Variáveis aleatórias contínuas unidimensionais

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Variáveis aleatórias contínuas
unidimensionais
Você vai aprender as variáveis aleatórias contínuas e sua distribuição uniforme, exponencial e normal.
Prof. Paulo H. C. Maranhão
1. Itens iniciais
Propósito
Compreender os conceitos associados às variáveis aleatórias contínuas e às principais distribuições contínuas
de probabilidade é importante para sua aplicação em contextos profissionais que exigem análise de dados,
tomada de decisão sob incerteza e modelagem estatística de fenômenos naturais ou operacionais.
Preparação
Antes de iniciar o estudo deste conteúdo, tenha em mãos uma calculadora científica ou use a calculadora de
seu smartphone/computador.
Objetivos
Identificar a variável aleatória contínua e sua diferenciação de variáveis aleatórias discretas.
 
Definir a distribuição uniforme, seus conceitos e aplicações.
 
Definir a distribuição exponencial, seus conceitos e aplicações.
 
Definir a distribuição normal, seus conceitos e aplicações.
Introdução
Olá! Antes de começarmos, assista ao vídeo e entenda as variáveis aleatórias contínuas unidimensionais.
Conteúdo interativo
Acesse a versão digital para assistir ao vídeo.
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1. Conceitos de variáveis aleatórias contínuas
Variável aleatória discreta X Variável aleatória contínua
Nos experimentos aleatórios, a grandeza que desejamos quantificar ou medir é chamada de variável aleatória.
Dependendo da cardinalidade do conjunto de valores assumidos pela variável aleatória, estamos diante de
uma variável aleatória discreta ou contínua e, como consequência, de um conceito de função de distribuição
de probabilidade ou função de densidade de probabilidade.
Conceito de variável aleatória contínua
No vídeo, a seguir, vamos apresentar os conceitos iniciais de nosso estudo. Acompanhe!
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 Conceitos preliminares
No estudo de fenômenos aleatórios, em que o acaso está presente, podemos nos deparar com dois tipos de
situação no que diz respeito à cardinalidade do conjunto de valores assumidos pela variável aleatória:
 
O conjunto é finito (ou infinito enumerável), caso em que é chamado de discreto. 
 
Exemplo: quando jogamos uma moeda sucessivamente e desejamos analisar a quantidade de vezes
necessárias para ocorrer a primeira face cara; ou, quando jogamos dois dados, um amarelo e outro azul, e
desejamos analisar a soma das faces dos dois dados.
 
No primeiro caso, naturalmente, os possíveis valores podem ser 1, 2, 3, ..., percorrendo todo o conjunto dos
inteiros positivos! No segundo, a soma das faces somente pode assumir os valores de 2 a 12, portanto, uma
quantidade finita de valores.
 
O conjunto é não enumerável (infinito não contável).
 
Exemplo: em controle de qualidade, lidamos com situações como as dimensões dos parafusos fabricados em
uma linha de produção de uma indústria. Essa medida, em tese, pode ser qualquer valor contínuo em um
determinado intervalo real e, portanto, o conjunto das situações possíveis é não enumerável.
 
No primeiro caso (situação finita ou enumerável), é razoável pensar na chance de ocorrência de uma
determinada situação concreta. Por exemplo, qual a chance — a probabilidade — da soma das faces dos dois
dados ser igual a 7? Ou qual a probabilidade de a primeira cara ocorrer no terceiro lançamento da moeda?
Faz sentido, no caso discreto, pensar em uma função que associa a cada valor assumido pela
variável aleatória, sua probabilidade de ocorrência!
A função que associa a cada valor da variável aleatória sua respectiva probabilidade de ocorrência é chamada
de função de distribuição de probabilidade da variável aleatória (no caso, discreta).
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No exemplo da moeda, essa função associa, a cada número inteiro positivo , a probabilidade de
serem necessárias jogadas para ocorrer a primeira face cara.
 
Mas, no exemplo da soma das faces dos dois dados, tal função associa a cada inteiro , de 1 a 12, a
probabilidade de a soma ser igual a .
 
Como consequência, em uma função de distribuição de probabilidade , valem as seguintes propriedades:
 
, para todo possível valor da variável aleatória .
 
, percorrendo todos os possíveis valores assumidos pela variável aleatória.
 
Em termos de gráfico, essa função age como um histograma, em que é a altura da barrinha do
histograma associado a .
 
O somatório é graficamente equivalente à soma das alturas de todas as barrinhas do histograma.
Função densidade de probabilidade
Na medida do comprimento de um parafuso, não faz muito sentido pensarmos em uma função que forneça a
probabilidade de tal tamanho ser, por exemplo, igual a 2 cm. Tal probabilidade teria que ser simplesmente 0!
 
Nesses casos, o que parece útil e razoável é o cálculo de a probabilidade da dimensão de um parafuso estar
entre 2 cm e 2,1 cm, por exemplo, ou seja, a probabilidade de sua medida estar em uma faixa de valores.
 
Nessa situação, dado um experimento aleatório contínuo, associamos a este a chamada função densidade de
probabilidade , que também possui a propriedade , qualquer que seja o possível valor de . No
entanto, a propriedade “somatório ao longo de seu domínio valer , deve ser substituída pela exigência de a
área abaixo da sua curva gráfico ser igual a 1, ou seja, a integral dessa função, de a , deve ser igual
a 1 :
Exemplo 1
Seja uma constante real e considerando a função , com domínio em , definida por:
 
, se .
 
, se .
 
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• 
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• 
, para qualquer outro de seu domínio.
 
