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GRÁFICOS 2.1 - Introdução Todas as áreas da ciência utilizam gráficos para relacionar as variá- veis estudadas em cada uma destas áreas. EXEMPLOS: - gráficos que descrevem o comportamento diário (ou anual) da tempera- tura ou da pressão atmosférica; - gráficos das variações da pressão de um gás, a volume constante, com a temperatura do mesmo; - das variações da resistência de um resistor metálico com a temperatu- ra; - do amortecimento da intensidade sonora com a espessura das paredes isolantes acústicas; - da viscosidade de um fluido em função da temperatura. Nestas aulas serão apresentadas normas básicas para a confecção e uti- lização de gráficos. Estes podem fornecer diferentes informações, das formas mais diversas. Estas informações dependem do problema em estudo e podem estar relacionadas à área sob a curva do gráfico, à inclinação de uma reta, à desconti- nuidade de uma curva, etc.. Portanto é fundamental ao experimentador o domínio de técnicas de construção e interpretação de gráficos. 2 2.2 - Construção do gráfico Dependendo do problema, pode ser mais conveniente confeccionar o gráfico em papel milimetrado, mono-log (ou semi-log), di-log (ou log-log) ou outros tipos de papel (ex.: de coordenadas polares). Após selecionar o papel no qual será confeccionado o gráfico, precisamos: 1ª) Escolher e identificar cada um dos eixos coordenados; 2ª) determinar a escala para cada um dos eixos coordenados; 3ª) marcar os pontos da tabela que contém os dados (medidos ou calculados); 4ª) traçar a curva que representa os pontos marcados. 3 2.2.1 - Escolha e identificação dos eixos coordenados Dois tipos de variáveis: as variáveis dependentes e as independen- tes. As variáveis independentes são marcadas sobre o eixo dos x (abcissas) e as variáveis dependentes são marcadas sobre o eixo dos y (ordenadas). Exemplo: sistema massa-mola oscilante. O período (T) de oscilação pode ser medido por meio de um cronômetro. Trocando a massa (m), e fazendo o sistema oscilar novamente, o novo período pode ser medido. Verifica-se que houve uma mudança no período. Observa-se que ele "depende" da massa. Devido a esta dependência, o período é chamado variável dependente e, por conseqüência, a ou- tra variável, a massa, variável independente. 4 Sistema massa-mola (Oscilador Harmônico) A relação da dependência entre as variáveis m e T é: T = f(m). Como foi dito anteriormente, as variáveis dependentes são marcadas no eixo dos y e as variáveis independentes no eixo dos x. Portanto, pela convenção adotada: 5 A maneira correta de representar graficamente a relação T = f(m) é aquela mos- trada na Fig. 1 e não a representada na Fig. 2. 0 50 100 150 200 250 300 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 T (s) m (g) C E R T O ( 1 ) 0 50 100 150 200 250 300 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 T (s) m (g) E R R A D O ( 2 ) 6 Após a determinação de qual é a variável dependente e qual é a in- dependente, cada eixo coordenado deve ser identificado com o símbolo ou o nome da grandeza e sua unidade. 