Exercícios de Álgebra Linear

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FT- UNICAMP
Exercícios de Álgebra Linear
Retirados, basicamente dos livros textos (do prof. Reginaldo Santos, livro GAAL, e
dos profs. Steinbruch e Winterle, livro Álgebra Linear)
1) Verifique se a seguintes transformações são lineares:
a) 22: F , definida por    xyyxyxF  ,,
b) 2:F , definida por   72,  yxyxF
c) 43: T , definida por    zxzxyyxzyxT ,,,,, 2 
2) Seja T:R2 → R2 uma transformação linear definida por T(1,-1) = (2,3) e T(1,1) = (-4,1).
a) Determinar T(x,y);
b) Determinar o vetor V pertencente a R2 tal que T(V) = (-3,-2);
c) Determinar v Ɛ R2 tal que T(V) = (0,0).
3) Sejam S1 e S2 subconjuntos finitos do Rn tais que S1 seja um subconjunto de S2 
(S1 ≠ S2).
Se S2 é linearmente dependente, então:
(a) S1 pode ser linearmente dependente? Em caso afirmativo dê um exemplo.
(b) S1 pode ser linearmente independente? Em caso afirmativo dê um exemplo.
4) Determinar o núcleo e imagem das transformações lineares:
a) T:R2 → R2, T(x,y) = (x + y, 3x + 2y);
b) T:R3 → R2, T(x,y,z) = (2x + y-2z, x - y);
c) H: R4 → R3, H(x,y,z,t) = (2x + y-2z, x – y, x-t);
5) Seja o operador linear T:R2 → R2, T(x,y) = (2x + y-t, 4x + 2y-z, t, z-t).
Quais dos seguintes vetores pertencem a N(T), ou (núcleo de T).
a) (1,-2); b) (2, -3) e c) (-3,6)
6) Seja T: R4 → R3 uma transformação linear definida por T(e1) = (1,-2,1), T(e2) = (-1,0,1), T(e3) = (0,1,-2)
e T(e4) = (1,-3,1), sendo {e1, e2, e3, e4}
a) Determinar o núcleo e a imagem de T;
b) Determinar bases para o núcleo e para a imagem;
c) Verificar o Teorema da Dimensão.
7) Sendo S e T operadores lineares do R2 definidos por S(x,y) = (x,2y) e 
T(x,y) = (x-z,y), determinar (FoG significa uma transformação composta):
a) [SoT];
b) [ToS].
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