecidos um ponto e sua declividade temos: 
)( AA xxmyy  
)0(23  xy 
32  xy (equação reduzida da reta) 
 
 Como o vetor v é colinear a reta que passa pelo ponto A, as componentes c e d do vetor 
diretor representam, respectivamente, a variação das abscissas e a variação das ordenadas dos 
pontos que determinam o vetor AP . Então, ),(),( yxvdcv  e o quociente entre suas 
componentes determina a declividade da reta que passa pelo ponto A. Assim, sem dúvida, a 
forma mais simples para se obter a equação da reta, a partir de equações paramétricas, é lembrar 
que a razão entre as componentes c e d do vetor diretor determinam a declividade da reta e que 
essas são, respectivamente, os coeficientes do parâmetro t da )(tfx  e da )(tfy  , que no 
exemplo são dadas por 





12
2
ty
tx
. Para essa equação paramétrica 1 xc e 2 yd 
determinam a declividade m que é dada por 2
1
2




x
y
m . Conhecida declividade o 
procedimento para se obter a equação da reta referida às equações paramétricas conhecidas é 
feita de forma análoga a realizada no exemplo anterior. 
 
EXERCÍCIOS 3.7 
 
1) Encontre a equação reduzida, a equação geral e a equação segmentária que passa pelos 
seguintes pontos: 
a) A(3, 2) e B (5, 4) 
b) C(0; 1/2) e D(3/4; 1) 
c) F(2, 3) e G( 7, 3) 
2) Determine a declividade da reta cujasequações paramétricas são 






ty
tx
73
5
4
7
 
3) Determine a equação da reta que passa pelo ponto P(3, 2) e tem a soma das coordenadas à 
origem igual a 2. 
 
4) Encontre as equações das retas suportes do triângulo de vértices em A(3, 2), B(0, 5) e 
C(4, 1). 
 
5) Escreva a equação geral da mediana que parte do vértice A do triângulo do exercício anterior. 
6) Encontre as coordenadas à origem da reta cujas equações paramétricas são 






ty
tx
7
1
1
34
 
7) Determinar a equação da reta sendo conhecido : 
a) P(0, –4) e m = 2 b) P(3, –5) e m = –3 
c) A(–3, –7) e m = 2/5 d) B(–2, 3) e m = –7/4 
 79 
x 
x 
x 
6 
8 
10 
4 
10 
7 
y y 
7 
y 10 
y 
e) M(5, –8) e m = –3,75 f) R(–4, 8) e m = –1,5 
8) Qual é a equação da reta que passa por P(4, 1) e tem  = 142o ? 
9) Determine o coeficiente linear e o coeficiente angular da reta que possui o ponto P(2, –5) e 
cujo ângulo de inclinação mede 38
o
 . 
 
10) Qual é a declividade e qual o coeficiente linear da reta que possui os pontos: (–5, 8) e 
(1, –9) ? 
 
11) Em quais pontos cada uma das retas, a seguir, corta os eixos cartesianos ? 
 a) 3x – 5y + 15 = 0 b) 2x + 7y – 14 = 0 
 c) x + 3y + 6 = 0 d) 4x – 5y = 8 
 
12) Qual é a equação da reta que passa por (98, –34) e é paralela ao eixo das abscissas ? 
 
13) Escreva a equação da reta que passa por (–25, 16) e é perpendicular ao eixo dos x: 
 
14) Determine a equação segmentaria de cada reta e depois passe a equação para a forma geral: 
 
 
a) b) 
 
 
 
 
 
c) d) 
 
 
 
 
 12 
 
15) Verifique se o P(5, −8) está sobre a reta 5x + 3y – 1 = 0. E o ponto R(–8, 12) ? 
 
16) Considerando a reta que possui os pontos A(–5, 9) e B(6, –7), determine o ponto P onde a 
reta corta o eixo: 
 a) das abscissas b) das ordenadas 
 
17) Sabendo que a equação de r é 4x – 3y + 12 = 0, determine: 
 a) as coordenadas do ponto P desta reta e que possui ordenada 8: 
b) a ordenada do ponto S de r , sendo a sua abscissa –11: 
 c) a ordenada à origem: 
 d) a abscissa à origem: 
 
18) Determine o valor de k para que o ponto C(–4, 6) pertença à reta y = –4x + k 
 
19 ) Qual é o valor de k para que a reta 2kx – 3y = 4 passe ponto L(2, –7) ? 
 
