Calculo 3

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Fernando de Melo Lopes 
UNIUBE 
2011 
Caderno de Aula 
CÁLCULO III 
Aula 1 
Conteúdo Programático 
1. FUNÇÕES DE DUAS OU MAIS VARIÁVEIS 
1.1. Notação e terminologia 
1.2. Gráficos de funções de duas variáveis 
1.3. Domínio de funções de duas variáveis 
1.4. Curvas de nível 
2. LIMITES DE FUNÇÕES COM DUAS VARIÁVEIS 
3. DERIVADAS PARCIAIS 
3.1. Derivadas parciais de funções de duas variáveis 
3.2. Notação de derivadas parcial 
3.3. Derivadas parciais vistas como taxas de variação e inclinações 
3.4. Derivadas parciais de ordens superiores 
3.5. Derivadas parciais de funções com mais de duas variáveis 
4. DERIVADAS DIRECIONAIS E GRADIENTE DE FUNÇÕES DE DUAS 
VARIÁVEIS 
4.1. Derivadas direcionais – definição e cálculo 
4.2. Forma vetorial – o gradiente 
4.3. Propriedades do gradiente 
4.4. Aplicações 
5. MÁXIMOS E MÍNIMOS DE FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS 
5.1. Extremos 
5.2. O teorema do valor extremo 
5.3. Determinando o extremo relativo 
5.4. Teste da derivada segunda 
5.5. Determinando extremos absolutos em conjuntos fechados e limitados 
6. MULTIPLICADORES DE LAGRANGE 
6.1. Problemas de extremos com restrições 
6.2. Multiplicadores de Lagrange 
6.3. Três variáveis e uma restrição 
7. INTEGRAL MÚLTIPLA 
7.1. Volumes como integrais iteradas; 
7.2. Integrais duplas e integrais iteradas; 
7.3. Aplicações físicas das integrais duplas; 
7.4. Integrais duplas em coordenadas polares; 
7.5. Integrais triplas; 
8. APLICAÇÕES NA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS DE ENGENHARIA 
8.1. Funções de duas ou mais variáveis 
8.2. Derivadas parciais 
8.3. Derivadas direcionais e gradientes de funções de duas variáveis 
8.4. Máximos e mínimos de funções de duas variáveis 
8.5. Multiplicadores de Lagrange 
8.6. Integral múltipla 
 
 
3 
Bibliografia 
Os livros abaixo citados serão usados em nosso curso e deverão ser consultados 
sempre que necessário. Neles você encontrará exercícios complementares e um 
conteúdo mais detalhado. 
ANTON, H., “Cálculo, Volume II”, 8ª edição, volume 2, Bookman, 2007. 
THOMAS, G., B., “Cálculo”, 10ª edição, volume 2, Addison Wesley by Pearson 
Education do Brasil, 2003 
STEWART, JEMES, “Cálculo”, 5ª edição, volume 2, Pioneira Thomson Learning, 
2006 
Avaliações 
 
Avaliação cumulativa: 100 pontos 
Primeiro momento de avaliação: 50 pontos 
Prova 01: 17 pontos 
Lista de exercícios 01: 4 pontos 
Prova 02: 18 pontos 
Lista de exercícios 02: 4 pontos 
Oficinas Integradas: 7 pontos 
 
Segundo momento de avaliação: 50 pontos 
Prova 03: 17 pontos 
Lista de exercícios 03: 4 pontos 
Prova 04: 17 pontos 
Lista de exercícios 04: 4 pontos 
Oficinas Integradas: 8 pontos 
 
 O aluno deve atingir 70 pontos para passar. 
 
Como medida de recuperação de nota a prova de segunda chamada poderá 
ser feita por aqueles alunos que não atingiram 70 pontos para substituição de umas 
das avaliações feitas durante o semestre. 
Caso o aluno não atinja 70 pontos necessários para passar será aplicada uma 
avaliação suplementar que será feita na última semana de férias do aluno. Esta 
prova conterá toda a matéria do semestre com questões fechadas, sem consulta, 
no valor de 100 pontos. Lembramos que esta prova não será aplicada pelo professor 
da matéria em questão e a correção será feita de forma automatizada. Neste 
momento a média necessária para aprovação será 6 e seguirá a seguinte fórmula: 
 
 
 
 
 
 
4 
ac – Avaliação cumulativa 
as – Avaliação suplementar 
Para aqueles alunos que não fazem oficinas, a nota será calculada através de 
uma média simples conforme estipulado pela Universidade, sendo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Caso o aluno perca alguma avaliação semestral este terá o prazo máximo de 
02 (dois) dias úteis, após a avaliação, para protocolar pedido no setor de 
Multiatendimento. O requerimento deve conter a data da prova, nome da disciplina, 
motivo da falta e anexo documento comprobatório que justifique sua ausência no 
momento da aplicação da avaliação. A prova de segunda chamada só e somente só 
será aplicada caso o seu pedido seja deferido, ao final do semestre, contendo a 
toda a matéria do semestre. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 
Sumário 
Conteúdo Programático .......................................................................................................... 2 
Bibliografia ............................................................................................................................... 3 
Avaliações ................................................................................................................................. 3 
Exercícios de revisão de derivadas e integrais ................................................................ 8 
Funções de Duas ou Mais Variáveis ..................................................................................... 9 
Notação e terminologia ...................................................................................................... 9 
Domínio .................................................................................................................................. 9 
Exercícios ........................................................................................................................... 13 
Gráficos de funções de duas variáveis ......................................................................... 14 
Gráfico de superfície ................................................................................................... 14 
Gráfico de curva de nível ............................................................................................. 15 
Exercícios ........................................................................................................................... 19 
Limites e Continuidade ......................................................................................................... 21 
Limite de uma função de duas variáveis ....................................................................... 21 
Propriedades dos limites ................................................................................................. 21 
Exercícios ........................................................................................................................... 22 
Derivadas Parciais ................................................................................................................. 24 
Derivadas parciais de uma função de duas variáveis ................................................. 24 
Notação de derivada parcial ........................................................................................... 26 
Cálculo de derivadas parciais .......................................................................................... 27 
Derivada parcial vistas como taxa de variação ........................................................... 28 
Exercícios ........................................................................................................................... 29 
Derivadas parciais de funções com mais de duas variáveis ...................................... 31 
Derivadas parciais de ordens superiores ..................................................................... 31 
Igualdade de mistas ......................................................................................................... 33 
Exercícios ........................................................................................................................... 34 
Derivadas direcionais e gradientes de funções com duas variáveis........................... 35 
Derivadas direcionais ....................................................................................................... 35 
Cálculo de derivadas direcionais .................................................................................... 37 
Gradiente ............................................................................................................................ 41 
Propriedades do gradiente .......................................................................................... 43 
 
 
6 
Os gradientes são normais à curva de nível ............................................................. 45 
Exercícios: .......................................................................................................................... 46 
Máximos e Mínimos de funções de duas variáveis .......................................................... 48 
Extremos............................................................................................................................. 48 
Conjuntos limitados ........................................................................................................... 49 
Teorema do valor extremo .............................................................................................. 50 
Encontrando extremos relativos .................................................................................... 50 
Teste da derivada segunda ............................................................................................. 51 
Exercícios: .......................................................................................................................... 52 
Encontrando extremos absolutos em conjuntos fechados e limitados .................. 53 
Exercícios: .......................................................................................................................... 56 
Multiplicadores de Lagrange ............................................................................................... 58 
Introdução .......................................................................................................................... 58 
Método dos Multiplicadores de Lagrange .................................................................... 58 
Duas restrições ................................................................................................................. 63 
Exercícios: .......................................................................................................................... 63 
Integrais Múltiplas ............................................................................................................... 64 
Volume ................................................................................................................................. 64 
Definição ......................................................................................................................... 66 
Propriedades das Integrais Duplas ............................................................................... 67 
Integrais Iteradas ............................................................................................................ 67 
Teorema de Fubini para o Cálculo de Integrais Duplas ......................................... 67 
Teorema .......................................................................................................................... 68 
Exercícios: .......................................................................................................................... 68 
Integrais Duplas Sobre Regiões Não Retangulares ................................................... 69 
Teorema .......................................................................................................................... 69 
Procedimentos para encontrar limites de integração ............................................ 71 
Exercícios: .......................................................................................................................... 72 
Integrais duplas em coordenadas polares .................................................................... 74 
Regiões polares .............................................................................................................. 74 
Cálculo de integrais duplas polares ............................................................................ 74 
 