2.2.2 - Determinação das escalas Uma escala pode ser representada por qualquer trecho de curva (que pode ser, portanto, uma reta) marcada por pequenos traços que indicam os valo- res ordenados de uma grandeza. O mostrador de um relógio, de um medidor de combustível, de um voltímetro ou mesmo os eixos de um gráfico são exemplos de escalas. As escalas devem ser construídas de tal modo que cada bloco de divisões assuma um dos seguintes valores: 1, 2, 5 unidades e seus múltiplos (Fig. 3). 7 Deve-se evitar a utilização de blocos de divisões de valores 3, 7, 11, ... e seus múltiplos (Fig. 4), o que não forneceria gráficos facilmente legíveis (por exemplo, fácil interpolação de pontos). Escalas com blocos de divisão 6, 12, 15, ..., não são recomendadas, pois apesar de serem múltiplas de 2 ou 5 são, ao mesmo tempo, múltiplas de 3. 0 1 2 3 4 5 0 20 40 F (N) d (x 10-5m) C E R T O ( 3 ) 0,0 0,6 1,2 1,8 2,4 3,0 3,6 4,2 4,8 5,40 7 14 21 28 35 42 49 F (N) d (x10-5 m) E R R A D O ( 4 ) 8 Sempre que possível deve-se escolher as escalas de forma a que os da- dos experimentais ocupem o maior espaço possível do papel. 0,0 10,0 20,0 30,0 40,0 25,00 30,00 35,00 40,00 T (oC) t (min) E R R A D O ( 5 ) 0,0 10,0 20,0 30,0 40,0 25,50 26,00 26,50 27,00 27,50 T (oC) t (min) C E R T O ( 6 ) 9 Toda grandeza, ao ser medida ou calculada, apresenta uma determi- nada precisão (número de casas decimais). Na escala escolhida para representar os dados em um gráfico, os pontos principais da escala devem ter o número de casas decimais igual aos dos valores da grandeza representada. 10 2.2.3 - Colocação dos pontos experimentais no gráfico Deve-se identificar cada ponto experimental por um sinal que não deixe dúvidas sobre o referido ponto. Exemplo: ~, ⊗, ⊕, , , ⌧. Assim evita-se confundir um ponto qualquer da folha com um ponto expe- rimental. Se dois ou mais conjuntos distintos de pontos forem colocados na mesma folha, símbolos diferentes devem ser utilizados para identificar cada conjunto. Deve-se ter o cuidado de nunca assinalar na escala as coordenadas dos pontos experimentais. 11 2.2.4 - Traçado da curva Depois que todos os pontos experimentais estejam representados no gráfico, traça-se a curva. Ela não precisa passar sobre todos os pontos; na realidade, ocorrerão casos em que a curva não passará sobre ponto algum do gráfico. A curva não necessita iniciar no primeiro e nem terminar no último ponto representado. A curva deve ser traçada levando em conta a tendência dos pontos expe- rimentais (Fig. 8). O que não se faz, em hipótese alguma, é ligar os pontos um a um (Fig. 7). IMPORTANTE: Escrever no gráfico apenas as informações essenciais. 12 0 2 4 6 8 10 0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 F (din) x (cm) E R R A D O ( 7 ) 0 2 4 6 8 10 0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 F (din) x (cm) C E R T O ( 8 ) 13 2.3 - Obtenção de informações a partir de um gráfico A representação gráfica de um fenômeno físico se dá através de uma curva. As informações fornecidas pelo gráfico podem ser obtidas de várias formas; exemplos disto são encontrados nas figuras abaixo, onde o que interessa conhecer é a área da figura (Fig. 9 e 10), ou são os pontos de transição (Fig. 11), ou é o ponto de cruzamento das curvas (Fig. 12), ou são os valores dos pa- râmetros de uma reta (Fig. 13), etc.. 14 0 10 20 30 40 50 60 70 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 F (x) (N) x (m) (9) 0 10 20 30 40 50 0 10 20 30 40 50 T (oC) t (min)(10) -10 0 10 20 30 40 50 60 70 0 10 20 30 40 F(t) (N) t (s) 