Momento Linear III

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MOMENTO LINEAR E 
COLISÕES 
AULA 03 
Luiz Fernando Mackedanz 
Bilhar e caos (1) 
 Considere as colisões perfeitamente 
elásticas (não há perda de energia) 
 Já discutido: em colisões com 
paredes a componente de momento 
perpendicular muda de sinal, a 
paralela permanece a mesma 
 Comece com duas bolas com 
mesmo momento uma ao lado da 
outra e jogue-as: elas permanecerão 
próximas para sempre (lembre-se: 
perda de energia inexistente, 
somente colisões perfeitamente 
elásticas) 
Bilhar e caos (2) 
 Agora coloque um círculo na mesa 
 Esta forma é chamada de bilhar de Sinai 
 Bolas com o mesmo momento; começam 
próximas novamente 
 Quando as bolas batem no círculo, elas 
batem de volta em ângulos levemente 
diferentes 
 Muito em breve elas não estarão mais 
próximas uma da outra 
 Movimento caótico em uma mesa de 
bilhar de Sinai: trajetórias se separam 
exponencialmente rápido 
 Novamente, dependência sensível às 
condições iniciais 
(compare as oscilações devidas ao amortecimento) 
Bilhar e caos (3) 
 Comparação 
 Movimento regular Movimento caótico 
Previsível a longo prazo Imprevisível 
Pierre-Simon Laplace (1749-1827) 
 1770: nomeado professor de matemática sem ter recebido um diploma 
 1773: eleito membro da Académie des Sciences de Paris 
 1785: conheceu Napoleão Bonaparte com seus 16 anos como examinador 
do Corpo Real de Artilharia (ele passou Napoleão) 
 1790: comissão para trabalhar no sistema métrico 
 1793: Reino do terror 
 1799: Nomeado Ministro do Interior por 
Napoleão, removido depois de 6 meses, 
“... porque ele trouxe para o governo 
o espírito das coisas infinitamente pequenas” 
 1799-1825: Méchanique Céleste em 5 volumes 
 1805 Legião de honra 
O demônio de Laplace (1) 
 Laplace teve uma ideia de um computador enorme (“intelecto”) no qual todas 
as equações de força e todas as condições inicias seriam inseridas 
 Equação para um objeto: 
 
 
 
 É possível (em princípio) integrar estas equações: 
 
 
 