Determine para que seja uma função densidade de probabilidade.
Chave de resposta
Essencialmente, o gráfico de é constituído de dois platôs (dois retângulos): um com base igual a 1
(intervalo 3 a 4) e outro com base igual a 2 (intervalo 6 a 8). Como a altura dos dois platôs vale , a área
total dos dois platôs vale . Como , a segunda condição para que uma
função seja uma densidade de probabilidade é que a área sob seu gráfico valha 1! Logo, , o que
implica .
Exemplo 2
Seja a variável aleatória contínua que representa o diâmetro de um furo em uma placa metálica. A
especificação do diâmetro do furo é de . Dados históricos indicam que tem uma função
densidade de probabilidade chamada de distribuição exponencial, com sua função dada por:
As peças com diâmetro maior do que são inutilizadas. Calcule o percentual das peças que serão
utilizadas.
Chave de resposta
Acompanhe, neste vídeo, a resolução passo a passo de um problema com distribuição exponencial,
calculando o percentual de peças inutilizadas por diâmetro excessivo.
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Função distribuição acumulada
Note que, dada uma função de distribuição de probabilidade de uma variável aleatória , a probabilidade de 
 estar entre a e b é dada por:
• 
Então, a probabilidade de a variável aleatória ser menor ou igual a , em que é um valor arbitrário,
pode ser entendida, também, como a definição de uma função, chamada de função densidade acumulada ou
função de distribuição acumulada, pois estabelece a probabilidade da variável aleatória estar entre e
x. Assim, temos:
Naturalmente, dada uma função de distribuição acumulada , para obter , basta derivar a função 
, pois a derivada é, digamos, a operação inversa da integração:
Esperança e desvio-padrão
O estudo dos conceitos de esperança e desvio-padrão é realizado em vários momentos de nossa formação,
como no ensino médio, no estudo básico de métodos quantitativos, ou no estudo das variáveis aleatórias
discretas.
 
Abordamos, agora, o conceito de esperança — basicamente a generalização do conceito de média e o
conceito de variância, que mede, em essência, a dispersão dos dados em análise.
Conceitos de esperança e desvio-padrão
Acompanhe, neste vídeo, os conceitos de esperança e desvio-padrão para variáveis aleatórias contínuas, com
cálculo via integrais e aplicações na análise estatística.
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Esperança
Você se lembra de como, na escola,calculávamos a média ponderada de nossos graus? Por exemplo, se
temos dois testes e , em que possui peso 2 e possui peso 1, a média ponderada será calculada
pela expressão:
Veja que, funcionam como os pesos que os respectivos testes têm no cálculo da média!
 
O conceito de esperança é caracterizado como uma generalização do conceito de média (ou média
ponderada), ou seja, se é uma função de distribuição de probabilidade, a expressão:
É uma média ponderada dos valores , ponderados pelos valores das probabilidades !
 
No caso das variáveis aleatórias contínuas, o uso do somatório é simplesmente substituído pela integral, e sua
expressão é dada por:
Note que a definição de esperança envolve uma soma (ou integral — uma soma generalizada). Então, perceba
que se e são duas variáveis aleatórias (não importa se discretas ou contínuas) e é um número real,
é fácil perceber as seguintes propriedades:
A esperança (média) da soma de duas variáveis aleatórias é a soma de suas esperanças. Basta pensar o que
representa o gráfico da soma de duas funções.
Se multiplicarmos uma variável aleatória por uma constante, sua esperança também fica multiplicada por .
 
Um exemplo bem intuitivo dessa propriedade é pensar nos graus de uma turma e sua média (a esperança).
Por exemplo, se os graus de todos os estudantes forem duplicados, a média da turma também será duplicada.
Variância e desvio-padrão
A variância de um conjunto de dados, ou de uma função distribuição de probabilidade, ou, ainda, de uma
função densidade de probabilidade, é um conceito que está centrado em um mesmo aspecto: o espalhamento
dos valores com relação à esperança!
 
Vamos analisar uma situação bem simples. Suponha uma turma de 10 estudantes com os respectivos graus
obtidos em uma prova. Calcule a média dessa prova e imagine os 10 desvios desses graus com relação a
essa média, ou seja, os valores . Se você somar esses desvios, não se surpreenda. Você obterá 0
(zero). Ou seja, precisamos tornar esses desvios positivos para evitar essa soma zero.
 
Duas estratégias podem ser adotadas: (i) calcular o módulo de cada uma dessas diferenças (desvios) ou (ii)
elevarmos ao quadrado essas diferenças. Assim, a soma dos valores (em qualquer um dos casos) seria uma
razoável medida da dispersão total dos graus com relação à esperança (média). No caso de usarmos os
módulos, a soma obtida é chamada de desvio modular total e, no caso de elevarmos ao quadrado, a soma é
chamada de desvio quadrático total.
 
Finalmente, chamamos de variância ao desvio quadrático médio. Assim, no caso de um conjunto de dados 
 com média , a variância é dada por:
Vejamos, então, o caso de uma distribuição de probabilidade ou de uma densidade de probabilidade:
Distribuição de probabilidade (variáveis aleatórias discretas)
É necessário incluir os pesos, ou seja, as probabilidades, nos quadrados dos desvios. Daí,
Distribuição de probabilidade (variáveis aleatórias contínuas)
É necessário incluir os pesos, mas o somatório é convertido em uma integral. Daí,
É interessante observar, finalmente, que a variância não possui a mesma unidade dos dados, pois elevamos ao
quadrado as diferenças, os desvios. Então, definimos o conceito de desvio-padrão simplesmente como a raiz
quadrada da variância, pois, nessa situação, teremos uma medida do espalhamento dos dados na mesma
unidade da medida das variáveis aleatórias.
 
Em geral, usamos a letra grega (sigma minúscula) para representar o desvio-padrão e, muitas vezes a
notação para a variância.
Exemplo 1
Seja a função com domínio em , definida por . Perceba que é uma função densidade
de probabilidade, pois e .
 
Calcule a esperança e o desvio-padrão da densidade de probabilidade definida por .
Chave de resposta
O cálculo é imediato.
Veja o cálculo da esperança:
Agora, pela definição de esperança, temos:
Exemplo 2
Considere a função definida nos reais por:
Verifique se essa função é, de fato, uma função densidade de probabilidade.
 