20) O que representa a equação: 
 a) x = –4 ? b) x = 0 ? c) y – 2 = 0 ? 
0 
0 
0 
0 
x 
4 
 80 
Figura 44 
y 
y 
3.4 – ÂNGULOS ENTRE DUAS RETAS 
 
3.4.1 – GENERALIDADES SOBRE ÂNGULOS ENTRE DUAS RETAS 
 
 Duas retas r e s que se interseccionam, formam entre si dois pares de ângulos opostos 
pelo vértice (aopv). 
Na figura 44, são aopv : 
- os ângulos agudos 1 e 2, 
- os ângulos obtusos 3 e 4. 
 Sabe-se também que: 
a) 1 = 2 e 3 = 4 
b) Qualquer ângulo agudo e seu adjacente 
obtuso, são suplementares. 
c) Os ângulos são medidos no sentido 
anti-horário. 
 
 r 
 
 
 3 
 1 2 
 4 
 
 S 
 
 
 
3.4.2 – CÁLCULO DO ÂNGULO AGUDO FORMADO ENTRE DUAS RETAS 
 
 Consideremos duas retas quaisquer do plano, r e s. Consideremos, também que seus 
ângulos de inclinação sejam respectivamente r e s. 
 
 Caso r seja paralela ao eixo x’x e s seja paralela ao eixo y’y, ou uma tem coeficiente 
angular mr e a outra ms, tal que mr . ms = −1, em qualquer situação  = 90º. 
 
 
 s 
 r 
 r 
 
 
 
 
 
 
 Quando uma das retas é paralela ao eixo x’x e outra tem coeficiente angular m=tg . 
(Figura 47), a stgtg   
 
 
 r mtgtg ss   s 
 
 smtg  
 s 
 smtg
-1  
 
 s 
 
x x 
y 
x 
Figura 45 Figura 46 
s s 
0 0 
0 
Figura 47 
 81 

sm
tg
1
 
sm
tg
11 
Quando uma das retas é paralela ao eixo y’y e outra tem coeficiente angular m=tg., (Figura 48), 
a 
stg
tg


1
 . 
 
  + s = 90º 
  = 90º  s 
 tg = tg (90º  s ) 
 
ss
ss
mtg
gtg
11
cot)º90( 

 
 
 
 x 
 Figura 48 
 
 Em um caso em que as retas r e s não são perpendiculares entre si e nenhuma delas é 
paralela aos eixos coordenados, a medida do ângulo agudo  , que tem lado inicial em r e, 
lado terminal em s pode ser calculado, como segue: 
 
 Por construção, podemos afirmar que: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
r 
r s 
 x 
 
 
 Figura 49 
 
 
 O ângulo agudo  formado entre duas retas, ainda pode ser determinado em função dos 
coeficientes A e B das incógnitas x e y da equação geral da reta, como segue: 
 Sejam as retas r e s dadas respectivamente pelas equações 
 A1x + B1y + C1 = 0 (1) 
 e 
 A2x + B2y + C2 = 0 (2) 
 
 Os coeficientes angulares das equações (1) e (2) são: 
s 
r 
 
r 
y 
0 
rssr   
Aplicando tangente em ambos os membros, 
Obtém-se sucessivamente 
)( rstgtg   
Da trigonometria temos que: 
 
rs
rs
rs
tgtg
tgtg
tg






1
)( 
O ângulo é agudo se tg > 0. Logo: 
 
rs
rs
tgtg
tgtg
tg






1
 
 ou 
rs
rs
mm
mm
tg
.1

  
rs
rs
mm
mm
tg
.1
1


  
 
 
s 
r
s 
 
s . 
y 
0 
 82 
 
1
1
B
A
mr  e 
2
2
B
A
ms  (3) 
 Sabemos que 
 
rs
rs
mm
mm
tg.1

 (4) 
 Substituindo (3) em (4), temos: 
 





















1
1
2
2
1
1
2
2
.1
B
A
B
A
B
A
B
A
tg (5) 
 ou 
 
12
1212
12
2112
BB
AABB
BB
BABA
tg


 (6) 
 
 Simplificando e reagrupando os termos da equação (6), obtemos a equação (7) que 
possibilita o cálculo do ângulo agudo , a partir dos coeficientes A e B das incógnitas x e y da 
equação geral da reta. 
 
2121
1221
BBAA
BABA
tg


 (7) 
EXEMPLOS: 
 
1) Calcule o ângulo agudo formado entre as retas cujas equações são 5x + 3y – 4 = 0 e 
–2x + y + 2 = 0. 
 
Solução: 
 Da primeira equação temos, A1 = 5 e B1 = 3, e da segunda equação A2 = –2 e B2 = 1. 
Substituindo estes dados na equação 
2121
1221
BBAA
BABA
tg


 , temos: 
 
3.1)2.(5
3).2(1.5


tg 
 
 
7
11
7
11


  tgtg 
 
 otgarctg 53,57
7
11
7
111 











  
 
2) Determine a equação da reta r simétrica da reta s, de equação y = x + 1, em relação à reta t, de 
equação y = –2x – 8 . 
 
