Lista de exercícios Geometria Analítica = Estudo da reta

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MATEMÁTICA 
 
Editora Exato 11 
ESTUDO DA RETA 
1. COEFICIENTE ANGULAR 
Considere uma reta t no plano xOy. 
O
y
t
α
ângulo de inclinação
 
Define-se como coeficiente angular da reta 
( )tt m o valor obtido calculando a tangente do ângulo 
de inclinação, ou seja, tm tg= α, com 
π
α ≠
2
. 
1.1.Determinação do coeficiente angu-
lar 
1ºCaso: com 2 pontos distintos 
t
α
α
B
B
y
A
A
y
B
x
A
x
B
x
A
x∆x=
B
y
A
y∆y=
 
Dados os pontos ( )A AA x ,x e ( )B BB x ,x no plano 
acima: =Tm tg α
y B A
x B A
y y
x x
∆ −
= =
∆ −
. 
2ºcaso: equação da reta 
Dada a reta (t) de equação ax by c 0+ + = com 
≠ = −t
a
b 0 : m
b
. 
3ºcaso: com o ângulo de inclinação. 
Dada uma reta (t) que possui ângulo de incli-
nação α: = αtm tg . 
2. EQUAÇÃO GERAL DA RETA 
Toda reta do plano cartesiano pode ser repre-
sentada por uma equação de forma ax by c 0,+ + = com 
a, b e c reais, a e b não nulos simultaneamente. 
 
3. FORMA DE EQUAÇÃO DA RETA 
3.1. Equação reduzida da reta 
Toda reta ( )t : ax by c 0+ + = não vertical pode 
ser escrita como abaixo: 
ax c
t : y
b b
= − − , em que 
a
b
− representa o coefi-
ciente angular da reta t e 
c
b
− representa o coeficiente 
linear da reta. 
3.2. Equação segmentária da reta 
Toda reta não horizontal e não vertical pode 
ser escrita como abaixo. 
x y
1
p q
+ = , em que p e q são os pontos intercep-
tos. (P representa o ponto de encontro da reta com o 
eixo x e q representa o ponto de encontro da reta 
com o eixo y). 
3.3. Equação paramétrica da reta 
A reta representa um conjunto de pares orde-
nados (x,y) do plano cartesiano. Podemos representá-
la em relação a um parâmetro t, ou seja ,
( )
( )
 =

=
x f t
y f t
. 
Exemplo: 
E.1) Escreva a equação 2x 3y 5 0+ − = na forma 
reduzida e segmentária. 
Resolução: 
� Equação reduzida 
+ − = ⇒ = − + ⇒ = − +
2x 5
2x 3y 5 0 3y 2x 5 y
3 3
 
2
m
3
= − 
(coeficiente angular) 
� Equação segmentária 
( )+ = ⇒ + = ⇒
2x 3y
2x 3y 5 : 5 1
5 5
 
+ =
x y
1
5 5
2 3
ponto de encontro com o eixo y.
ponto de encontro com o eixo x. 
4. DETERMINAÇÃO DA EQUAÇÃO DA RETA 
4.1. Por dois pontos distintos 
Dados os pontos ( )A, AA x y e ( )B BB x ,y . 
 
Editora Exato 12 
P(x, y)
B(x , y )
B B
A(x , y )A A
ponto genérico
do plano
 
Como A, B e P são colineares temos: 
A A
B B
x y 1
x y 1 0
x y 1
= . 
4.2. Por um ponto e o coeficiente an-
gular 
Dado o ponto ( )0 0B x ,y e o coeficiente angular 
da reta (t) igual a mt. 
∆ −
= α = ⇒ = ⇒
∆ −
y 0
t t
x 0
y y
m tg m
x x
 
y - y = m (x - x )
0 0
equação fundamental
da reta 
B(x , y )
0 0
P(x ,y )
ponto genérico
do plano
α
t
 
