Métodos de Análise Estrutural

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FLECHAS EM 
ESTRUTURAS DE 
CONCRETO
Eng. Luciano Reis
INTRODUÇÃO SOBRE OS MÉTODOS DE ANÁLISE
1
Comumente vemos muita preocupação dos projetistas iniciantes em definir as di-
mensões das vigas, resistência à compressão do concreto (ƒck), quantidades e bi-
tolas da armadura, cobrimento e outros parâmetros geométricos relacionados de 
forma mais direta ao ELU, muitas vezes ponderando as cargas de forma equivoca-
da ou até mesmo simplificando em demais as relações de esforços e resistências.
 
É necessário, antes de tudo, compreender a diferença entre os métodos de di-
mensionamento de estruturas. O primeiro deles, e demasiadamente simplificado, é 
o método das tensões admissíveis. Esse método surgiu no século XX e simplificava o 
uso dos materiais limitando-os ao fim dos seus limites elásticos. Ou seja, a plastifica-
ção do material era desprezada por não dominarem ainda o estudo dos estados 
plásticos e, muito mais, também por não terem máquinas capazes de parametrizar 
corretamente as propriedades, haja visto que, segundo FUSCO (2017) somente em 
1845 foi construída a primeira máquina capaz de medir a resistência axial dos ma-
teriais (prensa) pelo engenheiro Fairbairn. Mas, vejam só: Já existiam pontes, igre-
jas, castelos e outras grandes construções feitas desde períodos antes de Cristo. 
Como, então, essas construções foram possíveis sem conhecermos os materiais?
As construções eram basicamente feitas por métodos comparativos. “Se essa ficou 
em pé, outra exatamente igual, também tem de ficar em pé”. Assim foi construí-
do o centro histórico da Cidade de São Luís e tantas outras construções históricas.
INTRODUÇÃO SOBRE OS MÉTODOS DE ANÁLISE
1
Comumente vemos muita preocupação dos projetistas iniciantes em definir as di-
mensões das vigas, resistência à compressão do concreto (ƒck), quantidades e bi-
tolas da armadura, cobrimento e outros parâmetros geométricos relacionados de 
forma mais direta ao ELU, muitas vezes ponderando as cargas de forma equivoca-
da ou até mesmo simplificando em demais as relações de esforços e resistências.
 
É necessário, antes de tudo, compreender a diferença entre os métodos de di-
mensionamento de estruturas. O primeiro deles, e demasiadamente simplificado, é 
o método das tensões admissíveis. Esse método surgiu no século XX e simplificava o 
uso dos materiais limitando-os ao fim dos seus limites elásticos. Ou seja, a plastifica-
ção do material era desprezada por não dominarem ainda o estudo dos estados 
plásticos e, muito mais, também por não terem máquinas capazes de parametrizar 
corretamente as propriedades, haja visto que, segundo FUSCO (2017) somente em 
1845 foi construída a primeira máquina capaz de medir a resistência axial dos ma-
teriais (prensa) pelo engenheiro Fairbairn. Mas, vejam só: Já existiam pontes, igre-
jas, castelos e outras grandes construções feitas desde períodos antes de Cristo. 
Como, então, essas construções foram possíveis sem conhecermos os materiais?
As construções eram basicamente feitas por métodos comparativos. “Se essa ficou 
em pé, outra exatamente igual, também tem de ficar em pé”. Assim foi construí-
do o centro histórico da Cidade de São Luís e tantas outras construções históricas. 2
No entanto, sabemos que as pedras 
utilizadas para as alvenarias eram ex-
traídas de diversas jazidas. Portanto, 
não têm as mesmas propriedades. 
Então, ocorre um excesso para que 
seja possível que suportem os esforços 
e incertezas, além de todos os outros 
materiais utilizados também estarem 
sujeitos às diversas incertezas. Igrejas 
e castelos eram construídas por base 
multiplicativa linear. Ou seja, se uma 
parede de 30cm chegou, sem cair, a 
uma altura de 3m, então uma pare-
de de 60cm deve poder se erguer a 
6m e uma parede de 90cm, até 9m...
