Questão resolvida - Encontre a solução geral da equação diferencial xcos(y)dy=(x+1)sen(y)dx - Equação diferencial ordinária (EDO) - Cálculo II

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Tiago Lima - Instagram: @professor_disciplinas_exatas
 
• Encontre a solução geral da equação diferencial .xcos y dy = x + 1 sen y dx( ) ( ) ( )
 
Resolução:
 
Primeiro, é preciso reescrever a EDO para possibilitar sua solução, como segue;
 
xcos y dy = x + 1 sen y dx dy = dx( ) ( ) ( ) →
cos y
sen y
( )
( )
x + 1
x
( )
Agora, para chegar na solução, devemos integrar os 2 membros da igualdade:
 
dy = dx∫ cos y
sen y
( )
( )
x + 1
x
( )
 
Resolvendo as integrais, fica;
 
1 dy u = sen y du = cos y dy du ln u = ln sen y)∫ cos y
sen y
( )
( )
→ ( ) → ( ) →∫1
u
→ ( ) ( ( ))
 
2 dx = + dx = 1 + dx = 1dx + dx = x + ln x)∫ x + 1
x
( ) ∫ x
x
1
x
∫ 1
x
∫ ∫1
x
( )
Substituindo os resultados nas integrais da EDO, fica;
 
dy = dx ln sen y + c = x + ln x + c∫ cos y
sen y
( )
( )
x + 1
x
( )
→ ( ( )) 1 ( ) 2
 
Usando propriedades exponenciais, reescrevemos essa igualdade como :
 
e = e e ⋅ e = e ⋅ e ⋅ e sen y ⋅ e = e ⋅ x ⋅ eln sen y +c( ( )) 1 x+ln x +c( ) 2 → ln sen y( ( )) c1 x ln x( ) c2 → ( ) c1 x c2
 
sen y = sen y = e ⋅ x y = Arcsen e ⋅ x( )
e ⋅ x ⋅ e
e
x c2
c1
→ ( )
e
e
c2
c1
x
→
e
e
c2
c1
x
 
Fazendo : = c
e
e
c2
c1
 
 
 
 
y = Arcsen c ⋅ e ⋅ xx
 
 
(Resposta )