 
 83 
Solução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
OBSERVAÇÕES: 
 
- A reta t é bissetriz das retas r e s. 
- O ponto P pertence às retas s, t e r. 
- Com um ponto e a declividade podemos obter a equação da reta. 
- O ponto P será obtido a partir da resolução do sistema que envolve as equações de s e t. 
 
 Calculo do ângulo formado pelas retas s e t. 
 
 ms = 1; mt = 2; mr = ? 
 
 
ts
ts
mm
mm
tg
.1

 
 
 
)2(11
21


tg 
 
 33   tgtg 
 
 Calculo da declividade de r. 
 



tr
tr
mm
mm
tg
.1
 
r
r
m
m
21
2
3


 
 
 



r
r
m
m
21
2
3 2213  rr mm 
 
 263  rr mm 
 
 3 – 6mr = mr +2 e 3 – 6mr = – (mr +2) 
 
 – 6mr – mr = 2 – 3 3 – 6mr = –mr –2 
 
 –7mr = –1 – 6mr + mr = –2 – 3 
 
 mr = 1/7 –5mr = –5  mr = 1 
s 
t 
r 
P 
 84 
 Encontrou-se dois valores para a declividade mr. A declividade mr = 1 é a declividade da 
reta s, já conhecida no enunciado do problema. Desta forma vamos considerar a declividade da 
reta r mr = 1/7. 
 Conhecida a declividade da reta s vamos determinar o ponto P que é a intersecção das 
retas s, r e t, resolvendo um sistema que envolve as equações das retas s e t. 





082
01
yx
yx
 
 
 A solução do sistema é os valores x e y do ponto P(–3, –2). Com as coordenadas de P e a 
declividade de r vamos determinar a equação da reta r simétrica de s em relação à reta t. 
 )( prp xxmyy  
 )3(
7
1
2  xy 
 
 3147  xy 
 
 0117  yx 
 
Portanto, a equação procurada é 0117  yx 
 
EXERCÍCIOS 3.8 
 
1) As retas r e s se interseccionam no ponto P(3, 0); mr = 2 / 5 e ms = 7 / 2. 
Determine as medidas dos ângulos formados entre estas retas: 
 
2) A reta r possui os pontos A(0, 5) e B(4, 0), e, a reta s possui os pontos C(0, 4) e 
D(2, 0). Determine a medida do menor ângulo formado entre elas: 
 
3) Uma reta s tem ms = 3/5. Calcule a declividade da reta r, mr, para que o ângulo agudo 
formado de s para r seja de 45
o
 . 
 
4 ) Uma reta r possui os pontos B(5, 4) e C(2, 5) e uma reta s passa por A(6, 2). Em que 
ponto a reta s corta o eixo das ordenadas para que o ângulo formado de s para r seja de 
75
o
 ? 
 
5) Calcule os ângulos internos do triângulo cujos vértices são: 
a) A(3, 2), B(2, 5) e C(4, 1) 
b) D(3 , 2), E(5, 4) e F(1, 2) 
 
3.5 – POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE DUAS RETAS 
 
3.5.1 – CONDIÇÃO PARA QUE DUAS RETAS SEJAM PARALELAS 
 
 Se duas retas r e s são paralelas, então seus ângulos de inclinação têm a mesma medida. 
Isto é: 
 
 
 
 
 85 
 med (r) = med (s) r s 
 tan (r) = tan (s) 
 
 
 r s 
 
 CONDIÇÃO: Duas retas para serem paralelas, 
 devem ter a mesma declividade. 
 
 
3.5.2 – CONDIÇÃO PARA QUE DUAS RETAS SEJAM PERPENDICULARES 
 
 Duas retas perpendiculares formam entre si ângulos de 90
o 
(Figura 50). Isto nos leva a 
concluir que: 
 
 
 r 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 



 
.1
 
0
1
90º cos
90º sen
 º90 º90 Se
sr
sr
mm
mm
tgtgtg  
 0.1 )( 0).m11( s  srsrr mmmmm  
 
  
s
rsr
m
mmm
1
 ou, 1 

 
 
CONDIÇÃO: Duas retas para serem perpendiculares devem ter declividades de sinais 
 opostos e, a declividade de uma, deve ser o inverso da outra. 
 