 
7 
Teorema: ......................................................................................................................... 75 
Exercícios: .......................................................................................................................... 77 
Anexo 1 .................................................................................................................................... 79 
Tabelada de derivadas e integrais ................................................................................. 79 
Anexo 2 ................................................................................................................................... 81 
Trabalho 1 ........................................................................................................................... 81 
Trabalho 2 .......................................................................................................................... 83 
Trabalho 3 .......................................................................................................................... 85 
Trabalho 4 .......................................................................................................................... 88 
Anexo 3 ................................................................................................................................... 91 
Respostas da página 8 ...................................................................................................... 91 
Respostas da página 13 .................................................................................................... 91 
Respostas da página 19 .................................................................................................... 92 
Respostas da página 22 .................................................................................................... 97 
Respostas da página 29 .................................................................................................... 97 
Respostas da página 34 .................................................................................................... 98 
Respostas da página 46 .................................................................................................... 99 
Respostas da página 52 .................................................................................................. 100 
Respostas da página 56 ................................................................................................... 101 
Respostas da página 63 .................................................................................................. 102 
Respostas da página 68 .................................................................................................. 102 
Respostas da página 72 .................................................................................................. 102 
Respostas da página 77 .................................................................................................. 102 
Respostas do trabalho 01 .............................................................................................. 102 
Respostas do trabalho 02 .............................................................................................. 105 
Respostas do trabalho 03 ..............................................................................................106 
Respostas do trabalho 04 .............................................................................................. 108 
 
 
 
 
 
8 
Aula 1 
Exercícios de revisão de derivadas e integrais 
1) Dada as funções, calcule a derivada: 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
g) 
 
 
 
 
h) 
i) 
j) 
 
2) Dada as funções, calcule a integral definida: 
a) 
 
 
 
b) 
 
 
 
c) 
 
 
 
 
d) 
 
 
 
e) 
 
 
 
 
 
f) 
 
 
 
 
 
g) 
 
 
 
h) 
 
 
 
 
Aula 2 
Aula de resolução dos exercícios da página 8 
 
Aula 3 
Aula de correção dos exercícios da página 8 
 
 
9 
Aula 4 
Funções de Duas ou Mais Variáveis 
Notação e terminologia 
 Nos estudos de cálculo feitos até hoje, trabalhamos sempre com funções de 
apenas uma variável real. Agora iremos rever tudo o que foi visto com funções com 
mais de uma variável. Este tipo de função aparece com mais freqüência na ciência 
que funções com uma única variável e seu cálculo é ainda mais extenso. Suas 
derivadas são mais variadas e mais interessantes por causa das diferentes 
maneiras como as variáveis podem interagir e suas integrais levam a uma variedade 
maior de aplicações. Os estudos de probabilidade, estatística, dinâmica dos fluidos 
e eletricidade, por exemplo, conduzem de uma maneira natural a funções de mais 
de uma variável. 
Há muitas fórmulas familiares que envolvem mais de uma variável, como por 
exemplo, a área A de um triângulo depende do comprimento da base b e da altura h 
pela fórmula 
 
 
, a temperatura T de um ponto na superfície da Terra depende 
de sua latitude x e longitude y, representada por . 
 
Definição 
 
 Uma função f de duas variáveis é uma regra que associa um único número 
real a cada ponto de algum conjunto D no plano xy. 
 
 
A terminologia e a notação para funções de duas ou mais variáveis são 
análogas àquelas para funções de uma variável. 
 
 
 
 
Domínio 
O domínio D é o conjunto de todos os pares ordenados (x,y) possíveis para a 
função que leva a resultados reais. 
Assim como acontece com o domínio de funções com uma variável, o domínio 
de funções com duas variáveis pode ser representado duas formas: 
Matematicamente através de uma expressão matemática ou graficamente através 
de um desenho. 
 
 
10 
Vamos agora lembrar o domínio de funções com uma variável: 
Exemplo: 
1) Determine o domínio da função abaixo e represente graficamente. 
 
 
 
Lembre-se de que não existe uma resposta real de raiz de um número 
negativo, portanto o valor de “x” não poderá ser negativo, o que significa que: 
 
 
 
 Desta forma, o domínio desta função será: 
 
 
 
 O que quer dizer que “x” pode assumir qualquer valor que seja maior ou igual 
a zero. 
 Agora podemos fazer uma representação gráfica deste domínio através da 
reta real. 
 
Figura 1: Representação 
do domínio de uma função 
de uma variável 
 
Da mesma forma podemos trabalhar com funções com duas variáveis com a 
diferença que agora o conjunto domínio é formado por pares de pontos e a 
representação gráfica é feita no plano real . 
 
2) Determine o domínio da função abaixo e esboce o gráfico do domínio: 
 
 
 
Para que tenhamos valores de reais, não é permitido que tenhamos no 
denominador da função um valor igual a zero e nem um número negativo dentro da 
raiz, portanto: 
 
 
 
 
Assim o domínio pode ser escrito: 
 
 
11 
 
 
 
 Para fazer a representação gráfica seguimos 2 passos: 
Passo 1 – Desenhar o gráfico utilizando a condição de domínio substituindo o sinal 
existente por igual. 
Passo 2 – Analisar a região do gráfico que representará o conjunto domínio. 
 
Se a condição é , vamos trocar o sinal de por e desenhar o 
gráfico: 
 
 
 
Figura 2: Desenho do domínio 
antes da análise 
 
Agora vamos analisar o gráfico e hachurar todos os pontos que pertencem 
ao conjunto domínio. Para fazer a análise vamos seguir uma regrinha prática: 
Vamos analisar o sinal da condição. Se for maior devemos hachurar tudo que 
está acima da linha do gráfico, se for igual vamos hachurar tudo que está sobre a 
linha do gráfico e se for menor devemos hachurar tudo que está abaixo da linha do 
gráfico. 
Assim, como o sinal é ( ), devemos hachurar tudo que está acima e 
sobre a linha do gráfico e teremos: 
 
Figura 3: Representação do 
domínio da função 
 
Concluímos que todos os pontos que estão na região hachurada pertencem ao 
domínio da função. 
 
