Res Mat para Arquitetos rev0 2011 corrigida

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Resistência dos Materiais para Arquitetos rev.0 – 2011 – pág. 
 
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Esforços internos de flexão em uma estrutura 
 
 Quando se fala em estruturas de Arquitetura ou Engenharia Civil, pensa-se logo em 
equilíbrio estático. Este equilíbrio é proporcionado por sistemas que permitem um 
caminhamento de forças, de onde elas acontecem até onde elas possam ser absorvidas por 
completo, ou seja, nas fundações. 
Contudo, um sistema estrutural não oferece o equilíbrio somente permitindo o 
caminhamento das forças até as fundações. Cada elemento constituinte do seu conjunto deve 
oferecer equilíbrio individualmente, perante as diversas solicitações que podem atingi-lo. 
Imagine por exemplo, que um veículo pesado fica parado exatamente no meio do vão de 
uma ponte isostática sem balanços: 
 
 
 
O veículo representa uma força aplicada sobre a ponte. Perante essa força, a ponte 
tende a ter a seguinte deformação: 
 
 
 
Agora imagine que dois veículos ficam parados sobre uma ponte isostática, porém desta 
vez uma ponte com balanços duplos, e cada veículo em um dos balanços: 
 
 
 
 
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 Os dois veículos representam forças aplicadas nos balanços da ponte, perante as quais 
a barra horizontal tende a se deformar desta maneira: 
 
 
 
Numa situação de três veículos sobre a ponte, respectivamente no balanço à esquerda, 
no meio do vão e no balanço à direita, teríamos: 
 
 
 
A deformação da estrutura seria semelhante a: 
 
 
 
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Esses exemplos mostram que a estabilidade da estrutura não depende somente dos 
seus apoios - todos os seus elementos devem funcionar de forma estável individualmente. Se 
existem forças aplicadas sobre determinado elemento, existe nele uma tendência de 
deformação. Essa deformação deve ser vencida com a forma dada ao elemento, aliada à 
resistência dos materiais usados em sua constituição. 
Os elementos estruturais estão sujeitos a esforços internos diversos, como tração, 
compressão, flexão, cisalhamento, flambagem, torção, que podem ocorrer sozinhos ou 
combinados entre si. No projeto de estruturas, não adianta garantir somente que elas irão 
reagir e suportar as cargas externas às quais estão sujeitas. É necessário também se garantir 
que elas irão suportar esses esforços internos com segurança. 
 
• A flexão 
A flexão é um esforço comum em elementos estruturais e na maioria dos casos é 
inevitável. Atinge elementos diversos das edificações, assim como de máquinas em geral. 
A flexão ocorre em um elemento tendendo a deformá-lo ao longo do seu comprimento, 
como se fosse dobrá-lo. As forças aplicadas externamente fazem com que internamente o 
elemento se comporte como se estivesse sujeito a um par de momentos, que o fazem se 
curvar. Veja a simulação da aplicação de um par de momentos em uma barra, para entender o 
que acontece: 
 
 
Invertendo o sentido dos momentos aplicados, a deformação da barra também se 
inverteria: 
 
 
 
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Vamos ver o que acontece em cada caso do carro ou dos carros sobre a ponte, 
mostrados anteriormente. No primeiro caso, o veículo de peso “P” está parado no meio da 
ponte, representando uma força vertical de cima para baixo aplicada neste ponto. Além disso, a 
barra horizontal que recebe o peso do veículo tem o seu peso próprio, que é uma carga 
distribuída ao longo da peça. 
A força “P” e o peso próprio são forças externas aplicadas na estrutura, que serão 
suportadas pelas forças de reações dos apoios, ou seja, para a força “P” aplicada, haverá duas 
forças de intensidade “P/2” de baixo para cima, uma em cada pilar. O mesmo ocorre para o 
peso próprio da estrutura. Isso ocorre devido à 3ª Lei de Newton, Lei da Ação e Reação: toda 
força de ação, tem uma força de reação de mesma intensidade e direção, porém de sentido 
oposto. Podemos, então, construir um diagrama de corpo livre, que nos mostra as forças entre 
as partes mencionadas. 
Os apoios, por sua vez, descarregam as forças para as fundações e finalmente para o 
solo. Nesse processo, podemos desenhar todos os pares de ação e reação: as ações sobre as 
vigas, tornam-se reações nos pilares. As ações sobre os pilares, tornam-se reações nas 
fundações. As ações nas fundações distribuem-se sobre o solo, devendo ser reagidas por ele. 
Isso pode ser observado na figura abaixo. 
 
