Apostila Derivada

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3 - DERIVADA
3.1 - TAXA DE VARIAÇÃO E INCREMENTO
	Dada uma função y = f(x), que varia uniformemente em um certo intervalo, e considere-se x1 um ponto deste intervalo. Se dermos a x1 um pequeno acréscimo que chamaremos de (x, neste ponto a função y terá um acréscimo (y da forma
	y + (y = f(x1 + (x)
ou
								 (3.1)
	Se dividirmos a expressão (3.1) por (x temos
							 (3.2)
	A expressão (3.2) é denominada de taxa de variação média y em relação a x, e a expressão (3.1) é chamada de incremento da função y.
	Graficamente podemos representar as expressões (3.1) e (3.2) da forma
		
								
 					
									 
		
									 
			
	
						 
		
	Note que (y/(x é a inclinação da reta secante (que corta a curva em P e Q). Se (x for muito pequeno, isto é, (x ( 0, então o ponto Q tende para o ponto P, a inclinação da reta secante (PQ) tende para a inclinação “m” da reta tangente no ponto P, ou seja
	m = tg( = 
� 
� = 
� 
�		(3.3)
							 (3.4)
	
O “m” é também chamado de coeficiente angular da reta tangente à curva y = f(x) no ponto P. Esta reta só tem um ponto (x1, y1) em comum com a curva f(x), e sua equação é:
	y = mx + b 								(3.5)
onde m e b podem ser determinados em cada ponto (x1, y1 ). O coeficiente angular m pode ser convertido em ângulo usando a expressão (3.3) ou seja m = tg(, logo ( = tg-1(m).
Exemplo 3.1: Dada a função y = x2 + 2, determinar o coeficiente angular da reta tangente e seu ângulo no ponto x0 = 2.
		
								 
							
															 
	 
							 
a) Cálculo do m
	m = 
� 
� = 
� 
�
	m = 
� 
� = 
� 
� =2x0
	se (x0, y0) = (2, 6) ( m = 4 
3.2 - DERIVADA DE UMA FUNÇÃO
	Dada uma função f, a sua derivada representada por f’ é definida por
	f’(x) = 
� 
� = 
� 
� = m
	O domínio da função f’ (derivada), é o conjunto de todos os números x do domínio de f para os quais o limite do quociente (y/(x existe.
Exemplos de derivadas:
1) Dada a função f(x) = x2, achar a sua derivada
	f’(x) = 
� 
� = 
� 
�
	= 
� 
� = 
� (2x + (x) = 2x
	
	
3.3 - NOTAÇÕES DE DERIVADA
	A derivada, bem como o cálculo diferencial e integral foram criados independentemente por Isaac Newton e Gottfried Leibnitz no século XVII. As notações usadas para derivada são:
				Notação de Newton
 
� = 
� 
�		Para uma função f(t) sendo t o tempo
				Se 
� = f(x) a representação seria s’
 f’(x) = 
� 
� , para a função y = f(x) ( notação de Lagrange
 
� = 
� 
� ( notação de Leibnitz
	A operação de calcular a derivada f’ de uma função f(x) é , as vezes chamada de diferenciação. Também se usa o símbolo incompleto d/dx para representar uma diferenciação. Por exemplo:
	
� x3 = 3x3
	Usa-se também a notação
	
Exemplo:
	Dx x3 = 3x2
	A derivada como já vimos representa também o coeficiente angular da reta tangente à curva num ponto dado, e as notações usadas são 
	
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
	Derivar as funções dadas abaixo:
a) f(x) = x2 + 4x			Resp.: 2x + 4
b) f(x) = 2x3 - 1			Resp.: 6x2
c) f(x) = 
�				Resp.: - 
�
d) f(x) = - 
�			Resp.: 
�
e) f(v) = 
�			Resp.: 
�
3.5 - REGRAS DE DERIVAÇÃO (DIFERENCIAÇÃO)
	Apesar da definição de derivada ser através de um limite de um quociente, existem regras gerais simplificadas para se efetuar a derivada, mas que são obtidas de sua definição.
1) Derivada de uma constante
	Se f(x) = k , então
	f’(x) = Dxk = 
� k = 
� 
� = 
� 
� = 0
Então,
	
