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Capítulo 12
Equilíbrio e Elasticidade
Definição de equilíbrio e as condições necessárias para que o objeto esteja em equilíbrio
Aplicação das condições de equilíbrio a uma variedade de problemas de equilíbrio estático
Deformação de um corpo rígido por uma força externa. Nesta secção nós iremos introduzir os seguintes conceitos:
Tensão e deformação específica Módulo de Young (em conecção com tensão e compressão) Módulo de Cisalhamento Módulo de Compressibilidade (em conecção com tensão hidrostática)
(12-1)
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(12-2)
Equilíbrio
Considere os seguintes objetos:
Livro em repouso sobre uma mesa;
Disco de hóquei deslizando sobre uma superfície lisa com velocidade constante;
3	Lâminas de um ventilador de teto girando ; 
4	Roda de uma bicicleta que está se deslocando ao longo de uma trajetória reta com velocidade constante. 
Para cada um destes quatro objetos
A quantidade de movimento linear P do centro de massa é constante
O momentum angular L sobre o centro de massa ou qualquer outro ponto 
	é constante
Nós dizemos que um objeto está em equilíbrio dinâmico quando as duas condições são satisfeitas.
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Neste capítulo trataremos as seguintes situações de equilíbrio
 
 (equilíbrio translacional) 	 (equilíbrio rotacional)
	
	Nós estamos interessados em objetos que não se movam de forma alguma
	(ausência de movimento translacional ou rotacional) no referêncial de observação.
	Tais objetos são ditos estarem em equilíbrio estático
	Um corpo retorna a um estado de equilíbrio estático após ter sido deslocado deste estado por uma força, diz-se que o corpo se encontra em equilíbrio estático estável. Exemplo: Uma bola de gude colocada no fundo de uma tigela hemisférica.
	Entretanto, se uma pequena força puder deslocar o corpo de forma pondo fim ao equilíbrio (o corpo não retornar a antiga posição), dizemos que o corpo se encontra em equilíbrio instável. 
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(12-3)
Na fig.a equilibramos um dominó com o centro de massa dele acima da borda que o sustenta.O torque da força peso sobre a borda que o sustenta é zero devido a linha de ação do peso passar pela borda.
Entretanto, se uma pequena força puder deslocar o corpo pondo fim ao equilíbrio, dizemos que o corpo está em equilíbrio estático instável.
Quando a linha de ação do peso se move para um lado da borda que o suporta (veja fig. b) o torque devido ao peso é não nulo e o dominó gira no sentido horário fora da posição de equilíbrio da fig. a.
O dominó na fig.c não é tão instável. Para derrubá-la uma força teria que girá-la até alcançar e depois ultrapassar a posição de equilíbrio mostrada na fig. a. Uma pequena força não derrubará esta peça, mas um peteleco vigoroso contra ela certamente a derrubará.
O cubo de criança é ainda mais estável porque o seu centro de massa teria que ser deslocado de uma distância ainda maior para perder o equilíbrio
 
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(12-4)
As Exigências do Equilíbrio
2ª Lei de Newton 
Se um objeto está em equilíbrio translacional então 
 logo (equilíbrio de forças) 
Se um objeto está em equilíbrio rotacional então 
 
 logo (equilíbrio de torques) 
As duas condições para um corpo estar em equilíbrio dinâmico são:
O vetor soma de todas as forças externas no corpo deve ser zero
	
O vetor soma de todos os torques externos que atuam no corpo
	medidos sobre qualquer ponto deve ser zero
	
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(12-5)
Condições de equilíbrio na forma de componentes
Equilíbrio de Forças: Fx = 0 ; Fy = 0 ; Fz = 0
Equilíbrio de Torques: τx = 0 ; τy = 0 ; τz = 0 
Vamos simplificar considerando que todas as forças que atuem no corpo pertençam ao plano xy. Isto significa que somente torques gerados por essas forças tendem a causar rotação por um eixo paralelo à z. Com esta consideração as condições para equilíbrio se tornam:
Equilíbrio de Forças: Fx = 0 ; Fy = 0 
Equilíbrio de Torques: τz = 0 
Onde τz = 0 é o torque líquido produzido pelas forças externas sobre o 
eixo z ou qualquer eixo paralelo a ele.
Finalmente para o equilíbrio estático o momentum linear P do centro de massa deve ser zero
 
 
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 Tática para Problemas de Estática
Desenhe um diagrama de forças.
Escolha uma origem conveniente O. Uma boa escolha é aquela duas forças desconhecidas atuem em O.
Sinalize o torque  para cada força:
	- Se a força induz uma rotação horária (clockwise CW) 	+ Se a força induz uma rotação anti-horária (counter-clockwise CCW) 		
4. 	Condições de equilíbrio: 	 
Esteja certo que: 					
número de variáveis desconhecidas = número de equações (12-6) 
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(12-7)
O Centro de Gravidade (cog)
A força gravitacional que atua num corpo extenso é o vetor soma das forças gravitacionais atuando sobre elementos individuais do corpo. A força gravitacional atua no corpo efetivamente num único ponto conhecido como centro de gravidade do corpo. Aqui efetivamente tem o seguinte significado: Se as forças gravitacionais individuais nos elementos do corpo são desligadas e substituídas pela força que atua no centro de gravidade, então a força líquida e o torque líquido sobre qualquer ponto não muda. 
 
