Calculo I_2a Lista_2013

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2ª Lista de Exercícios – 2013 
 
 
Limites NO infinito: Às vezes é importante saber o comportamento futuro de uma função, e 
também o seu passado. Matematicamente isso se expressa pela seguinte sentença: quando x 
    f(x)  ? 
Exemplos desse tipo são: 
0
x
1x2
 m i l
2 x



, 


 x2
4x3
 m i l
2
 x
 e 
4
3
1x4
4x5x3
 m i l
2
2
 x




. 
 
Visualização de limites no infinito: Quando x ∞, os valores de algumas funções se 
aproximam de um certo valor L. Dizemos neste caso que 
L(x)f lim
x


. 
 
 
1) (Visualização de limites) Dê o valor dos seguintes limites: 
 
  







x
y
y = 2
x x
y
 
 
......(x)f lim
x


 
......(x)f lim
x


 
 






x
y
y=3
 
 
.....(x) lim 

g
x
 
 
.....(x) lim 

g
x
 
UNIFACS - Cursos de Engenharia 
Disciplina: Cálculo Diferencial 
Ano: 2013 
 2 











x
y
 
 
.....(x)h lim
x


 
 
.....(x)h lim
x


 
 
 
Cálculo de limites no infinito: O cálculo de limites no infinito utiliza como base alguns limites 
básicos, que se encontram mencionados abaixo: 
 
x
y
y = 1/x
x x x
V ( x ) = ( 1 2 – 2 x )
2
. x 
 
O gráfico acima mostra pontos x cada vez maiores e 
suas imagens f(x)/=1/x cada vez mais próximas de 
zero. 
Limites básicos: Como se vê 
no gráfico ao lado, a função 
f(x)=1/x tem limite zero quando 
x  +∞. 
De modo análogo, temos: 
0
x
3
 m i l
 x


, 
0
x
1
 m i l
2 x


 
0
x
5
 m i l
2 x


, 
0
x
1
 m i l
3 x


. 
Por outro lado, 
1)1
x
1
( m i l
x
x1
 m i l
 x x



. 
 
 
2) Considerando os resultados acima, calcule o valor dos seguintes limites no infinito: 
a) 
x
1x2
 m i l
 x


 b) 
x2
3x
 m i l
- x


 c) 
2 x x
4x3
 m i l


 d)
3
3
- x x2
1x2x4
 m i l



 e) 
4
3
- x x2
1x2x4
 m i l


 
 
 
3) Determine o valor dos seguintes limites: 
 
a) 
3x2
1x6
 m i l
 x 


 b)
1x4
4x5x3
 m i l
2
2
 x 


 c)
2x93x3
25x22x4
x
m i l



 d) 
1x3x2
4x5x4
 m i l
2
2
 x 


 
 
e) 
3x3x
1x2x
 m i l
24
25
 x 


 f)
)x x6x(lim 2
x


 g)
)x2xcos(lim
x

 
 h) 
32x3x
12x23x2
 x
 e m i l 


 
 
 3 
 
 
Limites Infinitos: As figuras abaixo mostram o comportamento de uma função y=f(x) próximo 
do ponto x=3. Como f(3) não existe, só podemos dizer o seguinte: 
a) Quando x  3 pela esquerda, os valores f(x)  -∞, ou seja, 


(x)f lim
3x
 
b) Quando x  3 pela direita, os valores f(x) +∞, ou seja, 


(x)f lim
3x
 
     






x
y
y = 2x/(x-3)
x
y
x
 
Neste caso temos


(x)f lim
3x
 
    





x
y
y = 2x/(x-3)
x
x=3
 
Neste caso temos


(x)f lim
3x
 
 
 
4) (Visualização de limites infinitos) A função cujo gráfico é mostrado abaixo tem domínio 
D(f)=IR-{-2, 2,4}. Determine os limites laterais de f(x) nos pontos x=-2, x=2 e x=4. 
            






x
y
x=-2
x=4x=2
 


(x)f lim
2x
 


(x)f lim
2x 
 


(x)f lim
2x
 


(x)f lim
2x 
 


(x)f lim
4x
 


(x)f lim
4x
 
 
 
 4 
 
5) Calcule os seguintes limites, observando os valores dos limites laterais, quando for o caso. 
 
a) 
2x
1x
 
0x
lim


 b) 
 25x
32x2
 
5x
lim



 c) 
senx
12x
 
0x
lim


 d) 
4x
4x5
 lim
22x 


 
e) 
4x52x
5x
 
1x
lim



 f) 
x
x3cos
 
0x
lim

 g) 
x
x3cos
 
0x
lim

 h) 
3x
11x3
 
3x
lim



 
 
 
 
 
 Limites Fundamentais: Para x=0, temos que sen(0)=0. Isto significa que 
 
0
0
 
x
)x(sen
lim
0x


, 
que é uma indeterminação. Este limite é fundamental em Matemática é o resultado desse 
limite é 1, ou seja, 
 1 
x
)x(sen
lim
0x


. 
 
       





x
y
y = sin(x)/x
x
y
 
O gráfico acima mostra que quando x  0, os valores senx/x  1 
 
6) Usando que 
 1 
x
)x(sen
lim
0x


, determine: 
a) 
 
xcosx
)x(sen
lim
0x
 b) 
 
x
)x3(sen
lim
0x
 c)
 
xcosx
)x5(sen
lim
0x
 
d) 
 
x
)x4(tg
lim
0x
 e)
x
xcos1
 lim
0x


 f) 
20x x
xcos1
 lim


 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 5 
Respostas: 
 
2) a) 
x
1
x
x2
x
1x2
 queUse 

 ; b) 1/2 ; c) zero ; d) -2; e) 0 
 
x
y
y = (2x+1)/x
x xx
y=2
x
V ( x ) = ( 1 2 – 2 x )
2
. x 
 
 
 
3) a) 3 ; b) 3/4 ; c) zero ; d) 
2
; 
 e) -∞ ; f) 3 ; g) 1 ; h) e2 
 
5) a) – ; 
b) + ; 
c) Os limites laterais não coincidem, logo, o limite não existe: o lateral à esquerda é –  e à 
direita é + ; 
d) O limite não existe: o lateral à esquerda é -  e à direita é + ; 
e) O limite não existe: o lateral à esquerda é +  e à direita é - ; 
f) O limite não existe: o lateral à esquerda é –  e à direita é + ; 
g) +  ; 
h) –  
 
x
y
y = x^2-4
+ + + + + + 
- - -
 
Observe no gráfico ao lado o sinal de uma 
função quadrática. 
Quando a>0, o sinal da função y=ax2+bx+c 
é negativo entre as raízes, e é positivo fora 
das raízes. 
 
 
6) a) 1 ; b) 3 ; c) 5 ; d) 4; e) 0 ; f) 1/2