Física Clássica Aula 19

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Movimento Plano do Corpo R´ıgido
F´ISICA CLA´SSICA
Rafael,
Suzana
Bras´ılia, 1o semestre de 2009
Universidade de Bras´ılia - Faculdade do Gama
Rafael,Suzana F´ISICA CLA´SSICA
Movimento Plano do Corpo R´ıgido
Movimento Plano do Corpo
R´ıgido
Rafael,Suzana F´ISICA CLA´SSICA
Movimento Plano do Corpo R´ıgido
Energia Cine´tica
I Seja T a Energia Cine´tica de um sistema
arbitra´rio de part´ıculas
I T = 12
∑N
i=1miv
2
i
I vi = vrelCMi + VCM
I T = 12
∑N
i=1mi(v
relCM
i + VCM)
2
I T = 12
∑N
i=1mi(v
relCM
i )
2 + 12MVCM
2 ja´ que∑N
i=1miv
relCM
i = 0
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Movimento Plano do Corpo R´ıgido
Energia Cine´tica
I A energia cine´tica de um sistema de part´ıculas
e´ a soma da energia cine´tica interna com a
energia cine´tica de translac¸a˜o do CM
I No caso do Movimento Plano do Corpo
R´ıgido o movimento interno e´ uma rotac¸a˜o em
torno de um eixo que passa pelo CM, sendo
assim, o primeiro termo da equac¸a˜o anterior
pode ser identificado como Energia Cine´tica de
rotac¸a˜o em torno do CM
I T = 12 ICMω
2 + 12MV
2
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Movimento Plano do Corpo R´ıgido
Rolamento
I Consideremos uma roda de raio R (idealizada
como um cilindro circular r´ıgido) que rola sobre
uma superf´ıcie plana horizontal.
I Um Rolamento sem deslizamento ou um
Rolamento Puro e´ caracterizado se cada
ponto da periferia da roda quando entra em
contato com o plano horizontal, na˜o desliza
sobre ele.
I O que se pode dizer com relac¸a˜o ao atrito neste
movimento? E´ poss´ıvel ter atrito desprez´ıvel?
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Movimento Plano do Corpo R´ıgido
Rolamento
I Assim durante uma revoluc¸a˜o completa da
roda cada ponto de sua extremidade tera´
entrado em contato com um e somente um
ponto do plano horizontal.
I Sendo assim, a roda tera´ avanc¸ado uma
distaˆncia igual ao comprimento de sua
circunfereˆncia.
I No caso de um rolamento por um aˆngulo
arbitra´rio φ, note que o deslocamento e´ o
comprimento do arco s = Rφ.
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Movimento Plano do Corpo R´ıgido
Rolamento
I Condic¸a˜o caracter´ıstica do rolamento sem
deslizamento: V = ωR onde V e´ a velocidade
de translac¸a˜o do CM.
I O rolamento puro e´ um movimento plano que
corresponde a uma combinac¸a˜o de rotac¸a˜o com
translac¸a˜o.
I Um dado ponto da extremidade da roda
descreve uma trajeto´ria conhecida como
ciclo´ide.
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Movimento Plano do Corpo R´ıgido
Rolamento
I A velocidade de um ponto qualquer do corpo e´
a soma da velocidade de translac¸a˜o com a
velocidade de rotac¸a˜o em relac¸a˜o ao CM, ou
seja:
I v = V + ωX r
I onde V e´ a velocidade de translac¸a˜o da roda
(CM) e r e´ o vetor posic¸a˜o relativo ao CM.
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Movimento Plano do Corpo R´ıgido
Aplicac¸a˜o: Cilindro sobre um plano
inclinado
I No caso de um cilindro que rola sem deslizar
sobre um plano inclinado, observe que a normal
e o peso na˜o realizam torque em relac¸a˜o ao
CM, pois sa˜o aplicados sobre o CM.