5. CASOS PARTICULARES 
5.1. Reta paralela aos eixos 
Dada a reta ax by c 0+ + = . 
� Se a =0, então a reta é paralela ao eixo x. 
� Se b=0, então a reta é paralela ao eixo y. 
5.2. Bissetrizes dos quadrantes 
� Bissetriz dos quadrantes ímpares x y 0− = . 
� Bissetriz dos quadrantes pares x y 0+ = . 
6. POSIÇÃO RELATIVA ENTRE RETAS 
Considere duas retas r e s não verticais, com 
coeficientes angulares, respectivamente, iguais a rm e 
sm . 
� As retas r e s são paralelas quando r sm m= . 
� As retas são concorrentes quando ≠r sm m . 
� As retas são perpendiculares quando 
r sm .m 1= − . 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
1 (UFES) O valor de k para que a equação 
kx-y-3k+6=0 represente a reta que passa pelo 
ponto (5,0) é: 
Resolução: 
Passa pelo ponto (5,0), substituindo o ponto 
(5,0) na equação, temos: 
.5 0 3 6 0
5 3 6 0
2 6 0
2 6
6
2
3
k k
k k
k
k
k
k
− − + =
− + =
+ =
−
= −
=
 
 
2 (UCS-RS) A figura contém a representação grá-
fica da reta: 
y
4
2
0 3 x 
Resolução: 
O gráfico passa pelos pontos: (0,2) e (3,4), 
então a equação da reta é dada por: 
0 2 1
3 4 1 0
x y 1
= 
0 3 2 4 0 6 0
2 3 6 0
 ou
2 3 6 0
y x x
x y
x y
+ + − + − =
− + − =
− + =
 
 
EXERCÍCIOS 
1 (FASP) A equação da reta suporte do segmento 
AB, dados A(7, 11) e B(15, -1), é: 
a) 2y-3y -24=0 
b) 3y-2x+17=0 
c) 3y-2x+7=0 
d) 2y+3x -43=0 
e) Nenhuma. 
 
2 (OSEC-SP) A equação da reta que passa pelo 
ponto ( )A 3,4− , e cujo coeficiente angular é 
1
2
, é: 
a) x+2y+11=0 
b) x-y+11=0 
c) 2x-y+10=0 
d) x-2y+11=0 
 
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e) nenhuma 
 
3 (PUC-SP) A equação da reta com coeficiente 
angular igual a 
4
5
− ,e que passa pelo ponto 
P(2,-5), é: 
a) 4x+5y+12=0 
b) 4x+5y+14=0 
c) 4x+5y+17=0 
d) 4x+5y+16=0 
e) 4x+5y+15=0 
 
4 (PUC-RS) Se as retas 3x-y-7=0,2x+y+c=0 e 2x-
y-5=0 são congruentes, então c é igual a: 
a) –3 
b) –1 
c) 5 
d) 7 
e) 9 
 
5 (PUC-PR) As retas de equações 3x-4y+1=0 e 
4x+3y-5=0 são: 
a) perpendiculares. 
b) paralelas. 
c) concorrentes. 
d) coincidentes. 
e) Nenhuma. 
 
6 (PUC-SP) As retas 2x+3y=1 e 6x-ky=1são per-
pendiculares. Então k vale: 
a) 1 
b) 2 
c) 3 
d) 4 
e) 6 
 
7 (UFGM) Sejam r e s duas retas perpendiculares 
que se interceptam em P(1,2). Se Q(-1,6) perten-
ce a uma dessas retas, então a equação da outra 
reta é: 
a) x+2y-5=0 
b) x-2y+3=0 
c) 2x-y=0 
d) 2x+y-4=0 
e) 2x+2y+7=0 
 
 
 
 
 
 
 
 
8 (FATEC) Na figura abaixo, a reta r tem equação 
x+3y–6=0, e a reta s passa pela origem e tem coe-
ficiente angular 
2
3
. 
y
s
0 r x
B
A
 
A área do triângulo OAB, em unidade de área, é 
igual a: 
a) 1 
b) 2 
c) 3 
d) 4 
e) 5 
 
GABARITO 
1 D 
2 D 
3 C 
4 A 
5 A 
6 D 
7 B 
8 D