EP3_GAI_Gabarito

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Gabarito EP3
Geometria Anaĺıtica I
Professora Lhaylla Crissaff
1. Verifique se os pontos dados abaixo são colineares:
(a) A = (−1, 1), B = (3,−2) e C = (−5, 4);
(b) A = (1, 2), B = (−1, 3) e C = (4, 5).
Solução.
Vı́deo
2. Encontre as equações paramétricas, cartesianas e afim da reta que passa por P e Q dos itens a
seguir. Classifique as retas como crescente, decrescente ou constante. Faça o esboço da reta.
(a) P = (1, 3) e Q = (2,−1);
(b) P = (5, 4) e Q = (0, 3).
Solução.
Vı́deo
3. Dados o ponto A = (2, 3) e o vetor −→v = (1,−2).
(a) Escreva equações paramétricas da reta r que passa por A e tem direção −→v .
(b) Encontre os dois pontos B e C de r de parâmetros t = 1 e t = 4, respectivamente.
(c) Determine o ponto D pertencente a r cuja coordenada y é 4.
(d) Verifique se os pontos E = (4,−1) e F = (5,−4) pertencem a r.
Solução.
Vı́deo
4. Determine o ponto de interseção da reta r1 paralela ao vetor
−→v = (1, 2) que passa pelo ponto
A = (3, 4) com a reta r2 que passa pelos pontos B = (2, 3) e C = (−2, 4).
Solução.
Vı́deo
5. Determine se as retas r1 e r2 são paralelas, coincidentes ou concorrentes, determinando, no último
caso, o ponto de interseção:
(a) r1 : 2x+ y − 1 = 0 e r2 :
{
x = −1 + t
y = −t ; t ∈ R;
(b) r1 :
{
x = 3 + 3t
y = 1 + 1
2
t
; t ∈ R e r2 : x− 6y = 3;
(c) r1 :
{
x = −t
y = 8 + 3
2
t
; t ∈ R e r2 :
{
x = 4 + 4s
y = 2− 6s ; s ∈ R.
Solução.
Vı́deo
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Gabarito EP3
Geometria Anaĺıtica I
Professora Lhaylla Crissaff
6. Considerando as retas r : ax+by+c = 0 e s : a′x+b′y+c′ = 0 dadas por suas equações cartesianas,
prove que:
(a) se a = λa′, b = λb′ e c = λc′ para algum λ ∈ R, as retas são coincidentes;
(b) se a = λa′, b = λb′ e c 6= λc′ para algum λ ∈ R, as retas são paralelas (e não coincidentes);
(c) se não existe λ ∈ R tal que a = λa′ e b = λb′, as retas são concorrentes.
Solução.
Para resolver este exerćıcio, precisamos estudar o sistema{
ax+ by + c = 0
a′x+ b′y + c′ = 0,
já que queremos descobrir se as duas retas dadas são coincidentes, paralelas ou concorrentes.
O sistema acima pode ter uma única solução (neste caso, ele é chamado posśıvel e determinado),
pode ter infinitas soluções (neste caso, ele é posśıvel e indeterminado) ou ele pode não ter soluções
(neste caso, ele é chamado imposśıvel). Vejamos quando encontraremos cada um desses casos.
Em vista das três possibilidades para a solução do sistema, fica fácil associá-las às posições relativas
das retas r e s. Já conseguiram ver ? Pensem comigo, se o sistema formado pelas equações de r e
s possui uma única solução, do ponto de vista geométrico significa que as duas possuem um único
ponto em comum. Logo, estas retas terão que ser concorrentes. Certo ? Agora, se o sistema possuir
infinitas soluções, pensando na geometria da situação, podemos perceber que as infinitas soluções
são pontos pertencentes às duas retas. Sendo assim, como as duas retas possuem mais de um ponto
em comum, elas serão coincidentes. Por último, se o sistema não tiver soluções, as retas não terão
nada em comum e portanto, serão paralelas.
São estas situações que teremos que ver no itens a seguir.
(a) Suponhamos que a = λa′, b = λb′ e c = λc′ para algum λ ∈ R.
Voltando ao sistema que temos que resolver, multiplique a segunda equação por −λ,
ax+ by + c = 0
−λa′x− λb′y − λc′ = 0.
e some as duas equações. Dáı teremos:
(a− λa′)x+ (b− λb′)y + (c− λc) = 0.
Como a = λa′, b = λb′ e c = λc′, temos:
0 = 0.
Portanto, existem infinitas soluções para este sistema. O que mostra que as retas são coincidentes.
(b) Agora vamos supor que a = λa′, b = λb′ e c 6= λc′ para algum λ ∈ R. Vamos então, multiplicar
novamente a segunda equação por −λ,
ax+ by + c = 0
−λa′x− λb′y − λc′ = 0
e somar as duas equações. Assim,
(a− λa′)x+ (b− λb′)y + (c− λc′) = 0⇐⇒(a− λa′)x+ (b− λb′)y = −(c− λc′).
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Como a = λa′ e b = λb′, o lado esquerdo da equação é sempre igual a zero. Como c 6= λc′, o lado
direito da equação é sempre diferente de zero. Esta é uma situação que torna o sistema sem solução.
Sendo assim, as retas são paralelas.
(c) Agora suponhamos que não existe λ ∈ R tal que a = λa′ e b = λb′.
Multiplicando a primeira equação por a′ e a segunda equação por −a, temos
aa′x+ a′by + a′c = 0
−aa′x− ab′y − ac′ = 0,
e, somando as duas equações obtidas obtemos
(a′b− ab′)y + (a′c− ac′) = 0.
Se a′b− ab′ = 0, então
ab′ = a′b⇐⇒a = b
b′
a′.