I Assim, o torque que faz o cilindro rolar e´
resultado da ac¸a˜o da forc¸a de atrito.
I Observe que como a velocidade dos pontos de
contato entre a forc¸a de atrito e o plano
inclinado e´ nula, a forc¸a de atrito na˜o realiza
trabalho.
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Aplicac¸a˜o: Cilindro sobre um plano
inclinado
I Decompondo as forc¸as, temos em x
N −Mgcosθ = 0 e em y Mgsenθ − Fa = MX¨
I Para a rotac¸a˜o, RFa = ICM φ¨.
I Da condic¸a˜o de rolamento puro,
X = Rφ→ X˙ = Rφ˙→ X¨ = Rφ¨
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Aplicac¸a˜o: Cilindro sobre um plano
inclinado
I Escrevemos o momento de ine´rcia do cilindro
como ICM = Mk
2, onde k e´ o raio de girac¸a˜o,
que para o cilindro vale k = R/
√
2.
I Combinando as equac¸o˜es anteriores, podemos
encontrar N , X¨ e Fa.
I N = Mgcosθ, X¨ =
gsenθ
1 + k
2
R2
e
Fa = Mgsenθ
k2
k2 + R2
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Aplicac¸a˜o: Cilindro sobre um plano
inclinado
I Como o cilindro rola sem deslizar, o atrito
envolvido e´ o atrito esta´tico.
I Assim Fa ≤ µeN
I Combinando os resultados para Fa e N ,
obtemos
I tgθ ≤ µe k
2 + R2
k2
= tgθr , onde θr e´ o maior
aˆngulo que o plano pode ter para que haja
rolamento sem deslizamento.
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Aplicac¸a˜o: o Ioioˆ
Brinquedo formado por dois
discos ligados por um eixo
central estreito, em torno do
qual se enrola um fio que
se mante´m esticado. Pren-
dendo a extremidade do fio e
soltando o ioioˆ, ele rola para
baixo ate´ desenrolar o fio, que
enta˜o passa de um lado do
eixo para o outro e se enrola
a` medida que o ioioˆ volta a
subir.
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Aplicac¸a˜o: o Ioioˆ
I A figura mostra a situac¸a˜o durante a descida
I Supondo atrito desprez´ıvel: O torque em
relac¸a˜o ao CM e´ dado por τext = T1r onde r
e´ o raio do eixo central (suficientemente
pequeno para o fio permanecer na horizontal)
I T1r = ICMα
I a acelerac¸a˜o angular α e´ positiva ja´ que a
velocidade do ioioˆ aumenta a` medida que ele
desce...
I A porc¸a˜o X que o fio desenrolou e´ a distaˆncia
do CM a` extremidade fixa
I MX¨ = Mg − T1
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Aplicac¸a˜o: o Ioioˆ
I Para uma rotac¸a˜o infinitesimal φ X aumenta de
dX = rdφ que e´ a porc¸a˜o adicional de fio
desenrolada
I X˙ = r φ˙ e X¨ = r φ¨ onde α = φ¨
I T1 = Mg1+Mr2/ICM ; X¨ =
r2
ICM
T1
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Aplicac¸a˜o: o Ioioˆ
I Durante a subida do ioioˆ o sentido da rotac¸a˜o
permanece o mesmo, mas o fio passou para o
outro lado do eixo, de modo que o torque e´
negativo
I −T1r = ICMα
I α < 0 exprime a desacelerac¸a˜o angular na
subida
I dX = −rdφ
I X˙ = −r φ˙
I X¨ = −r φ¨
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Aplicac¸a˜o: o Ioioˆ
I A equac¸a˜o de movimento MX¨ = Mg − T1 na˜o
se altera na subida
I Portanto os resultados obtidos para T1 e X¨
continuam va´lidos...
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Refereˆncias
I Livro texto, cap´ıtulo 12 (p. 260 - 267).
I Exerc´ıcios pag. 284 nos 6 a 17
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