0 20 40 60 80 100 120 140 160 0 5 10 15 20 25 TA, Tb (s) d (cm) (11) (12) 15 0 , 0 0 0 0 , 0 0 2 0 , 0 0 4 0 , 0 0 6 0 , 0 0 8 0 , 0 1 0 0 , 0 0 , 5 1 , 0 1 , 5 2 , 0 2 , 5 3 , 0 3 , 5 v ( m / s ) t ( s ) (13) 16 EXEMPLO Os pontos experimentais a seguir representam a posição de um móvel em MRU ao longo do tempo e sua representação gráfica é a apresentada na Fig. 14. S (cm) 4,00 6,71 9,43 12,18 14,87 17,70 t (s) 0,00 1,00 2,00 3,00 4,00 5,00 0,00 1,00 2,00 3,00 4,00 5,00 2,00 4,00 6,00 8,00 10,00 12,00 14,00 16,00 18,00 S (cm) t (s) Fig. 14 17 Equação da reta Como se pode observar, o gráfico do exemplo dá como curva uma reta. Da geometria analítica sabe-se que a equação genérica de uma reta é Y = A + B X, onde: A é denominado parâmetro linear e B é chamado parâmetro angular da reta. O próximo passo é encontrar os parâmetros A e B que ajustam os pontos experimentais à equação da reta. Também da geometria analítica tem-se: 18 B = 2 1 2 1 Y - Y X - X , onde (X1,Y1) e (X2,Y2) são dois pontos quaisquer que pertencem à reta. Sempre se deve escolher pontos de fácil determinação. No presente caso foram escolhidos, no gráfico da Fig. o, os pontos P1 = (0,75; 6,00) e P2 = (4,50; 16,30). Então o valor de B será: 19 B = 16,30 -6,00 10,30= =2,75 4,50 - 0,75 3,75 m/s. Nunca se deve esquecer as unidades: a unidade de B é sempre [Y]/[X]e a de A é a mesma da variável dependente. Para a determinação do parâmetro linear A escolhe-se qualquer pon- to da reta, como por exemplo P2, e, substituindo-se os valores de t2 e S2 na e- quação da reta, juntamente com o valor de B anteriormente calculado, encontra- se A: Y = A + B X <==> S = A + B t 16,30 = A + 2,75 x 4,50 16,30 = A + 12,38 A = 3,92 m. 20 Portanto a equação que rege o fenômeno pode ser escrita como S = 3,92 + 2,75 t. De acordo com as medidas, não há dúvida que esta equação é válida no intervalo delimitado pela tabela deste exemplo. Caso não haja nenhuma restri- ção física, a equação anterior será válida para todo intervalo de medidas, poden- do-se portanto calcular a posição do móvel em qualquer instante de tempo. Neste caso, supondo-se que o móvel não altere o tipo de seu movimento, pode-se calcu- lar sua posição para um instante de tempo, por exemplo, t = 5,50 s, bastando para isto substituir este valor na equação. Assim S = 3,92 + 2,75 x 5,50 21 S = 19,04 m. Um valor aproximado deste deve ser encontrado se uma leitura direta for feita no gráfico da Fig. o, no tempo t = 5,50 s. 2.4 - Linearização de gráficos Muitas vezes, nota-se, ao se construir o gráfico, que os pontos não obedecem a uma equação de reta. Exemplos desse fato são os gráficos das Figu- ras 15, 16 e 17 . 22 0 50 100 150 200 250 300 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 x y y C x D= +1 2 1 ( 15 ) 0 50 100 150 200 250 300 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 y x Dy C x2 2 2= + ( 16 ) 0 200 400 600 800 1000 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 y x y C x D= +3 3 (17) Como proceder agora para determinar os parâmetros C1, D1, C2, D2, C3, D3? Deve-se recordar que não necessariamente a curva passa sobre os pontos 23 experimentais; ainda mais, muitas vezes a equação da curva é desconhecida. Como fazer nestes casos? Para isto, utiliza-se o artifício chamado "LINEARIZAÇÃO DE GRÁ- FICOS", que nada mais é do que, por meio de uma mudança de variáveis, constru- ir um novo gráfico que seja representado agora por uma reta. EXEMPLO: A curva na Fig. 15 é representada por uma equação do tipo . 