Calcule sua esperança e sua variância.
Chave de resposta
Acompanhe, neste vídeo, a verificação de como função densidade e o cálculo de sua esperança e
variância, aplicando integrais no contexto da função exponencial.
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Mão na massa
Questão 1
Seja
 
 
Qual é o valor de k para que essa função seja, de fato, uma função densidade de
probabilidade (fdp)?
A 1/2
B 1
• 
• 
C 3/2
D 2
E 3
A alternativa E está correta.
\text{Solução: Para que } f(X) \text{ seja uma fdp, é necessário que essa função satisfaça:}
\text{Então:}
\text{Logo:}
Questão 2
Considerando os dados da questão anterior, qual é a esperança de X?
A 1/2
B 3/4
C 1
D 3/2
E 2
A alternativa B está correta.
\text{Solução:}
Questão 3
Seja a função densidade de probabilidade da variável aleatória , definida por:
 
Determine .
A 1/6
B 1/3
C 1/2
D 2/3
E 3/4
A alternativa D está correta.
A probabilidade em um intervalo, de uma variável aleatória contínua, é a área abaixo do gráfico de sua
função densidade, ou seja, a integral de sua função densidade no intervalo desejado. Logo:
Questão 4
Para determinar a função densidade de probabilidade f(x)f(x)f(x) no intervalo (0,1)(0,1)(0,1), precisamos derivar
a função de distribuição acumulada F(x)F(x)F(x) fornecida.
A função de distribuição acumulada (FDA) é dada por:
 
 
Qual é a função densidade f(x) no intervalo de (0,1)?
A
B
C
D
E
A alternativa D está correta.
Questão 5
Considere a seguinte função densidade de probabilidade:
 
 
Agora, determine P(01
Uma máquina de suco de laranja está programada para encher um copo com um volume entre 180 ml e 200
ml.
A variável aleatória consiste do volume de suco liberado. Determine a probabilidade de a máquina liberar:
a) Menos do que 183 ml.
b) Exatamente 183 ml.
c) Mais do que 183 ml.
Chave de resposta
Acompanhe, neste vídeo, a análise de situações práticas modeladas pela distribuição uniforme e a
justificativa de sua aplicação em cenários concretos.
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Exemplo 2
Em uma estrada, uma pessoa viaja do ponto A (km 125) até o ponto B (km 150), mas, em algum momento,
nesse trecho, dá uma parada para comer um lanche.
Qual a probabilidade de ela escolher lanchar em algum ponto da estrada entre o quilômetro 135 e o quilômetro
140?
Chave de resposta
É razoável supor que a chance de ela parar em qualquer ponto do trecho seja a mesma, certo? Mas o
trecho a ser vencido possui ! Então, uma boa representação para a função densidade
de probabilidade dessa situação é a função platô definida por:
Assim, a probabilidade de a parada para o lanche ser entre os quilômetros 135 e 140 é a área do retângulo
entre os quilômetros 135 e 140. Mas essa área é o produto da base vezes a altura, em que a base vale 
 e a altura, . Ou seja, a probabilidade vale .
Esperança e variância na distribuição uniforme
Acompanhe, neste vídeo, a análise de situações práticas modeladas pela distribuição uniforme e a justificativa
de sua aplicação em cenários concretos.
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Esperança
É definida como a generalização da média ponderada, em que os pesos são as probabilidades. Então, da
definição:
Obtemos:
Variância
É, em essência, o desvio quadrático médio, ou seja:
Exemplo
Considere o seguinte experimento:
 
Sabe-se que, em um dia, um relógio vai enguiçar em determinado momento.
 
Descreva a função densidade de probabilidade associada à situação de o relógio enguiçar entre 13 e 16
horas.
 
Calcule a esperança e a variância dessa distribuição.
Chave de resposta
Acompanhe, neste vídeo, a resolução do problema do relógio que enguiça, com o cálculo da esperança e a
variância usando a distribuição uniforme.
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Mão na massa
1. 
2. 
Questão 1
Suponha que a variável aleatória contínua X tenha uma distribuição uniforme no intervalo de [1, 5]. Nesse
caso, calcule a P(X > 3).
A 1/4
B 1/3
C 1/2
D 2/3
E 3/4
A alternativa C está correta.
Questão 2
Considerando o enunciado da questão anterior, qual seria o valor da média de X?
A 1
B 3
C 3,5
D 4
E 5
A alternativa B está correta.
Questão 3
Os comprimentos dos eixos dos carros (em metros) de uma indústria automobilística são uniformemente
distribuídos no intervalo [1,4; 2,6]. Qual a proporção de carros com eixos abaixo de 2 metros?
A 10%
B 20%
C 30%
D 40%
E 50%
A alternativa E está correta.
Questão 4
Considerando o enunciado da questão anterior, determine a função de distribuição acumulada
de X.
A
B
C
D
E
A alternativa A está correta.
Questão 5
O volume de refrigerante de uma latinha está uniformemente distribuído entre 320 ml e 330
ml. Qual o volume mínimo que está em 90% das latas?
A 321
B 323
C 325
D 327
E 329
A alternativa A está correta.
Analise a figura indicada:
Note que, como a área do platô deve ser igual a 1, e a base do retângulo vale , segue-se que
a altura do platô vale .
Desejamos determinar o volume , que corresponde à probabilidade , ou seja: qual o valor de se
a área do retângulo em azul-escuro vale ? Ora, a área correspondente é dada por .
Daí, temos:
Questão 6
Considerando o enunciado da questão 5, qual a média e o desvio padrão desse refrigerante?
A 320 e 10
B 320 e 8,33
C 325 e 10
D 325 e 8,33
E 330 e 8,33
A alternativa D está correta.
Teoria na prática
Os portões para a realização de um concurso
público abrem às 13h e fecham às 13h30.
Suponha que um candidato chegará ao portão
com o tempo uniformemente distribuído entre
12h40 e 13h40.
Qual a probabilidade
de esse candidato
chegar depois do
horário do fechamento
do portão?
Assista ao vídeo sobre função de probabilidade da distribuição uniforme:
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Verificando o aprendizado
Questão 1
Suponha que a variável aleatória X tenha uma distribuição uniforme no intervalo de −2 a 2.
Qual a probabilidade de X ser maior do que 1?
A 0,10
B 0,25
C 0,33
D 0,50
E 0,67
A alternativa B está correta.
Questão 2 
Considerando a questão anterior, indique o valor esperado de X.
A –2
B –1
C 0
D 1
E 2
A alternativa C está correta.
3. Definição da distribuição exponencial
Distribuição exponencial
É uma distribuição de probabilidade contínua, ou seja, de extrema importância no estudo de experimentos que
envolvem o cálculo do tempo decorrido entre dois eventos.
 