 
12 
OBS.: Estamos trabalhando com a representação gráfica do domínio, portanto este 
não é o gráfico da função e sim o gráfico do domínio da função. 
3) Determine o domínio da função abaixo e esboce o gráfico do domínio: 
 
 
 
 
 
 
Neste caso a função é composta por dois termos e teremos problema de 
domínio nos dois termos. Devemos analisar separadamente cada termo sendo o 
conjunto domínio composto por todos os pontos que satisfazem as duas 
condições simultaneamente. 
Tudo que está dentro da raiz não pode ser negativo, portanto: 
 
 
 
 Não podemos ter zero no denominador da função, portanto: 
 
 
 
 O domínio será: 
 
 
 
Agora vamos desenhar o gráfico: 
Desenhando as duas condições considerando e , teremos: 
 
 
Figura 4: Desenho do domínio 
antes da análise 
 
Fazendo a análise, teremos: 
2 0 2
2
0
2
x
1
x
 
 
13 
 
Figura 5: Representação do 
domínio da função 
4) Determine o domínio da função abaixo e esboce o gráfico do domínio: 
 
 
 
 Neste exemplo novamente teremos duas condições a satisfazer: 
 
 
 
 
 Nestas condições o domínio será: 
 
 
 
 E a representação gráfica será: 
 
Figura 6: Representação do 
domínio da função 
 
 
Aula 5 
Exercícios 
1) Dada as funções, encontre o domínio e represente graficamente: 
a) 
 
 
 
 
 
14 
b) 
 
 
 
c) 
d) 
 
 
 
e) 
 
Aula 6 
 Aula de resolução dos exercícios da página 13 
 
Aula 7 
Gráficos de funções de duas variáveis 
 Existem duas maneiras principais de se representar uma função de duas 
variáveis em um plano cartesiano. A primeira e representar através de 
uma superfície, sendo esta muito difícil de desenhar sem a ajuda de um 
computador; a outra é o gráfico de curva de nível, sendo que em alguns casos é 
possível fazer o desenho à mão. 
Gráfico de superfície 
 Sendo , a superfície é criada obtendo-se uma malha de pontos 
contendo todos os valores (x,y) do domínio da função juntamente com os 
correspondentes valores de z. 
 
Exemplo: 
 
 
Figura 7: Exemplos de superfícies 
 
 
 
 
 
z
 
 
15 
Gráfico de curva de nível 
O gráfico de curva de nível cria um fatiamento da superfície, fixando 
certos valores de z juntamente com todos os valores (x,y) que levam a este 
determinado valor de z. 
 
 
Figura 8: Fatiamentoda superfície para a formação do gráfico de curvas de nível 
 
Estamos todos familiarizados com mapas topográficos nos quais uma 
paisagem tridimensional, tal como a extensão de uma montanha está representado 
por linhas de contorno bidimensionais ou curvas de elevação constante. Ao longo 
das linhas, a função assume um mesmo valor constante para a altura. 
Se a superfície for cortada pelo plano horizontal , então 
todos os pontos da interseção têm . A projeção desta interseção sobre o 
plano xy é denominada de curva de nível de altura k ou curva de nível com 
constante k. Um conjunto de curvas de nível para é chamado de um 
esboço de contornos ou mapa de contornos de . 
 
Exemplo: 
 
 
Superfície 
 
 
Mapa de contorno 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
16 
 
Superfície 
 
Mapa de contorno 
 
 
Superfície 
 
 
Mapa de contorno 
 
Figura 9: Exemplos de superfícies e seus respectivos mapas de contornos 
 
Para desenhar o gráfico de curvas de nível de uma função de duas variáveis 
é preciso fixar valores de z e encontrar todos os valores de x e y que levam a este 
resultado. 
Exemplo: 
1) Encontre o mapa de contornos para os níveis , e para a função: 
 
 
 
Primeiro temos que encontrar a equação de curva de nível para cada nível 
desejado. Para isso, basta igualar a função ao valor do nível desejado. Desta forma 
teremos: 
 
Para 
 
 
 
Para 
 
 
 
Para 
 
 
 
 
Estas são as equações de curva de nível para os três níveis. Observe que 
agora teremos uma função de apenas uma variável independente, o que facilita o 
desenho que será feito em duas dimensões. Portanto vamos desenhar o gráfico das 
 
 
17 
três funções em um único sistema cartesiano. Observe que estas são equações de 
circunferência, o que facilita o desenho do gráfico. Desta forma, teremos: 
 
Figura 10: Mapa de contornos 
 
2) Encontre o mapa de contornos para valores de z iguais a , e 
considerando a função . 
 
Vamos encontrar as equações de curva de nível de cada nível igualando a função 
ao respectivo z: 
 
Para 
 
 
Para 
 
 
Para 
 
 
Feito isso basta desenhar as três equações em um sistema de coordenadas. 
Estas são equações cujo desenho será uma elipse, desta forma: 
Para 
 
 
 
Para desenhar a elipse basta descobrir onde ela corta o eixo x e y. Para isso 
fazemos e como segue: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Agora basta desenhar uma elipse que passa por estes valores em x e y: 
 
Figura 11: Curva de nível para z = 1 
 
 
18 
 Desenhando as outras equações todas juntas, teremos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 12: Mapa de contornos de 
 
3) Desenhe o mapa de contornos para os níveis , e sendo a função 
 . 
 
Fazendo a função igual ao respectivo nível z, teremos: 
 
Para 
 
 
 
Para 
 
 
 
Para 
 
 
 
 
 Desenhando todas as funções em um mesmo gráfico teremos: 
 
Figura 13: Mapa de contornos de 
 
 
19 
Aula 8 
Exercícios 
 
1) Represente no plano xy as curvas de nível z = 0, z = 1 e z = 4 das funções 
indicadas: 
a) 
b) 
 
2) Represente no plano xy as curvas de nível z = -1, z = 1 e z = 3 das funções: 
a) 
b) 
c) 
 
3) Represente no plano xy as curvas de nível z = 0, z = 9 e z = -9 das funções: 
a) 
b) 
c) 
 
4) A temperatura no ponto de uma chapa é dada por . 
Determine a equação da isoterma que passa pelo ponto (1,3) e a represente no 
plano xy. 
 
5) A temperatura do ponto (x,y) de uma chapa de aço é dada por 
 . 
 
a) Determine o domínio de T(x,y) e a temperatura do ponto (2,4). 
b) Determine a equação da isoterma que contém o ponto (3,4) e a represente 
no plano xy. 
 
6) O potencial elétrico de uma região do plano xy é dado por 
 
 
. 
a) Qual o lugar geométrico cujo potencial é 30 V? 
b) Determine a curva equipotencial que passa pelo ponto (1,1). 
 
7) O potencial elétrico do ponto (x,y) é dado por 
 
 
 (V em volts). 
Determine e represente no plano xy as curvas equipotenciais para 2V e 4V. 
 
8) Associe cada curva de nível a sua respectiva superfície: 
 
 
 
20 
1 a 
 
2 
 
b 
 
3 
 
c 
 
4 
 
d 
 
5 
 
e 
 
 
 
21 
6 f 
 
Aula 9 
Aula de resolução dos exercícios da página 19 
 
Aula 10 
Limites e Continuidade 
 A definição do limite de uma função de duas ou três variáveis é similar à 
definição do limite de uma função de uma variável. Para resolvê-los procedemos da 
mesma forma já estudada anteriormente, com a diferença que agora temos mais 
variáveis envolvidas. 
Limite de uma função de duas variáveis 
 Se os valores de uma função real estão próximos de um número real 
L para todos os pontos suficientemente próximos do ponto , mas não 
iguais a , dizemos que L é o limite de f quando se aproxima de . 
 
 
 
 
 
Dizemos: O limite de f quando tende a é igual e L. Isso é 
parecido com o limite de uma função com uma variável, com a diferença de que há 
duas variáveis independentes envolvidas, em vez de uma, o que complica a questão 
de proximidade. Se é um ponto interior do domínio de , pode se 
aproximas de a partir de qualquer direção, enquanto no caso de uma 
variável só se aproxima de ao longo do eixo x. 
Propriedades dos limites 
Sendo L,M e k números reais e 
 
 
 
22 
1. Regra da soma: 
2. Regra da diferença: 
3. Regra do produto: 
4. Regra da multiplicação por constante: 
5. Regra do quociente: 
 
 
 
 
 
 
6. Regra da potência: Se m e n forem inteiros, então 
 
 
Exemplo 
1) 
 
 
 
 
 
 
 
2) 
 
3) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Aula 11 
Exercícios 
1) Encontre os limites abaixo: 
a) 
xy
xxy
yx



2
2,2,lim
 
b) 
yx
yxyx
yx
32
9124
lim
22
2,3,



 
c) 
xy
yxyxyx
yx



22
1,1,
3232
lim
 
d) 
2
4lim
2
2
1,2, x
y
yxy
x
yx



 
e) 
yx
yx
yx



2
4
lim
22
4,2,
 
f) 
yx
yx
yx



2
8
lim
33
2,1,
 
g) 
yx
xyxxyyx
yx



222
2,2,lim
 
 
 
23 
h) 
yxy
yxyxy
yx 

 2
4)(4
lim
2223,
2
1
,
 
i) 
xyx
yxxy
yx



322
1,5,
)(
lim
 
 
Aula 12 
Aula de resolução dos exercícios da página 22 
 
Aula 13 
 Aula de resolução do trabalho 01 em anexo. 
 