 
 
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Representação gráfica do sistema de forças externas atuantes na barra horizontal 
(considerando que não há esforços horizontais na ponte): 
 
A reação Rx = 0 significa que o pilar à esquerda tem capacidade de segurar uma força 
horizontal na barra, o que, junto com as reações verticais dos pilares, garante o equilíbrio da 
barra. Porém, como na situação mostrada essa força não existe, a reação também não existe, 
por isso é igual a zero. 
Como vimos, esse sistema de forças (juntamente com o peso próprio), causará uma 
tendência do tabuleiro da ponte se deformar, formando uma flecha no meio da barra: 
 
 
 
Essa tendência reflete os esforços internos de flexão na barra: 
 
 
 
 A flexão existente na barra horizontal faz com que a sua metade superior sofra um 
aperto, um encurtamento, que caracteriza a compressão. Já a metade inferior da barra sofre 
um estiramento, como se o material estivesse sendo alongado, que caracteriza a tração. 
A barra em questão, sujeita aos esforços de compressão e tração indicados, deve ser 
construída com uma combinação de materiais e geometria que a possibilitem resistir a esses 
esforços, sem sofrer deformações prejudiciais ao seu funcionamento. Existem materiais que 
resistem mais à compressão, outros que resistem mais à tração, outros que resistem tanto um, 
como outro esforço. Cada estrutura requer um estudo detalhado sobre seus esforços de flexão 
e as diversas combinações de materiais e geometria capazes de suportá-los. 
 
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Na flexão, o esforço que provoca o giro interno das seções transversais da peça e o 
aparecimento das flechas chama-se momento fletor. Trata-se de esforço que pode ser 
calculado e representado graficamente, através do diagrama de momentos fletores da peça, o 
qual mostra a tendência de deformação da peça quando sujeita a determinado carregamento. 
No caso de uma viga isostática sem balanços, com carregamento distribuído ao longo do seu 
comprimento, o diagrama de momentos fletores teria uma configuração deste tipo: 
 
Para os demais casos analisados anteriormente, dos veículos sobre pontes isostáticas, 
teríamos diagramas de momentos fletores semelhantes às ilustrações abaixo. 
 
Caso dos dois carrosnos balanços da estrutura: 
 
 
 
Caso dos três carros sobre a ponte, um e cada balanço e um no meio do vão: 
 
 
 
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• O cisalhamento 
 
A flexão em estruturas é causada por forças transversais ao eixo longitudinal dos 
elementos estruturais, tais como o seu peso próprio, o peso de outros elementos, 
revestimentos, sobrecargas, etc. Além da tendência de fletir os elementos, estes 
carregamentos também provocam internamente uma tendência de corte entre os pedaços da 
peça, cuja configuração segue a ilustração abaixo: 
 
 
 
A força que causa essa tendência de corte na viga chama-se força cortante ou força de 
cisalhamento. Para entendermos como ela age, podemos representar uma viga como sendo 
composta por várias barras horizontais e por várias barras verticais em separado. Em cada 
caso, o carregamento provoca uma tendência de escorregamento entre essas partes. 
 
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Se representarmos uma viga como sendo composta por várias barras horizontais, o 
carregamento provoca a tendência de escorregamento longitudinal entre as partes: 
 
 
 
Como podemos perceber pela ilustração acima, as diferentes barras horizontais se 
deformam e, consequentemente, se deslocam entre si. 
 
Se representarmos uma viga como sendo composta por várias barras verticais presas 
entre si, o carregamento provoca a tendência de escorregamento transversal entre as partes: 
 
 
 
Como podemos perceber pela ilustração acima, as diferentes barras verticais se 
deslocam e deformam o conjunto da peça. 
 
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A força cortante tende a provocar o escorregamento dos pedaços longitudinais e 
transversais da estrutura. Ela pode ser representada graficamente, através do diagrama de 
forças cortantes. 
A força cortante sempre aparece quando houver variação do momento fletor sobre um 
elemento estrutural. Portanto, momento fletor e força cortante são dois esforços internos que 
acontecem simultaneamente nas estruturas sujeitas à flexão. 
Os elementos constituintes de sistemas estruturais devem ser dimensionados à flexão, 
ou seja, devem ser calculados e projetados para resistir, entre outros, todos os esforços de 
flexão atuantes sobre eles - momentos fletores e forças cortantes. 
Os diagramas de esforços internos atuantes sobre uma peça são fundamentais para se 
ter uma noção da intensidade desses esforços ao longo da peça. São, portanto, ferramentas 
básicas para o desenvolvimento do cálculo e do projeto correto de cada elemento de uma 
estrutura, assim como da estrutura como um todo. 
 
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Método gráfico para desenhar diagramas de momentos fletores 
e forças cortantes de vigas 1 
 
É possível se desenhar diagramas de forças cortantes e momentos fletores por um 
método gráfico. Deve-se começar desenhando o diagrama de forças cortantes, para depois se 
fazer o diagrama de momentos fletores, seguindo estas regras básicas: 
1. Desenhar a viga com todos os seus carregamentos, incluindo reações de apoio já 
calculadas. 
2. Desenhar o sistema de eixos ortogonais que representará o diagrama de forças cortantes: 
- no eixo horizontal “x”, devem ser representadas as distâncias x da viga. O eixo deve 
começar em 0,0 m (extremidade esquerda da viga) e ir até o comprimento total da viga, 
contendo todos os pontos onde há cargas concentradas ou distribuídas e momentos aplicados 
na viga. 
- no eixo vertical “V”, serão representadas as forças cortantes ao longo da viga. Para 
essa representação, adotamos os sinais + e – indicados na figura abaixo: 
 
3. Desenhar as forças cortantes da esquerda para a direita, seguindo as recomendações 
abaixo: 
3.1: Para construir o diagrama de forças cortantes, começar pelo lado esquerdo da viga 
(onde x=0) e seguir deslocando-se para a direita da viga, até chegar ao seu 
comprimento total. Cada força concentrada ou distribuída causará uma alteração no 
comportamento do diagrama. 
 
