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Distribuições Contínuas de Probabilidade
Parte II
 Aproximação normal para uma distribuição binomial
Considere uma variável aleatória discreta Y que apresenta distribuição 
binomial, com parâmetros n e p, isto é:
Y :bn, p .
À medida em que o valor de n aumenta, o histograma para a distribuição 
binomial se aproxima de uma curva normal, conforme ilustra a figura abaixo.
n=30 p=1/2
0
0,05
0,1
0,15
0,2
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29
n=50 p=1/2
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
0,12
1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49
n=10 p=1/2
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19
Aproximação normal:
Se Y :bn, p , então Y tem distribuição aproximadamente normal, com média 
=np e variância 2=np 1−p ,
Y~X :N =np , 2=np1−p ,
para n grande. 
Na prática, a aproximação normal à binomial é considerada boa se 
np5 e n1−p5 .
A figura ilustra uma distribuição binomial com parâmetros n=50 e p=0,25 e a 
curva normal que a aproxima.
Exemplo:
Considere uma variável aleatória Y que segue distribuição binomial com 
parâmetros n=10 e p=1/2. Calcule PY7 .
Usando a tabela binomial, obtemos
P Y7=PY=7PY=8P Y=9P Y=10
P Y7≈0,11720,04390,00980,0010=0,1719.
Por outro lado, podemos também usar a aproximação normal. Para esta 
aproximação, utiliza-se a chamada correção de continuidade, que consiste em alterar 
0,5 unidade para mais ou para menos, conforme a probabilidade que se deseja 
calcular. Neste exemplo, PY7 é aproximado por P X6,5 de acordo com a 
correção de continuidade. A figura ilustra este caso.
n = 50
p = 0,25
np = 12,5 
nq = 37,5
P Y7≈P X6,5=P Z6,5−

=P Z 6,5−np
np 1− p
=P Z6,5−5
2,5

PY7≈0,5−P0Z0,95=0,5−0,32894=0,1711
 Distribuição Exponencial
Uma variável aleatória contínua X tem distribuição exponencial se sua função 
densidade de probabilidade for dada por 
f x=1 e
− x / , x0 ,
f x=0 , x0 .
Uma integração imediata demonstra que
∫0
∞
f  x dx = 1 .
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Distribuição binomial: b (n=10,p=1/2)
Gráficos:
Valor esperado (distribuição exponencial):
E X =∫0
∞
x f x dx = 
Variância (distribuição exponencial):
VarX =∫0
∞
[ x−E X ]2 f  x dx = 2
Probabilidade de uma variável aleatória com distribuição exponencial
P aXb=∫a
b 1
 e
−x / dx=[−e− x / ]a
b=−e−b /e−a / 
Propriedade: falta de memória
A distribuição exponencial tem a propriedade interessante de não possuir 
memória, a qual se expressa como
PXst ∣Xs=PXt
e pode ser demonstrada como segue:
PXst∣Xs=PXst , Xs
P Xs
=P Xst
P Xs
=e
− s t /
e−s /
=e−t /=PXt .
β=1/0.5=2
β=1/1.0=1
β=1/1.5=0.667
Exemplo:
O intervalo de tempo (em minutos) entre emissões consecutivas de uma fonte 
radioativa é uma variável aleatória com distribuição exponencial. O tempo médio 
entre emissões consecutivas é igual a 5 minutos. 
(a) Calcule a probabilidade de que o intervalo entre emissões consecutivas 
seja inferior a 3 minutos. 
X: tempo entre emissões consecutivas (em minutos).
f x=1 e
− x / , x0 .
EX  =  = 5.
P X3=∫0
3
0,2 e−0,2 x dx=[−e−0,2 x ]0
3=−e−0,61≈0,4512 .
(b) Calcule a probabilidade de que o intervalo entre emissões consecutivas 
seja superior a 3 minutos. 
P X3=P X3=1−P X3=1−[−e−0,61]=e−0,6≈0.5488 .
(c) Calcule a probabilidade de que o intervalo entre emissões consecutivas 
seja superior a 8 minutos, sabendo-se que ele é superior a 5 minutos (ou seja, 
sabendo-se que já se passaram 5 minutos desde a última emissão).
A propriedade de falta de memória se expressa como
P Xst ∣Xs=P Xt .
Para s=5 e s+t=8, temos t=3 e, portanto,
P X8∣ X5=PX3=e−0,6≈0.5488 .
Isto significa que o fato de que já se passaram 5 minutos desde a última 
emissão não influencia na probabilidade de ocorrência da próxima emissão. Portanto, 
o sistema não tem memória e a probabilidade pode ser calculada através de uma 
translação no tempo, isto é, a origem do tempo pode ser considerada igual a 5 
minutos e a probabilidade desejada é simplesmente a de que a próxima emissão 
ocorra daqui a 3 minutos (que corresponde à diferença entre 8 e 5 minutos).
 Distribuição Gama
Uma variável aleatória X tem distribuição de probabilidade Gama se sua 
função densidade de probabilidade for dada por
f x= 1
 