21 1y=C x +D Comparando com a equação da reta 24 Y = A + B X, tem-se: Y = y 2x 1C 1D 2 1 1y = C x +D X = B = A = . Portanto, para se obter uma reta a partir da equação 25 basta construir o gráfico x como na Fig. 18. y 2x Ao se analisar as equações correspondentes aos gráficos 16 e 17, nota-se que também é possível, por mudança de variável, "linearizar" estas equa- ções. O resultado destas linearizações é mostrado nas figuras t e u. 0 2 4 6 8 10 10 20 30 40 50 y x2 ( 18 ) 0 1 2 3 4 5 6 0 2 4 6 8 10 12 14 y2 x ( 19 ) 0,000 0,002 0,004 0,006 0,008 0,010 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 y 1/x ( 20 ) 26 Existem situações nas quais a equação da curva é totalmente desco- nhecida. Quando isto ocorre, deve-se proceder da seguinte forma: 1º) Traçar a curva dos pontos experimentais diretamente em papel milime- trado; 2º) analisar a curva obtida e propor uma equação experimental. Para isto é necessário conhecer os tipos de gráficos que correspondem às equações mais usu- ais. 3º) traçar um novo gráfico com a equação mais adequada, já linearizada. 27 0 50 100 150 200 250 300 -0,4 -0,2 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 y x n conhecido ny=A+BX , ( 21 ) 0 200 400 600 800 1000 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 y x n By=A+ , X n conhecido ( 22 ) 28 0 2 4 6 8 10 2 ,0 2 ,5 3 ,0 3 ,5 4 ,0 4 ,5 5 ,0 y x 10y=A+Blog x ( 23 ) 0 200 400 600 800 -2 -1 0 1 2 y x y=A+B sen(kx +Φ) ( 24 ) 0 1 2 3 4 5 0 10 20 30 40 y x n desconhecido ny=AX , ( 25 ) 0 1 2 3 4 5 0 2 0 4 0 6 0 8 0 1 0 0 y x kxy=Ae ( 26 ) 29 EXEMPLO: Em uma experiência para a determinação da velocidade do som no ar (v), na qual se mediu o comprimento de onda (λ) em função da freqüência (f), foram obtidos os dados da tabela a seguir: f (Hz) 1000 800 600 400 200 100 λ (m) 0,3405 0,4340 0,5800 0,8655 1,7155 3,4556 A equação que rege o fenômeno é v = λ . f Isolando λ em função de f, obtém-se: λ = v f . 30 Os pontos da tabela colocados diretamente em papel milimetrado fornecem o gráfico da Fig. 27. 0 200 400 600 800 1000 0,0000 0,5000 1,0000 1,5000 2,0000 2,5000 3,0000 3,5000 λ (m) f (Hz) Fig. 27 31 A curva obtida é do mesmo tipo da representada na Fig. 22, com n = 1, e portanto obedece à mesma equação geral1 1n Cy = + D . x f Para "linearizar" a equação que relaciona λ e f, basta fazer (1/f ) = X, na equação geral da reta Y = A + B X, onde , agora: Y = λ A = 0 B = v X = 1/ . 32 A nova tabela de dados é: X [(=1/f) (s)] (x 10-3) 1,000 1,25 1,67 2,50 5,00 10,0 λ (m) 0,3405 0,4340 0,5800 0,8655 1,7155 3,4556 Fazendo o novo gráfico Y x X, obtém-se a Fig. 28. 33 0,00 2,00 4,00 6,00 8,00 10,00 0,0000 0,5000 1,0000 1,5000 2,0000 2,5000 3,0000 3,5000 λ (m) 1/f (s) (x10-3) Fig. 28 34 Para calcular o parâmetro angular B procede-se da maneira já vista para o caso da reta. Toma-se dois pontos quaisquer da "reta" (lembrando que os pontos tomados devem pertencer à "reta" e não necessariamente à tabela) e apli- ca-se na equação 2 2 1 1Y - YB = X - X . Escolhendo-se os pontos P1 (0,06 x 10-2; 0,2000) e P2 (1,10 x 10-2; 3,8000) da reta , tem-se então que -2 -2 -2 3,8000 - 0,2000 3,6000B = = =346,1538...m/s 1,10x10 - 0,06x10 1,04x10 . 