1
 Observações: 
- Todos os diagramas prontos mostrados nesta seção foram obtidos com os softwares MDSolids (Educational Software for 
Mechanics of Materials), disponível para download no endereço http://www.mdsolids.com, e FTool (Two-dimensional Frame 
Analysis Tool), disponível para download no endereço https://web.tecgraf.puc-rio.br/ftool/. Ambos são disponíveis gratuitamente 
para fins educativos e constituem-se em excelentes ferramentas para se aprender a lógica dos diagramas de esforços internos, 
contendo inclusive animações para ilustrar diversos casos de estruturas. 
- Como os diagramas aqui mostrados foram feitos a partir de softwares que não arredondam os valores encontrados, alguns 
valores aparecem com diferenças pequenas daqueles obtidos pelas contas feitas manualmente. 
 
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3.2: Uma força concentrada causa um degrau (ou seja, uma descontinuidade) no 
diagrama de forças cortantes, na posição da força. O degrau tem a mesma direção da 
força concentrada: se a força for de cima para baixo, a descontinuidade será para baixo. 
Se a força for de baixo para cima, a descontinuidade será para cima. Isso vale para 
todas as forças aplicadas na viga, incluindo reações de apoio. 
3.3: Um carregamento distribuído resulta em uma linha ascendente ou descendente no 
diagrama de forças cortantes. Se o carregamento for de cima para baixo, a linha será 
descendente. Se o carregamento for de baixo para cima, a linha será ascendente. Em 
termos de valores no diagrama, essa subida ou descida será igual à área da força 
distribuída. 
3.4: Se no meio de uma força distribuída existir uma força concentrada, deve-se dividir a 
força distribuída em duas para a sua representação. Primeiro, desenha-se o pedaço de 
força que vai até a força concentrada, em seguida desenha-se a força concentrada, e 
posteriormente continua-se a desenhar a força distribuída. A diferença de força cortante 
entre dois pontos sujeitos a um carregamento distribuído é igual à área do carregamento 
entre esses pontos. 
3.5: Todo diagrama de forças cortantes começa a ser traçado pelo ponto de altura zero 
(ver ilustração mostrando ponto de início do traçado) e já segue (no próprio ponto x=0) 
até o valor da força vertical aplicada nesse ponto, seja ela de ação ou reação, caso 
exista. O mesmo ocorre na finalização do diagrama. O traçado do diagrama começa e 
termina sobre o eixo de altura zero (V=0). 
4. Uma vez finalizado o diagrama de forças cortantes, desenhar o sistema de eixos ortogonais 
que representará o diagrama de momentos fletores: 
- no eixo horizontal “x”, devem ser representadas as distâncias x da viga. O eixo deve 
começar em 0,0 m (extremidade esquerdada viga) e ir até o comprimento total da viga, 
contendo todos os pontos onde há cargas concentradas ou distribuídas e momentos aplicados 
na viga. 
- no eixo vertical “M”, serão representados os momentos fletores ao longo da viga. Para 
essa representação, adotamos os sinais + e – indicados na figura abaixo: 
 
 
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Observe que na figura acima já estão marcados os pontos principais do diagrama no 
eixo x – pontos onde ocorrem cargas concentradas ou momentos aplicados e pontos de início 
e fim de cargas distribuídas. 
 
5. Desenhar os momentos fletores da esquerda para a direita, seguindo as recomendações 
abaixo: 
 
5.1: Para construir o diagrama de momentos fletores, começar pelo lado esquerdo da 
viga (onde x=0) e seguir deslocando-se para a direita, até chegar ao seu comprimento 
total. Cada força concentrada ou distribuída causará uma alteração no comportamento 
do diagrama. 
5.2: Áreas existentes no diagrama de forças cortantes devem ser computadas para se 
construir o diagrama de momentos fletores. O valor de momentos fletores em cada 
trecho do diagrama é exatamente igual às áreas do diagrama de forças cortantes, trecho 
a trecho. 
Lembre-se que: 
 
Área do retângulo: 
S = b x h 
Área do triângulo: 
S = b x h / 2 
Área do trapézio: 
S = (b+B)/2 
5.3: Um momento concentrado aplicado na viga causa um salto (ou seja, uma 
descontinuidade) no diagrama de momentos fletores, exatamente no ponto de aplicação 
do momento em questão. Por este processo gráfico, devem ser respeitados os seguintes 
critérios de sinais: para momento horário: sinal positivo; para momento anti-horário: sinal 
negativo: 
 
Obs.: Preste atenção para não se confundir com outras convenções de sinais que 
eventualmente usam sentidos invertidos para a consideração de momentos 
fletores. A convenção acima serve para o processo aqui explicado, 
especificamente. 
 