Acompanhe, no vídeo a seguir, a conceituação desse tipo de distribuição.
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A chamada distribuição de exponencial está relacionada com a distribuição de Poisson, analisada quando do
estudo das distribuições de probabilidade discretas.
Enquanto a distribuição de Poisson relaciona-se ao quantitativo de eventos que ocorrem em um
determinado espaço de tempo, conhecida a taxa média de suas ocorrências (chamada na literatura
de ), a distribuição exponencial foca outro aspecto. Ela avalia o tempo de espera entre eventos
cujo comportamento é caracterizado exatamente pela distribuição de Poisson.
Há uma infinidade de situações práticas modeladas por uma distribuição exponencial, como:
 
Vida útil de equipamentos.
 
Modelagem de problemas relacionados à teoria das filas, nos quais se incluem situações relacionadas a
tempo de espera (em bancos, em restaurantes etc.).
 
Em indústrias, nas linhas de produção, os intervalos de tempo adequados para realizar a manutenção
em equipamentos.
 
Problemas relacionados a análise de tráfego.
Comentário
Uma característica fundamental da distribuição exponencial pressupõe que a probabilidade de um
evento ocorrer em um intervalo não depende do instante de tempo. Ou seja: a probabilidade de uma
lâmpada queimar nos próximos cinco minutos não depende do tempo de seu uso: se ela é nova ou
não. Essa característica justifica o “apelido” da distribuição exponencial como uma distribuição sem
memória. 
A definição da função de distribuição exponencial é dada por:
• 
• 
• 
• 
Em que é o parâmetro da distribuição.
Veja, a seguir, o gráfico da distribuição exponencial para e 3.
Distribuição exponencial, para \(\lambda=0,5 ; 1,5\) e 3.
Distribuição acumulada
Calculando a função acumulada dessa distribuição, temos:
Vejamos agora alguns exemplos dos gráficos de :
Distribuição exponencial. Gráfico de \(F(x)\).
Distribuição exponencial e memória
A observação sobre a falta de memória dos experimentos modelados pela distribuição exponencial pode ser
explicada pela seguinte igualdade:
A igualdade sugere que, dados dois instantes consecutivos, digamos e , para conhecer a probabilidade
de a variável ser menor do que , dado que sabemos que é maior do que , não importa o valor de
 Ou seja, o resultado será a própria probabilidade de a variável ser ser inferior a .
Exemplo 1
A legislação atual exige que o tempo de espera em um banco, com algumas poucas exceções (por exemplo
entre os dias 1 e 5 de cada mês) seja inferior a 20 minutos. Admita que o tempo de espera pode ser modelado
por uma distribuição exponencial de parâmetro . Qual é a probabilidade de um cliente demorar no
máximo 19 minutos na fila?
Chave de resposta
Desejamos calcular . Veja:
Exemplo 2
Uma variável aleatória , com distribuição exponencial, possui parâmetro .
 
Qual a razão entre os valores e , em que é a média da distribuição e é tal que 
?
Chave de resposta
Acompanhe, neste vídeo, a resolução da questão.
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Distribuição exponencial: esperança e variância
Acompanhe, neste vídeo, como calcular a esperança e a variância da distribuição exponencial, com destaque
para os resultados e , além da interpretação desses valores em termos do tempo médio entre
eventos e sua dispersão.
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O cálculo da esperança e da variância da distribuição exponencial exige o uso da técnica de integração por
partes, a partir das expressões gerais. Explicitamos apenas os resultados desses cálculos, uma vez que seu
desenvolvimento é irrelevante para o objetivo do conteúdo propriamente dito.
Exemplo
Dada uma variável aleatória , com distribuição exponencial de média igual a 20, determine a probabilidade 
, ou seja, dado que a variável aleatória é superior a 18, qual a probabilidade de ser
menor do que 
Chave de resposta
Acompanhe, neste vídeo, o cálculo da probabilidade condicional para uma variável 
 com distribuição exponencial de média 20, utilizando a propriedade da falta de memória e a função de
distribuição acumulada.
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Mão na massa
Questão 1
Suponha que X tenha uma distribuição exponencial com parâmetro λ = 1. Qual a probabilidade
de X ser maior que 2?
A 0,05
B 0,08
C 0,12
D 0,14
E 0,17
A alternativa D está correta.
Questão 2
Com relação à questão anterior, determine a função de distribuição acumulada quando x for
igual a 3.
A 0,90
B 0,92
C 0,95
D 0,97
E 0,99
A alternativa C está correta.
Questão 3
Suponha que X tenha uma distribuição exponencial com média igual a 2. Qual é o parâmetro dessa
distribuição?
A 0,5
B 1
C 2
D 4
E 5
A alternativa A está correta.
Questão 4
O tempo entre as chamadas para um restaurante é distribuído exponencialmente com um intervalo médio de 5
minutos. Qual a probabilidade de não haver chamadas em um intervalo de 10 minutos?
A 0,10
B 0,14
C 0,17
D 0,20
E 0,25
A alternativa B está correta.
A função densidade é dada por:
Como o tempo médio é de 5 minutos, e a média (esperança) na distribuição exponencial é dada por ,
segue-se que .
Daí, temos:
Questão 5
Considerando o enunciado da questão anterior, determine a probabilidade de que a primeira
chamada chegue entre 5 e 15 minutos, depois que o restaurante estiver aberto.
A 0,27
B 0,30
C 0,32
D 0,35
E 0,38
A alternativa C está correta.
Solução: Sabemos que, se:
Questão 6
Ainda em relação à questão 4, determine o comprimento de um intervalo de tempo, tal que
exista a probabilidade de 95% de haver, no mínimo, uma chamada no intervalo.
A 15
B 18
C 21
D 24
E 27
A alternativa A está correta.
Teoria na prática
O tempo de um certo produto na prateleira de um supermercado segue
uma distribuição exponencial com média de 6 dias. Sabendo que esse
produto tem ainda validade de 8 dias após ser colocado na prateleira,
qual a chance de esse produto passar da data de validade?
Assista ao vídeo sobre a distribuição exponencial:
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Verificando o aprendizado
Questão 1
O tempo entre chegadas de mensagens de um e-mail qualquer é distribuído
exponencialmente com média de 30 minutos. Qual a probabilidade de não chegar mensagem
alguma no período de 2 horas?
A 0,01
B 0,02
C 0,03
D 0,04
E 0,05
A alternativa B está correta.
Questão 2
Considerando a questão anterior, determine a probabilidade de não chegar nenhuma
mensagem nas últimas 3 horas, dado que não chegou mensagem nas últimas 2 horas.
A 0,002
B 0,004
C 0,005
D 0,008
E 0,010
A alternativa A está correta.
Solução: Veja que a probabilidade pedida é pela propriedade de falta de
memória. Assim, trabalhando com minutos, temos:
4. Distribuição normal em ação
Distribuição normal (ou gaussiana)
É a mais importante das distribuições contínuas, entre outras razões, por sua aplicabilidade e situações
cotidianas. 
 