35 Para calcular o “parâmetro linear”, utiliza-se também um procedi- mento análogo àquele do gráfico de uma reta ou seja, substituindo-se um ponto qualquer do gráfico na equação da reta Y = A + B X . Assumindo o ponto P2 (1,10 x 10-2; 3,8000), vem 3,8000 = A + 346,1538 x 1,10 x 10-2 3,8000 = A + 3,80769 A = -0,0076918 m. Para determinar o número correto de algarismos significativos de A e B deve-se calcular o erro destes parâmetros. No entanto, como este é um pro- 36 cesso trabalhoso, pode-se aplicar, para efeitos de simplificação, os critérios de operações com algarismos significativos, ou de uma forma mais flexível, associar ao parâmetro A o mesmo número de casas decimais de Y e assumir que o número de algarismos significativos de B não deve ser menor do que o da pior medida de qualquer uma das variáveis nem maior do que o da melhor, em algarismos signifi- cativos. Assim , no exemplo em questão tem-se que A = - 0,0077 m e B = 346,2 m/s. (Deve-se notar que B também poderia ser escrito como 346 ou 346,15 m/s.) 37 Pela linearização, a velocidade do som no ar é igual ao parâmetro angular da reta. Portanto v = 346,2 m/s. O valor encontrado para o parâmetro linear (A = - 0,0077 m) difere do valor esperado (A = 0). Este fato indica a existência de erro sistemático nas medidas de uma e/ou outra grandeza. A equação da curva será então 346,2λ =-0,0077 + f . OBSERVAÇÃO: Caso a escala da variável independente inicie em zero, o parâme- tro linear também pode ser lido diretamente do gráfico; quando isto ocorrer, A será a ordenada do ponto de encontro da reta com o eixo dos Y. 38 2.5 - Regressão linear - equações dos mínimos quadrados Ao se obter uma sucessão de pontos experimentais que repre- sentados em um gráfico apresentam comportamento linear (isto é, sua curva re- presentativa é uma reta), diferentes experimentadores poderão obter diferentes retas, ou seja, diferentes valores para os coeficientes linear e/ou angular. Qual será a melhor reta ? Para responder essa questão utiliza-se as equações dos mínimos qua- drados. Estas equações fornecem os melhores parâmetros linear e angular para a reta Y = A + B X . 39 As equações que fornecem A e B são as seguintes: ∑ ∑ ∑ ∑∑ ∑ 2 2 2 Y X - X (XY)A= N X - ( X) e ∑ ∑ ∑∑ ∑2 2 N (XY) - X YB= N X - ( X) . OBSERVAÇÃO: Caso o conjunto de pontos experimentais corresponda a uma equa- ção não linear, deve-se primeiro linearizá-la, e como decorrência refazer a tabe- la dos pontos experimentais, antes da utilização das relações acima. 40 EXEMPLO: Refazendo o exemplo da reta, agora utilizando as equações dos mí- nimos quadrados, toma-se a tabela já linearizada. X [(=1/f)(s) ]x 10-3 1,000 1,25 1,67 2,50 5,00 1,00 λ (m) 0,3405 0,4340 0,5800 0,8655 0,7155 3,4556 Calculando-se os termos das equações para A e B, tem-se ∑Y = 0,3405 + 0,4340 + 0,5800 + 0,8655 + 1,7155 + 3,4556 = 7,3911 ∑X= 1,000 x10-3 + 1,25 x10-3 + 1,67 x 10-3 + 2,50 x 10-3 + 5,00 x10-3 + 10,0 x 10-3 41 ∑X = 21,42 x 10-3 ∑ 2( X) = 4,588 164 x 10-4 ∑ 2X = (1,000 x 10-3)2 + (1,25 x 10-3)2 + (1,67 x 10-3)2 + (2,50 x 10- 3)2 + + ( 5,00 x 10-3)2 + (10,0 x 10-3)2 X 2∑ = 1,366 014 x 10-4 ∑(XY) = (1,000 x 10-3 x 0,3405) + (1,25 x 10-3 x 0,4340) + (1,67 x 10-3 x 0,5800) + (2,50 x 10-3 x 0,8655) + (5,00 x 10-3 x 1,7155) + (10,0 x 10-3 x 3,4556) ∑(XY) = 4,714 885 