Basicamente, historicamente, os méto-
dos de análise das estruturas evoluíram 
conforme a evolução científica da so-
ciedade. 
Descobrimos o ferro, o aço, isso possibilitou 
a construção da primeira prensa que possi-
bilitou a definição de parâmetros da linea-
ridade dos estados elásticos dos materiais e 
criamos o método das tensões admissíveis 
que, nem de perto, utiliza bem os materiais, 
como foi citado. Para exemplificar, a Figu-
ra 1 mostra o diagrama tensão x deformação 
para o concreto da NBR 6118 (ABNT, 2014).
Figura 1 – Diagrama tensão x Deformação para o 
Concreto
3
Reparem que apenas até 0,5 ƒck é considerado linear-elástico, o concreto de 
2014 em diante. Ora, mas o método data do século XX. Até então, tínhamos di-
ficuldades em produzir concretos de 20 MPa. Então, no máximo 10 MPa deve-
riam causar deformações lineares, segundo a NBR 6118. Concretos conven-
cionais chegavam a 10 MPa, onde apenas 5 MPa eram lineares. E, como o 
método das tensões admissíveis trabalhava com o método das tensões admissí-
veis, apenas os 5 MPa seriam utilizados para o dimensionamento, o que explica 
as dimensões dos pilares das construções de concreto armado mais antigas. E o 
aço, que chegava a, no máximo, 120 MPa!? Observem que nem falamos ain-
da sobre fatores de segurança. Então, agradeçam por viverem no século XXI.
O método das tensões admissíveis evoluiu para um método mais estatístico. Tan-
to para cargas quanto para resistências e modelos de cálculo. “mas, espera 
aí. Como assim, ‘modelos de cálculo’?“. Dependendo do que se deseja anali-
sar, o método dos estados limites pondera as cargas de forma diferente. Por isso 
sair multiplicando tudo por 1,4 não vai resolver a vida do engenheiro moder-
no. É preciso conhecer essas ponderações e suas motivações. Nada é tão sim-
ples quanto se pensa. Mas também não é preciso complicar demais. Como 
disse George Box “Todos os modelos estão errados, mas alguns são úteis”.
Mas, se George Box está certo, então por que o método dos estados limites é 
mais útil ou, pelo menos, mais assertivo que o método das tensões admissíveis?
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Reparem que apenas até 0,5 ƒck é considerado linear-elástico, o concreto de 
2014 em diante. Ora, mas o método data do século XX. Até então, tínhamos di-
ficuldades em produzir concretos de 20 MPa. Então, no máximo 10 MPa deve-
riam causar deformações lineares, segundo a NBR 6118. Concretos conven-
cionais chegavam a 10 MPa, onde apenas 5 MPa eram lineares. E, como o 
método das tensões admissíveis trabalhava com o método das tensões admissí-
veis, apenas os 5 MPa seriam utilizados para o dimensionamento, o que explica 
as dimensões dos pilares das construções de concreto armado mais antigas. E o 
aço, que chegava a, no máximo, 120 MPa!? Observem que nem falamos ain-
da sobre fatores de segurança. Então, agradeçam por viverem no século XXI.
O método das tensões admissíveis evoluiu para um método mais estatístico. Tan-
to para cargas quanto para resistências e modelos de cálculo. “mas, espera 
aí. Como assim, ‘modelos de cálculo’?“. Dependendo do que se deseja anali-
sar, o método dos estados limites pondera as cargas de forma diferente. Por isso 
sair multiplicando tudo por 1,4 não vai resolver a vida do engenheiro moder-
no. É preciso conhecer essas ponderações e suas motivações. Nada é tão sim-
ples quanto se pensa. Mas também não é preciso complicar demais. Como 
disse George Box “Todos os modelos estão errados, mas alguns são úteis”.
Mas, se George Box está certo, então por que o método dos estados limites é 
mais útil ou, pelo menos, mais assertivo que o método das tensões admissíveis?