2) Derivada da função identidade
	Se f(x) = x , então
	f’(x) = Dxx = 
�(x) = 
� 
� = 1
	
3) Derivada de uma função elevada a uma potência
	Seja f(x) = xn
	Dx(xn) = 
� 
�
	Pelo binômio de Newton 
	(x + (x)n = xn + nxn-1(x + 
� xn-2(x2 + ... + (xn
	= 
� 
	Dx(xn) = 
� 
� = nxn-1
	O número n pode ser um número racional, do tipo n = p/q.
	Reunindo essas três últimas com outras regras restantes tem-se:
1) 
� = Dxc = 0
2) 
� = Dxx = 1
3) 
� xn = Dxxn = nxn-1 e Dxun = nun-1 Dxu
4) Dxeu = eu Dxu
5) Dx
�nu = (1/u).Dxu
6) Dxau = au
�na Dxu
7) Dx logau = 
� Dxu
8) 
� (c. v) = c . 
� v
9) 
� (u + v) = 
� + 
�
10) 
� (u . v) = u
� + v
�
11) 
� 
� = 
� v-1 = -1 . v-2 
� = - 
� 
�
12) 
� 
� = 
� (v Dxu - u Dxv)
13) Se y = f(x) e x = g(y) é sua função inversa, então a derivada da função inversa é dada por
	
� = 
� ou Dyx = 
�
14) 
� (u( = 
� 
�
15) Dx 
� = Dxu1/n = 
� 
� Dxu
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
1) Calcule Dx(
� + ()	;	
� (
� + () = 0
							const.
2) f(x) = cx		;	f’(x) = c 
� x = c
3) f(x) = x8		;	f’(x) = 
� x8 = 8x7
4) f(x) = 
�		; 	f’(x) = 
� x1/2 = 
� x -1/2 = 
�
5) f(x) = 3x2 + 11x5	;	f’(x) = Dx(3x2) + Dx(11x5) = 6x + 55x4
6) f(x) = 3x		;	f’(x) = Dx3x = 3x 
�n3
7) f(x) = log10(2x2 + 3) 	;	f’(x) = Dx log10(2x2 + 3) =
		= 
�Dx(2x2+3) = 
�
8) f(x) = 
�n(5x3 + 2x) 	;	põe u = 5x3 + 2x
						
						f’(x) = 
� = 
�
9) Dx
� ( Dx
� = 
� = 
� =
				 = 
� = 
� = 
�
10) f(x) = - 
�		;	Dx 
� = - 2Dx 
� = - 2Dx(x-3) =
						 = 6x-4 = 
�
11) f(x) = 
� . 
� achar Dx f(x)
	Solução considera 
� + 1 = u	 e 
� = v
	Dxf(x) = uDxv + vDxu = 
� . Dx 
� + 
� . Dx 
� =
		 = 
�(- 2x-3) + 
� Dx(x-1 + 1) = 
�(- 2x-3) + 
�(-1x-2) =
		 = - 
� 
� - 
� = 
� - 
� - 
� = - 
� - 
�
12) f(x) = x -3/5 		;	Dxf(x) = - 
� x (- 3/5) - 1 = - 
� x - 8/5
13) Dado y = f(x) = x3 calcular 
� (função inversa)
	Este caso pode ser resolvido de duas maneiras:
a) Achar x = y1/3 e deriva 
� = 
� y(1/3) - 1 = 
� y - 2/3 = 
�
b Usa-se a regra da função inversa
	
� = 
� = 
� = 
� = 
� = 
�
3.6 - REGRA DA CADEIA
	Se y é uma função diferenciável de u e u por sua vez é uma função diferenciável de x, então y é uma função diferenciável de x da forma:
	
� = 
� 
� = Duy Dxu
Exemplos:
1) y = (x2 + 2x)2 achar Dxy
	x2 = 2x = u , logo y = u2 e
	