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(12-8)
Considere o objeto extenso de massa M mostrado na fig. a. Na fig.a nós também mostramos o i-ésimo elemento de massa mi. O peso sobre mi é igual a mig onde g é a aceleração da gravidade- O torque τi sobre mi é igual Pxi. O torque líquido
Considere agora a fig.b na qual substituímos as forças peso pela força peso atuando no centro de gravidade
 
Comparando a eq 1 com a eq 2
fazendo gi por g
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(12-9)
Exemplo 12-1. Uma barra de comprimento L e massa m = 1,8 Kg é colocada sobre dois apoios. Um bloco uniforme de massa M = 2,7 Kg é colocada a uma distância de L/4 da extremidade esquerda da barra
Fy = Fl + Fr - Mg – mg = 0 (eq. 1)
Nós escolhemos calcular o torque com relação a um eixo
Que passa na extremidade esquerda da barra (ponto O). 
Da eq. 2 nós temos
Nós resolvemos a eq.1
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(12-10)
Exemplo 12-2: Uma escada de comprimento L = 12 m e massa m = 45 Kg apoiada sobre uma parede sem atrito. A extremidade superior da escada está a uma altura h = 9,3m acima do chão. O centro de massa é L/3. Um bombeiro de massa M = 72kg escala metade da escada. Ache as forças exercidas na escada pela parede e pelo chão. 
Distância 
Fazendo o torque ao redor do ponto O
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L
L/2
L/3
a
x
y
Cos𝜭 = a/L = x/L/2 = y/L/3
𝜭
𝜭
𝜭
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(12-11)
Exemplo 12-3: Um cofre de massa M = 430 Kg pendurado em uma corda de um pau-de-carga com dimensões a = 1,9 m e b = 2,5 m. O pau-de-carga é formado por uma viga articulada por uma rótula e um cabo horizontal que une a viga a uma parede. A viga uniforme possui uma massa de 85 Kg; as massas do cabo e da corda são desprezíveis.
Qual é a traçãoTc no cabo? Em outras palavras, qual a intensidade que o cabo exerce sobre a viga?
Determine a intensidade F da força resultante 
que a rótula exerce sobre a viga 
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b
a
𝜷
𝜷
sen = b/L = y/L/2 
𝜷
L
L/2
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(12-12)
Exemplo 12-4:Uma alpinista de 70 Kg está apoiada sobre a mão.
 Os seus pés tocam a rocha diretamente abaixo de seus dedos.
 Considere que a força proveniente da parede que suporta os seus 
dedos esteja igualmente distribuída pelos seus quatro dedos.
Calcule as componentes horizontal e vertical Fh e Fv da força 
em cada dedo
Nós calculamos o torquelíquido por um eixo que é perpendicular a página e 
passa através do ponto O
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(12-13)
Estruturas Indeterminadas
Para os problemas neste capítulo nós temos
3 equações 
Se o problema têm mais que 3 variáveis desconhecidas
Não se pode resolver. Pode-se resolver o problema de estática
Para uma mesa com 3 pernas mas não pra uma com 4 pernas. 
Problemas deste tipo são chamados de indeterminados 
	Imagine se um elefante sentasse numa mesa. É correto afirmar que se a mesa não arrebentar, ela se deformaria exatamente como os pneus de um carro. As suas pernas tocariam o piso, as forças que atuaram para cima nas pernas da mesa assumiriam todas valores definidos (e diferentes) e a mesa não ficaria mais bamba. Para resolver tais problemas indeterminados de equilíbrio, devemos complementar as equações de equilíbrio com algum conhecimento de elasticidade, o ramo da física e da engenharia que descreve como corpos reais se deformam quando forças são aplicadas a eles. 
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(12-14)
Elasticidade
Quando um grande número de átomos se agrupa para formar um sólido metálico, como, por exemplo, um prego de ferro, eles assumem posições de equilíbrio em uma rede cristalina (reticulado) tridimensional, um arranjo repetitivo no qual cada átomo possui uma distância bem definida de equilíbrio em relação aos átomos vizinhos mais próximos. Os átomos são mantidos unidos por forças interatômicas que são modeladas como molas minúsculas conforme vemos na figura.
A rede cristalina é extremamente rígida, o que equivale dizer que as “molas interatômicas” são extremamente rígidas. É por essa razão que encaramos vários objetos comuns, por exemplo, escadas de mão metálicas, colheres inclusive mesas de madeira (polímero natural) etc como perfeitamente rígidas . Óbviamente, alguns objetos comuns como mangueiras de jardim ou luvas de borracha, não se comportam como corpos rígidos. Os átomos que formam estes últimos objetos não formam uma rede cristalina rígida, mas são alinhados em longas cadeias moleculares flexíveis, sendo cada cadeia ligada apenas por ligações fracas às cadeias vizinhas.
Todos os corpos “rígidos” reais são até certo ponto elásticos, o que significa que podemos modificar ligeiramente suas dimensões puxando-os, empurrando-os, torcendo-os ou comprimindo-os. 
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	Para se ter uma noção das ordens de grandeza envolvidas, considere uma haste de aço vertical com 1 m de comprimento e 1 cm de diâmetro. Se você pendurar um carro pequeno na extremidade desta haste, a haste se alongará, mas apenas cerca de 0,5 mm, ou 0,05%. Além disso , a haste retornará ao seu comprimento original quando for retirado. Se você pendurar dois carros na haste, a haste se alongará permanentemente e não recuperará seu comprimento original ao se remover a carga. Se você pendurar Três carros, ela se romperá. Imediatamente antes da ruptura, o alongamento da haste será menor do que 0,2%. Apesar de as deformações deste tamanho parecerem pequenas, elas são importantes na prática de engenharia. 
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(12-15)
	A fig mostra três maneiras com que um sólido poderia modificar as suas dimensões sob a ação de forças. Na fig a um sólido é esticado. Na fig b, um sólido é deformado por uma força perpendicular ao seu eixo. Na fig c, um objeto sólido, colocado em um fluido sob alta pressão, é comprimido uniformemente em todo o seu contorno. O que os três tipos de deformação têm em comum é que uma tensão, ou força de deformação por unidade de área, produz uma deformação especifica, ou deformação por unidade de comprimento original. Na fig a tensão de tração (associada com o esticamento) é ilustrada em (a), a tensão de cisalhamento em (b) e a tensão hidrostática em (c).
tensão = módulo de elasticidade x deformação específica
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(12-16)
Tensão de Tração - 
Deformação Específica (símbolo S) -
 
