1 Conjuntos Numericos

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Aula 1
CONJUNTOS NUMÉRICOS
Defi nição
Os números, cujas propriedades e cujas interações são o 
objetivo da álgebra elementar, são classificados da seguinte forma:
Conjunto dos números naturais
Números naturais são aqueles que são utilizados na contagem 
dos elementos de um conjunto. Temos, então:
N = { , , , , , ,...}.0 1 2 3 4 5
Conjunto dos números inteiros
Números inteiros são todos os números naturais e também 
os opostos dos naturais; os opostos dos naturais são os números
–1, –2, –3, –4, ... Representando o conjunto dos números inteiros 
por Z, temos:
Z � � � �{..., , , , , , , , , ...}.3 2 1 0 1 2 3 4
Conjunto dos números racionais
Chama-se racional todo número que é o quociente entre dois 
números inteiros.
Vamos agora apresentar alguns exemplos de números racionais.
• Os números inteiros.
 Exemplo: O inteiro 2 é o quociente entre os inteiros 2 e 1 ou
4 e 2 ou –10 e –5 etc.; portanto, 2
2
1
4
2
10
5
� � �
�
�
.
• Os decimais exatos.
Exemplo: 1 3
13
10
0 243
243
1000
3 17
317
100
, ; , ; ,= = =
• Os decimais não exatos e periódicos (dízimas).
Exemplos:
0 222 0 2
2
9
1 444 1 4 1 0 4 1
4
9
9
9
4
9
13
9
0 999 0
, ... ,
, ... , ,
, ...
� �
� � � � � � � �
� ,, 9
9
9
1� �
 
Agora, vamos apresentar a definição formal de número 
racional, indicando por Q o conjunto formado por eles:
Q z z� � � �
�
�
�
�
�
�
p
q
p q, q , 0
Pela definição dos inteiros e dos racionais, concluímos 
facilmente que: 
N z Q⊂ ⊂
Conjunto dos números reais
Números irracionais
Facilmente, podemos construir números decimais não exatos 
e não periódicos. Veja, por exemplo: 0,101001000100001..., onde o 
número de “zeros” aumenta de uma unidade após cada algarismo 1.
Números como esses, cuja representação contém infinitas 
casas decimais após a vírgula e onde não ocorre repetição de período 
como nas dízimas, não são números racionais: esses números são 
chamados de irracionais.
Veja agora mais alguns exemplos de números irracionais:
π = 3,1415926...
e = 2,7182... (número de Euler)
2 1 4142135
3 17320508
=
=
, ...
, ...
Representamos o conjunto dos números irracionais por I.
Números reais
A união do conjunto Q, dos números racionais, com o conjunto 
I dos números irracionais, chama-se conjunto dos números reais e 
representa-se por R.
R Q� � I
Pela definição dos números racionais e dos reais, concluímos 
facilmente que:
N z Q R⊂ ⊂ ⊂
Podemos, portanto, fazer a seguinte representação:
Os números reais podem ser representados numa reta, de tal 
modo que a todo número real corresponde um ponto na reta e a todo 
ponto da reta corresponde um número real.
� � � �2 2 1
1
2
0
1
3
1 3 2 3 4�
� � � �2 2 1
1
2
0
1
3
1 3 2 3 4�
–4 –3 –2 –1 0 1 2
π
3 4
Intervalos
Subconjuntos 
de R Símbolo Nome Representação 
no eixo real
{ }x a x b� � �R / ]a, b]
Intervalo aberto à 
esquerda e fechado 
à direita de extremos 
a e b
a b
{ / }x x a� �R [a, + ∞[
Intervalo ilimitado 
fechado à esquerda 
em a
a
{ / }x x a� �R ]a, + ∞[
Intervalo ilimitado 
aberto à esquerda 
em a
a
fariasbrito.com.br @ fariasbrito canalfariasbrito@ fariasbrito colegiofariasbrito
NÚCLEO ALDEOTA
(85) 3486.9000
NÚCLEO CENTRAL
(85) 3464.7788 (85) 3064.2850
NÚCLEO SUL
(85) 3260.6164
NÚCLEO EUSÉBIO
(88) 3677.8000
NÚCLEO SOBRAL
MATEMÁTICA I
PROFESSOR FABRÍCIO MAIA
{ / }x x a� �R ]–∞ ,a]
Intervalo ilimitado 
fechado à direita em a a
{ / }x x a� �R ]–∞ , a[
Intervalo ilimitado 
aberto à direita em a a
R ]–∞, + ∞[
Intervalo ilimitado de 
–∞ a +∞
Notas:
1) O símbolo deve ser lido “infinito”.
2) A bolinha cheia (•), em um extremo do intervalo, indica que 
o número associado a esse extremo pertence ao intervalo.
3) A bolinha vazia (o), em um extremo do intervalo, indica que o 
número associado a esse extremo não pertence ao intervalo.
4) Usaremos sempre a denominação aberto no + e no – .