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Primeiramente é preciso lembrar que o método das tensões admissíveis se baseia no re-
gime elástico. Suas equações e modelos de cálculo, mesmo adaptadas, não facilitam 
a aplicação dos regimes plásticos, apesar de, como cita FUSCO (2017), ter sito um gran-
de avanço na análise das estruturas. Ainda era um método muito experimental e semi-
-empírico ao extremo com cargas arbitradas, já que desconhecia-se os carregamentos, 
realmente. O sucesso do método das tensões admissíveis, na época se deu muito mais 
por trabalhar no regime linear (onde surgem apenas pequenos deslocamentos) e por ser 
o primeiro com alguma ciênciadas propriedades mecânicas dos materiais envolvida.
O método dos estados limites dividiu as estruturas em dois estados. Estado Limite Último 
(ELU), onde avalia-se a possibilidade de colapso e dimensiona-se os materiais para que isso 
nunca ocorra e o Estado Limite de Serviço (ELS) (utilização) onde estudamos os problemas 
que a estrutura pode causar no uso do espaço edificado. Veja bem... No método das ten-
sões admissíveis, avaliávamos apenas a possibilidade de colapso (ELU). O ELS, no método 
das tensões admissíveis era, geralmente, garantido basicamente por sempre trabalharmos 
nos regimes elásticos, onde, como foi dito, ocorrem apenas pequenos deslocamentos.
5
Mas, o Método dos Estados Limites surgiu em uma época em que podíamos dispor 
dos materiais em quase sua totalidade. Aplicávamos fatores de segurança con-
forme estudos de desvio padrão das resistências, incertezas na fabricação e uso 
como outros fatores de ponderação importantes analisados em uma área da En-
genharia que chamamos de Confiabilidade Estrutural.
O Webinar que é acompanhado por esta apostila vem apresentar, no ELS, a diferença 
das combinações de cargas e os motivos de ocorrer dessa forma. Portanto, viemos tra-
tar mais de uma discussão sobre os Estados Limites, mas, utilizando as Flechas Estruturais 
como objeto de apresentação deste conteúdo. Esperamos que seja-lhes proveitoso.
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Mas, o Método dos Estados Limites surgiu em uma época em que podíamos dispor 
dos materiais em quase sua totalidade. Aplicávamos fatores de segurança con-
forme estudos de desvio padrão das resistências, incertezas na fabricação e uso 
como outros fatores de ponderação importantes analisados em uma área da En-
genharia que chamamos de Confiabilidade Estrutural.
O Webinar que é acompanhado por esta apostila vem apresentar, no ELS, a diferença 
das combinações de cargas e os motivos de ocorrer dessa forma. Portanto, viemos tra-
tar mais de uma discussão sobre os Estados Limites, mas, utilizando as Flechas Estruturais 
como objeto de apresentação deste conteúdo. Esperamos que seja-lhes proveitoso.
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Para o dimensionamento das Estruturas, a NBR 6118 (ABNT, 2014) sugere, pouco amistosamente, 
que sejam avaliadas, as cargas, para o ELU, conforme a Tabela 1 (desta apostila. Na norma é a 
Tabela 11.3)
COMBINAÇÕES DE CARGAS 
Tabela 1 – Combinações Últimas
7
Já para o ELS, não mais amistosamente, a NBR 6118 sugere as ponderações segundo a Ta-
bela 2 (Eu vou colocar o número da tabela da norma entre parênteses pra ninguém di-
zer que eu errei. Tabela 11.4). Para efeitos didáticos deste Webinar, consideraremos 
somente a existência, para o ELU, das combinações normais e, para o ELS, as flechas. Lem-
brando que, por normal, entenda “uso normal”. Ou seja, o uso para o qual foi projetado. 
Mas, sabemos que, durante a construção das edificações, a estrutura pode estar sujeita 
a sobrecargas de equipamentos de içamento, estoques desorientados e outras análi-
ses que podem levá-la ao colapso por sobrecarga ou, em estruturas protendidas, por fal-
ta da sobrecarga “no momento da protensão”. A Equação 1 expressa a combinação nor-
mal para o ELU e a Equação 2, a combinação para avaliação das flechas em Estruturas.
Os coeficientes γ e Ψ são apresenta-
dos nas tabelas 3 e 4 (Tabelas 11.1 e 
11.2) respectivamente.