 
Aula 14 
 Aula de resolução do trabalho 01 em anexo. 
 
Aula 15 
 Revisão para prova. 
 
 
Aula 16 
Prova 01 
 
Aula 17 
Prova 01 
 
 
 
 
 
24 
Aula 18 
Derivadas Parciais 
 Quando fixamos todas as variáveis independentes de uma função, exceto 
uma, e derivamos em relação a essa variável, obtemos uma derivada parcial. Desta 
forma podemos derivar funções com qualquer quantidade de variáveis 
Derivadas parciais de uma função de duas variáveis 
 Quando derivamos a função em um ponto estamos encontrando a 
inclinação da reta tangente a este ponto . Esta é a definição geométrica das 
derivadas. 
 
Figura 14: Definição geométrica 
da derivada - Inclinação da reta 
tangente 
 Da mesma forma, a representação geométrica da derivada direcional 
também será uma inclinação de uma reta tangente a um determinado ponto. Porém 
agora, por se tratar de uma superfície, temos a reta tangente em duas direções: 
Em direção ao eixo x positivo ou em direção ao eixo y positivo. 
Portanto, se derivamos a função em relação a no ponto 
estamos encontrando a inclinação de uma reta tangente ao ponto na direção 
do eixo positivo e se derivamos a função em relação a no ponto 
 estamos encontrando a inclinação de uma reta tangente ao ponto na 
direção do eixo positivo. 
Se for um ponto no domínio da função , o plano vertical 
cortará a superfície na curva . 
 
 
25 
 
Figura 15: Superfície cortada pelo plano vertical 
 
Essa curva é o gráfico da função no plano . A coordenada 
horizontal nesse plano é x e a coordenada vertical é z. 
 
 
Figura 16: Função com a 
reta tangente ao ponto 
 
A derivada da função é a inclinação da reta tangente ao ponto 
 sobre a curva . 
 
Definição 
A derivada parcial de em relação a x no ponto ( é 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Desde que o limite exista 
 
 O símbolo (chamado Del), similar à letra graga minúscula usada na 
definição do limite, é apenas outro tipo de d, que diferencia as derivadas parciais 
de derivadas simples. 
 A definição de derivada parcial de em relação a y no ponto é 
similar à definição da derivada parcial de em relação a x. Mantemos x fixo no 
valor e tomamos a derivada de em relação a y em . 
 
 
 
26 
 
Figura 17: Superfície cortada pelo plano vertical e função com a reta tangente ao 
ponto 
 
O coeficiente angular da curva no ponto no plano vertical 
 é a derivada parcial de f em relação a y em . 
 
Definição 
A derivada parcial de em relação a y no ponto ( é 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Desde que o limite exista 
 
Notação de derivada parcial 
 A notação para uma derivada parcial depende do que queremos enfatizar: 
 
 
 
 ou 
 
“Derivada parcial de f em relação a x em ” ou “ em ”. Conveniente 
para enfatizar o ponto . 
 
 
 
 
 
 
 
“Derivada parcial de z em relação a x em ”. Comum em ciências e engenharia 
quando se lida com as variáveis e não se menciona uma função explicitamente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
“Derivada parcial de f (ou z) em relação a x”. Conveniente quando se considera a 
derivada parcial como uma função. 
 
 
27 
 
A derivada parcial em relação a y é denotada da mesma maneira que a 
derivada parcial em relação a x: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cálculo de derivadas parciais 
 As definições de e fornecem duas maneiras de derivar 
em um ponto: é a derivada de em relação a , tratando como uma 
constante e é a derivada de em relação a , tratando como 
constante. 
 Observe que a variável que é mostrada na notação sempre será a variável, o 
restante das variáveis serão tratadas como constante. 
Exemplo: 
Encontre os valores de e no ponto (4,-5) se 
 
Solução: 
Para encontrar , tratamos como uma constante e derivamos em 
relação a : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para encontrar , tratamos como uma constante e derivamos em relação a : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: 
 
Encontre e se 
 
 
28 
Solução: 
 
Tratando como uma constante e derivando em relação a , teremos: 
 
 
 
 
 
 
 
Tratando como uma constante e derivando em relação a , teremos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Aula 19 
Derivada parcial vistas como taxa de variação 
 Como já sabemos, uma derivada pode ser entendida como uma taxa de 
variação. Assim (derivada de em relação a ) é a taxa de variação de em 
relação a . 
De maneira análoga, as derivadas parciais podem ser entendidas como taxas 
de variação. Sendo assim, é a taxa de variação de em relação a . Indica o 
comportamento da variação da função quando está variando e é mantido 
constante e é a taxa de variação de em relação a , ou seja, como está 
variando quando alteramos mantendo cosntante. 
Exemplo: 
A sensação térmica em um dado local é função da temperatura T e da 
velocidade do vento v e é dado pela fórmula: 
 
No momento em que a temperatura é 25°F e a velocidade do vento é de 10 
milhas/h, se a velocidade do vento aumentar em uma unidade, qual será o 
comportamento da sensação térmica? 
Solução: 
 Se quisermos saber como a sensação térmica está se alterando em função 
da velocidade do vento, devemos calcular a derivada parcial de w em relação a v, 
mantendo T fixo. Sendo assim, teremos: 
 
 
 
 
 
Substituindo T = 25 e v = 10 teremos: 
 
 
 
29 
 
 
 
 
 
 
 
Concluímos que, se a temperatura (25°F) se mantiver constante e a 
velocidade do vento se alterar a partir de uma velocidade inicial (10 milhas/h), 
então a razão da variação do índice de sensação térmica pela variação da 
velocidade do vento deveria ser de aproximadamente 
 
 
. O sinal 
negativo significa que se o vento aumentar em uma unidade, o índice de sensação 
térmica diminuirá, ou seja, é inversamente proporcional. 
 
Exercícios 
1) Seja . 
a) Determine a inclinação da reta tangente ao ponto na direção do eixo . 
b) Determine a inclinação da reta tangente ao ponto na direção do eixo . 
 
2) Seja . 
a) Determine a inclinação da reta que tangencia o ponto na superfície 
 na direção do eixo . 
b) Determine a inclinação da reta que tangencia o ponto na superfície 
 na direção do eixo . 
 
3) Seja . 
a) Determine a taxa de variaçãode em relação a no momento em que temos 
 com fixado. 
b) Determine a taxa de variação de em relação a no momento em que temos 
 com fixado. 
 
4) Determine e . 
a) 
 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
 
 
f) 
 
 
 
 
5) Determine e . 
a) 
b) 
 
 
 
c) 
 
 
30 
d) 
 
6) Calcule as derivadas parciais indicadas. 
a) 
b) 
c) 
d) 
 
 
 
 
 
 
 
7) O volume de um cilindro circular reto é dado pela fórmula onde r é o 
raio e h é a altura. 
a) Determine a fórmula para a taxa de variação instantânea de V em relação a 
r se r variar e h permanecer constante. 
b) Determine uma fórmula para taxa de variação instantânea de V em relação a 
h se h variar e r permanecer constante. 
c) Suponha que h tenha um valor constante de 5 cm, mas que r varie. 
Determine a taxa de variação de V em relação a r com um r inicial de 2 cm. 
d) Suponha que r tenha m valor constante de 6 cm, mas que h varie. Determine 
a taxa de variação instantânea de V em relação a h no ponto onde h = 10 cm. 
 
