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1/5 PRÓ-REITORIA ACADÊMICA NÚCLEO BÁSICO DE ENGENHARIA 1ª LISTA DE EXERCÍCIOS DE ÁLGEBRA LINEAR 1. Sejam as matrizes: 1 1 2 3 2 0 1 , , 2 2 1 2 1 1 3 0 1 4 A B C e D Se possível, determine: a) A+B; b)A·C; c)B·C; d)C·D; e)D·A; f)D·B; g)─3A+2B; 2. Verifique se as afirmativas abaixo são verdadeiras ou falsas. Quando uma afirmativa for falsa, tente consertá-la para que se torne verdadeira. a) (-A)t = - (At) b) (A + B)t = Bt + At c) (-A)(-B)= -(AB) 3. Seja 22 2 1 0 x A x , calcule o valor de x para que A = A T . 4. Uma matriz quadrada é A é simétrica se A=AT. Assim se a matriz 234 10 212 zx y A é simétrica, calcular x+y+z. 5. Se B é uma matriz simétrica, mostre que B – BT é uma matriz nula. 6. Se A é uma matriz quadrada, então A2 = A·A. Assumindo que esta sentença é verdadeira, calcule 22 1 3 2 . 7. Se 3 2 4 3 A , ache uma matriz B de modo que B² = A. 8. Sejam as matrizes A, B e C: 3 7 9 5 6 4 7 1 1 0 4 3 4 5 3 4 3 0 3 4 2 4 4 1 5 2 8 A B C a) Use a Regra de Sarrus para calcular os determinantes de A, B e C; b) Agora use a Regra de Laplace para calcular os determinantes de A, B e C. 2/5 9. Encontre o determinante de cada matriz a) 0140 3121 5340 2132 b) 1402 1643 4121 3000 10. Seja a matriz 3 5 2 7 1 3 4 8 6 x x A , calcule o valor de x para que a seguinte expressão seja verdadeira: det 240A . 11. Sejam as matrizes: 2 0 1 1 0 1 1 0 0 1 3 4 0 0 3 2 1 0 2 5 2 A B C . Calcule: a) AxB b) B T c) B+B T 12. Sabe-se que e que o valor do determinante da matriz [ ] é igual a 15. Determine o valor de x e y. 13. Resolva a seguinte equação: -2 -4 3 2 1 5 6det det 1 0 2 -8 x + = det 0 2 4 3 1 3 5 det det 3 7 1 4 2 1 2 14. Seja [ ], ache se possível, pelo método da matriz inversa. 15. Quais os valores de X, Y, Z e W se 2 3 1 0 3 4 0 1 X Y Z W ? 3/5 16. Resolva os seguintes sistemas pelo método Gauss-Jordan. a) { b) { 17. Seja o sistema de equações lineares abaixo, escreva este sistema na forma matricial. Resolva pelo método do escalonamento: 2 3 11 4 3 2 0 6 3 4 x y z x y z x y z x y z 18. Usando a regra de Cramer, resolva o sistema abaixo. { 19. Dado o sistema: 3 5 1 2 3 5 0 x y x z x y z Escreva a matriz ampliada do sistema e a reduza à forma escalonada. Calcule o seu posto e o seu grau de liberdade. Após classificar o sistema, apresente a solução caso o sistema seja possível. 20. Determine o valor de k para que o sistema seja possível: 4 3 2 5 4 0 2 x y x y x y k 21. Quais dos sistemas homogêneos a seguir têm solução não trivial? a) { b) { c) { 4/5 22. INTERPOLAÇÃO QUADRÁTICA. Várias técnicas de aproximação em ciências e engenharia usam uma parábola que passam por três pontos dados {( ) ( ) ( )}, onde para . Chamamos estes de pontos distintos, uma vez que as coordenadas x são todas diferentes. O gráfico de um polinômio quadrático ( ) é uma parábola, e usamos os pontos dados para determinar os coeficientes e como mostrado a seguir. Impondo que ( ) , , obtemos três equações lineares com incógnitas e : ( ) ou ( ) ou (3) ( ) ou . Seja [ ] A matriz dos coeficientes, [ ] e [ ], então (3) pode ser escrita na forma de equação matricial cuja matriz aumentada [ ] [ ] Resolvemos o sistema por eliminação gaussiana ou redução de Gauss-Jordan, obtendo os valores para e . Pode ser mostrado que há uma única solução para esse sistema linear se e somente se os pontos são distintos. A construção da parábola que contém os pontos do conjunto de dados é chamado de interpolação quadrática, e a parábola é chamada de interpoladora quadrática. Esse processo pode ser generalizado para conjunto de dados diferentes com pontos e polinômios de grau . Com as informações acima, encontre a interpolante quadrática para os três pontos distintos {( ) ( ) ( )}. 23. Uma indústria produz três tipos e insumos X, Y, e Z, utilizado dois tipos de insumo, A e B. Para manufatura de cada kg de X são utilizados 1g do insumo A e 2g do insumo B; para cada kg de Y, 1g do insumo A e 1g do insumo B e, para cada kg de Z, 1g do A e 4g do B. o preço de venda do kg de cada um dos produtos X, Y e Z é R$ 2,00, R$ 3,00 e R$ 5,00 respectivamente. Com a venda de toda a produção de X, Y e Z, manufaturada com 1kg de A e 2 kg de B, essa indústria arrecadou R$ 2500,00. Determine quantos kg de cada um dos produtos X, Y e Z foram vendidos. 24. Uma empresa deve enlatar uma mistura de amendoim, castanha de caju e castanha-do-pará. Sabe-se que o quilo do amendoim custa R$ 5,00, o quilo da castanha de caju, R$ 20,00 e o quilo de castanha-do-pará , R$16,00. Cada lata deve conter meio quilo da mistura e o custo total dos ingredientes de cada lata deve ser de R$ 5,75. Além disso, a quantidade de castanha de caju de cada lata deve ser igual a um terço da soma das outras duas. a) Escreva o sistema linear que representa a situação descrita acima. b) Resolva o referido sistema, determinando as quantidades, em gramas, de cada ingrediente por lata. 5/5 25. Considere os vetores ( ), ( ), ( ) e ( ). a) Escrever, se possível, o vetor como combinação linear de , e . b) Escrever, se possível, o vetor como combinação linear de e . 26. Verificar a dependência linear dos vetores abaixo: a) ( ), ( ) e ( ). b) ( ), ( ) e ( ). 27. Seja u e v vetores linearmente independentes no espaço vetorial real E. Determine o escalar para qual os vetores e são linearmente dependentes. 28. Sejam os vetores 1 2 32,0,0,1 , 0,0,1,1 e ,0,1,2v v v . Qual o único valor de α que tornam estes vetores L.D.? GABARITO 1. a) [ ] b) [ ] c) [ ] d) [ ] e) [ ] f) impossível g) [ ] 2. asdfas 3. 4. 5 5. Dsaf 6. [ ] 7. Sdaf 8. 9. a) b) 10. 11. a) [ ] 12. 13. 14. [] 15. Saadf 16. a) ( ) ( ) b) ( ) ( ) 17. ( ) ( ) 18. ( ) ( ) 19. Adfsas 20. 21. Sdfa 22. ( ) 23. 24. 25. Das 26. Das 27. Dsaf 28. Asfd
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