Cálculo III (Lista I)

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Lista I (Cálculo III) 
 
 
1. Determine a ordem da equação diferencial e também se a equação é linear ou não-linear. 
 
a. ( )
2
2
2
2 sen
d y dy
t t y t
dt dt
+ + = b. ( )
2
2
2
1 t
d y dy
y t y e
dt dt
+ + + = 
resp: segunda ordem, linear resp: segunda ordem, não-linear 
 
c. 
4 3 2
4 3 2
1
d y d y d y dy
y
dt dt dt dt
+ + + + = d. 2 0
dy
ty
dt
+ = 
resp: quarta ordem, linear resp: primeira ordem, não-linear 
 
e. ( ) ( )
2
2
sen sen
d y
t y t
dt
+ + = f. ( )
3
2 3
3
cos
d y dy
t t y t
dt dt
+ + = 
resp: segunda ordem, não-linear resp: terceira ordem, linear 
 
2. Verifique se a função, ou as funções dadas, constituem solução da equação diferencial. 
 
a. 0y y′′ − = ; ( ) ty t e= 
 
b. 2 3 0y y y′′ ′+ − = ; ( ) 31
ty t e−= , ( )2
ty t e= 
 
c. 2ty y t′ − = ; ( ) 23y t t t= + 
 
d. 4 3y y y t′′′′ ′′′+ + = ; ( )1
3
t
y t = , ( )2
3
t ty t e−= + 
 
e. 22 3 0t y ty y′′ ′+ − = , 0t > ; ( )
1
2
1y t t= , ( )
1
2y t t
−= 
 
f. 2 5 4 0t y ty y′′ ′+ + = , 0t > ; ( ) 21y t t
−= , ( ) ( )22 lny t t t
−= 
 
3. Determine os valores de r para os quais a equação diferencial dada tem soluções da forma 
( ) rty t e= . 
 
a. 2 0y y′ + = b. 0y y′′ − = 
resp: 2r = − resp: 1r = − , 1r = 
 
c. 6 0y y y′′ ′+ − = d. 3 2 0y y y′′′ ′′ ′− + = 
resp: 3r = − , 2r = resp: 0r = , 1r = , 2r = 
 
4. Determine os valores de r para os quais a equação diferencial dada tem soluções da forma 
( ) ry t t= para 0t > . 
 
a. 2 4 2 0t y ty y′′ ′+ + = b. 2 4 4 0t y ty y′′ ′− + = 
resp: 2r = − , 1r = − resp: 1r = , 4r = 
5. Desenhe o campo de direções para a equação diferencial dada. Com base no campo de 
direções, determine o comportamento de y quando t→+∞ . Se este comportamento 
depender do valor inicial de y em 0t = , descreva esta dependência. 
 
a. 1 2y y′ = − − 
resp: 
1
2
y→− 
 
 
b. 2y y′ = + 
resp: y→−∞ , 2y→− , y→+∞ dependendo do valor inicial de y 
 
 
c. 2y t y′ = − + − 
resp: y é assintótico a 3t − 
 
 
d. 2 2ty te y−′ = − 
resp: 0y→ 
 
 
e. ty e y−′ = + 
resp: y→−∞ , 0y→ , y→+∞ dependendo do valor inicial de y 
 
 
f. 2y t y′ = + 
resp: y→−∞ , y→+∞ dependendo do valor inicial de y 
 
 
g. ( )4y y y′ = − 
resp: y→−∞ , 0y→ , 4y→ dependendo do valor inicial de y 
 
 
h. ( )5y y y′ = − − 
resp: 0y→ , 5y→ , y→+∞ dependendo do valor inicial de y 
 
 
i. 22 1y t y′ = − − 
resp: y→−∞ , y é assintótico a 2 1t − dependendo do valor inicial de y 
 
 
j. 
3 2
6 3
y t
y y′ = − − 
resp: y→−∞ , y→+∞ dependendo do valor inicial de y 
 
 
l. ( )3sen 1y t y′ = + + 
resp: y→−∞ , y→+∞ , y oscila dependendo do valor inicial de y