x−1 e− x / x0 ,
f  x=0 x0.
Esta distribuição depende de dois parâmetros  e  positivos.
A função Gama, denotada por  , é definida como
=∫0
∞
x−1 e− x dx 0 .
Esta função é importante em teoria de probabilidade e em muitos outros 
domínios da Matemática. Integrando-se por partes, demonstra-se que
=−1 −1 ,
o que significa que a função gama obedece a uma interessante relação de recorrência. 
Em particular, se =n for um inteiro positivo, aplicando-se a relação de 
recorrência repetidas vezes, obtemos
n=n−1!
A função gama pode ser considerada como uma generalização da função 
fatorial. O gráfico da função gama encontra-se ilustrado a seguir.
Note que se =1 , obtemos a distribuição exponencial, 
f x=1/e−x /   x0 , como um caso particular da distribuição Gama. 
Gráficos de Distribuições Gama
Os gráficos da distribuição Gama, para alguns pares de valores α, β são 
ilustrados a seguir:
Valor esperado (distribuição Gama):
E X  = 
Variância (distribuição Gama):
VarX  = 2
α=1, β=2
α=2, β=2
α=3, β=2
α=5, β=1
α=9, β=0.5
 Distribuição Qui-Quadrado (χ2)
A distribuição Qui-Quadrado (χ2) é um caso particular importante da 
distribuição Gama, obtida fazendo-se =n/2 e =2 , onde n é um inteiro positivo. 
Portanto, uma variável aleatória contínua Y tem distribuição Qui-Quadrado 
com n graus de liberdade se sua função densidade de probabilidade for dada por
f  y= 1
n /2 2n/ 2
yn /2−1 e−y /2  y0 ,
f  y=0  y0.
Valor esperado (distribuição χ2):
E Y  = n
Variância (distribuição χ2):
Var X  = 2 n
Gráficos de Distribuições χ2
Os gráficos de distribuições Qui-quadrado, para n=1,2,...,5 graus de liberdade 
são ilustrados a seguir:
n=1
n=2
n=3
n=4
n=5
Teorema
Sejam Z1 , Z2 , , Z n variáveis aleatórias contínuas independentes, cada qual 
seguindo uma distribuição normal padrão, ou seja, Z i : N 0,1 , i=1,2 , , n . 
Então, a variável Y definida como a soma de n normais padrões ao quadrado, isto é, 
Y=2n=Z1
2Z2
2Z n
2=∑i=1
n
Z i
2
segue distribuição Qui-quadrado com n graus de liberdade.
Graus de liberdade
O número n de graus de liberdade da distribuição é o número de variáveis 
normais independentes, cada qual ao quadrado, que são somadas.
Uso da tabela da distribuição de Qui-quadrado 
A tabela da distribuição χ2 fornece o valor crítico χc2 tal que P( χ2(n)> χc2)=p, 
para um dado número n de graus de liberdade e alguns valores de p. Por exemplo, 
P( χ2(5)> χc2)=0,05 corresponde a χc2 = 11,070 (ver tabela em anexo).
p
 χ
c
2
f(y)
 y
 Distribuição t de Student
Seja Z: N(0,1) uma variável aleatória com distribuição normal padrão e 2n 
uma variável aleatória com distribuição qui-quadrado com n graus de liberdade. A 
variável aleatória t definida como
t= Z
2n / n ,
terá então uma distribuição de probabilidade contínua conhecida como distribuição t 
de Student com n graus de liberdade.A função densidade de probabilidade da variável t de Student é dada por
f t = n1/ 2
 n /2n
1 t
2
n

−n1/2
 ,
para qualquer t∈ℜ .
Em inferências sobre médias populacionais, a distribuição t de Student é de 
grande utilidade.
Valor esperado (distribuição t de Student):
E t  = 0
Variância (distribuição t de Student):
Var t  = n
n−2
Gráficos de Distribuições t de Student
A curva da distribuição t de Student é simétrica em relação à média. 
A distribuição t tende à distribuição normal padrão quando o número n de 
graus de liberdade tende a infinito. 
Os gráficos a seguir ilustram distribuições t de Student para n = 1, 4, 8 e 12 
graus de liberdade. Note que a curva N(0,1) corresponde à distribuição t no limite 
n∞ .
Uso da tabela da distribuição t de Student
A tabela da distribuição t de Student (em anexo) fornece os valores críticos tc 
tais que
P tt c= p /2 ou P t−t c= p /2 ,
para um dado número n de graus de liberdade e um dado valor de p.
n=1
n=4
n=8
n=12
N(0,1)
 Função de Distribuição Acumulada
Uma distribuição contínua de probabilidade pode também ser completamente 
descrita pela chamada função de distribuição acumulada. 
Se uma variável aleatória X tem uma função densidade de probabilidade f(x) , 
então sua função de distribuição acumulada F(x) é definida como
F  x  = P Xx  = ∫−∞
x
f t  dt
f (t)
f (x)
 t x
Área é igual a F(x)
Referências:
• ESTATÍSTICA BÁSICA - Wilton de O. Bussab, Pedro A. Morettin - 5a ed. - São Paulo - Saraiva, 
2002. 
• NOÇÕES DE PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA - Marcos Nascimento Magalhães, Antônio Carlos 
Pedroso de Lima - 5a ed. - São Paulo - Editora da Universidade de São Paulo, 2002