EXERCÍCIOS 3.9 
 
1) Verificar quais dos pares de retas são paralelas: 
 a) r: A(3, 5) e B(0, 2) b) r: A(7, 3) e B(0, 4) 
 s: C(0, 2) e D(4, 6) s: C( 4, 5 ) e D(2, 0) 
 
2) Verificar se os pares de retas são perpendiculares: 
 a) r: (0, 3) e (4, 0) b) r: (3, 4 ) e (2, 5) 
 s: (0, 5) e (3, 1) s: (4, 5) e (2, 0) 
 
3) Uma reta r corta o eixo dos x em 5 e o dos y em 3. Uma reta s possui o ponto P(1, 6). 
Em que ponto a reta s corta o eixo dos x, para que r // s ? 
mr = ms 
. 
x 0 
s 
y 
x 0 
Figura 51 
Figura 50 
y 
 86 
x 
4) Sabe-se que r possui os pontos (2, 5) e (4, 1) e que s passa por (4, 3) e (2 , y). 
Determine y para que r e s sejam perpendiculares entre si. 
 
5) (Exame Nacional de Cursos – 1998) O valor de k  R para o qual a reta 1 kxy é 
perpendicular a reta de equações 





3
12
ty
tx
 é: 
 (A) 2 (B) 1 (C) 1 (D) 2 (E) 3 
 
6) Uma reta passa pelo ponto A(3, 8). Determine a equação da reta que passa pelo ponto A e é 
perpendicular à reta r: 082  yx . 
 
3.6 – PONTO(S) DE INTERSECÇÃO ENTRE RETAS 
 
 Sejam as retas r e s dadas respectivamente pelas equaçõesA1x + B1y + C1 = 0 e A2x + B2y + C2 = 0 
 
 O ponto de intersecção entre duas retas, r e s, possui um par ordenado (x, y) que satisfaz, 
simultaneamente, as duas equações. Assim, as coordenadas x, y do ponto de intersecção das retas 
r e s determinam a solução do sistema linear 
 
 





0
0
222
111
CyBxA
CyBxA
 
EXEMPLO: 
 
 Se r tem a equação 05  yx e s tem por equação 042  yx , ao fazer a sua 
representação gráfica, num mesmo plano , verifica-se que cada reta possui infinitos pontos 
(pares ordenados), onde entre outros, temos: 
 
 
 Para r: Para s: 
 x y x y 
 0 5 0 -4 
 1 4 1 -2 
 2 3 2 0 
 3 2 3 2 
 4 1 4 4 
 
 
 
 
 
 
 O par ordenado (x, y) = (3, 2) tem coordenadas que verificam simultaneamente as duas 
equações e por isso, o ponto I(3, 2) é o ponto de intersecção entre r e s. 
 Algebricamente aplicando o método da adição, para resolver o sistema, obteremos 
sucessivamente 
 
y 
5 
3 5 
2 
r 
-4 
s 
0 
Figura 52 
 87 
 





4 2 :s
5 :r
yx
yx
 
 
 
 
 
 Portanto, os valores de x e y que satisfazem o sistema são x = 3 e y = 2, ou seja, as retas r e s se 
interceptam em um ponto cujas coordenadas são (3, 2). 
 
3.6.1 − DISCUSSÃO DA INTERSECÇÃO DE RETAS 
 
 No estudo da intersecção entre duas retas podem ocorrer os seguintes casos: 
 
1
o
 ) As retas possuem um único ponto em comum. Diz-se então que as retas são concorrentes. 
 Exemplo: r : 2x – y +1 = 0 e s: –3x + 2y –2 =0 
 
2
o
 ) As retas possuem todos os pontos em comum. Neste caso, r e s são retas coincidentes 
 Exemplo: r : x – 2y – 4 = 0 e s: 3x – 6y –12 = 0 
 
3
o
 ) Quando as retas não têm nenhum ponto em comum, elas são paralelas, como em: 
 Exemplo: r: y = –x + 3 e s: y = –x – 2 
 
EXERCÍCIOS 3.10 
 
1) Determine o ponto de intersecção entre as retas (solução algébrica e esquema gráfico): 
 a) x + 2y – 3 = 0 e 2x – y – 1 = 0 
 b) 3x – 2y + 6 = 0 e 2x –3y – 6 = 0 
 c) x – y + 4 = 0 e 3x + 2y = 0 
 d) 3x + y = 5 e 6x + 2y = 10 
 
2) Um triângulo tem vértices A(4,  2), B(2, 5) e C(6, 0). Determine o comprimento da projeção 
do segmento AB sobre o segmento o segmento AC . 
 
3.7 – DISTÂNCIA DE UM PONTO A UMA RETA 
 
 Dada uma reta r e um ponto P não pertencente 
a r. A menor distância entre r e P é a medida do 
segmento ( )PQ perpendicular a r. 
 
 
 Como calcular a distância d ? 
 
