Prova3E - pROFESSOR IVAN - CÁLCULO3

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UNIVERSIDADE FEDERAL TECNOLO´GICA DO PARANA´
CA´LCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III
3ra PROVA
Prof. Iva´n Gonza´les
24 de novembro de 2014
ALUNO :
PERGUNTAS:
1.) [3 ptos] Estude a convergeˆncia ou divergeˆncia das se´ries:
a. ∞∑
n=1
1
n ln(1 + 1n )
.
b. ∞∑
n=1
(3−
√
3)(3− 3
√
3) · · · (3− n
√
3)
2.) [2 ptos] Encontre o raio e intervalo de convergeˆncia da se´rie de poteˆncias:
∞∑
n=0
2n
n
(x− 8)n
.
3. [2 ptos] Mostre que
Ln(2) = 1− 1
2
+
1
3
− 1
4
+
1
5
− · · · =
∞∑
n=1
(−1)n+1
n
.
[Dica: Use a representac¸a˜o em se´rie de poteˆncia da func¸a˜o f(x) = 1x , logo integre e calcule o valor
da constante da integral sabendo que Ln(1) = 0].
4.) [1.5 ptos] A sequeˆncia {xn} e´ definida pela fo´rmula
x1 = 1, xn+1 =
√
1 + xn.
Mostre que a sequeˆncia converge e calcule o seu limite.
5.) [1.5 ptos] Mostre que a se´rie de poteˆncia f(x) =
∞∑
n=0
xn
(n!)2
satisfaz a equac¸a˜o diferencial
xy′′ + y′ − y = 0.
6.) [1 pto] Estude a convergencia ou divergencia da se´rie
∞∑
i=1
ln i
i
.
1