Cálculo I Gabarito Lista 4

Prévia do material em texto

Gabarito Lista 4
Exerc´ıcio 1. Soluc¸a˜o:
a) Reta tangente: y = 2x+ 1
Reta normal: y = −1
2
x+
17
2
b) Reta tangente: y = −3x
Reta normal: y =
1
3
x
c) Reta tangente: y = −2x+ 3
Reta normal: y =
1
2
x+
1
2
d) Reta tangente: y = −x+ pi
Reta normal: y = x− pi
Exerc´ıcio 2. y = 3x− 2 ou y = 3x+ 2
Exerc´ıcio 3. r e´ reta tangente ao gra´fico no ponto x = 0 ou x = −1. Portanto,
e´ dada por y = −3x ou y = −4x
Exerc´ıcio 4. Soluc¸a˜o:
a)
pi
2
b)
pi
4
c) −pi
6
d)
pi
3
e)
pi
4
f) −pi
2
Exerc´ıcio 5.
1
2
Exerc´ıcio 6. Soluc¸a˜o:
a) y′ =
x
y
b) y′ = − y
2
2xy + 2
c) y′ =
y
5− seny − x
1
d) y′ = − y + 2xy
3
3x2y2 + x
e) y′ =
1
5y4 + 1
f) y′ = − 2x
x2 + y2 + 2y
Exerc´ıcio 7. Soluc¸a˜o:
a) crescente em (−∞, 1
3
] ∪ [1,+∞)
decrescente em [
1
3
, 1]
b) crescente em (−∞,−2] ∪ [−1
2
,+∞)
decrescente em [−2,−1
2
]
c) crescente em [−1,+∞)
decrescente em (−∞,−1]
d) crescente em (−∞, e]
decrescente em [e,+∞)
Exerc´ıcio 8. Queremos mostrar que se x > 0 enta˜o ex > x. Basta mostrarmos
que se x > 0 enta˜o ex−x > 0. A derivada da func¸a˜o ex−x e´ ex− 1. Lembre-se
que a func¸a˜o ex e´ crescente, logo para qualquer x > 0 temos ex > e0, ou seja,
ex − 1 > 0. Segue enta˜o que a func¸a˜o ex − x e´ crescente para x > 0 (ja´ que a
derivada e´ positiva neste intervalo). Sendo a func¸a˜o ex − x crescente temos que
se x > 0 enta˜o ex − x > e0 − 0 = 1. Em particular, ex − x > 0.
Exerc´ıcio 9. Soluc¸a˜o:
a) 2
b) +∞
c) e−3
d) 2
e) 0
2