8) De acordo com a lei dos gases ideais, a pressão, a temperatura e o volume de 
um gás estão relacionados por , onde k é uma constante de 
proporcionalidade. Suponha que V seja medido em polegadas cúbicas (pol3), T 
seja medido em Kelvins (K), e que para um certo gás a constante de 
proporcionalidade seja k = 10 pol.lb/K. 
a) Determine a taxa de variação instantânea pressão em relação à 
temperatura se a temperatura for 80 K e o volume permanecer constante 
em 50 pol3. 
b) Determine a taxa de variação da pressão em relação ao volume se o volume 
for 50 pol3 e a temperatura permanecer constante em 80 K. 
 
9) A temperatura em um ponto sobre uma placa de metal no plano xy é 
 °C. Suponha que a distância seja medida em centímetros 
(cm). Determine a taxa na qual a temperatura varia com a distância se 
iniciarmos no ponto (1,2) e movemos: 
a) Para a direita e paralelamente ao eixo x. 
b) Para cima e paralelamente ao eixo y. 
 
 
 
 
 
31 
Aula 20 
Aula de resolução dos exercícios da página 22 
 
Aula 21 
Derivadas parciais de funções com mais de duas variáveis 
 Para uma função f(x,y,z) de três variáveis, há três derivadas parciais: 
 
 
 
A derivada parcial é calculada mantendo y e z constantes e derivando em 
relação a x. Para as variáveis x e z mantêm-se cosntantes, e para as variáveis 
x e y são mantidas constantes. Se uma variável dependente de for 
usada, então as três derivadas parciais de f podem ser denotadas por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: 
Se , então: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Em geral, se for uma função de n variáveis, há n derivadas 
parciais de , cada uma das quais foi obtida fixando variáveis e derivando a 
função em relaçãoà variável não fixada. Estas derivadas parciais são denotadas: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Derivadas parciais de ordens superiores 
 Suponha que f seja uma função de duas variáveis x e y. Como as derivadas 
parciais e também são funções de x e y, essas funções podem elas 
 
 
32 
mesmas ter derivadas parciais. Isso origina quatro possíveis derivadas de segunda 
ordem de f, que são definidas por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Derivando duas vezes em relação a x 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Derivando duas vezes em relação a y 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Derivando primeiro em relação a x e, então, em relação 
a y 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Derivando primeiro em relação a y e, então, em relação 
a x 
Os dois últimos casos são denominados derivadas parciais de segunda ordem 
mistas. Observe que as duas notações para parciais de segunda ordem mistas têm 
convenção oposta quanto a ordem de diferenciação. Na notação , as derivadas são 
feitas da direita para esquerda e, na notação subscrito, elas são tomadas da 
esquerda para direita. 
As derivadas parciais de terceira ordem, de quarta ordem e de ordens 
superiores podem ser obtidas derivando sucessivamente. 
Exemplo: 
Determine as derivadas parciais de segunda ordem de . 
Solução: 
Temos 
 
 
 
 
 
 
 
 
E assim teremos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
33 
Igualdade de mistas 
 Poderíamos esperar que uma função tivesse quatro derivadas parciais 
de segunda ordem distintas: . Contudo, observe que as derivadas 
parciais de segunda ordem mistas do exemplo acima são iguais. O teorema a seguir, 
explica o motivo dessa igualdade: 
 
Teorema 
Seja uma função de duas variáveis. Se e forem contínuas em algum intervalo 
aberto, então neste intervalo 
 
 Este fato pode facilitar bastante em alguns casos, podendo ser usado em 
nosso favor. 
Exemplo: 
Encontre a derivada de segunda ordem mista sendo 
 
 
 
 
Solução: 
Calculando , teríamos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como , podemos fazer 
 
 
 
Chegando ao mesmo resultado, porem de maneira mais fácil e prática. 
 
 
 
 
34 
Aula 22 
Exercícios 
1) Confirme que as derivadas parciais de segunda ordem mistas de f são iguais 
fazendo e . 
a. 
b. 
c. 
d. 
 
 
e. 
f. 
g. 
h. 
2) Determine as derivadas parciais de segunda ordem: 
a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
 
 
Aula 23 
Aula de resolução dos exercícios da página 34 
 
Aula 24 
 Aula de resolução do trabalho 02 em anexo. 
 
Aula 25 
 Aula de resolução do trabalho 02 em anexo. 
Aula 26 
 Revisão para prova. 
 
 
35 
 
Aula 27 
Prova 02 
 
Aula 28 
Prova 02 
 
Aula 29 
Derivadas direcionais e gradientes de funções com duas 
variáveis 
Derivadas direcionais 
 Vimos que a derivada parcial de uma função calcula a taxa de variação 
instantânea dessa função em relação a apenas uma variável, mantendo o restante 
constante. As derivadas direcionais nos permitem calcular taxas de variação de 
uma função em relação a todas as variáveis ao mesmo tempo, ou seja, podemos 
saber o comportamento da função se variarmos todas as variáveis ao mesmo tempo. 
Em outras palavras, com as derivadas parciais poderíamos encontrar a inclinaçãode 
uma reta tangente ao ponto apenas nas direções paralelas aos eixos. Agora 
poderemos calcular esta inclinação em qualquer direção. 
Exemplo: 
Imagine uma chapa de aço que é aquecida a partir de seu centro, sendo este 
aquecimento dado pela equação sendo T em °C e x e y em 
cm. Uma formiga está sobre esta chapa no ponto . Calcule: 
a) Se a formiga decidir caminhar na direção positiva de , qual será a taxa de 
variação da temperatura em relação à distância. A temperatura estará 
aumentando ou diminuindo? 
b) Se a formiga decidir caminhar na direção positiva de , qual será a taxa de 
variação da temperatura em relação à distância. A temperatura estará 
aumentando ou diminuindo? 
 
 
36 
c) Se a formiga decidir caminhar em uma direção dada pelo vetor , 
qual será a taxa de variação da temperatura em relação à distância. A 
temperatura estará aumentando ou diminuindo? 
Solução: 
Para responder a e b, já sabemos que a derivada parcial de uma função em 
relação a nos dá a taxa de variação da função na direção de e a taxa de 
variação da função na direção de é dada pela derivada parcial da função em 
relação a . Com isso: 
 
a) 
 
Figura 18: Variação da 
temperatura em relação a x 
 
 
 
 
 
 ou seja, a temperatura irá diminuir a uma taxa de 
 
b) 
 
Figura 19: Variação da 
temperatura em relação a y 
 
 
 
 
 
ou seja, a temperatura irá diminuir a uma taxa de 
 
Para responder a letra c, primeiro precisamos aprender como derivar a 
função em uma direção que seja outra qualquer diferente das direções de e . A 
este tipo de derivada damos o nome de derivada direcional. 
 
 
37 
 
Cálculo de derivadas direcionais 
 Suponha que queiramos calcular a taxa de variação instantânea de uma 
função em relação à distância num certo ponto em alguma direção. 
Como há uma infinidade de direções nas quais um ponto pode se mover no plano 
 , precisamos de algum método para descrever uma direção específica 
começando em . Uma maneira de fazer isso é usar um vetor unitário 
 
 
 
que tenha ponto inicial em e aponte na direção desejada. 
 