 
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5.4: Todo diagrama de momentos fletores começa a ser traçado pelo ponto M=0 no lado 
esquerdo da viga e termina no mesmo valor no lado direito – caso isso não ocorra, 
indica algum erro no traçado do diagrama, que deve ser refeito. Caso existam momentos 
diferentes de zero nas extremidades da viga, o diagrama segue de zero para o valor do 
momento na própria extremidade. 
5.5: Na construção de diagramas de momentos fletores, é sempre interessante prestar 
atenção aos tipos de apoio existentes na viga: 
a. Na extremidade de balanços, o momento é sempre igual a zero. 
b. Em apoios simples ou fixos de extremidade da viga, o momento é sempre igual a 
zero. 
c. Em apoios engastados, o momento é sempre negativo, igual à reação de apoio de 
momento naquele engaste. 
d. Em apoios simples ou fixos intermediários (que não estão nas extremidades da 
viga), os momentos são diferentes de zero, normalmente negativos. 
e. Em trechos onde o diagrama de forças cortantes tiver uma reta horizontal (trecho 
entre cargas concentradas), o diagrama de momentos fletores terá uma reta 
inclinada. Em trechos onde o diagrama de forças cortantes tiver uma reta 
inclinada (trecho correspondente a um carga distribuída), o diagrama de 
momentos fletores terá uma curva. 
f. Quando o diagrama de forças cortantes cruzar a linha onde V=0, exatamente na 
coordenada “x” daquele ponto ocorrerá o máximo valor do momento fletor no 
trecho em questão. A partir daquele ponto, o momento que estava crescendo, 
passa a decrescer. 
 
• Exemplo de traçado de diagramas de forças cortantes e momentos fletores 
Dada a viga carregada mostrada na figura abaixo e suas respectivas reações de apoio, 
desenhar pelo processo gráfico os seus diagramas de força cortante e de momento fletor. 
Desconsiderar o peso próprio da viga. 
 
 
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Dados: 
P1 = 15 kN; P2 = 50 kN; w1 = 22 kN/m, w2 = 10 kN/m; M1=40 kNm 
RxA = 0; RyA = 64,46 kN ↑; RyB = 65,54 kN↑. 
 
Resolução passo a passo: 
a) Iniciar pelo diagrama de forças cortantes, desenhando o sistema de eixos, e marcar 
sobre ele o ponto de início do traçado: 
 
 
 
Da esquerda para a direita, desenhar as forças no diagrama, conforme os critérios 3.1 a 
3.5: 
A primeira força que aparece é a reação de apoio RyA = 64,46 kN, de baixo para cima, 
no ponto x = 0 da viga. Para representá-la no diagrama, desenhamos a partir do ponto 
x = 0 uma linha de comprimento igual a 64,46, na escala adotada, no mesmo sentido da 
ocorrência da força, ou seja, de baixo para cima. 
 
Para continuar o traçado do diagrama, segue-se na viga, da esquerda para a direita, até 
o aparecimento da próxima força aplicada sobre ela. Neste caso, como não há força 
 
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distribuída a partir do ponto zero, a força cortante continua constante com o mesmo 
valor até o ponto 1,5, onde aparece a próxima força. Desenha-se então uma linha 
horizontal do ponto onde se parou, no diagrama, até o ponto x = 1,5 m. 
 
 
 
 
A próxima força (P1) é concentrada, para baixo. Então, o diagrama dá um salto para 
baixo de comprimento igual ao valor desta força (15 kN): 
 
Para continuar o traçado do diagrama, segue-se para a direita, na viga, até o 
aparecimento da próxima força aplicada sobre ela. A próxima força é distribuída (w1 = 
22 kN/m) e começa já no ponto x = 1,5 m. Então, a partir do ponto onde se parou o 
traçado do diagrama, se senha uma linha inclinada, ligando o ponto de início da força 
distribuída ao seu ponto final (x = 4,0 m). Como a força ocorre de cima para baixo, a 
linha inclinada será também de cima para baixo, ou seja, descendente. O valor da 
descida da linha corresponde exatamente à área da força distribuída que está sendo 
representada: 
 Força w1 retangular: área = b x h 
Então: força total no diagrama= (4 m – 1,5 m) x 22 kN/m = 55 kN 
 
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A partir do valor onde se está no diagrama, deve-se traçar uma linha para baixo que 
desça 55 kN de força, do ponto 1,5 m até o ponto 4 m. Como o diagrama parou no ponto 
49,96 de forças, ao descermos 55 unidades na vertical, atravessaremos a linha referente 
ao ponto V = 0 e passamos para a parte negativa do diagrama: 
 
 
 
 
A próxima força (P2) é concentrada, para baixo. Então, o diagrama dá um salto para 
baixo de comprimento igual ao valor desta força (50 kN, na escala adotada): 
 
 
 
A próxima força é distribuída de cima para baixo (w2 = 10 kN/m). Isso resulta em linha 
inclinada para baixo no diagrama, com valor de descida igual à área da força distribuída: 
 Força w2 retangular: área = b x h 
Então: força total no diagrama= (5 m – 4 m) x 10 kN/m = 10 kN 
 
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A próxima ocorrência no carregamento é o momento M1 concentrado no ponto x=6m. 
Um momento concentrado não interfere no diagrama de forças cortantes, então ele não 
precisa ser considerado. Desenha-se uma linha constante até se chegar ao próximo 
ponto de aplicação de força: 
 
A próxima reação de apoio RyB = 65,54 kN, de baixo para cima. A partir do ponto onde 
paramos, no desenho do diagrama, desenhamos uma força no valor de 65,54 kN, na 
escala adotada, no mesmo sentido da força (de baixo para cima): 
 
