Propriedades dos limites

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EXERCÍCIOS SOBRE PORPRIEDADES DOS LIMITES 
01. Prove as seguintes propriedades dos limites: 
a) lim
𝑥→𝑎
𝑐 = 𝑐 b) lim
𝑥→𝑎
𝑥 = 𝑎 
c) lim
𝑥→𝑎
𝑥𝑛 = 𝑎𝑛 , 𝑛 inteiro positivo d) lim
𝑥→𝑎
[𝑓(𝑥)]𝑛 = [lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)]
𝑛
, 𝑛 inteiro positivo 
e) lim
𝑥→𝑎
[𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)] = lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) − lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥) 
02. (Substituição direta) Mostre que se 𝑓 é uma função polinomial e 𝑎 um número real, então 
lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎). 
03. Use o exercício anterior para provar que se q é uma função racional e 𝑎 está no domínio de 𝑞, então 
lim
𝑥→𝑎
𝑞(𝑥) = 𝑞(𝑎). 
04. Prove que lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿 se, e somente se lim
𝑥→𝑎−
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→𝑎+
𝑓(𝑥) =𝐿. 
05. Sabendo que 
lim
𝑥→3
𝑓(𝑥) = 5 lim
𝑥→3
𝑔(𝑥) = −2 lim
𝑥→3
ℎ(𝑥) = 4 
calcule, 
a) lim
𝑥→3
[𝑓(𝑥) + 2𝑔(𝑥)] b) lim
𝑥→3
[𝑔(𝑥)]2 c) lim
𝑥→3
√ℎ(𝑥) 
d) lim
𝑥→3
𝑔(𝑥)
𝑓(𝑥)
 e) lim
𝑥→3
𝑓(𝑥)ℎ(𝑥)
𝑔(𝑥)
 f) lim
𝑥→3
[𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) + ℎ(𝑥)] 
06. Calcule lim
𝑥→3
(2𝑥 + |𝑥 − 3|) 
07. Se lim
𝑥→1
𝑓(𝑥)−8
𝑥−1
= 10, calcule lim
𝑥→1
𝑓(𝑥). 
08. Prove o lim
𝑥→2
𝑥2+𝑥−6
|𝑥−2|
 não existe. 
 
RESOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS 
01. a) Considere 𝑓(𝑥) = 𝑐. Assim devemos mostrar que dado 𝜖 > 0, existe 𝛿 > 0 tal que 
0 < |𝑥 − 𝑎| < 𝛿 ⇒ |𝑓(𝑥) − 𝑐| < 𝜖 
Para isso, considere 𝜖 > 0 um número real dado. Tomando 𝛿 = 1, temos 
0 < |𝑥 − 𝑎| < 𝛿 ⇒ 𝑓(𝑥) = 𝑐 ⇒ 𝑓(𝑥) − 𝑐 = 0 ⇒ |𝑓(𝑥) − 𝑐| = 0 ⇒ |𝑓(𝑥) − 𝑐| < 𝜖 
Isso mostra que lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝑐, ou seja, lim
𝑥→𝑎
𝑐 = 𝑐. 
b) Considere 𝑓(𝑥) = 𝑥. Assim devemos mostrar que dado 𝜖 > 0, existe 𝛿 > 0 tal que 
0 < |𝑥 − 𝑎| < 𝛿 ⇒ |𝑓(𝑥) − 𝑎| < 𝜖 
Para isso, considere 𝜖 > 0 um número real dado. Tomando 𝛿 = 𝜖, temos 
|𝑥 − 𝑎| < 𝛿 ⇒ |𝑥 − 𝑎| < 𝜖 ⇒ |𝑓(𝑥) − 𝑎| < 𝜖 
Logo, 0 < |𝑥 − 𝑎| < 𝛿 ⇒ |𝑓(𝑥) − 𝑎| < 𝜖. Isso mostra que lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝑎, ou seja, lim
𝑥→𝑎
𝑥 = 𝑎. 
c) Usando a propriedade do limite do produto e o item b) acima temos: 
lim
𝑥→𝑎
𝑥𝑛 = lim
𝑥→𝑎
( 𝑥 ∙ 𝑥 ∙ ⋯ ∙ 𝑥⏟ )
𝑛 𝑣𝑒𝑧𝑒𝑠
= lim
𝑥→𝑎
𝑥 ∙ lim
𝑥→𝑎
𝑥 ∙⋯ ∙ lim
𝑥→𝑎
𝑥
⏟ 
𝑛 𝑣𝑒𝑧𝑒𝑠
= 𝑎 ∙ 𝑎 ∙ ⋯ ∙ 𝑎⏟ 
𝑛 𝑣𝑒𝑧𝑒𝑠
= 𝑎𝑛 
d) Usando a propriedade do limite do produto temos: 
lim
𝑥→𝑎
[𝑓(𝑥)]𝑛 = lim
𝑥→𝑎
[ 𝑓(𝑥) ∙ 𝑓(𝑥) ∙ ⋯ ∙ 𝑓(𝑥)⏟ ]
𝑛 𝑣𝑒𝑧𝑒𝑠
= lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) ∙ lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) ∙⋯ ∙ lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)
⏟ 
𝑛 𝑣𝑒𝑧𝑒𝑠
= [lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)]
𝑛
 