 
 
 Seja Ax + By + C = 0 a equação da reta r e seja P( xP, yP ) um ponto conhecido que não 
pertence à reta r. 
 Vamos calcular a distância d de P a reta r, em função dos elementos conhecidos, A, B, 
C, xP, yP. 
3x + 0 = 9 
 3x = 9 
 x = 3 
Substituindo x por 3 em uma das equações, do 
sistema, por exemplo em r, encontramos: 
x + y = 5 
3 + y = 5 
 y = 2 
r 
 P(xp,yp) 
 
x 
y 
d 
Q(x ,y) 
 
0 
 Figura 53 
 88 
R P yp 
 
 Na Figura 52 temos o segmento ( )PQ que contém d que é perpendicular a reta r de 
equação 
 Ax + By + C = 0 (1) 
 
 A forma reduzida da equação (1) é 
 
B
C
x
B
A
y  (2) 
 Pela condição de perpendicularismo, a equação do segmento de reta PQ que contém d é: 
 
A
xx
B
yy
xx
A
B
yy PPPP



 )( (3) 
 
 Fazendo as razões da equação (3) igual a uma constante k, temos: 
 
y-y
 Bkyyk
B
P
p
 (4) 
 Akxxk
A
xx
P
P 

 (5) 
 
 Isolando y em (4) e x (5) obtém-se: 
 Bkyy P  e Akxx P  (6) 
 
 Substituindo na equação (1), y por Bkyy P  , e x por Akxx P  , da equação 
(6) obtemos: 
 0 0)( )( 22  CkBBykAAxCBkyBAkxA PPPP (7) 
 Reagrupando os termos de (7), temos: 
 
 ] [ 2222 CByAxkBkACByAxkBkA PPPP  (8) 
 
 Isolando k na equação (8), encontramos 
 
)(
] [ 
 
22 BA
CByAx
k PP


 (9) 
 
 Observando o triângulo PQR da Figura 60 podemos 
 afirmar que: 
 
d
2
 = ( )PR
2
 +( )RQ
2 
  d2 = ( x - xP )
2
 + ( y – yp )
2
 (10) 
 
 Substituindo no 2
o
 membro da equação (10) os binômios 
( x - xP ) e ( y – yp ) por Ak de (5) e Bk de (4), obtemos: 
 
 d
2
 = A
2
k
2
 + B
2
k
2
  d
2
 = k
2
( A
2
 + B
2
 ) (11) 
 xP x 
 
 
Substituindo o valor de k da equação (9) na equação (11), resulta: 
y 
Q(x,y) 
d 
Figura 54 
y 
0 x 
 89 
 ).(
)][(
]( [ 22
222
2
2 BA
BA
CByAx
d PP 


 (12) 
 Simplificando termos e extraindo a raiz quadrada de ambos os membros da igualdade, 
determinamos a distância d , que é a distância do ponto P a reta r. 
 
 
22 BA
CByAx
d PP


 Ou 
22 BA
CByAx
d
PP


 (13) 
 
 
OBSERVAÇÕES: 
 
a) Retas paralelas caracterizam-se por terem coeficientes angulares iguais e suas equações 
diferenciam-se apenas pelo termo independente. De uma forma geral as equações de duas retas 
paralelas podem ser escritas da seguinte forma: 
 
 Ax + By + C1 = 0 (1) 
 
 Ax +By + C2 = 0 (2) 
 
 Podemos escolher um ponto qualquer em uma das equações e calcular a distância até a 
outra. Suponha que escolhemos um ponto P na equação (1) para calcular a distância desse ponto 
até a equação (2). 
 
 Vamos zerar a incógnita x da equação (1) para obtermos a ordenada do ponto P.A.0 + By + C1= 0  y = 
B
C1 
 Temos assim um ponto P(0, C1/B) 
 
 Sabemos que a distância de um ponto a uma reta pode ser calculado por 
 
22 BA
CByAx
d
PP


 (3) 
 
 Substituindo A, B, C da equação (2) e as coordenadas do ponto P na equação (3) temos: 
22
2
1.0
BA
C
B
C
BA
d




 
 




22
21
BA
CC
d ou 
22
12
BA
CC
d


 
 
 Conhecendo a forma geral das equações de duas retas paralelas, a equação (4) nos permite 
calcular a distância entre estas retas de uma forma mais rápida. 
 
 b) Podemos determinar a distância de um ponto a uma reta usando somente informações 
retiradas da equação reduzida da reta. 
 Se Ax +By + C = 0 é a equação geral da reta, a equação 
(3) 
(4) 
 90 
 
B
C
x
B
A
y  (1) 
 é a equação reduzida, e a declividade m e o coeficiente linear b são, respectivamente, 
 mBA
B
A
m  , (2) 
 e 
 bBC
B
C
b  (3) 
 Já mencionamos que quando são conhecidos a forma geral da equação da reta e um ponto, 
usamos para determinar a distância deste ponto à reta, a equação 
 
22 BA
CByAx
d
PP


 (4) 
 
 Substituindo os valores de A e C de (4) pelos valores encontrados para estes nas equações 
(2) e (3), temos 
 