x 10-2 N = 6 (número de pontos) 42 e substituindo-se nas equações -4 -2 -2 -7 -4 -4 -4 -4 7,3911x1,366014x10 -2,142x10 x 4,714885x10 -2,9375946x10A = = =-8,1420724x10 6x1,366014x10 - 4,588164x10 3,60792x10 -2 -2 -1 -4 -4 -4 6x4,714885x10 -2,142x10 x7,3911 1,245757x10B = = =345,28409 6x1,366014x10 - 4,588164x10 3,60792x10 Lembrando que, pela linearização, B = v, e adotando os critérios apresentados no exemplo 2.4 para a determinação do número de algarismos significativos de A e B, encontra-se 43 345,3λ=-0,0008+ f . Comparando-se a equação obtida diretamente do gráfico com a obtida pelas equa- ções dos mínimos quadrados: 346,2λ = -0,0077 + f e 345,3λ = -0,0008 + f . Quando não é necessária uma grande precisão, utiliza-se a equação obti- da diretamente do gráfico. Quando uma confiabilidade maior é requerida: utiliza-se as equações dos mínimos quadrados. 44 Durante os cálculos dos somatórios para a aplicação nas equações dos mínimos quadrados não é feito nenhum arredondamento, porque estas equa- ções fornecem os melhores parâmetros para um determinado conjunto de pontos (obtidos da tabela) e o arredondamento nos cálculos faz com que os parâmetros deixem de corresponder à tabela de dados, afastando a reta obtida dos pontos experimentais. Calculados os parâmetros angular e linear da melhor reta para um de- terminado conjunto de pontos, constrói-se o gráfico, juntamente com os pontos experimentais cuja tendência ela representa. Este é construído de acordo com as normas vistas anteriormente e a reta obtida com o método dos mínimos quadrados é traçada pela representação de dois pares ordenados calculados com a equação da melhor reta. 45 0,00 2,00 4,00 6,00 8,00 10,00 0,0000 0,5000 1,0000 1,5000 2,0000 2,5000 3,0000 3,5000 λ (m) 1/f (s) (x 10-3) Fig.29 46 2.6 - Papel mono-log (semi-log) Uma relação comum que representa muitos fenômenos físicos é a do tipo , bxy = a e onde y e x são as variáveis dependente e independente, respectivamente, e a e b são constantes. É evidente que a curva obtida em um gráfico, construído em papel milimetrado, para y e x relacionados pela equação anterior não será uma reta,uma vez que esta é uma equação exponencial. No entanto, é muito mais fácil a obtenção de informações a partir de um gráfico cuja curva é uma reta. Para fe- nômenos descritos por uma equação do tipo exponencial existem duas formas de se obter uma reta em um gráfico, quais sejam: 47 1ª) Linearizando-se a equação e construindo-se o gráfico com os pontos da equação linearizada em papel milimetrado; 2ª) utilizando-se papel mono-log. A primeira forma requer o cálculo dos logaritmos dos valores da va- riável dependente, e, muitas vezes, o cálculo dos valores da variável independente da equação "linearizada", enquanto que, ao se utilizar a segunda forma, os loga- ritmos não são calculados. Isto se deve ao fato de que o eixo das ordenadas, no papel mono-log, possui escala logarítmica, sendo este o motivo de se poder colocar os valores da variável dependente diretamente sobre este eixo, sem a necessidade do cálculo de seus logaritmos. O papel mono-log possui a escala vertical dividida de forma logarít- mica, enquanto que a horizontal está dividida linearmente (similar ao papel milime- trado). O eixo logarítmico é dividido em décadas (regiões), geralmente três (ver 48 Fig. 3). A