Exercícios 
01. Sejam A = [2, 9] e B = ]7, + ∞[. Se um número real x não pertence 
ao conjunto A ∪ B, então pode-se afirmar que x pertence ao 
conjunto:
A) ]– ∞, 2]
B) ]– ∞, 2[
C) [2, + ∞]
D) ]2, + ∞ [
02. O valor de 0 444, ... é:
A) 0,222...
B) 0,333...
C) 0,444...
D) 0,666...
03. Se 0 n > q
B) m > q > n
C) n > m > q
D) q > n > m
07. O valor da expressão
37
3
0 243243243 1 8 0 656565 6 6
11
8
1 353535 0
� �� � � �
� �
, ... , , ... ,
, ... ,3383838...� �
 é
A) 4,666666...
B) 4,252525...
C) 4,333333...
D) 4,5
08. O número real 26 15 33 − é igual a
A) 5 3−
B) 7 4 3−
C) 3 2−
D) 13 3 3−
09. Se � � � � � � � � � �2 2 2 2 2 2 2 2 2 , então
A
B k
C
) ( )
) , k .
) [( )
�
� �
�
� �
� �
� �
R N
z
q z
 pode ser escrito na forma 2
�� �
� � � �
( )]
) [( ) ( )]
r q
z q r nD �
10. O valor da expressão 16 81 273 4 24 4 3�� � � � é
A
B
C
D
E
) ( )
) ( )
) ( )
) ( )
) ( )
� �
� �
� �
� �
� �
�
�
�
1 2
1 2
1 3
1 2
1 3
1 3
2 3
3 4
4 4
5 2
11. Se a b e c= = =3
61
50
1 222224 , , ..., assinale a opção correta.
A) a q
ii) 
m
n q
m n q m n
�
� � � � � �2
De (i) e (ii), concluímos:
m > n > q
Resposta: A
07. Temos que:
• 0 243 243
999
27
111
9
37
, = = =
• 18 18
10
9
5
,= =
• 0 65 65
99
, =
• 6 6 66
10
33
5
, = =
4
MateMática
• 135 135 1
99
134
99
, �
�
�
• 0 38 38
99
, =
Então:
E �
��
�
�
�
�
� � �
� ��
�
�
�
�
�
37
3
9
37
9
5
65
99
33
5
11
8
134
99
38
99
E �
� � �
�
37
3
9
37
5
9
13
3
11
8
96
99
E �
�
� � �
5
3
13
3
12
9
6
12
9
6 9
12
Logo:
E = 4,5
Resposta: D
08. Observe que:
7 4 3 2 3 7 4 3 2 3
2
� � �� � � � � �
Daí,
2 3 2 3 2 3 3 2 3 3
3 3 2 2 3
�� � � � � � � � � � � � � �
2 3 8 12 3 18 3 3
3
�� � � � � �
2 3 26 15 3
3
�� � � �
Logo:
2 3 26 15 3 7 4 33� � � � �
Resposta: B
09. Nestas condições, temos:
�2 2 2 2 2 2 2 2 2 2� � �� � � � �� � � � �� �
Produto notável
� ������ ������
�2 2 2 2 4 2 2� � �� � � � �� �
�2 2 2 2 2 2� � �� � � �� �
Produto notável
� ���� ����
α2 = 2 · (4 – 2) = 4
Logo:
α = 2
Resposta: B
10. Nestas condições, temos:
E � �� � � �
16 81 27
3
4 24
4
3
E � � � � � ��
�
�
� � � �
�
2 81 34
3
4 4
2
3
4
3
E = (23 – 32) · 3–4
E = (8 – 9) · 3–4
E = – 1 · 3–4 = (–1)3 · 3–4
Resposta: C
11. Temos que:
a a a� � � � �3 3 1734 2 2 , ...
b c b� � � � �
61
50
122
100
1 22,
c c� �
�
� � � � � �1 2 12 1
9
11
9
121
81
1 42 2 2, , ... a c
Logo:
a > c > b
Resposta: D
12. Supondo que:
p = 2a (par)
q = 2b (par)
Então:
p2 – q2 = 4a2 – 4b2 → p2 – q2 é par.
Resposta: D
13. Nestas condições, temos:
x x3 1 37
27
� � �
Daí,
x x3 2 37
27
1 64
27
� � � � �
Logo:
1
2
27
643x x� �
�
Resposta: B
14. Nestas condições, temos:
 x + y = 19
 x + z = 14
 y + z = 9
Somando:
2x + 2y + 2z = 42
x + y + z = 21
Daí,
x = 12
y = 7
z = 2
Logo:
Exp. = x – y · z = 12 – 7 · 2 = – 2
Resposta: A
15. Do exposto, temos:
P � � � � �
4
3
6
5
8
7
10
9
12
11
Q � � � �
4
5
6
7
8
9
10
11
Daí,
P
Q
� � � � � � � � �
4
3
5
4
6
5
7
6
8
7
9
8
10
9
11
10
12
11
P
Q
P
Q
� � �4 2
Resposta: B
047.611-16137222 – Dig.: Samuel – Rev.: Alana Maria
5
MateMática