22)( BmB
bBBymBx
d
PP


 (5) 
 Dividindo numerador e denominador de (5) por B 
 
 
2
22)(
B
BmB
B
bBBymBx
d
PP


 (6) 
 
12 


m
bymx
d
PP
 (7) 
 Fatorando o sinal do numerador da equação (7) e considerando que o módulo de um 
produto é o produto dos módulos, obtém-se: 
 
1
1
2 


m
bymx
d
PP
 (8) 
 
 
12 


m
bymx
d
PP
 (9) 
 
 Assim, a equação (9) pode ser utilizada para calcular a distância de um ponto a uma reta 
quando são conhecidos o coeficiente linear e coeficiente angular da reta. 
 
c) Se o ponto que está sendo considerado é a origem do sistema, então a distância da origem a 
qualquer reta, pode ser determinada por 
 
 
22 BA
C
d

 
 
EXEMPLOS: 
 91 
1) Calcule a distância entre o ponto P(1, 2) e a reta r: 2x – y – 3 = 0. 
 
Solução: 
Temos: 
 A = 2, B = 1 e C = −3 e xp = 1 e yp = 2 
Logo: 
22 BA
CByAx
d
PP


 
5
57
5
7
)1(2
32.1)1.(2
22





d 
Portanto, a distância entre o ponto P e a reta r é 
5
57
 
2) Determine a distância entre as retas paralelas r : 2x – 3y + 4 = 0 e s : 2x – 3y –3 = 0. 
 
Solução: 
 Como as retas são paralelas podemos usar a seguinte expressão: 
 
22
12
BA
CC
d


 
13
137
13
7
)3(2
43
22





d 
3) A distância entre o ponto P(0, y) até a reta r: x + 2y – 6 = 0 é 5 unidades. Determine a 
ordenada de P. 
5
21
6.20.1
5Pr
22




y
d 
5
5
62
Pr 


y
d 
562Pr  yd 
 562 y 562 y 
 
 2/11y v 2/1y 
 
Portanto, a ordenada do ponto P é y = 11/2 e y = 1/2. 
 
4) Calcule a distância do ponto P(1, 6) até a reta que passa pelo ponto Q(0, 1) e tem declividade 
igual a 3. 
 
Solução: 
Temos: y = 3x – 1 
 
 m = 3; b = 1; xp = 1 e yp = 6 
 




12m
bymx
d
PP
 



13
161.3
2
d 
5
10
10
2
10
2


d 
e 
 92 
P(x, y) 
Portanto, a distância procurada é igual a
5
10
. 
 
EXERCÍCIOS 3.11 
 
1) Calcule a distância entre o ponto P(3, 7) até a reta 3x + 4y – 12 = 0: 
 
2) Calcule a distância da origem até a reta y = 3x – 6: 
 
3) Qual é a distância do ponto M(5, 3) até a reta que possui os pontos A(5, 3) e B(1, 4) ? 
 
4) Calcule a distância entre as retas paralelas: x – 4y = 9 e x – 4y = 3 
 
5) Calcule o comprimento da altura de B sobre o lado AC, do triângulo de vértices: A(0, 5), 
B(4, 3) e C( 3, 2 ) 
 
6) Qual é a abscissa de P( x, 5 ) para que a distância de P até a reta 5x – 12y – 3 = 0 seja igual 
a 3 unidades ? 
 
3.8 – BISSETRIZES DOS ÂNGULOS DE DUAS RETAS 
 
3.8.1 – DEFINIÇÃO 
 
 Sejam duas retas concorrentes r e s. A bissetriz de um ângulo formado entre as retas r e s, é 
a reta que passa pelo ponto de intersecção dessas retas dividindo o ângulo formado por elas em 
dois ângulos iguais. 
 
3.8.2 – EQUAÇÕES DAS BISSETRIZES 
 
 Consideremos duas retas concorrentes, r e s definidas por: 
 
 r: A1x + B1y + C1 = 0 e s: A2x + B2y + C2 = 0 
 
 
 s 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b2 
r 
b1 
P(x, y) 
d1 
d1 
d2 
d2 
Figura 55 
 93 
Temos que: 
 
 b1 e b2 são retas perpendiculares e representam as bissetrizes das retas r e s 
 d1 = d2  distância das retas r e s até o ponto P(x, y) 
 
Logo: 
2
2
2
2
222
2
1
2
1
111
21
BA
CyBxA
BA
CyBxA
dd





 
 
 Eliminado os módulos, obtemos as equações b1 e b2, que são as bissetrizes dos ângulos 
formados pelas retas r e s. 
 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLO: 
 
 Encontre as equações das bissetrizes dos ângulos formados pelas retas r: –x –3y + 11= 0 e 
s: x – 3y = 0. 
 