relação entre o início de uma década e o início da seguinte é de uma potência de dez. Por exemplo, se a primeira linha da primeira década assume o valor 1 (100), a primeira linha da década seguinte assumirá o valor 10 (101), e assim sucessivamente. Vale salientar que, pelo fato de não existir o logaritmo de um número negativo ou nulo, a escala nesse eixo poderá ser iniciada por ..., 10- 3, 10-2, ..., 101, 102, ..., mas nunca por um número negativo ou nulo. Não se fará considerações sobre a escala linear (eixo horizontal), já que esta é tra- balhada de forma análoga às escalas do papel milimetrado. EXEMPLO Em uma experiência na qual se mediu a variação da carga (Q) de um capacitor em descarga em função do tempo (t) foram obtidos os seguintes dados: 49 Q (C) 13,20 6,80 3,50 1,80 0,92 t (s) 1,0 3,0 5,0 7,0 9,0 Sabe-se que a equação que relaciona as variáveis é . kt0Q =Q e 0Q k Colocando-se os pontos da tabela diretamente em papel mono-log, ob- tém-se o gráfico da Fig. 30. Como proceder para determinar os valores de e ? 50 0,0 2,0 4,0 6,0 8,0 10,0 0,10 1,00 10,00 100,00 Q (C) t (s) Fig. 30 51 Estes valores são obtidos a partir da linearização da equação Isto é feito aplicando-se o logaritmo neperianokt0Q =Q e . 1 à equação, obtendo- se: ln Q = ln Q0 + kt ln e. Como ln e = 1, ln Q = ln Q0 + kt. Comparando-se esta equação com a da reta Y = A + B X, 1 Neste caso optou-se por aplicar logaritmo neperiano à equação para linearizá-la, pelo fato da exponencial ter como base o número de Neper. A linearização também poderia ser efetuada utilizando-se o logaritmo decimal. 52 tem-se Y = ln Q X = t A = ln Q0 B = k. Deve-se recordar que, para uma reta, o parâmetro angular é dado por 2 1 2 1 Y - YB = . X - X 53 Lembrando que a escala vertical é logarítmica no papel mono-log, e que, para o exemplo dado, Y = ln Q e X = t, o parâmetro angular da reta re- presentada na Fig. 3 será calculado pela expressão B = 2 1 2 1 ln Q - ln Q t - t , onde (t1; Q1) e (t2; Q2) são as coordenadas de dois pontos quaisquer da reta (re- comenda-se escolher dois pontos bem com coordenadas de fácil leitura e distantes o mais possível entre si). Escolhendo-se os pontos P1 = (2,5 ; 8,00) e P2 = (11,5 ; 0,40) 54 tem-se que B = ln 0,40-ln 8,00 -0,91629-2,07944 -2,99573= = =-0,3329 11,5-2,5 9,0 9,0 s-1 B = -0,33 s-1. Como, pela linearização, o parâmetro angular B representa a constante k, então s-1. k =-0,33 55 Para se determinar o parâmetro A e, através dele, o valor de , toma-se um ponto qualquer da reta e substitui-se na equação linearizada Q0 ln Q = ln Q0 + kt. Utilizando-se as coordenadas do ponto P1: ln Q1 = ln Q0 + kt1 ln 8,00 = ln Q0 - (0,33) x 2,5 2,07944 = ln Q0 - 0,825 ln Q0 = 2,9044 Q0 = e 2,9044 = 18,2550 C. Como A deve ter o mesmo número de decimais de Y, então Q0 = 18,26 C. 56 A equação que representa os pontos experimentais deste exemplo é então: . -0,33tQ =18,26 e No exemplo assumiu-se a escala logarítmica do papel mono-log como sendo neperiana, pelo fato da equação ter como base o número de Neper (e). Ca- so a base fosse dez (10), a escala logarítmica deveria ser assumida como sendo decimal. O procedimento apresentado para o tratamento de equações expo- nenciais de base e é válido também para exponenciais com base decimal ou outra base qualquer, embora as mais utilizadas sejam as duas especificadas acima. 