 
 
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Todo diagrama de forças cortantes começa pelo valor V=0 no lado esquerdo da viga e 
termina no mesmo valor no lado direito – isso se comprovou através do diagrama 
traçado. 
O diagrama de forças cortantes está finalizado. Com base nele, será agora desenhado o 
diagrama de momentos fletores da viga. 
 
b) Iniciar o desenho do diagrama de momentos fletores, desenhando o sistema de eixos, 
e marcar o ponto de início do traçado: 
 
 
Da esquerda para a direita, desenhar o diagrama de momentos, conforme os critérios 
5.1 a 5.5: 
Pelo diagrama de forças cortantes, o primeiro trecho entre x = 0 e x = 1,5 m é delimitado 
por uma reta horizontal. A área correspondente a este trecho é igual a 1,5 m x 64,46 kN 
= 96,70 kNm – este será o valor do momento fletor no ponto 1,5m. Lembre-se que 
quando no diagrama de cortantes se tem uma reta horizontal, o diagrama de momentos 
fletores resulta em uma reta inclinada no mesmo trecho: 
 
 
 
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No trecho seguinte, de x = 1,5 m a x = 4,0 m, o diagrama de forças cortantes tem uma 
reta descendente – o diagrama de momentos fletores será então constituído por uma 
curva. Porém, como o diagrama de cortantes passa pelo valor zero, naquele ponto o 
diagrama de momentos fletores terá o seu valor máximo. Por isso, é necessário dividir o 
trecho em dois, um de 1,5 m até o ponto onde V passa por zero e outro deste ponto até 
4,0 m. 
 
Para calcular o comprimento do trecho onde V chega a zero, fazemos uma regra de três 
com triângulos semelhantes: 
 
 
 
 55 kN --- 2,5 m 
 49,46 kN --- x Então, x = 2,248m 
 
O valor total do momento no trecho correspondente ao comprimento x vale: 
Momento = Área do diagrama V = 55,60
2
49,462,248
2
hb
=
⋅
=
⋅
 kNm 
 
A partir do ponto 96,70, o diagrama deve descer em curva para o ponto 96,70 + 55,60 = 
152,30 kNm, até o ponto x = 1,5 m + 2,248 m = 3,748 m: 
 
 
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A partir deste ponto, o diagrama começa a subir. O primeiro trecho de subida vai desde 
3,748 m a 4,0 m, ou seja, num trecho de 0,252 m: 
Momento = Área do diagrama V = 0,698
2
5,540,252
2
hb
=
⋅
=
⋅
 kNm 
O diagrama de momentos vai então do ponto 152,30 kNm até 152,30 – 0,698 = 151,61 
kNm: 
 
 
No trecho seguinte, de 4,0 m a 5,0 m, o diagrama de forças cortantes tem uma reta 
descendente – o diagrama de momentos fletores será então constituído por uma curva. Porém, 
como o diagrama de momentos está subindo, será uma curva para cima. 
Momento = Área do diagrama V = 60,54
2
165,54)(55,54
2
hB)(b
=
⋅+
=
⋅+
 kNm 
O diagrama de momentos vai então de 151,60 até 151,61 – 60,54 = 91,07 kNm: 
 
 
 
 
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Pelo diagrama de forças cortantes, o próximo trecho, entre 5,0 m e 6,0 m, é delimitado por uma 
reta horizontal. A área correspondente a este trecho é igual a 1,0 m x 65,54 kN = 65,54 kNm. O 
diagrama de momentos vai então de 91,07 até 91,07 – 65,54 = 25,54 kNm: 
 
 
Pelo desenho de carregamentos na viga, vê-se um momento aplicado de valor 40 kNm no 
ponto x=6m. Como o momento é horário, pela convenção de sinais aqui adotada isso significa 
um momento positivo. Momentos aplicados geram um degrau no diagrama de momentos. 
Então, do ponto 25,54 o diagrama vai para o ponto 25,54 + 40 = 65,54 kNm, e ficará assim: 
 
 
 
Pelo diagrama de forças cortantes, o próximo trecho, entre 6,0 m e 7,0 m, é delimitado por uma 
reta horizontal. A área correspondente a este trecho é igual a 1,0 m x 65,54 kN = 65,54 kNm, 
valor que o diagrama de momentos deve agora subir. Como ele já está no ponto de momento = 
65,54 kNm, subirá até zero: 
 
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Agora, analise o conjunto todo da viga carregada e dos diagramas desenhados e perceba a 
influência de cada carregamento nos diagramas: 
 
 
 
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A figura anterior mostra que os diagramas de forças cortantes e de momentos fletores 
apresentam características próprias nos pontos de transição: 
→ Onde há cargas verticais concentradas, ocorre: 
- descontinuidade no diagrama de cortante igual ao valor da carga; 
 - ponto anguloso no diagrama de momento fletor. 
→ Onde há carga uniformemente distribuída retangular, ocorre: 
- diagrama de forças cortantes é uma reta; 
- diagrama de momentos fletores é uma parábola (segundo grau) com a concavidade 
voltada para a carga. 
→ Onde há carga com distribuição triangular (não ocorre no exemplo mostrado), ocorre: 
 - diagrama de forças cortantes é uma parábola de segundo grau com concavidade a ser 
analisada; 
 - diagrama de momentos fletores é uma curva de terceiro grau com a concavidade 
voltada para a carga. 
→ Onde há momento aplicado, ocorre: 
- descontinuidade no diagrama de momentos igual ao valor do momento aplicado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercícios sobre o método gráfico para se desenhar 
diagramas de momentos fletores e forças cortantes 
 
1) Traçar os diagramas de momentos fletores e forças cortantes da viga abaixo. 
Considerar P1 = 200 kN. Desconsiderar o peso próprio da viga. 
 