Solução: 
 
2
2
2
2
222
2
1
2
1
111
21
BA
CyBxA
BA
CyBxA
dd





 
 
 
2222
21
)3(1
3
)3()1(
113






yxyx
dd 
 
 
10
3
10
113 yxyx 


 
 
 yxyx 3113  
 
Eliminando os módulos: 
 yxyx 3113  e )3(113 yxyx  
 
 b1: 0112  xb2: 0116  y 
 
 Duas retas concorrentes, r e s, não ortogonais, formam na sua intersecção dois ângulos, um 
agudo e outro obtuso. Para determinar qual é bissetriz do ângulo agudo ou obtuso, deve-se 
observar a distância de um ponto qualquer de r ou de s (exceto o ponto de intersecção entre as 
retas) às bissetrizes. A menor dessas distâncias indicará a equação da bissetriz do ângulo agudo 
e, consequentemente, a maior distância a equação da bissetriz do ângulo obtuso. 
2
2
2
2
222
2
1
2
1
111
1 :
BA
CyBxA
BA
CyBxA
b





2
2
2
2
222
2
1
2
1
111
2 :
BA
CyBxA
BA
CyBxA
b





 94 
M 
 Do exemplo anterior temos b1: –2x + 11 = 0 e b2 = –6y + 11 = 0. Vamos verificar qual das 
equações representa a bissetriz do ângulo agudo. 
 Consideremos A(0, 0)  s e  a r, então: 
 
6
11
)6(
110.6
),( e 
2
11
)2(
110.2
),(
2
2
2
1 





 bAdbAd 
 
 Observe que a distância d(A,b2) é menor que a distância d(A,b1), desta forma a equação da 
bissetriz do ângulo agudo é –6y + 11 = 0. 
 
OBSERVAÇÃO: 
 
 Em um triângulo de vértices ABC o ponto de intersecção das bissetrizes dos ângulos 
internos determinam um ponto equidistante às retas suportes AB , AC e BC . Esse ponto, 
chamado de encentro, contém as coordenadas do centro da circunferência inscrita no triângulo 
de vértices ABC. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Os segmentos CNBMAL e , são, respectivamente, as bissetrizes dos ângulos Â, B

 e C

. 
 
EXERCÍCIOS 3.12 
 
1) Ache a equação das bissetrizes das retas: 
 a) 2x + 3y –5 = 0 e 5x + 8y +6 = 0 
 b) 2x – 4y – 8 = 0 e x + 2y –3 = 0 
 
2) Seja o triângulo de vértices A(2, 3), B(4, 1) e C(6, 7). Determine as equações das bissetrizes 
dos ângulos internos. 
 
3) Dadas às retas r: x + y – 5 = 0 e s: x + 7y – 7 = 0. Encontre a equação da bissetriz do ângulo 
obtuso. 
 
EXERCÍCIOS DE REVISÃO 
 
1) Determine a equação da reta que possui os pontos: 
 a) (–3, 7) e (5, 0) b) (9, –4) e (2, 3) 
 c) (–45, 9) e (34, 9) d) (12, –7) e (12, 9) 
 
2) Determine a área do triângulo formado pelos eixos cartesianos e a reta que possui os pontos 
A(–7, –23) e B(9, 1) : 
A C 
L 
N 
incentro 
Figura 56 
B 
 95 
3) Determine o valor de k na equação 2x + 3y + k = 0, para que a reta forme com os eixos 
coordenados, um triângulo com 75 unidades de área. 
4) Determine o valor de k para que a equação y = –4x + (2k – 7) represente uma reta que passe 
pela origem : 
 
5) Calcule os ângulos formados entre as retas: 
 a) r: 2x + 3y – 6 = 0 e s : 3x – 4y + 12 = 0 
 b) r : x – y + 3 = 0 e s : 2x + y – 4 = 0 
 
6) A equação de uma reta t é y = –2x + 7. 
 Determine a equação da reta s que passa por P(5, 6) tal que: 
 a) s // t b) s  t 
 
7) Determine a equação da reta que passa pela origem e é paralela à reta x + 5y – 15 = 0. 
 
8) Mostrar que as retas 2x – 5y = 0 e 5x + 2y – 3 = 0 são perpendiculares entre si: 
 
9) Determine a equação da reta que passa pelo ponto P(–5, 3) e é perpendicular à reta 4x+y = 3: 
 
10) Qual é o valor de k para as retas kx – y + 3 = 0 e (k – 1)x + ky – 5 = 0 sejam 
perpendiculares entre si ? 
 