Além disso, independente de a′b − ab′ = 0, temos que b = b
b′
b′. Assim, se λ = b
b′
, então a = λa′ e
b = λb′, que não é posśıvel pela hipótese do exerćıcio.
Portanto, a′b−ab′ 6= 0. Neste caso, y = ac′−a′c
a′b−ab′ e a partir dáı, é posśıvel encontrar o valor de x. Logo,
o sistema possui uma única solução. Neste caso, como explicamos acima, as retas são concorrentes.
7. Verifique se as retas
r1 : 2x+ y = 1, r2 : 6x+ 3y = 2 e r3 : 4x+ 2y = 2 ,
são paralelas ou coincidentes.
Solução.
Para resolver este exerćıcio vamos usar o exerćıcio anterior.
Multiplicando a equação de r1 por 3 obtemos r1 : 6x + 3y = 3 e, como 3 6= 2, temos r1 ‖ r2 pelo
item (b) do exerćıcio anterior.
Multiplicando a equação de r1 por 2, obtemos a equação de r3. Logo r1 = r3 pelo item (a) do
exerćıcio anterior.
Multiplicando a equação de r2 por 2/3 obtemos r3 : 4x+ 2y = 2. Como 4/3 6= 2, temos r2 ‖ r2 pelo
item (b) do exerćıcio anterior.
OBS.: Aproveite o exerćıcio e encontre uma reta que seja concorrente com r1 usando o exerćıcio
anterior.
8. Discuta em função de m e p a posição relativa das retas:
r : mx+ y = p,
s : 3x+ 3y = 7.
Solução.
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Precisamos descobrir se os coeficientes de x e y nas duas equações são múltiplos ou não. Para isso,
suponhamos que existe um λ tal que
m = 3λ e 1 = 3λ.
Neste caso, pela segunda equação λ = 1/3 e dáı m = 1. Falta agora analisar o lado direito das
equações das retas dadas utilizando o valor de λ = 1/3 encontrado anteriormente.
Para que r e s sejam coincidentes, é necessário que p = 7λ = 7
3
. para que r e s sejam paralelas, é
necessário que p 6= 7λ, o que implica que p 6= 7
3
.
É claro que, se m 6= 1, as retas serão concorrentes.
Resumindo: Se m = 1 e p 6= 7
3
então r ‖ s. Se m = 1 e p = 7
3
então r = s. Se m 6= 1 então r e s
são concorrentes.
9. Dada a equação da reta r : 7x+ 3y = −
√
2, faça o que se pede a seguir.
(a) Encontre a equação de todas as retas paralelas à reta r.
(b) Encontre a equação da reta paralela à r que passa pela origem.
(c) Encontre a equação da reta paralela à r que passa por P = (9,−10).
Solução.
Usando o exerćıcio 6, este exerćıcio fica bastante simples. Vejamos:
(a) Para obter uma reta ax + by = c paralela à reta r, deve existir um valor de λ ∈ R tal que
a = 7λ, b = 3λ e c 6= −
√
2λ. Neste caso, a equação da reta procurada seria:
7λx+ 3λy = c.
A equação acima é equivalente à:
7x+ 3y =
c
λ
,
sendo que c 6= −
√
2λ. Agora
c 6= −
√
2λ⇐⇒ c
λ
6= −
√
2.
Logo, 7x+ 3y = d tal que d 6= −
√
2 é a equação de todas as retas paralelas à reta r.
OBSERVAÇÃO IMPORTANTE: Note que a reta r : 7x+3y = −
√
2 é paralela a qualquer
reta da forma 7x + 3y = d tal que d 6= −
√
2. Analisando com calma esta resposta, veja que
os coeficientes do x e do y permaneceram iguais ao gerar uma reta paralela a r. Digamos
que a responsabilidade de ficarem diferentes ficou para o lado direito das equações, porque se
fossem também iguais as retas seriam coincidentes. Sempre que tiver que encontrar a equação
cartesiana de uma reta paralela a outra, use os mesmos coeficientes de x e y e dáı, os lados
direitos das equações terão que ser diferentes. Se vc não entendeu essa observação, procure
um tutor, pois ela facilitará sua vida ;) Ok ?!
(b) Já sabemos que retas paralelas à reta r são da forma 7x+ 3y = d talque d 6= −
√
2. Para que
a reta passe pela origem, o valor de d tem que ser 0. Dáı, a reta procurada é 7x+ 3y = 0.
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(c) Já sabemos que retas paralelas à reta r são da forma 7x+ 3y = d tal que d 6= −
√
2. Para que
a reta passe pelo ponto P = (9,−10), este ponto deve satisfazer a equação que encontramos
anteriormente. Assim,
7 · 9 + 3 · (−10) = d⇐⇒d = 33.
Logo, a equação procurada é 7x+ 3y = 33.
10. Verifique se o vetor −→u = (1, 2) pode ser escrito como combinação linear dos vetores −→v = (3,−2) e
−→w = (−1, 4).
Solução.
Note que det
(
3 −2
−1 4
)
= 10 6= 0. Logo, os vetores −→v e −→w são LI. e pela proposição 3.7 da
aula 3, qualquer vetor do plano pode ser escrito como combinação linear de −→v e −→w , em particular
−→u = (1, 2).
Devemos achar x, y ∈ R tais que −→u = x−→v + y−→w . Em coordenadas esta equação equivale a{
1 = 3x− y
2 = −2x+ 4y.
Tirando o valor de y = 3x − 1 da primeira equação e substituindo na segunda obtemos 2 =
−2x+ 4(3x− 1)⇐⇒x = 3/5. Substituindo o valor de x em y = 3x− 1, obtemos y = 4/5. Assim,
−→u = 3
5
−→v + 4
5
−→w .
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