Cálculo III (Lista X)

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Lista X (Cálculo III) 
 
 
1. Determine a transformada de Laplace de cada função periódica. 
 
a. ( )
1 se 0 1
0 se 1 2
t
f t
t
≤ <
= 
≤ <
, ( ) ( )2f t f t+ = 
resp: 
( )
1
1 ss e−+
 
 
b. ( )
1 se 0 1
1 se 1 2
t
f t
t
≤ <
= 
− ≤ <
, ( ) ( )2f t f t+ = 
resp: 
( )
1
1
s
s
e
s e
−
−
−
+
 
 
c. ( )
se 0 1
1 se 1 2
t t
f t
t
≤ <
= 
≤ <
, ( ) ( )2f t f t+ = 
resp: 
( )
2
2 2
1
1
s s
s
e se
s e
− −
−
− −
−
 
 
d. ( ) 1f t t= − + , 0 2t≤ < , ( ) ( )2f t f t+ = 
resp: 
( )
( )
2
2 2
1 1
1
s
s
e s s
s e
−
−
+ + −
−
 
 
e. ( )
se 0
2 se 2
t t
f t
t t
π
π π π
≤ <
= 
− + ≤ <
, ( ) ( )2f t f tπ+ = 
resp: 
( )2
1
1
s
s
e
s e
π
π
−
−
−
+
 
 
f. ( ) ( )senf t t= , 0 t π≤ < , ( ) ( )f t f tπ+ = 
resp: 
( )( )2
1
1 1
s
s
e
s e
π
π
−
−
+
+ −
 
 
2. Use a convolução para calcular. 
 
a. 
( )
1
2
2 1
s
s
−
 
 
 
+  
L b. 
( )
1
22
1
1s s
−
  
 
+  
L 
resp: 
( )sen
2
t t
 resp: ( ) ( )2 2 tt t e−− + + 
 
c. 
( )
1
2
2 2
s
s a
−
 
 
 
+  
L , 0a ≠ d. 
( )
1
4 2
1
1s s
−
  
 
+  
L 
resp: 
( )sen
2
t at
a
 resp: ( )
3
sen
6
t
t t− + 
 
e. 
( )( )
1
21 4
s
s s
−
  
 
+ +  
L f. 
( )1
2 1
G s
s
−  
 
+ 
L 
resp: 
( ) ( )cos 2 2sen 2
5
tt t e−+ −
 resp: ( ) ( )
0
sen
t
g t dτ τ τ−∫ 
 
3. Determine a solução do problema da valor inicial em termos de uma integral de 
convolução. 
 
a. 
( )
( )
( )
2
0 0
0 1
y y g t
y
y
ω′′ + =

=
 ′ =
 
resp: ( ) ( ) ( ) ( )
0
1 1
sen sen
t
y t t g t dω ωτ τ τ
ω ω
= + −∫ 
 
b. 
( )
( )
( )
2 2 sen
0 0
0 0
y y y at
y
y
′′ ′+ + =

=
 ′ =
 
resp: ( ) ( ) ( )( )
0
sen sen
t
y t e a t dτ τ τ τ−= −∫ 
 
c. 
( )
( )
( )
4 4 17 g
0 0
0 0
y y y t
y
y
′′ ′+ + =

=
 ′ =
 
resp: ( ) ( ) ( )2
0
1
sen 2
8
t
y t e g t d
τ
τ τ τ
−
= −∫ 
 
d. 
( )
( )
( )
3 2 cos
0 1
0 0
y y y at
y
y
′′ ′+ + =

=
 ′ =
 
resp: ( ) ( ) ( )( )2 2
0
2 cos
t
t ty t e e e e a t dτ τ τ τ− − − −= − + − −∫ 
 
e. 
( )
( )
( )
4 4 g
0 2
0 3
y y y t
y
y
′′ ′+ + =

=
 ′ = −
 
resp: ( ) ( )2 2 2
0
2
t
t ty t e te e g t dττ τ τ− − −= + + −∫ 
 
f. 
( )
( )
( )
4 g
0 3
0 1
y y t
y
y
′′ + =

=
 ′ = −
 
resp: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0
1 1
3cos 2 sen 2 sen 2
2 2
t
y t t t g t dτ τ τ= − + −∫ 
 
4. Use a transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial. 
 
a. 
( )
( )
( )
2 2
0 1
0 0
y y y t
y
y
πδ′′ ′+ + =

=
 ′ =
 
resp: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )cos sen sentt ty t e t e t u t e tππ π
− −− −= + + − 
 
b. 
( ) ( )
( )
( )
24
0 0
0 0
y y t t
y
y
π πδ δ′′ + = −

=
 ′ =
 
resp: ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )2
1 1
sen 2 sen 2 2
2 2
y t u t t u t tπ ππ π= − − − 
 
c. 
( )
( )
( )
320
0 1
0 0
y y t
y
y
δ′′ − = −

=
 ′ =
 
resp: ( ) ( ) ( ) ( )3cosh 20 senh 3y t t u t t= − − 
 
d. 
( )
( )
( )
44
1
0
2
0 0
y y t
y
y
πδ′′ + =


=

′ =
 
resp: ( ) ( ) ( ) ( )( )4
1 1
cos 2 sen 2 4
2 2
y t t u t tπ π= + − 
 
 
 
e. 
( ) ( )
( )
( )
2 cos
0 0
0 1
y y t t
y
y
πδ′′ + =

=
 ′ =
 
resp: ( ) ( ) ( ) ( )2sen sen 2y t t u t tπ π= + − 
 
f. 
( )
( )
( )
4
4 2
0 0
0 0
y y t
y
y
πδ′′ + =

=
 ′ =
 
resp: ( ) ( )
4
sen 2
4
y t u t tπ
π  = −  
  