11) Determine a equação da mediatriz do segmento que une os pontos: 
a) A(–3,7) e B(5, –1) b) C(0, 6) e D(4, 0) 
 
12) Determine as equações das medianas do triângulo formado pelos vértices: 
 a) A(–3, 5), B(7, 1) e C(1, –3) 
 b) D(–6, 0 ), E (0, 7) e F(5, –4) 
 
13) Num triângulo de vértices M(–4, 0), N(6, 6) e R(0, –8), determine a equação da reta que 
contém a altura de M sobre o lado NR: 
 
14) Determine as equações das mediatrizes dos lados do triângulo cujos vértices são: 
A(5, 0), B(1, 6) e C(–3, –4) 
 
15) Ache a equação reduzida da reta correspondente a cada par de equações paramétricas e 
represente graficamente. 
 a) x = t + 1 e y = 2 – 3t b) x = t – 4 e y = 5 – 2t 
 c) x = 5t e y = 0,5t – 1 d) x = 0,2t + 1 e y = –t + 1 
 
16) Dado o triângulo de vértices A (0, 1), B (3, 5) e C (6, -2). Pede-se: 
 a) a equação da mediatriz do segmento BC ; 
 b) a equação da mediana que parte do vértice C; 
 c) os ângulos formados pelos segmentos de retas ACAB e ; 
 d) as equações das bissetrizes que passam pelo vértice B; 
 e) o ponto de intersecção entre a reta que passa pelos vértices A e C e a reta cujas equações 
paramétricas são 





12
2
ty
tx
; 
 f) a equação da reta que passa pelo ponto D(6, 3) e é paralela ao segmento BC ; 
 96 
 g) as equações das retas paralelas ao segmento AB que distam 4 unidades deste segmento; 
 h) a distância do baricentro do triângulo ABC até a reta suporte AC ; 
 i) as coordenadas do ponto simétrico de E(3, 2) em relação à reta que passa pelos vértices B 
e C; 
 j) a equação da reta t, sabendo que a distância da origem a esta é 58 unidades, e ainda 
que ela é perpendicular a reta que passa pelos pontos B e C; 
 k) as equações das retas que passam pelo vértice B e formam um ângulo de 45
o
 com a reta 
que passa pelos pontos A e B; 
 ) a equação da reta r simétrica a reta que passa pelos pontos A e B em relação à mediana 
que parte do vértice A. 
 m) a superfície do triângulo usando a fórmula 
2
alturaxbase
S  , tomando coma base o 
segmento AC ; 
 
17) (Enem 2005) Quatro distribuidoras de energia A, B, C e D estão dispostas como vértices de 
um quadrado de 40km de lado. Deseja-se construir uma estação central que seja ao mesmo 
tempo equidistante das estações A e B e da estrada (reta) que liga as estações C e D. 
 A nova estação de ser localizada 
a) No centro do quadrado 
b) Na perpendicular à estrada que liga C e D passando por seu ponto médio, a 15 km dessa 
estrada. 
c) Na perpendicular à estrada que liga C e D passando por seu ponto médio, a 25 km dessa 
estrada. 
d) No vértice de um triângulo equilátero de base AB, oposto a essa base. 
e) No ponto médio da estrada que liga as estações A e B. 
 
18) (Enem 2011) Um bairro de uma cidade foi planejado em uma região plana, com ruas 
paralelas e perpendiculares delimitando quadras de mesmo tamanho. No plano de 
coordenadas cartesianas seguinte, esse bairro localiza-se no segundo quadrante, e as 
distâncias nos eixos são dadas em quilômetros. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A reta de equação 4 xy representa o planejamento do percurso da linha do metrô 
subterrâneo que atravessará o bairro e outras regiões da cidade. No ponto P(-5, 5), localiza-
se um hospital público. A comunidade solicitou ao comitê de planejamento que fosse 
prevista uma estação do metrô de modo que sua distância ao hospital, medida em linha reta, 
não fosse maior que 5km. Atendendo ao pedido da comunidade, o comitê argumentou 
corretamente que isso seria automaticamente satisfeito, pois já estava prevista a construção 
de uma estação no ponto 
y 
4 
0 
 
- 4 
x 
 97 
a) (-5, 0) 
b) (-3, 1) 
c) (-2, 1) 
d) (0, 4) 
e) (2, 6) 
 
Respostas dos exercícios da Unidade 3 
 
Exercícios 3.1 
 
1a) 54
o
 ; 0
o
 <  < 90
o
 ; Reta crescente. 
1b) 39
o
 ; 0
o
 <  < 90
o
 ; Reta crescente. 
1c) 140
o
 ; 90
o
 <  < 180
o
 ; Reta decrescente. 
1d) 119
o
 ; 90
o
 <  < 180
o
 ; Reta decrescente. 
 
Exercícios 3.2 
 
1a) m =1 1b) m = 4,7 1c) m = 1 
2a) m = 1/2 ;  = 26,56
o
 2b) m = 6/5 ;  = 50,19
o