Questão resolvida - Determine o valor da integral sen(3t)cos(t)dt - Cálculo I - ESTÁCIO

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Tiago Lima - Instagram: @professor_disciplinas_exatas
 
• Determine o valor da integral .sen 3t cos t dt∫ ( ) ( )
 
Resolução:
 
É preciso reescrever a integral para possibilitar a sua solução, vamos fazer isso usando a 
identidade trigonométrica seguinte;
 
sen p + sen q = 2sen cos = sen cos( ) ( )
p + q
2
p - q
2
→
sen p + sen q
2
( ) ( ) p + q
2
p - q
2
 
Devemos fazer : sen cos = sen 3t cos t
p + q
2
p - q
2
( ) ( )
 
Dessa igualdade, temos que : = 3t p + q = 2 ⋅ 3t p + q = 6t
p + q
2
→ →
 
 e
 
 = t p - q = 2t
p - q
2
→
 
Assim, ficamos com o sistema;
 
p + q = 6t
p - q = 2t
 
Somando as 2 equações, temos que; p + q + p - q = 6t + 2t 2p = 8t p = p = 4t→ →
8t
2
→
 
Substituindo na primeira equação 4t + q = 6t q = 6t - 4t q = 2t→ → →
 
Com isso, a relação trigonométrica fica :
 
= sen cos = sen 3t cos t
sen p + sen q
2
( ) ( ) p + q
2
p - q
2
→
sen 4t + sen 2t
2
( ) ( )
( ) ( )
 
Agora, substituimos a identidade encontrada na integral;
 
 
 
sen 3t cos t dt = dt = sen 4t + sen 2t dt∫ ( ) ( ) ∫ sen 4t + sen 2t
2
( ) ( ) 1
2
∫( ( ) ( ))
 
= sen 4t dt + sen 2t dt
1
2
∫ ( ) ∫ ( )
 
Vamos reolver cada integral separadamente sem a contante;
 
sen 4t dt u = 4t du = 4dt 4dt = du dt =∫ ( ) → → → → du
4
sen 4t dt = sen u = sen u du = - cos u = - cos 4t∫ ( ) ∫ ( )du
4
1
4
∫ ( ) 1
4
( )
1
4
( )
 
 
sen 2t dt u = 2t du = 2dt 2dt = du dt =∫ ( ) → → → → du
2
sen 2t dt = sen u = sen u du = - cos u = - cos 2t∫ ( ) ∫ ( )du
2
1
2
∫ ( ) 1
2
( )
1
2
( )
 
Voltando para a integral, fica;
 
sen 4t dt + sen 2t dt = - cos 4t - cos 2t = - ⋅ cos 4t - ⋅ cos 2t
1
2
∫ ( ) ∫ ( ) 1
2
1
4
( )
1
2
( )
1
2
1
4
( )
1
2
1
2
( )
 
 
sen 3t cos t dt = - cos 4t - cos 2t∫ ( ) ( ) 1
8
( )
1
4
( )
 
 
(Resposta )