lista 2 Cálculo vetorial

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Universidade Federal do Cariri - UFCA
2a Lista de Exerc´ıcios
Ca´culo Vetorial 2015.2
Prof. Pla´cido Andrade
1. Calcule as derivadas parciais
∂f
∂y
(x,y) e
∂f
∂y
(x,y).
(a) f(x,y) = 3
√
x2 + y3.
(b) f(x,y) = ln(xy).
(c) f(x,y) = logyx.
(d) f(x,y) = (x3 − y2)5.
2. Calcule
∂f
∂x
(x0,y0, z0),
∂f
∂y
(x0,y0, z0) e
∂f
∂z
(x0,y0, z0).
(a) f(x,y, z) = 1 + xy2 + yz
(x0,y0, z0) = (1, 0, 1).
(b) f(x,y, z) = ln(x+ 3z)
(x0,y0, z0) = (1, 1, 1).
(c) f(x,y, z) = sen(xy2z3)
(x0,y0, z0) = (1,
pi
2
,pi).
(d) f(x,y, z) = xy ez
(x0,y0, z0) = (1, 1, 1).
3. Para cada func¸a˜o g(x,y) calcule a matriz Hessiana
H(g)(x,y) =
[
gxx gxy
gyx gyy
]
.
Recordando a notac¸a˜o para a ordem de derivac¸a˜o: gxy = (gx)y =
∂2g
∂y∂x
.
(a) g(x,y) = x3y2 + x5y4. (b) g(x,y) = xsen(y). (c) g(x,y) = xey
2−1.
4. Seja g(x,y, z) = x2y+ yz2 + xz. Verifique que a matriz Hessiana
H(g)(x,y, z) =
 gxx gxy gxzgyx gyy gyz
gzx gzy gzz

e´ sime´trica.
5. Qual ordem de derivac¸a˜o calculara´ fxy mais rapidamente: primeiro derivando em x ou y? Fac¸a
mentalmente.
(a) f(x,y) = ysenx+ ex.
(b) f(x,y) = 1
y
.
(c) f(x,y) = x+ xy2 + 4x3 − ln(x2 + 1).
(d) f(x,y) = y2 + 5xy+ seny+ 7ex.
(e) f(x,y) = xln (xy).
(f) f(x,y) = y+ x
y
.
6. Mostre que
∂5f
∂x2∂y3
e´ identicamente igual a zero. Na˜o precisa de muitas contas.
(a) f(x,y) = xey
2
.
(b) f(x,y) = x2 + 5xy+ sen x+ 7ex.
(c) f(x,y) = y2 + ysen(x) − x4.
(d) f(x,y) = y2x4ex + 3.
7. Para cada curva Γ em R2, verifique que o ponto P pertence a ela e determine a equac¸a˜o
cartesiana da reta tangente a Γ em P.
(a) Γ : xy− 3x = −4, P(2, 1).
(b) Γ : x3 − 2xy+ y2 + 2 = 3, P(1, 0, 1).
8. Para cada superf´ıcie S em R3, verifique que o ponto P pertence a ela e determine a equac¸a˜o
cartesiana do plano tangente a S em P.
(a) S : xy− 3x− z2 = −3, P(1, 1, 1).
(b) S : x3 − 2xy+ y2 + 2 = 3, P(1, 0, 5). (***)
9. Seja S o gra´fico de f(x,y). Determine a equac¸a˜o cartesiana do plano tangente a S no ponto P
indicado.
(a) f(x,y) = x2 − 4y− x− y3, P(2, 1, f(2, 1)).
(b) f(x,y) = 3x− 2y2 + xy, P(1, 1, f(1, 1)).
10. Para cada famı´lia F de curvas em R2, determine a famı´lia de curvas ortogonal a ela.
(a) F : x2 − y2 = k.
(b) F : x3 − xy2 − 2xy2 = k. (***)
(c) F : excos y = k.
(d) F : ln(x2 − y2) = k.
11. Considere a func¸a˜o f(x,y) = x2 + y2.
(a) Determine o valor de c para que o plano Π : 2x + 4y − z = c seja tangente ao gra´fico da
func¸a˜o f(x,y).
(b) Verifique que o plano Λ : x− y = 0 interseta ortogonalmente o gra´fico de f(x,y).
(c) Mostre que a imagem da curva α(t) = (t, t− 2, t2), t ∈ R, interseta o gra´fico de f(x,y) e
calcule o aˆngulo entre a curva imagem e o gra´fico de f(x,y) no ponto de intersec¸a˜o.
12. Considere a curva Γ do R3 definida por
Γ :
{
x3 − 2y + z4 = 0
x − y + 2z = 2
.
Verifique que o ponto P(1, 1, 1) pertence a` curva Γ e parametrize a reta r tangente a esta curva
em P.