Desenho da viga: 
 
 
 
Reações de apoio resultantes: RxA = 0; RyA = 100 kN ↑ ; RyB = 100 kN ↑ 
 
Diagrama de forças cortantes: 
 
(Forças em kN) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Diagrama de momentos fletores: 
 
(Momentos em kN x m) 
 
 
 
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2) Traçar os diagramas de momentos fletores e forças cortantes da viga abaixo.Considerar P1=100 kN. Desconsiderar o peso próprio da viga. 
 
Desenho da viga: 
 
 
 
 
Reações de apoio resultantes: RxA=0; RyA = 25 kN ↑ ; RyB = 75 kN ↑ 
 
 
Diagrama de forças cortantes: 
 
(Forças em kN) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Diagrama de momentos fletores: 
 
(Momentos em kN x m) 
 
 
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3) Traçar os diagramas de momentos fletores e forças cortantes da viga abaixo. 
Considerar P1=100 kN, P2=100 kN. Desconsiderar o peso próprio da viga. 
 
Desenho da viga: 
 
 
 
 
Reações de apoio resultantes: RxA=0; RyA = 100 kN ↑; RyB = 100 kN ↑ 
 
 
Diagrama de forças cortantes: 
 
(Forças em kN) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Diagrama de momentos fletores: 
 
(Momentos em kN x m) 
 
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4) Traçar os diagramas de momentos fletores e forças cortantes da viga abaixo. 
Considerar P1=100 kN, P2=100 kN, P3=200 kN. Desconsiderar o peso próprio da viga. 
 
Desenho da viga: 
 
 
 
 
Reações de apoio resultantes: RxA=0; RyA = 200 kN ↑ ; RyB = + 200 kN ↑ 
 
 
Diagrama de forças cortantes: 
 
(Forças em kN) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Diagrama de momentos fletores: 
 
(Momentos em kN x m) 
 
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5) Traçar os diagramas de momentos fletores e forças cortantes da viga abaixo. 
Considerar P1=100 kN, P2=100 kN, P3=200 kN, P4=200 kN. Desconsiderar o peso próprio da 
viga. 
 
Desenho da viga: 
 
 
 
 
Reações de apoio resultantes: RxA=0; RyA = 300 kN ↑; RyB = 300 kN ↑ 
 
 
Diagrama de forças cortantes: 
 
(Forças em kN) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Diagrama de momentos fletores: 
 
(Momentos em kN x m) 
 
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6) Traçar os diagramas de momentos fletores e forças cortantes da viga abaixo. 
Considerar P1=30 kN, P2=100 kN, P3=30 kN, P4=40 kN. Desconsiderar o peso próprio da 
viga. 
 
Desenho da viga: 
 
 
 
 
Reações de apoio resultantes: RxA=0; RyA = 116,5 kN ↑; RyB = 83,5 kN ↑ 
 
 
Diagrama de forças cortantes: 
 
(Forças em kN) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Diagrama de momentos fletores: 
 
(Momentos em kN x m) 
 
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7) Traçar os diagramas de momentos fletores e forças cortantes da viga abaixo. 
Considerar P1=30 kN, P2=100 kN, P3=30 kN, P4=40 kN; P5=200 kN. Desconsiderar o peso 
próprio da viga. 
 
Desenho da viga: 
 
 
 
 
Reações de apoio resultantes: RxA=0; RyA = 16,50 kN ↑; RyB = 16,50 kN ↓ 
 
 
Diagrama de forças cortantes: 
 
(Forças em kN) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Diagrama de momentos fletores: 
 
(Momentos em kN x m) 
 
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8) Traçar os diagramas de momentos fletores e forças cortantes da viga abaixo. 
Considerar P1=30 kN, P2=100 kN, P3=30 kN, P4=40 kN; P5=200 kN. Desconsiderar o peso 
próprio da viga. 
 
Desenho da viga: 
 
 
 
 
Reações de apoio resultantes: RxA=0; RyA = 16,50 kN ↓; RyB = 16,5 kN ↑ 
 
 
Diagrama de forças cortantes: 
 
(Forças em kN) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Diagrama de momentos fletores: 
 
(Momentos em kN x m) 
 
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9) Traçar os diagramas de momentos fletores e forças cortantes da viga abaixo. 
Considerar P1=10 kN, P2=20 kN, P3=22 kN, P4=12 kN; P5=50 kN; P6=100 kN. Desconsiderar 
o peso próprio da viga. 
 