�= Dxy = 
��� EMBED Equation.2 � = 2u(2x + 2) = 2(x2 + 2x)(2x + 2) = 4x3 + 12x2 + 8x
2) f(x) = 
� pela regra da cadeia põe u = x2 + 1
	f(x) = 
�	;	Dxf = Duf . Dxu
	Duf = Duu1/2 = 
� u -1/2 = 
� = 
� e Dxu = 2x
então
	Dxf = 
� . 2x = 
�
3) Dado f(x) = (x2 + 5x)100 calcule Dxf
	Põe x2 + 5x = u e usa a regra da cadeia
	Dxf = Duf . Dxu = Duu100 . Dxu = 100 u99 . (2x + 5)
	Dxf = 100(x2 + 5x)99 . (2x + 5)
4) Dado f(x) = (2x2 - x( calcular Dxf
	Faz u = 2x2 - x, então f(x) = (u(
e
	Dxf = Duf . Dxu = 
� (4x - 1) = 
� . (4x - 1)
5) f(x) = 
� acha Dxf
	Põe u = 3x2 + 2x , então f(x) = 
� = u1/5
e
	Duf = 
� u(1/5) - 1 = 
� u - 4/5 = 
� = 
�
e finalmente
	Dxf = Duf . Dxu = 
�. (6x + 2) = 
�
Regra de L’Hopital para Limites
	Calcular o limite de uma função racional, do tipo P(x)/Q(x). Regra: Deriva numerador e denominador independentemente e depois calcula-se o limite.
Exemplo:
1) 
� 
�	 ( 
� 
� = 
�
2) 
� 
� ( 
� 
� = 
� 
� = 2
3.7 - DERIVADAS DE ORDEM SUPERIOR
	Seja uma partículadeslocando-se sobre uma reta, a sua posição num dado instante é dada por s = f(t).
					
							
 		
	A velocidade instantânea da partícula é dada pela taxa de variação da posição s de P em relação ao tempo. Assim,
	v = 
�
	A variação instantânea da velocidade no tempo dá a aceleração da partícula,
	a = 
� = 
� 
� = 
� (derivada 2a de s no tempo)
Então,
	v = f ’(t) e a = Dt[f ’(t)] = f ”(t)
Exemplo 1: Encontre todas as derivadas da função
	f(x) = 3x3 + 2x2 - 5x - 4
	f ’(x) = 9x2 + 4x - 5
	f ’’(x) = 18x + 4		; f’’’(x) = 18	; f’’’’(x) = f(4)(x) = 0
Exemplo 2: 
	f(x) = ex
	f ’(x) = ex	 ; f’’(x) = ex ; ... ; f(n) = ex . f ’(x) = f(x)
	Todas as derivadas reproduzem a própria função.
3.8 - DERIVADAS DE FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
	A derivada da função f(x) = senx, usando a definição de derivada é
	f ’(x) = 
� 
� = 
� 
� =
		= 
� 
� 
			(x ( 0
mas quando 	cos(x ( 1
			sen(x ( (x
		= 
� 
� = cosx
	Assim as outras derivadas de funções trigonométricas podem ser obtidas da mesma maneira, ou pelas fórmulas:
	Dx sen u = cos u . Dxu
	Dx cos u = - sen u . Dxu
	Dx tg u = sec2 u . Dxu
	Dx cot u = - csc2 u . Dxu
	Dx sec u = sec u . tg u . Dxu
	Dx csc u = - csc u . cot u . Dxu
Derivada de funções trigonométricas inversas
	
	
	
	
	
