Limites Aula 04

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1
• Limites no Infinito
• Limite de Funções Racionais
• Limites Infinitos
Adalberto Santos


n
x
xlim)I






 ímparénse
parénse
xlim)II n
x
:então,polinomialfunçãoumaé
a,xa...xaxaa)x(fSe n
n
n 0
2
210 


)xa(lim)x(flim)I nn
xx


)xa(lim)x(flim)II nn
xx





ímparénse
parénse
Exemplos:


)xx(lim)
x
3741 2


)xxx(lim)
x
224 2732


)xxx(lim)
x
23453 23 x
1
lim 0
x

x
1
lim 0
x

?
x
1
)x(ftipodofunçõesparaE 
2
Para todo número natural n, diferente 
de zero e para 
 {0},b
tem-se
) lim 0
nx
b
a
x
 ) lim 0nx
b
b
x

n 0
Determinar o 
3
3
lim 5
x x
 
 
 
Aplicando diretamente a proposição.
3
3
lim 5
x x
 
  
 
3
3
lim lim 5
x xx 
 
  
 
0 5 5  
3
3
( ) 5f x
x
 
lim ( ) 5
x
f x


lim ( ) 5
x
f x


5




 
  


,
( )
lim 0,
( )
n
m
x
a
se n m
b
P x
se n m
Q x
se n m
( )
Seja ( )
( )
P x
f x
Q x

, em que P(x) e Q(x) são
polinômios de coeficientes reais de graus
n e m, respectivamente, então
Limite de Funções Racionais 
3
4 3
1
lim
5 2x
x
x x x


  


3
Observe que n = 3 e m = 4. 
Logo n < m e portanto
3
4 3
1
lim
5 2x
x
x x x

  
0




 
  


,
( )
lim 0,
( )
n
m
x
a
se n m
b
P x
se n m
Q x
se n m
2 3
lim
3 2x
x
x





Observe que n = 1 e m = 1. 
Logo n = m e portanto
2 3
lim
3 2x
x
x


2
3





 
  


,
( )
lim 0,
( )
n
m
x
a
se n m
b
P x
se n m
Q x
se n m
Calcular 
2
1
lim
5x
x
x





2
1
5
x
x


2
1
5
| | 1
x
x
x


 
 
 
2
2
1
5
1
x
x
x


 
 
 
2
1
1
5
| | 1
x
x
x
x
 
 
 

 
 
 
Neste problema, a função não é 
racional, mas usaremos a 
mesma ideia.
2 2
1 1
1 1
lim lim
5 5
1 1
x x
x
x x
x
x x
 
   
    
    
   
    
   
1
lim 1
1x
 
0


2
1
lim
5x
x
x

 
 
 
 
 
 
2
1
1
lim
5
| | 1
x
x
x
x
x
4
Exercícios Propostos:










 1
222
x
xx
lim)a
x
 xxxlim)c
x


232
4 3
2
3 2
lim
3x
x x x
x
  
 
  
b)




 
  


,
( )
lim 0,
( )
n
m
x
a
se n m
b
P x
se n m
Q x
se n m
4 3
2
3 2
lim
3
  
 
  
x
x x x
x
4 3
4 2
3 2
lim
6 9
 

 x
x x x
x x
 
4 3
2
2
3 2
lim
3

 
  
  
 
x
x x x
x
3
3
x 3
1
lim
| x 3 | 
x 3
lim f(x)

 
x 3
lim f(x)

 


=


  
  
x a
x a
f(x) f(x)
1. lim ,se 0
g(x) g(x)
f(x) f(x)
2. lim ,se 0
g(x) g(x)
Sejam f(x) e g(x) funções reais. Se
então 
 
  *
x a x a
lim f(x) k, k R , e lim g(x) 0,

 
 
 
2
x 2
2x 3
lim .
x 2
Considere o limite
Temos



x 2
2x 3
lim
x 2
1
0
Mas,  
 
 
2
2x 3
0
x 2
Daí,

 
  
 
2
x 2
2x 3
lim
x 2
5
Calcular o limite
2
3
2 1
lim
3
 
 
 x
x
x
2
3
2 1
lim
3
 
 
 x
x
x
 
2
3
Como lim 2 1 49 0,
x
x

  
 
3
lim 3 0

 
x
x
 
 
2
2
3
2 1
lim
3


x
x
x
 
 
2
2
2 1
e 0
3



x
x


  
  
x a
x a
f(x) f(x)
1.lim ,se 0
g(x) g(x)
f(x) f(x)
2.lim ,se 0
g(x) g(x)


  
  
x a
x a
f(x) f(x)
1.lim ,se 0
g(x) g(x)
f(x) f(x)
2.lim ,se 0
g(x) g(x)
2
3
2 1
lim
3
 
 
 x
x
x
 21 1
23


 x
x
lim
x
   
1
2
1
01523


xx
xlimexlimComo
  0
5
1
23
21



 x
x
lim
x
Temos que fazer o estudo do sinal de
 
1
1
23
2
deesproximidadnas,
x
x
)x(g
)x(f



- + +
+ + +
_ + +
23  x)x(f
 21 x)x(g
3
2

1
 21
23



x
x
)x(g
)x(f
 



 21 1
23
x
x
limassimSendo
x
1
12
1 

 x
x
lim
x
    01312
11


xlimexlimComo
xx
0
3
1
12
1



 x
x
lim
x
6
Temos que fazer o estudo do sinal de
1
1
12
deesproximidadnas,
x
x
)x(g
)x(f



- + +
- - +
+ - +
12  x)x(f
 21 x)x(g
2
1

1
 21
23



x
x
)x(g
)x(f
1
12
1
12
1
12
1
11









 
x
x
lim
x
x
lim
x
x
limComo
x
xx
FLEMMING, Diva Maria. Cálculo A. São 
Paulo: Makron Books, 1992. 
LEITHOLD , Louis. O cálculo com 
Geometria Analítica , v. 1 . Harbra, 1976.
STEWART, James. Cálculo. v. 1, 5 ed. São 
Paulo: Pioneira, 2005