 Com as condições iniciais podemos então encontrar 
para todos os tempos 
O demônio de Laplace (2) 
 Esta ideia serve para todos os tipos de objeto e também sistemas com 
diferentes objetos, desde planetas até átomos. 
 Ainda que não possamos realmente calcular os resultados exatos, ainda 
parece que o futuro de todos estes objetos é pré-determinado. 
 Seres humanos são feitos de átomos, 
e o caminho de cada átomo já é 
pré-determinado 
 Todo o futuro do universo já 
está decidido 
 Conflita com a ideia de que 
existe livre arbítrio 
“A Liberdade Guiando o Povo”, Eugène Delacroix 
O demônio de Laplace (3) 
 O resgate vem de dois princípios: 
 Princípio da incerteza: não se pode determinar momento e posição ao mesmo tempo com 
precisão arbitrária (mais em física moderna) 
 Teoria do caos: Dependência sensível às condições iniciais 
(o bilhar de Sinai é um bom modelo de dispersão de objetos ... 
como moléculas de ar, por exemplo) 
 Exemplo: Coloque uma bola de bilhar em uma mesa, solte 
outra em cima dela a partir do repouso. Ainda que você 
coloque o seu centro com precisão de um único átomo 
sobre o centro da primeira, a bola de cima vai quicar 
em um sentido imprevisível mesmo depois 
de 8-10 quicadas. 
 Consequência: a previsibilidade no longo 
prazo é impossível para um sistema de colisão 
de partículas. 
Física de partículas (1) 
 O uso das leis de conservação de momento e energia são essenciais para 
analisar os produtos de colisões de partículas em altas energias, como as 
produzidas no Tevatron do laboratório Fermilab, próximo a Chicago, Illinois, 
atualmente o acelerador para colidir prótons com antiprótons de maior energia 
do mundo. 
 No acelerador Tevatron, físicos de partículas colidem prótons e antiprótons 
com energias totais de 1,96 TeV (daí seu nome!) 
 Lembre que 1 eV = 1.6 10-19 J; então 1.96 TeV = 1.96 1012 eV = 3.2 10-
7 J 
 O Tevatron está configurado de uma forma que os prótons e antiprótons se 
movam no anel de colisão em sentidos opostos com, para todos os fins 
práticos, vetores momento exatamente opostos 
 Os principais detectores de partículas, D-Zero e CDF, estão localizados nas 
regiões de interação, onde os prótons e os antiprótons colidem 
Física de partículas (2) 
 A figura abaixo mostra um exemplo de uma colisão desse tipo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Nessa exibição gerada por computador de um determinado evento de colisão 
no detector D-Zero, o vetor momento inicial do próton aponta direto para a 
página, e o do antipróton aponta direto para fora da página 
Física de partículas (3) 
 Desta forma, o momento inicial total do sistema de prótons e antiprótons 
é zero 
 A explosão produzida por essa colisão gera diversos fragmentos, sendo que 
quase todos são registrados pelo detector 
 Essas medições estão indicadas em tons de cinza na imagem mostrada 
 Sobrepostos a essa exibição de evento estão os vetores momento das 
partículas matriz correspondentes desses fragmentos, com seus 
comprimentos e sentidos baseados em análise computacional da resposta 
do detector 
 No lado direito da figura, os vetores momento foram resumidos graficamente, 
dando um vetor não zero, indicado pela seta verde 
Física de partículas (4) 
 Porém, a conservação do momento sem dúvida exige que a soma dos vetores 
momento de todas as partículas produzidas nessa colisão seja zero 
 A conservação do momento nos permite atribuir o momento perdido que 
equilibraria a conservação de momento a uma partícula que escapou sem ser 
detectada, um neutrino 
 Com o auxílio dessa análise de momento perdido, os físicos da colaboração 
D-Zero conseguiram demonstrar que, no evento exibido aqui, uma partícula 
desconhecida – conhecida como quark top – foi produzida 
 O resultado é bastante recente e espera-se que leve a um Prêmio Nobel em 
um futuro próximo 
Revisão: método dos sete passos 
 Nós agora vamos trabalhar com dois problemas de exemplo usando o método 
dos sete passos 
 Pense 
 Desenhe 
 Pesquise 
 Simplifique 
 Calcule 
 Arredonde 
 Solução alternativa 
Exemplo: queda de um ovo (1) 
Questão: 
 Um ovo em um recipiente especial é jogado de uma altura de 3,70 m. O 
recipiente e o ovo têm massa combinada de 0,144 kg. Uma força resultante 
de 4,42 N quebrará o ovo. Qual é o tempo mínimo sobre o qual o 
ovo/recipiente pode parar sem quebrar o ovo? 
Resposta: 
 Pense: 
 Quando o ovo e o seu recipiente são liberados, eles terão aceleração devida à 
gravidade 
 Quando o ovo/recipiente atinge o solo, sua velocidade vai da velocidade final em 
razão da aceleração gravitacional a zero 
 Quando o ovo/recipiente para, a força que o faz parar vezes o intervalo de tempo 
é igual à massa do ovo/recipiente vezes a mudança de velocidade 
 O intervalo de tempo sobre o qual ocorre a mudança de velocidade determinará 
se a força exercida sobre o ovo pela colisão com o solo quebrará o ovo 
 Desenhe: 
 Considere que o ovo/recipiente seja 
jogado de uma altura de h = 3,70 m. 
 Pesquise: 
 De acordo com a cinemática aplicada à queda livre, 
a velocidade final vy do ovo/recipiente, resultado da 
queda livre de uma altura de y0 a uma altura final 
de y e com velocidade inicial vy0 é dada por 
 
 
 Sabemos que vy0 =0 porque o ovo/recipiente foi 
liberado do repouso. Definimos a altura final como 
sendo y = 0 e a altura inicial como y0 = h. 
 Então nossa expressão para a velocidade final no 
sentido y é 
Exemplo: queda de um ovo (2) 
Exemplo:queda de um ovo (3) 
 Quando o ovo/recipiente atinge o solo, o 
impulso exercido sobre ele é dado por 
 
 
 