	
MÁXIMOS E MÍNIMOS DE UMA FUNÇÃO
Uma função f possui um máximo relativo(local) num ponto "c" do intervalo I, se f (c) ( f(x), para todo x de I.
Da mesma forma, a função possui um mínimo relativo em I, se f(c) ( f(x) , para todo x de I.
Os pontos de máximo e de mínimo são denominados de extremos ou pontos críticos da função.
PONTO DE INFLEXÃO
	É um ponto onde a curva muda a sua concavidade e gráfico da função 
intercepta a tangente no ponto.
								c = ponto de inflexão
MÁXIMO E MÍNIMO POR DERIVADAS
Se f '(x) = 0 , a solução desta equação dá os pontos extremos,(xe1,xe2, etc) ou seja, de máximo e de mínimo. É fácial de verificar também (sem demonstração) que nos pontos extremos se f "(xe) < 0 o ponto é de máximo, e se f "(xe) > 0 o ponto é de mínimo. Assim, podemos construir uma tabela resumindo tudo isso que foi visto.
Exemplo: Estudar a função F(x) = 
x3- 2x2 + 3x +12
Calcula-se a 1a derivada .
F'(x) = x2- 4x + 3 
 
b) Resolve-se a F'(x) = 0 e acha-se x = xe .
x2- 4x + 3 = 0 xe1= 3 e xe2= 1.
	
Calcula-se a 2a derivada.
F "(x) = 2x -4 F "(3) = 2(3 - 4 = 2>0 (x=3 é um mínimo)
			F "(1) = 2(1 - 4 = -2 <0 ( x=1 é um máximo)
APLICAÇÃO DE MÁXIMO E MÍNIMO
1)	Um pescador deve ir de A até C (na margem) . Na água a velocidade do seu barco é de 3 km/h e na praia, andando, sua velocidade é de 5 km/h. Qual o tempo mínimo para atingir C ?
 
Derivando para estudar o ponto de mínimo vem:
	T'(x) = 
 = 0 ( 
 ( 
	25x2 = 324 + 9x2 ( 16x2 = 324 ( x2 = 81/4 ( x= ( 9/2
O tempo de mínimo é o x positivo , ou seja, x = 4,5 e este é 
 
		Tmín = 
 = 3,6 h
Note que se :
	
	x= 4 ( T = 
/3 + (10-4)/5 =3,604 h
	x = 5 ( T = 
/3 + (10-5)/5 =3,803 h
2)	Quais são as dimensões de um cercado de área máxima que se pode construir com 1000m de grade.
		 
	Derivando A= F(x) podemos estudar os extremos da função.
	F'(X) =500 - 2X = 0 ( X = 250m que é o máximo pedido
 	porque F"(X) =-2 < 0 ( máximo).
	A área é máxima quando X = 250m e L =250m.
Se tomássemos L = 300m e X = 200m A = 300(200 = 60.000m2
		 L = 240m e X = 260m A = 240(260 = 62.400m2
3)	 Achar o retângulo de maior área inscrito dentro de um triângulo isóceles , ou seja de dois lados iguais.
A'(y)= 10-5y/2 = 0 ( y = 20/5 = 4cm , então x=10.(8-4)/8 = 5 , logo 
Amáx = xy = 5.4 = 20cm2 . A é máxima porque A"(y) = -5 <0 .
A(triângulo) = b.h/2 =10.8/2 =40 cm2 e A(retângulo) = x . y = 4 . 5 = 20cm2 .
Tem-se um fio de comprimento L, corta-se este fio em duas partes e forma-se com a primeira parte um círculo; com a segunda parte forma-se um quadrado. Qual deve ser o comprimento "x" de corte para que a soma das áreas das figuras seja máxima ou mínima ? 
A área total do círculo mais a do quadrado é :
A(x) = A1 + A2 = 
Derivando uma vez temos
A’(x) = 
 = 0 ( 
 ( 8x =2((L-x)
Ou x = 2( L/ (8+2() = 0,441 L (ou 44,1% L) e a segunda derivada é
A’’(x) = 1/2( + 1/8 > 0 portanto, a área é mínima para o comprimento 
x dividido.
(y = f(x1 + (x) - f(x1)
� EMBED Equation.2 ��� = � EMBED Equation.2 ���
(x = x2 - x1
(y = y2 - y1
(y/(x = m
 y f(x) reta secante
y2			 Q
(y
y1		 P
(x
tangente em P	 
											 x1	 x2	 x
 