 
 Este vetor determina uma reta no plano que pode ser expressa 
parametricamente como: 
 
 
onde é o parâmetro comprimento de arco que tem seu ponto de referência em 
 e tem valores positivos na direção e sentido de . A variável 
 é uma função do parâmetro na reta . Então o 
valor da derivada em dá a taxa de variação instantânea de em 
relação à distância de na direção e sentido de u. 
 
Definição 
Se for uma função de x e y e se for um vetor unitário, então a 
derivada direcional de f na direção e sentido de em é denotada por 
 e definida por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Geometricamente, pode ser interpretada como a inclinação da 
superfície na direção de no ponto . Em geral, o valor 
de dependerá tanto do ponto quanto da direção e sentido do 
vetor . Assim, num ponto fixado da superfície, a inclinação dessa superfície varia 
com a direção e o sentido. Analiticamente, a derivada direcional representa a taxa 
 
 
38 
de variação instantânea de em relação à distância na direção e 
sentido de no ponto 
Exemplo: 
1) Calcule a derivada direcional de em na direção de no ponto 
 sendo a função e a direção 
 
 
 
 
 
 . 
 
Solução: 
Primeiramente temos que calcular as paramétricas a partir da direção. 
Lembrando que a direção deve ser representada por um vetor unitário. Desta 
forma, teremos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Agora vamos calcular a função do parâmetro na reta . Para isso, vamos 
substituir as paramétricas na função que queremos derivar: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Aplicando a distributiva, teremos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para termos basta derivar a função do parâmetro em relação a s 
com , ou seja: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
39 
 
 
 
 
 
 
2) Calcule a derivada da função no ponto na direção do 
vetor . 
Solução: 
Observe que o vetor direção agora não é unitário. Portanto, vamos primeiro 
calcular o versor de : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Agora que temos o vetor unitário, vamos calcular as paramétricas: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Assim, teremos a função: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Derivando em relação a s, teremos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A derivada direcional será: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
40 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
As derivadas direcionais de uma função que é diferenciável em um ponto, 
existem em qualquer direção e sentido neste ponto e podem ser calculadas 
diretamente em termos das derivadas parciais de primeira ordem da função. 
 
Teorema 
a) Se for diferenciável em e se for um vetor 
unitário, então a derivada direcional de existe e é dada por: 
 
 
 
b) Se for diferenciável em e se for um 
vetor unitário, então a derivada direcional de existe e é dada 
por: 
 
 
 
Exemplo: 
1) Dada a função , encontre , onde 
 
 
 
 
 
 
Solução: 
Através da equação temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Portanto: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: 
2) Obtenha a derivada direcional de no ponto (1, -2, 0) 
na direção e sentido do vetor . 
Solução: 
As derivadas direcionais de f são: 
 
 
41 
 
 
 
 
 
 
Como a não é um vetor unitário, normalizamos a e encontramos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Então, obtemos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Aula 30 
Gradiente 
 O gradiente é um vetor muito importante relacionado com derivadas 
direcionais, cálculo de máximos e mínimos, entre outras aplicações. Veremos que 
ele tem algumas propriedades muito importantes e úteis. 
 
Definição:a) Se f for uma função de x e y, então o gradiente de f é definido por: 
 
 
b) Se f for uma função de x, y e z, então o gradiente de f é definido por: 
 
 
 
O símbolo é um delta invertido. (Esse símbolo costuma ser lido como Del 
ou nabla) 
A derivada direcional de na direção em é o produto escalar de com 
o gradiente de em . 
Teorema: 
Se for diferenciável em , então: 
 
 
 
 
 
O produto escalar do gradiente de f em P0 e u 
 
 
 
42 
Neste caso, a derivada direcional é dada em termos de um produto escalar 
do vetor direção com um novo vetor construído a partir das derivadas parciais de 
 . 
Com essa notação, o exemplo 2 ficaria na forma: 
Exemplo: 
2) Obtenha a derivada direcional de no ponto (1, -2, 0) 
na direção e sentido do vetor . 
Solução: 
O gradiente será: 
 
 
 
Como a não é um vetor unitário, normalizamos a e encontramos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Então, obtemos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Agora já temos condições de fazer a letra c daquele primeiro exemplo dado. 
Exemplo 
1) Imagine uma chapa de aço que é aquecida a partir de seu centro, sendo este 
aquecimento dado pela equação sendo T em °C e x e 
y em cm. Uma formiga está sobre esta chapa no ponto . Calcule: 
a) Se a formiga decidir caminhar na direção positiva de , qual será a taxa de 
variação da temperatura em relação à distância. A temperatura estará 
aumentando ou diminuindo? 
b) Se a formiga decidir caminhar na direção positiva de , qual será a taxa de 
variação da temperatura em relação à distância. A temperatura estará 
aumentando ou diminuindo? 
c) Se a formiga decidir caminhar em uma direção dada pelo vetor , 
qual será a taxa de variação da temperatura em relação à distância. A 
temperatura estará aumentando ou diminuindo? 
 
Solução 
 
A letra a e b já foram feitas, vamos fazer agora a letra c 
 
 
43 
 
Na letra c a formiga deseja caminhar um uma direção dada pelo vetor 
 . Vamos primeiro calcular o versor do vetor d, isto é, o vetor unitário da 
direção: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Agora que temos a direção como um vetor unitário vamos calcular o gradiente da 
função: 
 
 
 
 
 
Agora resta apenas calcular a derivada direcional: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Com isso, concluímos que se a formiga caminhar nesta direção a 
temperatura irá começar a diminuir a uma taxa de . 
 
Propriedades do gradiente 
 O gradiente não é meramente um dispositivo notacional para simplificar a 
fórmula para a derivada direcional. Veremos que o comprimento e a direção do 
gradiente fornecem informação importante sobre a função f e a superfície 
 . 
Se considerarmos a multiplicação escalar do gradiente pela direção em 
termos do cosseno, teremos: 
 
 
Onde o ângulo é o ângulo entre e . 
Podemos fazer as seguintes considerações: 
 
 Se 
Esta equação tem valor máximo crescente de quando , ou 
seja, a direção de é a mesma de , e este valor é , visto que 
 
 
44 
 . Geometricamente, isso significa que a superfície tem sua 
inclinação máxima em um ponto (x,y) na direção do gradiente. 
 
Analogamente, a equação tem valor máximo decrescente de 
quando , ou seja, a direção oposta a , e este valor é , visto que 
 . Geometricamente, isso significa que a superfície tem sua 
inclinação decrescente máxima em um ponto (x,y) no sentido oposto ao gradiente. 
 
 
 
Finalmente, no caso das direções ortogonais ao gradiente, isto é, nas 
direções que formam um ângulo de com o gradiente, o valor de é 
zero, uma vez que 
 
 
 e 
 
 
 . 
 
Se 
A derivada direcional em qualquer direção será zero. Geometricamente, isso 
significa que este ponto é um ponto de máximo ou mínimo relativo ou um ponto de 
sela. 
Teorema 
Seja f uma função de duas ou três variáveis e denotemos por P o ponto ou 
 , respectivamente. Suponha que f seja diferenciável em P. 
a) Se em P, então todas as derivadas direcionais em P são nulas. 
b) Se em P, então dentre todas as possíveis derivadas direcionais de f 
em P, a derivada em P na direção e sentido de tem o maior valor 
crescente. O valor dessa derivada direcional máxima crescente é . 
c) Se em P, então dentre todas as possíveis derivadas direcionais de f 
em P, a derivada em P na direção e sentido oposto de tem o maior valor 
decrescente. O valor dessa derivada direcional máxima decrescente é 
 . 
 
Exemplo: 
Seja . Determine o valor máximo de uma derivada direcional em 
 , e determine o vetor unitário na direção e sentido do qual o valor máximo 
ocorre. 
 