 Onde ∆p é a mudança de momento do 
ovo/recipiente e F é a força exercida para 
parar o ovo/recipiente 
 Presumimos que a força é constante, então 
podemos reescrever a integral como 
J
Exemplo: queda de um ovo (4) 
 O momento do ovo/recipiente mudará 
de p = mvy para p = 0 quando atingir 
o solo, então 
 
 
 
 O termo -mvy é negativo porque a velocidade 
do ovo/recipiente logo antes do impacto está 
no sentido y negativo 
Exemplo: queda de um ovo (5) 
 Simplifique 
 Agora podemos solucionar a equação para 
o intervalo de tempo 
 
 Calcule 
 Inserindo os valores numéricos obtemos 
 
 
 Solução alternativa 
 Um intervalo de tempo de 1/4 de segundo parece razoável 
 Poderíamos aumentar este intervalo de tempo 
 Produzindo uma espécie de zona de deformação 
 Tornando o recipiente mais pesado 
 Construindo um recipiente de forma que tivesse grande resistência do ar 
Exemplo: colisão com um carro estacionado (1) 
Questão: 
 Um caminhão atinge um carro estacionado. Durante a colisão, os veículos se 
aderem e deslizam até parar. O caminhão em movimento tem massa total de 
1982 kg (incluindo o motorista), e o carro estacionado tem massa total de 
966,0 kg. Se os veículos deslizaram 10,5 m antes de chegar ao repouso, qual 
era a velocidade do caminhão? O coeficiente de atrito deslizante entre os pneus 
e a estrada é 0,350. 
Resposta: 
 Pense: 
 Esta situação é uma colisão perfeitamente inelástica de um caminhão em movimento 
com um carro estacionado. 
 Após a colisão, os dois veículos deslizam até parar 
 A energia cinética da combinação caminhão/carro logo após a colisão é reduzida pelo 
trabalho realizado pelo atrito enquanto os veículos estão deslizando. 
 A energia cinética da combinação caminhão/carro pode ser relacionada 
à velocidade inicial do caminhão antes da colisão. 
Exemplo: colisão com um carro estacionado (2) 
 Desenhe 
 Definimos que o caminhão em movimento tem massa m1 e velocidade inicial vi,1 
 Definimos que o carro estacionado tem massa m2 e estava inicialmente em repouso 
 Depois da colisão, os dois veículos deslizam juntos com velocidade de vf 
 
 
 
 
 
 Pesquise 
 A conservação do momento para colisões perfeitamente inelásticas nos diz que 
Exemplo: colisão com um carro estacionado (3) 
 A energia cinética da combinação caminhão/carro logo após a colisão é 
 
 
 
 Terminamos de solucionar este problema usando o teorema do trabalho e 
energia 
 O trabalho realizado pelo atrito, Wf, sobre o sistema caminhão/carro é igual 
à mudança de energia cinética ∆K do sistema caminhão/carro, uma vez que 
∆ = 0 
 A mudança de energia cinética é igual a zero (já que o caminhão e o carro 
acabam parando) menos a energia cinética do sistema caminhão/carro logo 
após a colisão 
 Então, podemos escrever 
Exemplo: colisão com um carro estacionado (4) 
 O sistema caminhão/carro desliza por uma distância d 
 A componente x da força de atrito que desacelera o sistema caminhão/carro 
é dado por fx=-µkN onde µk é o coeficiente de atrito cinético e N é o módulo 
da força normal 
 Neste caso, a força normal tem módulo igual ao peso do sistema 
caminhão/carro, ou N=(m1+m2)g 
 O trabalho é igual à componente x da força de atrito vezes a distância que o 
sistema caminhão/carro desliza ao longo do eixo x então podemos escrever 
Exemplo: colisão com um carro estacionado (5) 
 Simplifique: 
 Podemos combinar duas equações anteriores para obter 
 
 
 
 Podemos então obter 
 
 
 
 A solução de vi1 nos leva a 
Exemplo: colisão com um carro estacionado (6) 
 Calcule: 
 Inserindo os números obtemos 
 
 
 
 
 Solução alternativa 
 A velocidade inicial do caminhão era de 12,6 m/s, que corresponde a 28,2 mph, que 
está dentro da faixa de velocidades normais