Acompanhe, no vídeo a seguir, a conceituação dessa distribuição.
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A distribuição normal é caracterizada pela função densidade, expressa por:
Em que se pode provar que os parâmetros e são exatamente a média (esperança) e o desvio-padrão
dessa distribuição (embora a demonstração esteja fora do escopo deste conteúdo).
 
É usual informarmos que uma variável aleatória possui distribuição normal, escrevendo:
Observe que, nessa notação, informamos a média e a variância, ou seja, o quadrado do desvio-padrão.
 
Assim, a notação indica uma variável aleatória com distribuição normal de média
(esperança) 100 e desvio-padrão 20 (ou variância 400).
 
Veja as seguintes propriedades de uma distribuição normal:
 
Seu gráfico é simétrico com relação à reta .
 
O valor máximo da função ocorre quando . Ou seja, correspondendo ao maior valor do expoente
, que é zero! Logo, o valor máximo associado é .
 
• 
• 
Os pontos de inflexão do gráfico de , ou seja, onde o gráfico muda de concavidade,
correspondem aos valores de associados à , isto é, correspondem aos valores de 
que distam um desvio-padrão da média .
Utilizando a distribuição normal
A expressão da distribuição normal é intratável diretamente, pois não há uma expressão algébrica para o
cálculo da integral associada a , ou seja:
Usualmente, realizamos os cálculos necessários utilizando um aplicativo — por exemplo, uma simples planilha
—, ou então à moda antiga, utilizando tabelas (que informam os pares de valores de e para 
. Analise os seguintes exemplos.
Exemplo 1
A planilha Excel possui duas funções úteis para cálculos envolvendo a distribuição normal:
 
DIST.NORM.N ou 0
 
Essa função fornece o valor da função densidade, se usarmos o último parâmetro igual a 0.
E fornece , se usarmos o valor 1 para o último parâmetro.
 
INV. NORM.N (prob; )
 
Essa função fornece o valor de associado à probabilidade no primeiro parâmetro.
Chave de resposta
Acompanhe o vídeo a seguir, no qual apresentamos exemplos de uso dessas funções do Excel.
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Exemplo 2
Suponha que seja uma variável aleatória com distribuição normal de média e desvio-padrão . Fazendo
, podemos provar que a distribuição da variável é também uma normal, mas com média 0 e
desvio-padrão 1.
 
• 
• 
• 
Acompanhe o vídeo a seguir para entender como calculamos a probabilidade em qualquer
distribuição normal, se dispusermos de uma tabela da distribuição normal com média 0 e desvio-padrão 1.
 