Tabela 2 – Combinações de Serviço
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Já para o ELS, não mais amistosamente, a NBR 6118 sugere as ponderações segundo a Ta-
bela 2 (Eu vou colocar o número da tabela da norma entre parênteses pra ninguém di-
zer que eu errei. Tabela 11.4). Para efeitos didáticos deste Webinar, consideraremos 
somente a existência, para o ELU, das combinações normais e, para o ELS, as flechas. Lem-
brando que, por normal, entenda “uso normal”. Ou seja, o uso para o qual foi projetado. 
Mas, sabemos que, durante a construção das edificações, a estrutura pode estar sujeita 
a sobrecargas de equipamentos de içamento, estoques desorientados e outras análi-
ses que podem levá-la ao colapso por sobrecarga ou, em estruturas protendidas, por fal-
ta da sobrecarga “no momento da protensão”. A Equação 1 expressa a combinação nor-
mal para o ELU e a Equação 2, a combinação para avaliação das flechas em Estruturas.
Os coeficientes γ e Ψ são apresenta-
dos nas tabelas 3 e 4 (Tabelas 11.1 e 
11.2) respectivamente.
Tabela 2 – Combinações de Serviço
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Tabela 3 – Coeficientes de ponderação γ de 
ações
9
Tabela 4 – tabela dos coeficientes de ponderação Ψ (ou γ2)
9
Tabela 4 – tabela dos coeficientes de ponderação Ψ (ou γ2)
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Figura 2 – Esquematização da leitura da combinação última
Figura 3 – Comparação entre combinações últimas e de serviço
Utilizando a NBR 6120 (ABNT, 
2019), é possível identificar 
cada um desses carrega-
mentos. Iremos propor um 
exemplo para simplificar. 
Mas, antes, vamos avaliar 
também o parâmetro geo-
métrico do Momento de Inér-
cia e o parâmetro do mate-
rial (Módulo de Elasticidade).
11
MOMENTO DE INÉRCIA E MÓDULO DE ELASTICIDADE
Das propriedades mecânicas dos materiais, aquelas que costumamos to-
mar como as mais importantes para a área de estrutura são a resistên-
cia à compressão axial e o módulo de elasticidade. O módulo é, nada mais 
nada menos, que uma constante de proporção, no regime elástico, en-
tre as tensões e as deformações. Veja o artigo “Tensões e Deformações” do 
BLOG Mecânica das Estruturas. Esta a obtenção desta propriedade é defi-
nida pela NBR 6118, para concretos classe C20 a C50, segundo a Equação 3.
Esta equação para o módulo de elasticidade é correspondente ao mó-
dulo de elasticidade inicial (Eci). Mas, devido aos efeitos de fluência, o 
item 17.3.2.1 da NBR 6118 especifica o uso do Módulo de Elasticidade Se-
cante (Ecs), de menor valor que o Módulo de Elasticidade Inicial. O Módu-
lo de Elasticidade Secante do Concreto é definido segundo a equação 4.
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MOMENTO DE INÉRCIA E MÓDULO DE ELASTICIDADE
Das propriedades mecânicas dos materiais, aquelas que costumamos to-
mar como as mais importantes para a área de estrutura são a resistên-
cia à compressão axial e o módulo de elasticidade. O módulo é, nada mais 
nada menos, que uma constante de proporção, no regime elástico, en-
tre as tensões e as deformações. Veja o artigo “Tensões e Deformações” do 
BLOG Mecânica das Estruturas. Esta a obtenção desta propriedade é defi-
nida pela NBR 6118, para concretos classe C20 a C50, segundo a Equação 3.
Esta equação para o módulo de elasticidade é correspondente ao mó-
dulo de elasticidade inicial (Eci). Mas, devido aos efeitos de fluência, o 
item 17.3.2.1 da NBR 6118 especifica o uso do Módulo de Elasticidade Se-
cante (Ecs), de menor valor que o Módulo de Elasticidade Inicial. O Módu-
lo de Elasticidade Secante do Concreto é definido segundo a equação 4.