Desenho da viga: 
 
 
 
 
Reações de apoio resultantes: RxA=0; RyA = 59,33 kN ↑; RyB = 94,67 kN ↑ 
 
 
Diagrama de forças cortantes: 
 
(Forças em kN) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Diagrama de momentos fletores: 
 
(Momentos em kN x m) 
 
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10) Traçar os diagramas de momentos fletores e forças cortantes da viga abaixo. 
Considerar P1=10 kN, P2=10 kN. Desconsiderar o peso próprio da viga. 
 
Desenho da viga: 
 
 
 
 
Reações de apoio resultantes: RxA=0; RyA = 10 kN ↑; RyB = 10 kN ↑ 
 
 
Diagrama de forças cortantes: 
 
(Forças em kN) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Diagrama de momentos fletores: 
 
(Momentos em kN x m) 
 
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11) Traçar os diagramas de momentos fletores e forças cortantes da viga abaixo. 
Considerar P1=10 kN, P2=10 kN. Desconsiderar o peso próprio da viga. 
 
Desenho da viga: 
 
 
 
 
Reações de apoio resultantes: RxA=0; RyA = 10 kN↓; RyB = 10 kN ↓ 
 
 
Diagrama de forças cortantes: 
 
(Forças em kN) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Diagrama de momentos fletores: 
 
(Momentos em kN x m) 
 
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12) Traçar os diagramas de momentos fletores e forças cortantes da viga abaixo. 
Considerar P1=10 kN, P2=10 kN, P3=20 kN. Desconsiderar o peso próprio da viga. 
 
Desenho da viga: 
 
 
 
 
Reações de apoio resultantes: RxA=0; RyA = 20 kN ↑; RyB = 20 kN ↑ 
 
 
Diagrama de forças cortantes: 
 
(Forças em kN) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Diagrama de momentos fletores: 
 
(Momentos em kN x m) 
 
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13) Traçar os diagramas de momentos fletores e forças cortantes da viga abaixo. 
Considerar P1=10 kN, P2=10 kN, P3=20 kN. Desconsiderar o peso próprio da viga. 
 
Desenho da viga: 
 
 
 
 
Reações de apoio resultantes: RxA=0; RyA = 25,71 kN↑;RyB = 14,29 kN ↑ 
 
 
Diagrama de forças cortantes: 
 
(Forças em kN) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Diagrama de momentos fletores: 
 
(Momentos em kN x m) 
 
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14) Traçar os diagramas de momentos fletores e forças cortantes da viga abaixo. 
Considerar P1=10 kN, P2=10 kN, P3=20 kN. Desconsiderar o peso próprio da viga. 
 
Desenho da viga: 
 
 
 
 
Reações de apoio resultantes: RxA=0; RyA = 20 kN ↑; RyB = 20 kN ↑ 
 
 
Diagrama de forças cortantes: 
 
(Forças em kN) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Diagrama de momentos fletores: 
 
(Momentos em kN x m) 
 
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15) Traçar os diagramas de momentos fletores e forças cortantes da viga abaixo. 
Considerar P1=20 kN, P2=30 kN, P3=10 kN, P4=10 kN. Desconsiderar o peso próprio da viga. 
 
Desenho da viga: 
 
 
 
 
Reações de apoio resultantes: RxA=0; RyA = 30 kN ↑; RyB = 40 kN ↑ 
 
 
Diagrama de forças cortantes: 
 
(Forças em kN) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Diagrama de momentos fletores: 
 
(Momentos em kN x m) 
 
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16) Traçar os diagramas de momentos fletores e forças cortantes da viga abaixo. 
Considerar P1=20 kN, P2=30 kN, P3=40 kN, P4=140 kN, P5=50 kN. Desconsiderar o peso 
próprio da viga. 
 
 
Desenho da viga: 
 
 
 
 
Reações de apoio resultantes: RxA=0; RyA = 130 kN ↑; RyB = 150 kN ↑ 
 
 
Diagrama de forças cortantes: 
 
(Forças em kN) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Diagrama de momentos fletores: 
 
(Momentos em kN x m) 
 
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40 
 
17) Traçar os diagramas de momentos fletores e forças cortantes da viga abaixo. 
Considerar w1=40 kN/m. Desconsiderar o peso próprio da viga. 
 
Desenho da viga: 
 
 
 
 
Reações de apoio resultantes: RxA = 0; RyA = 200 kN ↑; RyB = 200 kN ↑ 
 
 
Diagrama de forças cortantes: 
 
(Forças em kN) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Diagrama de momentos fletores: 
 
(Momentos em kN x m) 
 
 
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41 
 
18) Traçar os diagramas de momentos fletores e forças cortantes da viga abaixo. 
Considerar w1=40 kN/m e w2=15 kN/m. Desconsiderar o peso próprio da viga. 
 
Desenho da viga: 
 
 
 
 
Reações de apoio resultantes: RxA=0; RyA = 218,75 kN ↑; RyB = 256,25 kN ↑ 
 
 
Diagrama de forças cortantes: 
 
(Forças em kN) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Diagrama de momentos fletores: 
 
(Momentos em kN x m) 
 
 
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42 
 
19) Traçar os diagramas de momentos fletores e forças cortantes da viga abaixo. 
Considerar w1=15kN/m. Desconsiderar o peso próprio da viga. 
 