Aqui, apenas para registro, apresentamos a tabela com cujo uso é discutido no vídeo.
z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09
0,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,5120 0,5160 0,5199 0,5239 0,5279 0,5319 0,5359
0,1 0,5398 0,5438 0,5478 0,5517 0,5557 0,5596 0,5636 0,5675 0,5714 0,5753
0,2 0,5793 0,5832 0,5871 0,5910 0,5948 0,5987 0,6026 0,6064 0,6103 0,6141
0,3 0,6179 0,6217 0,6255 0,6293 0,6331 0,6368 0,6406 0,6443 0,6480 0,6517
0,4 0,6554 0,6591 0,6628 0,6664 0,6700 0,6736 0,6772 0,6808 0,6844 0,6879
0,5 0,6915 0,6950 0,6985 0,7019 0,7054 0,7088 0,7123 0,7157 0,7190 0,7224
0,6 0,7257 0,7291 0,7324 0,7357 0,7389 0,7422 0,7454 0,7486 0,7517 0,7549
0,7 0,7580 0,7611 0,7642 0,7673 0,7704 0,7734 0,7764 0,7794 0,7823 0,7852
0,8 0,7881 0,7910 0,7939 0,7967 0,7995 0,8023 0,8051 0,8078 0,8106 0,8133
0,9 0,8159 0,8186 0,8212 0,8238 0,8264 0,8289 0,8315 0,8340
0,
8365
0,8389
1,0 0,8413 0,8438 0,8461 0,8485 0,8508 0,8531 0,8554 0,8577 0,8599 0,8621
1,1 0,8643 0,8665 0,8686 0,8708 0,8729 0,8749 0,8770 0,8790 0,8810 0,8830
1,2 0,8849 0,8869 0,8888 0,8907 0,8925 0,8944 0,8962 0,8980 0,8997 0,9015
1,3 0,9032 0,9049 0,9066 0,9082 0,9099 0,9115 0,9131 0,9147 0,9162 0,9177
1,4 0,9192 0,9207 0,9222 0,9236 0,9251 0,9265 0,9279 0,9292 0,9306 0,9319
1,5 0,9332 0,9345 0,9357 0,9370 0,9382 0,9394 0,9406 0,9418 0,9429 0,9441
1,6 0,9452 0,9463 0,9474 0,9484 0,9495 0,9505 0,9515 0,9525 0,9535 0,9545
1,7 0,9554 0,9564 0,9573 0,9582 0,9591 0,9599 0,96080,9616 0,9625 0,9633
1,8 0,9641 0,9649 0,9656 0,9664 0,9671 0,9678 0,9686 0,9693 0,9699 0,9706
1,9 0,9713 0,9719 0,9726 0,9732 0,9738 0,9744 0,9750 0,9756 0,9761 0,9767
2,0 0,9772 0,9778 0,9783 0,9788 0,9793 0,9798 0,9803 0,9808 0,9812 0,9817
2,2 0,9821 0,9826 0,9830 0,9834 0,9838 0,9842 0,9846 0,9850 0,9854 0,9857
2,3 0,9893 0,9896 0,9898 0,9901 0,9904 0,9906 0,9909 0,9911 0,9913 0,9916
2,4 0,9918 0,9920 0,9922 0,9925 0,9927 0,9929 0,9931 0,9932 0,9934 0,9936
2,5 0,9938 0,9940 0,9941 0,9943 0,9945 0,9946 0,9948 0,9949 0,9951 0,9952
2,6 0,9953 0,9955 0,9956 0,9957 0,9959 0,9960 0,9961 0,9962 0,9963 0,9964
2,7 0,9965 0,9966 0,9967 0,9968 0,9969 0,9970 0,9971 0,9972 0,9973 0,9974
2,8 0,9974 0,9975 0,9976 0,9977 0,9977 0,9978 0,9979 0,9979; 0,9980 0,9981
2,9 0,9981 0,9982 0,9982 0,9983 0,9984 0,9984 0,9985 0,9985 0,9986 0,9986
3,0 0,9987 0,9987 0,9987 0,9988 0,9988 0,9989 0,9989 0,9989 0,9990 0,9990
3,1 0,9990 0,9991 0,9991 0,9991 0,9992 0,9992 0,9992 0,9992 0,9993 0,9993
3,2 0,9993 0,9993 0,9994 0,9994 0,9994 0,9994 0,9994 0,9995 0,9995 0,9995
3,3 0,9996 0,9995 0,9995 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9997
3,4 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9998
3,5 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998
3,6 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999
3,7 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999
3,8 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999
3,9 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000
Chave de resposta
Acompanhe, neste vídeo, a explicação do conceito de padronização, por meio da transformação ,
e veja como utilizar a tabela da distribuição normal padrão para calcular probabilidades e
converter os resultados de volta para a variável original.
Conteúdo interativo
Acesse a versão digital para assistir ao vídeo.
Combinação de distribuições e aplicações
Entre as aplicações das distribuições de probabilidade, um importante aspecto refere-se a como analisar a
combinação de distribuições de probabilidade e suas características. Surgem, então, como conceitos
importantes, o teorema central do limite e a chamada distribuição t de Student. 
 
Acompanhe, no vídeo a seguir, uma discussão sobre esses importantes conceitos!
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Combinação linear de distribuições normais
Suponha que dispomos de duas distribuições normais e , com médias e e desvios-padrão 
, respectivamente. Uma boa pergunta é: se criarmos uma variável aleatória , o que
podemos dizer sobre as características da distribuição da variável ? E se ?
 
Na verdade, de uma forma geral, se e são números reais, demonstra-se que a variável aleatória 
, uma combinação linear de e , possui, também, uma distribuição normal com média 
e desvio-padrão dados por:
Exemplo 1
Dadas as distribuições normais e definidas por:
 
 e 
 
 e 
 
 
Determine a média e o desvio-padrão da distribuição .
Chave de resposta
Acompanhe, neste vídeo, a análise gráfica e analítica da combinação linear de duas
variáveis normais, mostrando como essa operação gera uma nova distribuição normal e como calcular sua
média e desvio-padrão a partir dos parâmetros de e .
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Teorema do limite central
Quando analisamos o comportamento de uma população a partir de amostras colhidas, desejamos, na prática,
inferir características dessa população a partir das informações das médias e desvios-padrão das amostras.
 
Nessas condições, o famoso teorema do limite central nos afirma que, sob certas condições, a distribuição
das médias dessas amostras aproxima-se de uma distribuição normal, à medida que o tamanho das amostras
aumenta.
 
Uma das maneiras de formalizar esse enunciado é:
 
Suponha que seja a soma de variáveis aleatórias , independentes, com médias e desvios-
padrão iguais a , respectivamente. Então, a variável , definida por:
Aproximando-se da distribuição normal padrão quando o tamanho das amostras cresce.
Distribuição t de Student
Sejam variáveis aleatórias independentes com distribuição normal padronizada, isto é,
cada , então a variável:
Haverá uma distribuição t de Student com graus de liberdade .
Propriedades da distribuição t de Student
A esperança e a variância de t são respectivamente 0 e n/(n–2).
 
A distribuição é simétrica em relação à média, que é zero, assemelhando-se à distribuição Z, porém é
mais achatada e alongada, tendo caudas maiores do que a distribuição normal padrão.
 
À medida que o número de graus de liberdade aumenta, a distribuição t de Student aproxima-se,
assintoticamente, da distribuição normal padronizada.
Tabela t de Student
Como a distribuição é fruto do quociente de uma distribuição normal padrão por uma distribuição normal
padrão ao quadrado, essa distribuição também é tabelada. Assim, a tabela a seguir nos dá a seguinte
probabilidade , em que n é o grau de liberdade (primeira coluna) e a, o nível de
significância (primeira linha).
α .400 .250 .100 .050 .025 .010 .005 .001
n 
1 .325 1.000 3.078 6.314 12.706 31.821 63.656
2 .289 .816 1.886 2.920 4.303 6.965 9.925
3 .277 .765 1.638 2.353 3.182 4.541 5.841
4 .271 .741 1.533 2.132 2.776 3.747 4.604
5 .267 .727 1.476 2.015 2.571 3.365 4.032
 
6 .265 .718 1.440 1.943 2.447 3.143 3.707
• 
• 
• 
α .400 .250 .100 .050 .025 .010 .005 .001
7 .263 .711 1.415 1.895 2.365 2.998 3.499
8 .262 .706 1.397 1.860 2.306 2.896 3.355
9 .261 .703 1.383 1.833 2.262 2.821 3.250
10 .260 .700 1.372 1.812 2.228 2.764 3.169
 