e) Considere lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿 e lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥) = 𝑀. Assim, devemos mostrar que lim
𝑥→𝑎
[𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)] = 𝐿 −𝑀, 
ou seja, dado 𝜖 > 0 existe 𝛿 > 0 tal que 
0 < |𝑥 − 𝑎| < 𝛿 ⇒ |(𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)) − (𝐿 −𝑀)| < 𝜖 
Para isso, considere 𝜖 > 0 um número real dado. Como lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿 e lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥) = 𝑀, existem 𝛿1 e 𝛿2 
tais que 
0 < |𝑥 − 𝑎| < 𝛿1 ⇒ |𝑓(𝑥) − 𝐿| <
𝜖
2
 
0 < |𝑥 − 𝑎| < 𝛿2 ⇒ |𝑔(𝑥) − 𝑀| <
𝜖
2
 
Tomando 𝛿 = 𝑚𝑖𝑛{𝛿1, 𝛿2} temos: 
0 < |𝑥 − 𝑎| < 𝛿 ⇒ |(𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)) − (𝐿 −𝑀)| = |(𝑓(𝑥) − 𝐿) + (𝑀 − 𝑔(𝑥))| ≤ 
 ≤ |𝑓(𝑥) − 𝐿| + |𝑀 − 𝑔(𝑥)| = |𝑓(𝑥) − 𝐿| + |𝑔(𝑥) − 𝑀| <
𝜖
2
+
𝜖
2
= 𝜖. 
Assim, lim
𝑥→𝑎
[𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)] = 𝐿 −𝑀, ou seja, lim
𝑥→𝑎
[𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)] = lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) − lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥) 
02. Seja 𝑓(𝑥) = 𝑎0𝑥
𝑛 + 𝑎1𝑥
𝑛−1 +⋯+ 𝑎𝑛−1𝑥 + 𝑎𝑛 uma função polinomial e 𝑎 um número real dado. 
Assim, 
lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→𝑎
(𝑎0𝑥
𝑛 + 𝑎1𝑥
𝑛−1 +⋯+ 𝑎𝑛−1𝑥 + 𝑎𝑛) 
 = lim
𝑥→𝑎
(𝑎𝑜𝑥
𝑛) + lim
𝑥→𝑎
(𝑎1𝑥
𝑛−1) + ⋯+ lim
𝑥→𝑎
(𝑎𝑛−1𝑥) + lim
𝑥→𝑎
𝑎𝑛 
 = 𝑎0 lim
𝑥→𝑎
𝑥𝑛 + 𝑎1 lim
𝑥→𝑎
𝑥𝑛−1 +⋯+ 𝑎𝑛−1 lim
𝑥→𝑎
𝑥 + lim
𝑥→𝑎
𝑎𝑛 
 = 𝑎0𝑎
𝑛 + 𝑎1𝑎
𝑛−1 +⋯+ 𝑎𝑛−1𝑎 + 𝑎𝑛 
 = 𝑓(𝑎) 
03. Seja 𝑞(𝑥) =
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
 uma função racional. Como 𝑓(𝑥) e 𝑔(𝑥) são polinômios, pelo exercício anterior 
lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎) e lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥) = 𝑔(𝑎). Assim, 
lim
𝑥→𝑎
𝑞(𝑥) = lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
=
lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)
lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥)
=
𝑓(𝑎)
𝑔(𝑎)
= 𝑞(𝑎) 
04. (⇒) Considere 𝜖 > 0 um número real dado. Como lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿, existe 𝛿 > 0 tal que para todo 𝑥 ∈
(𝑎 − 𝛿, 𝑎 + 𝛿) e 𝑥 ≠ 𝑎 tem-se |𝑓(𝑥) − 𝐿| < 𝜖. Em particular, 
𝑥 ∈ (𝑎 − 𝛿, 𝑎) ⇒ |𝑓(𝑥) − 𝐿| < 𝜖. Isso mostra que lim
𝑥→𝑎−
𝑓(𝑥) = 𝐿. 
𝑥 ∈ (𝑎, 𝑎 + 𝛿) ⇒ |𝑓(𝑥) − 𝐿| < 𝜖. Isso mostra que lim
𝑥→𝑎+
𝑓(𝑥) = 𝐿. 
(⇐) Considere 𝜖 > 0 um número real dado. Como lim
𝑥→𝑎−
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→𝑎+
𝑓(𝑥) =𝐿, existem 𝛿1 e 𝛿2 tais que 
𝑥 ∈ (𝑎 − 𝛿1, 𝑎) ⇒ |𝑓(𝑥) − 𝐿| < 𝜖 
𝑥 ∈ (𝑎, 𝑎 + 𝛿2) ⇒ |𝑓(𝑥) − 𝐿| < 𝜖 
Tomando 𝛿 = 𝑚𝑖𝑛{𝛿1, 𝛿2} temos 
𝑥 ∈ (𝑎 − 𝛿, 𝑎) ∪ (𝑎, 𝑎 + 𝛿) ⇒ |𝑓(𝑥) − 𝐿| < 𝜖 
o que é equivalente a escrever 
0 < |𝑥 − 𝑎| < 𝛿 ⇒ |𝑓(𝑥) − 𝐿| < 𝜖 
Isso mostra que lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿. 
05. a) lim
𝑥→3
[𝑓(𝑥) + 2𝑔(𝑥)] = lim
𝑥→3
𝑓(𝑥) + lim
𝑥→3
[2𝑔(𝑥)] = lim
𝑥→3
𝑓(𝑥) + 2lim
𝑥→3
𝑔(𝑥) = 5 + 2 ∙ (−2) = 1 
b) lim
𝑥→3
[𝑔(𝑥)]2 = [lim
𝑥→3
𝑔(𝑥)]
2
= (−2)2 = 4 
c) lim
𝑥→3
√ℎ(𝑥) = √lim
𝑥→3
ℎ(𝑥) = √4 = 2 
d) lim
𝑥→3
𝑔(𝑥)
𝑓(𝑥)
=
lim
𝑥→3
𝑔(𝑥)
lim
𝑥→3
𝑓(𝑥)
=
−2
5
 