 
45 
Solução: 
Ima vez que: 
 
 
 
O gradiente de f em (-2,0) é: 
 
 
Pelo teorema, o valor máximo da derivada direcional é: 
 
 
Esse máximo ocorre na direção de . O vetor unitário desta direção é: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Os gradientes são normais à curva de nível 
 Vimos que o gradiente aponta na direção e sentido em que a função cresce 
mais rapidamente. Vejamos agora, como essa direção e sentido da taxa de 
crescimento máximo podem ser determinados a partir do mapa de contornos de 
uma função de duas variáveis. 
Já sabemos que cada curva de nível em um mapa de contornos nos dá um nível em 
que a função tem valor constante, ou seja, pensando em termos de taxa 
de variação, a variação de z é nula. Sabemos também que o gradiente aponta 
sempre na direção e sentido da maior derivada de crescimento, ou a maior taxa de 
variação crescente. Com isso, podemos concluir que o gradiente será sempre 
ortogonal à curva de nível. A prova deste conceito pode ser encontrada no livro 
texto. Podemos observar este fato melhor através de um exemplo: 
Exemplo: 
Considere , desenhe o mapa de contornos da função quando 
z = 1, z = 5 e z = 7. Encontre a direção de variação máxima de crescimento da 
função nos pontos (1,1), (2,3) e (-2,1) e desenhe no mapa de contornos. 
Solução: 
Encontrando as equações de curva de nível, teremos: 
 
 
 
 
 
 
Desenhando o mapa de contornos temos: 
 
 
46 
 
Para encontrar a direção de máximo crescimento faremos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Desenhando os vetores teremos: 
 
 
 
Aula 31 
Exercícios: 
1) Encontre em P. 
a. ; ; 
 
 
 
 
 
 
b. ; ; 
 
 
 
 
 
 
c.; ; 
 
 
 
 
 
 
d. ; ; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
e. ; ; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Encontre a derivada direcional de f em P na direção de a. 
a. ; ; 
 
 
47 
b. ; ; 
c. ; ; 
d. ; 
 
 
 ; 
e. 
 
 
 ; ; 
3) Encontre o gradiente de f no ponto indicado. 
a. 
b. 
c. 
d. 
4) Encontre um vetor unitário na direção do qual f cresce mais rapidamente em 
P e obtenha a taxa de variação de f em P nessa direção: 
a. 
b. 
c. 
d. 
 
 
 
e. 
5) A temperatura em °C em um ponto (x,y) de uma placa de metal no plano xy 
é: 
 
 
 
 
a. Encontre a taxa de variação da temperatura em (1,1) na direção e 
sentido de . 
b. Uma formiga em (1,1) precisa andar na direção na qual a temperatura 
baixe mais rapidamente. Encontre um vetor unitário nessa direção. 
6) Numa certa montanha, a elevação z acima de um ponto (x,y), num plano xy ao 
nível do mar, é de , onde x, y e z são dados em 
metros. O eixo x positivo aponta para o Leste e o eixo y positivo para o 
Norte. Um montanhista está no ponto (-20,5,1991). 
a. Se o montanhista utilizar uma bússola para caminhar em direção ao 
Oeste, ele estará começando a subir ou descer? 
b. Se o montanhista utilizar uma bússola para caminhar em direção ao 
Nordeste, ele estará subindo ou descendo? A que taxa? 
c. Em qual direção da bússola o montanhista deveria começar a 
caminhar para percorrer uma curva de nível, isto é, não subir nem 
descer (duas respostas)? 
7) A temperatura em °C em um ponto (x,y,z) de um sólido metálico é: 
 
 
 
 
a. Encontre a taxa de variação da temperatura em relação à distância 
em (1,1,1) na direção da origem. 
 
 
48 
b. Encontre a direção na qual a temperatura eleva-se mais rapidamente 
no ponto (1,1,1). (Expresse a sua resposta como um vetor unitário.) 
c. Encontre a taxa na qual a temperatura eleva-se movendo-se de (1,1,1) 
na direção encontrada em b) . 
 
 
Aula 32 
Máximos e Mínimos de funções de duas variáveis 
Extremos 
Se imaginarmos o gráfico de uma função f de duas variáveis como sendo uma 
cadeia de montanhas, então os cumes, que são os pontos altos de suas vizinhanças 
imediatas, são chamados de máximos relativos de f e as bases dos valores, que são 
os pontos baixos de suas vizinhanças imediatas, são chamados de mínimos relativos 
de f. 
 
Assim como um geólogo pode estar interessado em determinar a montanha 
mais alta e o vale mais profundo em toda uma cadeia de montanhas, também um 
matemático pode estar interessado em determinar o maior e o menor valor de 
f(x,y) sobre um domínio inteiro de f. Esses são chamados de valores máximos 
absolutos e mínimos absolutos de f. 
Definição: 
Diz-se que uma função de duas variáveis tem um máximo relativo em um ponto 
(x0,y0) se há um circulo centrado em (x0,y0), de modo que para 
todos os pontos (x,y) do domínio de f que estão dentro do círculo, e diz-se que f 
tem um máximo absoluto em (x0,y0) se para todos os pontos (x,y) 
do domínio de f. 
 
 
 
49 
Definição: 
Diz-se que uma função de duas variáveis tem um mínimo relativo em um ponto 
(x0,y0) se há um circulo centrado em (x0,y0), de modo que para 
todos os pontos (x,y) do domínio de f que estão dentro do círculo, e diz-se que f 
tem um mínimo absoluto em (x0,y0) se para todos os pontos (x,y) 
do domínio de f. 
 
 Se f tiver um máximo ou mínimo relativo em (x0,y0), dizemos que f tem um 
extremo relativo em (x0,y0), e se f tiver um máximo ou mínimo absoluto em (x0,y0), 
dizemos que f tem um extremo absoluto em (x0,y0). 
 A figura abaixo mostra o gráfico de uma função f cujo domínio é a região 
quadrada fechada no plano xy dos pontos que satisfazem as desigualdades 
 . A função f tem mínimo relativo no ponto C e um máximo 
relativo em B. Há um mínimo absoluto em A e um máximo absoluto em D. 
 
Conjuntos limitados 
 Assim como distinguimos entre intervalos finitos e infinitos da reta real, 
vamos querer distinguir entre regiões de “extensão finita” e regiões de “extensão 
infinita” no espaço bi ou tridimensional. Um conjunto no espaço bidimensional é 
denominado limitado se o conjunto inteiro couber dentro de algum retângulo, e é 
denominado ilimitado se não houver retângulo que contenha todos os pontos do 
conjunto. Analogamente, um conjunto de pontos no espaço tridimensional é 
limitado se o conjunto couber dentro de uma caixa e é ilimitado, caso contrário. 
 
 
 
 
 
 
Conjunto limitado no 
espaço bidimensional 
Conjunto ilimitado no 
espaço bidimensional 
Conjunto limitado no 
espaço 
tridimensional 
 
 
50 
Teorema do valor extremo 
Definição: 
(Teorema do valor extremo): Se for contínua em um conjunto fechado e 
limitado R, então f tem ambos máximo e mínimo absolutos em R 
 
Encontrando extremos relativos 
 Lembre-se que se uma função g de uma variável tiver um extremo relativo 
em um ponto x0 onde g é diferenciável, então . Para obter o análogo deste 
resultado para funções de duas variáveis, suponha que tenha um máximo 
relativo em e que as derivadas parciais de f existam em . Parece 
plausível, geometricamente, que os traços da superfície sobre planos 
 e tenham retas tangentes horizontais em , logo: 
 
 
 A mesma conclusão é válida se f tiver um mínimo 
relativo em e isso tudo sugere o seguinte 
resultado: 
 
 
Teorema: 
(Teorema do valor relativo): Se f tiver um extremo relativo em um ponto 
e se as derivadas parciais de primeira ordem de f existem nesse ponto, então: 
 
 
Definição: 
Um ponto no domínio de uma função é denominado ponto crítico da 
função se ou se uma ou ambas derivadas parciais 
não existirem em 
 
 Uma função de duas variáveis não precisa ter um extremo relativo em cada 
ponto crítico. Por exemplo, considere a função . Essa função. Cujo 
gráfico é o parabolóide hiperbólico mostrado, tem um ponto crítico em (0,0), pois: 
 
 
Entretanto, a função f não tem um máximo nem um 
mínimo relativo em (0,0). Por razões óbvias, o ponto (0,0) é 
chamado de ponto de sela em . 
 