11 .260 .697 1.363 1.796 2.201 2.718 3.106
12 .259 .695 1.356 1.782 2.179 2.681 3.055
13 .259 .694 1.350 1.771 2.160 2.650 3.012
14 .258 .692 1.345 1.761 2.145 2.624 2.977
15 .258 .691 1.341 1.753 2.131 2.602 2.947
 
16 .258 .690 1.337 1.746 2.120 2.583 2.921
17 .257 .689 1.333 1.740 2.110 2.567 2.898
18 .257 .688 1.330 1.734 2.101 2.552 2.878
19 .257 .688 1.328 1.729 2.093 2.539 2.861
20 .257 .687 1.325 1.725 2.086 2.528 2.845
 
21 .257 .686 1.323 1.721 2.080 2.518 2.831
22 .256 .686 1.321 1.717 2.074 2.508 2.819
23 .256 .685 1.319 1.714 2.069 2.500 2.807
24 .256 .685 1.318 1.711 2.064 2.492 2.797
25 .256 .684 1.316 1.708 2.060 2.485 2.787
 
26 .256 .684 1.315 1.706 2.056 2.479 2.779
27 .256 .684 1.314 1.703 2.052 2.473 2.771
28 .256 .683 1.313 1.701 2.048 2.467 2.763
29 .256 .683 1.311 1.699 2.045 2.462 2.756
30 .256 .683 1.310 1.697 2.042 2.457 2.750
 
α .400 .250 .100 .050 .025 .010 .005 .001
40 .255 .681 1.303 1.684 2.021 2.423 2.704
50 .255 .679 1.299 1.676 2.009 2.403 2.678
60 .254 .679 1.296 1.671 2.000 2.390 2.660
70 .254 .678 1.294 1.667 1.994 2.381 2.648
80 .254 .678 1.292 1.664 1.990 2.374 2.639
 
90 .254 .677 1.291 1.662 1.987 2.368 2.632
100 .254 .677 1.290 1.660 1.984 2.364 2.626
120 .254 .677 1.289 1.658 1.980 2.358 2.617
 .253 .674 1.282 1.645 1.960 2.326 2.576
Mão na massa
Questão 1
Considere X uma variável aleatória com distribuição normal com média 100 e variância 25, ou seja, 
.
Nesse caso, determine a probabilidade de X ser maior do que 110.
A 0,01
B 0,02
C 0,03
D 0,04
E 0,05
A alternativa B está correta.
Questão 2
A quantidade de leite em uma caixa, produzida por uma indústria de laticínios, segue uma distribuição normal
com média de 995 ml e variância de 100 ml. Sabe-se que a caixa estoura se contiver mais de 1005 ml. Qual é
a chance aproximada de uma caixa estourar?
A 10%
B 12%
C 14%
D 16%
E 18%
A alternativa D está correta.
Questão 3
Considerando a questão anterior, sabe-se que, se a caixa tiver menos de 990 ml, ela é rejeitada por certo
comprador. Qual o percentual aproximado de caixas que o comprador deve rejeitar?
A 10%
B 18%
C 21%
D 25%
E 31%
A alternativa E está correta.
Questão 4 
Os funcionários de um departamento executamcertas tarefas de acordo com uma distribuição normal com
média de 2 horas e com desvio padrão de 30 minutos. A probabilidade de que um funcionário qualquer
execute uma tarefa entre 1h40min e 2h20min é de, aproximadamente:
A 0,25
B 0,375
C 0,50
D 0,667
E 0,825
A alternativa C está correta.
Questão 5
Uma indústria produz pacotes de biscoito. O peso de cada biscoito segue uma distribuição
normal, com média de 20 g e desvio padrão de 2 g. Sabe-se que cada embalagem contém 10
biscoitos e que o peso da embalagem de biscoito sem o biscoito também segue uma
distribuição normal, com média de 10 g e desvio padrão de 1 g. Qual a probabilidade de que
um pacote cheio pese menos de 200 g?
A 0,25
B 0,30
C 0,35
D 0,40
E 0,45
A alternativa B está correta.
Chamando de Bissc, Emb e Pacote as distribuições de probabilidade de cada biscoito, da embalagem e do
pacote, temos:
Bisc ~N(20; 42)
Pacote ?
Como o pacote é constituído de 10 biscoitos e a embalagem, temos:
Pacote . Bisc + Emb
Logo, como Pacote é uma combinação linear das distribuições Bis e Emb, podemos calcular a média e o
desvio-padrão do pacote de biscoitos:
Como Pacote é a distribuição normal , devemos determinar a probabilidade de o peso do
pacote ser inferior a 200 g.
Basta usar, por exemplo, a função do Excel dada por DIST.NORMA.N( média; desvio; 1 ), que calculado
na planilha resulta em .
Questão 6
Sejam X1, X2, X3 e X4 quatro variáveis aleatórias, todas seguindo com distribuição normal padrão. Se
definirmos uma distribuição t de Student a partir dessas 4 variáveis aleatórias, quais serão a média e a
variância da distribuição t?
A 0 e 2
B 0 e 4
C 0 e 5
D 1 e 2
E 1 e 4
A alternativa A está correta.
Solução: Vimos que a distribuição t de Student tem média zero e variância dada por . Como ,
temos que essa distribuição t terá média zero e variância .
Teoria na prática
A renda média do brasileiro é normalmente distribuída com média R$ 2500,00 e desvio-padrão R$ 1200,00. O
Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística utiliza 5 classes de renda, a saber: A, B, C, D e E, em que a A é a
mais rica e a E, a mais pobre. Se apenas 5% das famílias brasileiras estão na classe A, qual o valor da renda
familiar para que possa ser assim classificada?
Assista ao vídeo sobre a distribuição normal:
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Verificando o aprendizado
Questão 1
Os salários dos funcionários de uma empresa seguem uma distribuição normal com média de
R$ 3000,00 e desvio-padrão de R$ 1.000,00. Qual a probabilidade de que um funcionário
sorteado ao acaso ganhe mais de R$ 5.500,00?
A 0,07
B 0,06
C 0,05
D 0,04
E 0,03
A alternativa B está correta.
Solução:
Assim, temos que a probabilidade de um funcionário ganhar mais de R$ 5.500,00 é de 0,06, o que significa,
em termos práticos, que apenas 6% dos funcionários dessa empresa ganham mais de R$ 5.500,00.
Questão 2
Sacos de cimento são transportados por caminhões que passam por pesagem na polícia
rodoviária. Sabe-se que o peso do saco de cimento é normalmente distribuído com média de
20 kg e desvio-padrão de 1 kg, e que o peso do caminhão também segue uma distribuição
normal com média de 1 tonelada e desvio-padrão de 100 kg.
Sabendo que o peso máximo admitido para um caminhão trafegar é de 2100 kg e que a polícia
aplica uma multa caso o peso ultrapasse esse valor, qual é a probabilidade de que um
caminhão seja multado carregando 50 sacos de cimento?
A 0,025
B 0,03
C 0,035
D 0,04
E 0,05
A alternativa A está correta.
5. Conclusão
Considerações finais
Abordamos os conceitos fundamentais associados às variáveis aleatórias contínuas. Além disso,
apresentamos as principais distribuições contínuas de probabilidade, entre as quais: distribuição uniforme,
distribuição exponencial e distribuição normal. Cada distribuição de probabilidade é importante para o cálculo
de probabilidades de fenômenos comuns que acontecem no nosso dia a dia.
 