Desenho da viga: 
 
 
 
 
Reações de apoio resultantes: RxA=0; RyA = 18,75 kN ↑; RyB = 56,25 kN ↑ 
 
 
Diagrama de forças cortantes: 
 
(Forças em kN) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Diagrama de momentos fletores: 
 
(Momentos em kN x m) 
 
 
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43 
 
 
Exemplos de diagramas para vigas hiperestáticas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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46 
 
 
 
→ Referências bibliográficas: 
 
- Beer, Ferdinand Pierre. Resistência dos Materiais. São Paulo: McGraw-Hill do Brasil, 1982. 
 
- Botelho, Manoel Henrique Campos. Concreto armado, eu te amo, para arquitetos. São Paulo: Edgard Blucher, 
2006. 
 
- Hibbeler, R. C. Estática. Mecânica para Engenharia. São Paulo: Prentice Hall, 2005. 
 
- Rebello, Yopanan Conrado Pereira. Estruturas de aço, concreto e madeira: atendimento da expectativa 
dimensional. São Paulo: Zigurate Editora, 2005. 
 
- Software Ftool, disponível em https://web.tecgraf.puc-rio.br/ftool. 
 
- Software MDSolids, disponível em http://www.mdsolids.com. 
 
 
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47 
→ Anexo: respostas dos exercícios propostos 
 
 
1) 
 
 
 
 
 
 
Diagrama de forças cortantes: (forças em kN) 
 
 
 
 
 
 
Diagrama de momentos fletores: (momentos em kNm) 
 
 
 
 
2) 
 
 
 
 
 
Diagrama de forças cortantes: (forças em kN) 
 
 
 
 
 
 
Diagrama de momentos fletores: (momentos em kNm) 
 
 
 
 
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48 
 
 
3) 
 
 
 
 
Diagrama de forças cortantes: (forças em kN) 
 
 
 
 
 
 
Diagrama de momentos fletores: (momentos em kNm) 
 
 
 
 
 
4) 
 
 
 
 
Diagrama de forças cortantes: (forças em kN) 
 
 
 
 
 
Diagrama de momentos fletores: (momentos em kNm) 
 
 
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49 
 
5) 
 
 
 
 
 
Diagrama de forças cortantes: (forças em kN) 
 
 
 
 
 
 
Diagrama de momentos fletores: (momentos em kNm) 
 
 
6) 
 
 
 
 
 
Diagrama de forças cortantes: (forças em kN)Diagrama de momentos fletores: (momentos em kNm) 
 
 
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50 
 
7) 
 
 
 
 
 
 
Diagrama de forças cortantes: (forças em kN) 
 
 
 
 
 
 
Diagrama de momentos fletores: (momentos em kNm) 
 
 
 
8) 
 
 
 
 
 
 
Diagrama de forças cortantes: (forças em kN) 
 
 
 
 
 
 
Diagrama de momentos fletores: (momentos em kNm) 
 
 
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51 
 
9) 
 
 
 
 
 
 
Diagrama de forças cortantes: (forças em kN) 
 
 
 
 
 
Diagrama de momentos fletores: (momentos em kNm) 
 
 
 
10) 
 
 
 
 
 
Diagrama de forças cortantes: (forças em kN) 
 
 
 
 
 
 
Diagrama de momentos fletores: (momentos em kNm) 
 
 
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52 
 
 
11) 
 
 
 
 
Diagrama de forças cortantes: (forças em kN) 
 
 
 
 
 
Diagrama de forças cortantes: (forças em kN) 
 
 
 
 
 
Diagrama de momentos fletores: (momentos em kNm) 
 
 
 
 
12) 
 
 
 
 
Diagrama de forças cortantes: (forças em kN) 
 
 
 
 
 
Diagrama de momentos fletores: (momentos em kNm) 
 
 
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53 
 
 
 
13) 
 
 
 
 
 
 
Diagrama de forças cortantes: (forças em kN) 
 
 
 
 
 
 
Diagrama de momentos fletores: (momentos em kNm) 
 
 
 
 
 
14) 
 
 
 
 
 
 
Diagrama de forças cortantes: (forças em kN) 
 
 
 
 
 
 
Diagrama de momentos fletores: (momentos em kNm) 
 
 
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54 
 
 
 
15) 
 
 
 
 
 
 
Diagrama de forças cortantes: (forças em kN) 
 
 
 
 
 
 
 
 
Diagrama de momentos fletores: (momentos em kNm) 
 
 
 
 
16) 
 
 
 
 
 
Diagrama de forças cortantes: (forças em kN) 
 
 
 
 
 
 
 
 
Diagrama de momentos fletores: (momentos em kNm) 
 
 
 
Resistência dos Materiais para Arquitetos rev.0 – 2011 – pág. 
 
Contato: resmat.para.arquitetos@gmail.com - Prof. Maria Del Carmen Lopez Galan e Prof. Maria Regina Leoni Schmid Sarro 
 
 
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Diagrama de forças cortantes: (forças em kN) 
 
 
 
 
 
Diagrama de momentos fletores: (momentos em kNm) 
 
 
 
 
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Diagrama de forças cortantes: (forças em kN) 
 
 
 
 
Diagrama de momentos fletores: (momentos em kNm) 
 
 
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Diagrama de forças cortantes: (forças em kN) 
 
 
 
 
Diagrama de momentos fletores: (momentos em kNm)