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Como as estruturas de concreto estão, normalmente, fissuradas, é inconcebível utilizarmos a 
inércia bruta da seção para verificações de flecha. Ao observar a Figura 4, é possível entender 
o motivo de não podermos considerar a inércia total da seção bruta. As fissuras em uma viga de 
concreto armado são de variados comprimentos, formatos, aberturas, inclinações e posições, 
estas últimas apontam a causa da ruptura ou colapso de uma viga. Isso é de simples compre-
ensão com o estudo das tensões principais (procure compreender o círculo de Mohr com a 
aplicação em uma viga). Como os comprimentos das fissuras perturbam a inércia da viga, e já 
conhecemos a consagrada formulação para seções retangulares (I=bh³/12), as fissuras, pode-
mos afirmar, não alteram as larguras das vigas (bw). no entanto, perturbam as alturas, que são 
o principal componente de influência na inércia da direção x. Na figura 4 é possível ver que vá-
rias alturas de fissuração existentes em uma viga geram várias inércias de seção de concreto.
A Tabela 3 (Tabela 8.1) apresenta os valores dos módulos de elasticidade para
 concretos C20 a C90.
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Figura 4 – Perturbação nas inércias das seções devido à fissuração
As tensões, então, começam a desviar das fissuras, como mostraa figura 5. Causando 
concentração de tensões nas pontas das fissuras, potencializando a propagação 
da trinca. A armadura funciona como uma ponte de tensões, mantendo parte do 
funcionamento até então íntegro. A fissuração, no entanto, concentra as tensões 
da viga na parte mais inferior (armadura) e nas partes sobre a fissura, mudando, 
assim, o equacionamento de tensões mostrado nos artigos enviados para leitura. 
Ou seja, a partir do estado fissurado, muda o armazenamento de Energia, alteran-
do sua cinética de movimento, onde se trata do conceito de Momento de Inércia.
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Figura 4 – Perturbação nas inércias das seções devido à fissuração
As tensões, então, começam a desviar das fissuras, como mostra a figura 5. Causando 
concentração de tensões nas pontas das fissuras, potencializando a propagação 
da trinca. A armadura funciona como uma ponte de tensões, mantendo parte do 
funcionamento até então íntegro. A fissuração, no entanto, concentra as tensões 
da viga na parte mais inferior (armadura) e nas partes sobre a fissura, mudando, 
assim, o equacionamento de tensões mostrado nos artigos enviados para leitura. 
Ou seja, a partir do estado fissurado, muda o armazenamento de Energia, alteran-
do sua cinética de movimento, onde se trata do conceito de Momento de Inércia. 14
Figura 5 – Influência da armadura na transmissão das tensões internas do Concreto Armado
Branson, em 1965, estudou vigas retangulares e Tê. Assim, propôs um equacionamento 
para uma inércia média advinda de uma seção homogeneizada, como foi ensinado em 
outro artigo enviado para leitura prévia. Seu equacionamento, que partiu dos ensaios ex-
perimentais e aproximação da formulação, considera os Estádios I e II de tensões e exprime 
uma inércia intermediária entre o Estádio I (momento de inércia da seção íntegra) e o Es-
tádio II (momento de inércia da seção fissurada). Os pesos utilizados consideram o estado 
de fissuração da seção através da relação Mr/Ma que exprime a proporção de fissuração 
da seção (perda de seção). A equação 5 e 6 exprimem o centro de gravidade e o mo-
mento de inércia da seção íntegra (estádio I), respectivamente, para vigas retangulares.
15
Este momento de inércia apenas é útil a para o cálcu-
lo do momento de inércia efetivo. Para o momento de inércia mé-
dio, utilizamos o momento de inércia da seção bruta íntegra (bh³/12).