57 2.7 Papel di-log (log-log) Muitos fenômenos físicos são descritos por equações do tipo , ny = Kx onde y e x são as variáveis dependente e independente, respectivamente, e K e n são constantes de valores desconhecidos. A questão que surge, nestes casos, é a seguinte: como construir um gráfico, a partir de medidas efetuadas, de forma a se obter uma reta, quando a relação que existe entre Y e x é do tipo acima citado? Existem duas possibilidades: 1a) Fazer uma mudança de variável, substituindo por uma outra variável X, e traçar o gráfico de y x X. Porém, na maioria dos casos, o expoente n é desconhecido. Nestes casos, dever-se-ia fazer uma série de tentativas subs- nx 58 tituindo-se por X, por X, por X, etc., até se encontrar a substituição adequada. 1x 2x 3x 2a) Aplicar logaritmos aos dois membros da equação, obtendo: log y = log ( K ) nx log y = log K + n log x. Deve-se notar que as duas variáveis estão logaritmadas. Para traçar o gráfico, em papel milimetrado, portanto, é necessário calcular os logaritmos para cada va- lor de e y x, e colocar nos respectivos eixos os logaritmos calculados, ou então, u- tilizar um papel chamado di-log. O papel di-log é um papel no qual as escalas vertical e horizontal são proporcionais aos logaritmos dos números que elas representam (ver Fig.3). Assim como na escala logarítmica do papel monolog, estas escalas estão divididas 59 em décadas, onde a relação entre a primeira linha de uma década e a primeira li- nha da década seguinte é de uma potência de dez. EXEMPLO : Medidas efetuadas de corrente e tensão em um resistor RDV (varistor) forneceram os seguintes dados experimentais: V (V) 18,7 31,5 92,0 150,0 215,0 340,0 I (A) 0,48 0,88 4,10 7,50 13,00 23,00 A proposição matemática que rege o fenômeno tem a forma . βV = CI ny =Kx Comparando-se a equação que rege o fenômeno com a equação , tem-se que 60 y = V x = I K = C n = β.Sendo assim, com os valores da tabela colocados em um papel di-log, ob- tém-se o gráfico da Fig. 31. Como determinar os valores de K e β? Isto é conseguido linearizando a equação que descreve o fenômeno e comparando esta equação linearizada com a da reta: log V = log C + β log I e Y = A + B X. 61 0,10 1,00 10,00 100,00 1,0 10,0 100,0 1000,0 V (V) I (A) Fig. 31 Então Y = log V X = log I A = log C B = β. 62 Para o cálculo de B, utiliza-se a equação 2 2 1 1Y - YB = X - X . No caso deste exemplo, tem-se: 2 1 2 1 log V - log VB= log I - log I , onde (I1;V1) e (I2;V2) são as coordenadas de dois pontos da "reta". Se P1 = (0,19 ; 10,0) P2 = (20,00 ; 300,0) 63 então log 300,0 - log10,0 2,47712-1,0000 1,47712B= = = = 0,73042 log 20,00 - log 0,19 1,30103- (-0,72125) 2,02228 βV =C I B = 0,730 = β. Para encontrar a constante C, basta substituir o valor de β na e- quação, juntamente com um ponto qualquer da reta: . 300,0 = C (20,00)0,730 300,0C = = 33,6798 8,9074 64 . 0,730C = 33,7 V/A 0,730V = 33,7 I . Substituindo-se os valores de C e β na equação, obtém-se, para o fenômeno, Deve-se observar que, para este exemplo, o logaritmo utilizado no cálcu- lo de B foi o decimal, mas não há impedimento algum para a utilização do logarit- mo neperiano (natural). O procedimento para a determinação das constantes é i- dêntico para ambas as escolhas. 65
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