 
 
51 
Teste da derivada segunda 
Teorema: 
(Teste da derivada segunda) Seja f uma função de duas variáveis com derivadas 
parciais de segunda ordem contínuas em algum círculo centrado em um ponto 
crítico e seja 
 
 
a) Se , então f tem um mínimo relativo em . 
b) Se , então f tem um máximo relativo em . 
c) Se , então f tem um ponto de sela em . 
d) Se , então nenhuma conclusão pode ser tirada. 
 
Exemplo: 
1) Localize todos os extremos relativos e pontos de sela de: 
 
Solução: 
Como e , os pontos críticos de f 
satisfazem as equações: 
 
 
 
 
Resolvendo-as para x e y, obtemosx = 2 e y = 6, logo (2,6) é o único ponto 
crítico. Para aplicar o teorema, precisamos das derivadas de segunda ordem: 
 
 
 
 
 
No ponto temos: 
 
 
 
 
Logo f tem um mínimo relativo em (2,6) pela parte a) do teste da derivada 
segunda. 
 
2) Localize todos os extremos relativos e os pontos de sela de 
 
Solução: 
Como: 
 
 
 
52 
 
 
 
 
 
Os pontos críticos de f têm coordenadas que satisfazem as equações: 
 
 
 
 
Substituindo as equações e resolvendo x temos: 
 
 
 
sendo assim 
 
 
 
 
 
 
 , e 
 
Portanto, os pontos críticos são: 
 
 
Calculando a derivada segunda temos: 
 
 
 
 
E obtemos a tabela a seguir: 
PONTO CRÍTICO 
 
 
 
 0 0 4 -16 
 -12 -12 4 128 
 -12 -12 4 128 
 
Nos pontos (1,1) e (-1,-1), temos D > 0 e fxx < 0, logo ocorrem máximos relativos 
nesses pontos críticos. Em (0,0), há um ponto de sela, já que D < 0. 
 
Aula 33 
Exercícios: 
1) Localize todos os máximos e mínimos relativos e os pontos de sela se 
houver. 
 
 
53 
a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
 
 
 
f. 
g. 
h. 
 
 
 
 
 
 
i. 
j. 
 
 
Aula 34 
 Resolução dos exercícios da página 52. 
 
Aula 35 
Encontrando extremos absolutos em conjuntos fechados e 
limitados 
 Se for contínua num conjunto fechado e limitado R, então o Teorema 
do Valor Extremo garante a existência de uma máximo e um mínimo absoluto de f 
em R. Esses extremos absolutos podem ocorrer no interior ou na fronteira de R, 
mas se um extremo absoluto ocorre no interior de R então ele ocorre em um ponto 
crítico. 
Como encontrar os extremos absolutos de uma função contínua de duas 
variáveis em um conjunto fechado limitado R. 
Passo 1 : Encontre os pontos críticos de f que estão situados no interior de R. 
Passo 2 : Encontre todos os pontos de fronteira nos quais os extremos podem 
ocorrer. 
Passo 3 : Calcule nos pontos obtidos nos passos precedentes. O maior 
desses valores é o máximo absoluto e o menor é o mínimo absoluto. 
 
Exemplo: 
1) Encontre os valores máximo e mínimo absoluto de 
 na região triangular fechada R de vértices (0,0), (3,0) e (0,5). 
 
 
54 
Solução: 
Primeiramente iremos procurar pelos pontos críticos, possíveis extremos 
absolutos que se encontram no interior da região. Para isto basta fazer as 
derivadas parciais iguais a zero: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Logo, todos os pontos críticos ocorrem onde 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Teremos então e , logo é o único ponto crítico no interior da 
região R. 
Em seguida, queremos determinar as localizações dos pontos sobre a 
fronteira da região R nos quais pode ocorrer um valor extremo. A fronteira de R 
consiste em três segmentos de retas, cada um dos quais tratados separadamente: 
 
 O segmento de reta entre e : Nesse segmento de reta temos que 
todos os valores de , logo podemos simplificar a função para uma 
função de uma única variável substituindo por zero na função . 
 
 
 
Esta é a função que descreve a fronteira - . Vamos agora procurar 
por possíveis pontos extremos sobre esta fronteira. Para isso, faremos a derivada 
igual a zero. 
 
 
 
 
 
 
 
55 
Essa fronteira não tem um ponto crítico, pois 
 
 
 e não pode ser 
igualada a zero. Assim, os valores extremos ocorrem apenas nos pontos que 
correspondem aos extremos da fronteira, ou seja, (0,0) e (3,0). 
 
 O segmento de reta entre e : Nesse segmento de reta temos 
todos os valores de , logo podemos simplificar a função para uma 
função de uma única variável substituindo os por zero. Assim, teremos: 
 
 
 
Esta é a função que descreve a fronteira - . Vamos agora procurar 
por possíveis pontos extremos sobre esta fronteira. Para isso, faremos a derivada 
igual a zero. 
 
 
 
 
 
Essa fronteira também não tem um ponto crítico, pois 
 
 
 e não 
pode ser igualada a zero. Assim, os valores extremos ocorrem apenas nos pontos 
que correspondem aos extremos da fronteira, ou seja, e . 
 
 O segmento de reta entre e : No plano , esta fronteira pode ser 
representada a partir de uma função do primeiro grau. Utilizando os 
conceitos de equações de primeiro grau teremos a função: 
 
 
 
 
 
 
Esta função representa a fronteira - . Logo, podemos simplificar a 
função para uma função de uma única variável , bastando para isto 
substituir o valor de y pela função da fronteira, em outras palavras, substituir a 
equação da fronteira em . Assim, teremos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Vamos agora procurar por possíveis pontos extremos sobre esta fronteira. 
Para isso, faremos a derivada igual a zero. 
 
 
56 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Neste caso, esta fronteira terá pontos críticos. Para 
 
 
, o valor de 
será: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Logo, o ponto 
 
 
 
 
 
 é um possível extremo que se encontra sobre a fronteira 
 - . Além deste ponto encontrado temos que considerar também os vértices 
 e da fronteira como possíveis 
 
Assim, podemos construir uma tabela com todos os pontos críticos e seus 
respectivos valores . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Analisando os valores de para os pontos encontrados concluímos o 
valor máximo absoluto de é e o valor mínimo absoluto é , 
ou seja, o máximo absoluto é o ponto e o mínimo absoluto é o ponto . 
 
Aula 36 
Exercícios: 
1) Encontre os extremos absolutos da função dada no conjunto fechado e 
limitado R indicado. 
a. ; R e a região triangular com vértices (0,0), (0,4) 
e (5,0). 
 
 
57 
b. ; R é a região triangular com vértices (0,0), (0,4) e 
(4,0). 
c. ; R é a região quadrada com vértices 
(0,0), (0,2), (2,2) e (2,0) 
d. ; R é a região retangular com vértices (0,0), 
(0,1), (2,1) e (2,0). 
e. ; R é a região circular . 
f. ; R é a região que satisfaz as desigualdades 
 
2) Determine três números positivos cuja soma seja 48 e tais que seu produto 
seja maior possível. 
3) Determine três números positivos cuja soma seja 27 e tais que seu produto 
seja o