Também vimos que a distribuição normal é a principal distribuição de probabilidade da estatística e, segundo
o Teorema Central do Limite (TCL), quando n tende a infinito, podemos aproximar, em média, qualquer
distribuição de probabilidade para a distribuição normal.
 
Todos os conceitos tratados são essenciais não apenas para o estudo da teoria das probabilidades, mas para
o bom entendimento da inferência estatística e dos modelos estatísticos — conteúdos para quem quer se
dedicar ao estudo da estatística.
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Referências
FONSECA, J. S.; MARTINS, G. A. Curso de estatística. 6. ed. São Paulo: Atlas, 1996.
 
MEYER, P. Probabilidade: aplicações à estatística. 2. ed. São Paulo: LTC, 1987.
 
MORETTIM, P. A.; BUSSAB, W. O. Estatística básica. 9. ed. São Paulo: Saraiva, 2017.
 
OVALLE, I. I.; TOLEDO, G. L. Estatística básica. 2. ed. São Paulo: Atlas, 2010.
• 
	Variáveis aleatórias contínuas unidimensionais
	1. Itens iniciais
	Propósito
	Preparação
	Objetivos
	Introdução
	Conteúdo interativo
	1. Conceitos de variáveis aleatórias contínuas
	Variável aleatória discreta X Variável aleatória contínua
	Conceito de variável aleatória contínua
	Conteúdo interativo
	Conceitos preliminares
	Função densidade de probabilidade
	Exemplo 1
	Exemplo 2
	Conteúdo interativo
	Função distribuição acumulada
	Esperança e desvio-padrão
	Conceitos de esperança e desvio-padrão
	Conteúdo interativo
	Esperança
	Variância e desvio-padrão
	Distribuição de probabilidade (variáveis aleatórias discretas)
	Distribuição de probabilidade (variáveis aleatórias contínuas)
	Exemplo 1
	Exemplo 2
	Conteúdo interativo
	Mão na massa
	Seja
	Qual é o valor de k para que essa função seja, de fato, uma função densidade de probabilidade (fdp)?
	Considerando os dados da questão anterior, qual é a esperança de X?
	Qual é a função densidade f(x) no intervalo de (0,1)?
	Considere a seguinte função densidade de probabilidade:
	Agora, determine P(0no mínimo, uma chamada no intervalo.
	Teoria na prática
	Conteúdo interativo
	Verificando o aprendizado
	O tempo entre chegadas de mensagens de um e-mail qualquer é distribuído exponencialmente com média de 30 minutos. Qual a probabilidade de não chegar mensagem alguma no período de 2 horas?
	Considerando a questão anterior, determine a probabilidade de não chegar nenhuma mensagem nas últimas 3 horas, dado que não chegou mensagem nas últimas 2 horas.
	4. Distribuição normal em ação
	Distribuição normal (ou gaussiana)
	Conteúdo interativo
	Utilizando a distribuição normal
	Exemplo 1
	Conteúdo interativo
	Exemplo 2
	Conteúdo interativo
	Combinação de distribuições e aplicações
	Conteúdo interativo
	Combinação linear de distribuições normais
	Exemplo 1
	Conteúdo interativo
	Teorema do limite central
	Distribuição t de Student
	Propriedades da distribuição t de Student
	Tabela t de Student
	Mão na massa
	Uma indústria produz pacotes de biscoito. O peso de cada biscoito segue uma distribuição normal, com média de 20 g e desvio padrão de 2 g. Sabe-se que cada embalagem contém 10 biscoitos e que o peso da embalagem de biscoito sem o biscoito também segue uma distribuição normal, com média de 10 g e desvio padrão de 1 g. Qual a probabilidade de que um pacote cheio pese menos de 200 g?
	Teoria na prática
	Conteúdo interativo
	Verificando o aprendizado
	Os salários dos funcionários de uma empresa seguem uma distribuição normal com média de R$ 3000,00 e desvio-padrão de R$ 1.000,00. Qual a probabilidade de que um funcionário sorteado ao acaso ganhe mais de R$ 5.500,00?
	Sacos de cimento são transportados por caminhões que passam por pesagem na polícia rodoviária. Sabe-se que o peso do saco de cimento é normalmente distribuído com média de 20 kg e desvio-padrão de 1 kg, e que o peso do caminhão também segue uma distribuição normal com média de 1 tonelada e desvio-padrão de 100 kg.
	Sabendo que o peso máximo admitido para um caminhão trafegar é de 2100 kg e que a polícia aplica uma multa caso o peso ultrapasse esse valor, qual é a probabilidade de que um caminhão seja multado carregando 50 sacos de cimento?
	5. Conclusão
	Considerações finais
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	Referências