	
Análise de um gráfico de tensão contra deformação
A relação tensão-deformação específica é linear se o corpo de prova recupera as suas dimensões originais quando a tensão é removida (tensão = módulo de elasticidade x deformação específica). 
 Se a tensão for incrementada além da tensão de escoamento Sy do corpo de prova , este se torna permanentemente deformado.
Se a tensão continua a aumentar, o corpo de prova acaba se rompendo, a uma tensão chamada de resistência máxima à ruptura Su.
 
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(12-17)
Cisalhamento - módulo de cisalhamento G
A tensão também é uma força por unidade de área, mas o vetor força atua no plano da área, e não perpendicularmente a ela. 
Tensão Hidrostática- módulo de compressibilidade B
A tensão é a pressão do fluido p sobre o objeto. Diz-se que o objeto está sob compressão hidrostática e a pressão pode ser chamada de tensão hidrostática
Tensão-Deformação - módulo de Young E
A tensão também é uma força por unidade de área (força perpendicular a área)
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Ex 1
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Ex 2
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Ex 3
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Ex 4
ESSA CAIU
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Ex 5
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Ex 6
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Ex 7
ESSA CAIU
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Ex 8
ESSA CIU
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Tenacidade é a energia mecânica, ou seja, o impacto necessário para levar um material à ruptura. Tenacidade é uma medida de quantidade de energia que um material pode absorver antes de fraturar. Os materiais cerâmicos, por exemplo, têm uma baixa tenacidade.
Tal energia pode ser calculada através da área num gráfico Tensão - Deformação do material, portando basta integrar a curva que define o material, da origem até a ruptura.
Segundo a tenacidade um mineral pode ser:
• Friável (frágil, quebradiço): Que pode ser quebrado ou reduzido a pó com facilidade. Ex: calcita, fluorita.
• Maleável: Pode ser transformado facilmente em lâminas, Ex. ouro, prata, cobre.
• Séctil: Pode ser facilmente cortado com um canivete. Ex ouro, prata, cobre.
• Dúctil: Pode ser transformado facilmente em fios. Ex. ouro, prata, cobre.
• Flexível: Pode ser dobrado, mas não recupera a forma anterior. Ex: talco, gipsita.
• Elástico: Pode ser dobrado mas recupera a forma anterior. Ex. micas.
A tenacidade é muito usada pelos garimpeiros para diferenciar uma pepita de ouro de um fragmento de pirita, pois enquanto o ouro é extremamente maleável, a pirita é muito friável. Quando se está lidando com uma partícula muito pequena, da ordem de poucos milímetros, procede-se da seguinte forma para verificar se é maleável: a partícula é colocada entre dois pedaços de vidros planos, os quais são gentilmente apertado um contra o outro. Se a partícula for ouro será amassada, se for pirita se quebrará.
Uma confusão comum ao termo é achar que um material duro é também tenaz, como exemplo temos o diamante, que só pode ser riscado por outro diamante (logo, extremamente rígido), mas pode ser quebrado se sofrer uma requisição muito alta como uma martelada.
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