e) lim
𝑥→3
𝑓(𝑥).ℎ(𝑥)
𝑔(𝑥)
=
lim
𝑥→3
𝑓(𝑥)∙lim
𝑥→3
ℎ(𝑥)
lim
𝑥→3
𝑔(𝑥)
=
5∙4
−2
= −10 
f) lim
𝑥→3
[𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) + ℎ(𝑥)] = lim
𝑥→3
𝑓(𝑥) + lim
𝑥→3
𝑔(𝑥) + lim
𝑥→3
ℎ(𝑥) = 5 − 2 + 4 = 7 
06. Observe inicialmente que 
|𝑥 − 3| = {
𝑥 − 3 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 3
−𝑥 + 3 𝑠𝑒 𝑥 < 3
 
Assim, 
lim
𝑥→3−
(2𝑥 + |𝑥 − 3|) = lim
𝑥→3−
(2𝑥 − 𝑥 + 3) = lim
𝑥→3−
(𝑥 + 3) = 3 + 3 = 6 e 
lim
𝑥→+
(2𝑥 + |𝑥 − 3|) = lim
𝑥→3−
(2𝑥 + 𝑥 − 3) = lim
𝑥→3−
(3𝑥 − 3) = 3 ∙ 3 − 3 = 6 
Logo, Calcule lim
𝑥→3
(2𝑥 + |𝑥 − 3|) = 3 
07. lim
𝑥→1
[𝑓(𝑥) − 8] = lim
𝑥→1
[
𝑓(𝑥)−8
𝑥−1
∙ (𝑥 − 1)] = lim
𝑥→1
𝑓(𝑥)−8
𝑥−1
lim
𝑥→1
(𝑥 − 1) = 10 ∙ (1 − 1) = 0. Assim, 
lim
𝑥→1
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→1
[(𝑓(𝑥) − 8) + 8] = lim
𝑥→1
[𝑓(𝑥) − 8] + lim
𝑥→1
8 = 0 + 8 = 8 
08. De fatro, como |𝑥 − 2| = {
𝑥 − 2 se 𝑥 ≥ 2
−𝑥 + 2 se 𝑥 < 2
 temos: 
lim
𝑥→2−
𝑥2 + 𝑥 − 6
|𝑥 − 2|
= lim
𝑥→2−
(𝑥 − 2)(𝑥 + 3)
−𝑥 + 2
= lim
𝑥→2−
−(𝑥 + 3) = lim
𝑥→2−
(−𝑥 − 3) = −2 − 3 = −5 
lim
𝑥→2+
𝑥2 + 𝑥 − 6
|𝑥 − 2|
= lim
𝑥→2+
(𝑥 − 2)(𝑥 + 3)
(𝑥 − 2)
= lim
𝑥→2+
(𝑥 + 3) = 2 + 3 = 5 
Como os limites laterais são diferentes, lim
𝑥→2
𝑥2+𝑥−6
|𝑥−2|
 não existe 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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