m = � EMBED Equation.2 ��� � EMBED Equation.2 ���
Se y = x2 + 2
para x = 2 ( y = 6
e o ponto onde vamos calcular a tangente é P (2,6)
12
9
6
3
-2
y
1 2 3 x
� EMBED Equation.2 ��� = y’ = Dx y = f’(x) = � EMBED Equation.2 ��� � EMBED Equation.2 ��� = � EMBED Equation.2 ��� � EMBED Equation.2 ��� = m
Dx = � EMBED Equation.2 ���
Dxk = � EMBED Equation.2 ��� k = 0
Dxx = � EMBED Equation.2 ���(x) = 1
 P
 O s x
Dx sen -1 u = � EMBED Equation.2 ��� Dx sec -1 u = � EMBED Equation.2 ���
Dx cos -1 u = � EMBED Equation.2 ��� Dx cot -1 u = � EMBED Equation.2 ���
Dx tg -1 u = � EMBED Equation.2 ��� Dx csc -1 u = � EMBED Equation.2 ���
P (2,6)
EX.: f(x) = x3 - 3x2 +5
f’(x) = 2x
Da trigonometria tem-se que 
sen(a+b)= sena.cosb+senb.cosa
5
1
O ponto y=5 é um ponto de máximo relativo
O ponto y=1 é um ponto de mínimo relativo.
Note que nestes dois pontos a derivada 
 f '(x) =tan( = 0 
O x de máximo é x = c1 = 0 e o de mínimo é o x = c2 = 2
2
f(c1) > f(x) para todo x de I
f(c2) < f(x) para todo x de I
x
y
c
y
x
f(x)
xe1
y
x
f(x)
xe2
Note que antes dos pontos extremos x < xe1 , de máximo ,
f '(x) = tan(1 > 0 , a função é crescente.
Entretanto, depois do ponto de máximo, f '(x) = tan(1 < 0, para todo x > xe1 . No ponto x = xe1 , a 
f '(x) = tan(1 = 0 , (máx. ou mín.)
(1
(2
 Seja F(x) definida num intervalo I.
F '(x) > 0 a função é crescente no ponto, do intervalo I.
F '(x) < 0 a função é decrescente no ponto, do intervalo I.
Se F '(x) = 0 em x = xe então xe é um ponto extremo e se:
F "(xe) < 0 então xe é um ponto de máximo.
F "(xe) > 0 então xe é um ponto de mínimo.
x
y
F'(x)>0
F'(x)<0
1
3
F'(0,5) > 0 , crescente
 F'(1)=0
F'(1,5) < 0 , decrescente.
F' (2) < 0 , decrescente
			 F'(3)=0
F' (4) > 0 , crescente.
4
C
A
B
B'
V= 3km/h
V = 5km/h10km
x = v t ( t = x /v
T = TAB' + TB'C
T(x) =�EMBED Equation.3����EMBED Equation.3���
6
x
L
X
A
 A = L . X mas 
2L + 2X = 1000
então L + X = 500
e 
A = X.(500-X)=500X - X2
AB = b = 10cm ; h = 8cm
Os triângulos APQ e Q'P'Q são 
semelhantes , então:
h
y
B
Q'
P
A
Q
�EMBED Equation.3��� ou �EMBED Equation.3���
x = 10.�EMBED Equation.3��� 
Assim, a área do retângulo é
A = x.y = y .(80 -10y)/8 = 10y-5y2/4 
x/2
P'
x
 L
x
L - x
� EMBED Equation.3 ���
C = 2( r = x = comprimento do círculo (perímetro)
A1 =( r2 = ( (x/2( )2 = área do círculo , que resulta em :
A1 = x2 /4( 
r
C = 4� EMBED Equation.3 ��� = L-x = perímetro do quadrado
A2 = � EMBED Equation.3 ���= � EMBED Equation.3 ��� = � EMBED Equation.3 ��� = área do quadrado
�PAGE �
�PAGE �45�
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