Como comentado previamente, a o momento de Inércia para o Estádio II é um 
valor da seção armada fissurada. Há de se lembrar que não consideramos a exis-
tência da armadura até que a mesma fissure (Estádio II). A Equação 7 represen-
ta a constante de relação dos módulos de elasticidade do aço e do concreto 
e a Equação 8 exprime a área de concreto equivalente (análoga) à armação 
(área de concreto que sofreria a mesma deformação axial que a área de aço 
presente na viga). A Equação 9 mostra a obtenção do centro de gravidade da 
seção fissurada armada, a Equação 10 resume o momento de inércia do Está-
dio II e a Equação 11, o Momento de Inércia Equivalente. A Equação 12 mos-
tra a forma de obtenção do Momento de Inércia Efetivo (Média de Branson).
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Este momento de inércia apenas é útil a para o cálcu-
lo do momento de inércia efetivo. Para o momento de inércia mé-
dio, utilizamos o momento de inércia da seção bruta íntegra (bh³/12).
Como comentado previamente, a o momento de Inércia para o Estádio II é um 
valor da seção armada fissurada. Há de se lembrar que não consideramos a exis-
tência da armadura até que a mesma fissure (Estádio II). A Equação 7 represen-
ta a constante de relação dos módulos de elasticidade do aço e do concreto 
e a Equação 8 exprime a área de concreto equivalente (análoga) à armação 
(área de concreto que sofreria a mesma deformação axial que a área de aço 
presente na viga). A Equação 9 mostra a obtenção do centro de gravidade da 
seção fissurada armada, a Equação 10 resume o momento de inércia do Está-
dio II e a Equação 11, o Momento de Inércia Equivalente. A Equação 12 mos-
tra a forma de obtenção do Momento de Inércia Efetivo (Média de Branson).
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O valor m considera o tipo de análise como sendo 4, caso a análise seja fei-
ta apenas em 1 seção da viga, ou 3, se analisarmos todo o seu comprimento.
17
MOMENTO DE INÉRCIA E MÓDULO DE ELASTICIDADE
As flechas imediatas são calculadas com base nos momentos fletores advin-
dos das cargas combinadas conforme mostrado. Porém, o tempo das cargas 
duradouras ativa a fluência dos materiais. Ou seja, deformações sob o mes-
mo estado de tensões (sem aumento de carga). Assim, as flechas medidas na 
data de construção, entrega da obra, e a cada 1 ano, são diferentes mes-
mo que a edificação não sofra aumento das cargas atuantes na estrutura.
Os deslocamentos diferidos no tempo são analisados de forma aproximada e, mes-
mo assim, ainda não há tanta certeza de que a estrutura atingirá esses valores exata-
mente, pois isso exige ensaios com durações de décadas sem que haja perturbação 
no material ou em sua carga, algo praticamente impossível. Assim, a NBR 6118/2014 
adotou as Equações 13 a 16 como forma de obter as flechas diferidas no tempo.
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MOMENTO DE INÉRCIA E MÓDULO DE ELASTICIDADE
As flechas imediatas são calculadas com base nos momentos fletores advin-
dos das cargas combinadas conforme mostrado. Porém, o tempo das cargas 
duradouras ativa a fluência dos materiais. Ou seja, deformações sob o mes-
mo estado de tensões (sem aumento de carga). Assim, as flechas medidas na 
data de construção, entrega da obra, e a cada 1 ano, são diferentes mes-
mo que a edificação não sofra aumento das cargas atuantes na estrutura.
Os deslocamentos diferidos no tempo são analisados de forma aproximada e, mes-
mo assim, ainda não há tanta certeza de que a estrutura atingirá esses valores exata-
mente, pois isso exige ensaios com durações de décadas sem que haja perturbação 
no material ou em sua carga, algo praticamente impossível. Assim, a NBR 6118/2014 
adotou as Equações 13 a 16 como forma de obter as flechas diferidas no tempo.
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FLECHAS LIMITE
Após a obtenção das flechas com a análise estrutural aplicando as inér-
cias das seções como mostradas, é preciso comparar com os valores li-
mítrofes definidos pela norma. Esses valores de comparação foram defini-
dos de forma a garantir o conforto, uso não-interferências com elementos 
não-estruturais. Logo, a aceitabilidade é definida basicamente de forma com-
parativa dos valores obtidos com os valores limite apresentados na tabela 5.
Tabela 5 – Valores definidos pela NBR 6118/2014 para ξ